Уравнение движения частицы по поверхности сита Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 664:658

С.П. Григорьева, Л.К. Юрченко, И.В. Пищулина, Дальрыбвтуз, Владивосток

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ СИТА

Получено уравнение малых колебаний частицы продукта, находящейся во вращающемся вокруг горизонтальной оси сите.

В пищевых производствах перерабатывается огромное количество различных сыпучих материалов. В бродильных производствах предварительно очищают зерно от примесей, в мукомольном производстве после размола зерна помол разделяют на отруби и муку, в некоторых случаях требуется выделить из сыпучей смеси металлические примеси.

Процесс разделения сыпучей смеси на отдельные фракции называется сортированием (классификацией) сыпучих материалов.

Различают следующие методы сортирования: по размерам

(просеивание), по плотности (сепарирование); прочие методы (флотация, электростатические методы).

Механическое сортирование на сетках называют просеиванием. Сита имеют одинаковые отверстия различной формы. Просеиваемый материал перемещается вдоль поверхности сита. Частицы, размеры которых меньше размеров отверстий, проваливаются сквозь сито. Эту часть называют проходом. Более крупные частицы остаются на сите и называются сходом.

Машины для просеивания бывают с неподвижными и подвижными ситами. Первые применяются редко. Вторые делятся на две категории: с плоскими горизонтальными или наклонными и с вращающимися цилиндрическими и коническими ситами, называемыми буратами.

Рассмотрим движение частицы продукта в барабанно-цилиндрическом сите с горизонтальной осью вращения (рисунок).

Движение частицы К в барабанном сите является сложным. Свяжем неподвижную систему координат с осью

О, а подвижную - с барабаном. Тогда движение точки К по барабану будет относительным. Траекторией

относительного движения является окружность радиусом И. Переносное движение есть вращение барабана вокруг неподвижной оси О.

Траекторией переносного движения точки К является та же окружность радиусом И.

Система точка К - барабан имеет две степени свободы. Положение барабана определим обобщенной координатой ф (угол отклонения барабана от вертикали). Положение точки определим обобщенной координатой 0 (угол отклонения точки К от вертикали).

На систему действуют задаваемые силы: сила тяжести барабана гг^д , сила тяжести точки т2д и вращающий момент Мвр.

Уравнения Лагранжа II рода для системы с двумя степенями свободы имеют вид

1й-*! = а

сії Эф Эф ф

!(£)-£Е = 0..

л зе ае

Вычислим кинетическую энергию системы. Она равна сумме кинетических энергий барабана и материальной точки

Ї = Т1+Ї2.

Так как барабан совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, то

Твр = І1Х^12 = т^2ф2

где 1;°льцо = т^2, со, = ф.

Точка совершает сложное движение, поэтому

Т2 =Т2+Т2е,

где Т,Т2е - кинетические энергии точки в ее относительном и

переносном движениях соответственно.

,2 »2 _ т2Р2“2

г _ т2\/г _ т2Р 0' 2 __2 2”

где Уг = Р0,

е _ ш2у2 _ т2Р!2ф2

где уе = Рф. Тогда

т т2Р202 т2Р2ф2 т2Р2 ■2 .2

Т2 = + = -^(02 + Ф2 )■

Кинетическая энергия всей механической системы следующая:

т т т т.Р2ф2 т,Р2 ,Л2 . 2, Р2, . 2 Л2 . 2,

Т = Т1 + т2 = 2 + ^—(9 + Ф ) = у (Ш.Ф + т202 + т2ср ).

Частные производные по ф и 0 от кинетической энергии

сП~ р2

— = — (21-П1Ф + 2т2ф) = & ■ ф • (т1 + т2); оф 2

= — • 2т2 • 0 = Р2 • 0 • т2.

90 2 2 2

Полные производные по времени от полученных частных производных

с1 ,ЭТ. _2 \

-гЫ = К 'Ф-Ц + т, ; сК Эф

с1 ,ЭТ. _2 X — (—) = Р -0-т,.

Л 90 2

5Т п 5Т п о

— = 0 и — = 0, так как кинетическая энергия от фиОявно не Эф 90

зависит.

Переходим к вычислению обобщенных сил Оф иОе. Дадим механической системе независимые возможные перемещения бф и 50 . При определении Оф считаем, что бф# 0,50 = 0. Сумма работ зависимых сил будет иметь вид

6А = М бф- т2дР•эт©•бф.

Обобщенной силой является коэффициент, стоящий при бф

б,» =М -т,дР-5Іп0

Ф вр 2&

Аналогично находим вторую обобщенную силу (5ср = 0,50 * 0 )

Первое уравнение есть дифференциальное уравнение вращательного движения вокруг неподвижной оси. Из него можно определить угловое ускорение вращательного движения сита

Угловое ускорение тем меньше, чем на больший угол от вертикали отклоняется частица. Угловое ускорение тем меньше, чем больше радиус сита и общая масса барабана сита и продукта.

Второе уравнение можно решить приближенно, положив втб » 0.

Оно примет вид

Р2 - ё-т2 =-т2д-Р-0,

ё + -^0 = О.

Р

Это дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний точки К.

5А = -т2дР • біп0 ■ 50 .

Обобщенная сила есть коэффициент перед 60

<30 =-т2дР-зіп0.

Полученные результаты поместим в уравнения Лагранжа

Гр2ф(т1 + т2) = Мвр -т2дР -эт©

[р20т2 = -т2дР-зт0.

Р2(т1 + т2)

Круговая частота к =

Общее решение этого уравнения имеет вид

9 = 90соб -і + 90 -і.

Амплитуда колебаний

где90- начальный угол отклонения частицы, 0О- начальная угловая

скорость движения частицы.

Если положить, что 0=0, т.е. частица находится в нижней точке сита, то уравнение ее малых колебаний примет вид

Амплитуда прямо пропорциональна начальной угловой скорости частицы и корню квадратному из радиуса барабана сита.

1. Баранов Д.А., Кутепов А.М. Процессы и аппараты. М.: Академия, 2005. 303 с.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высш. шк., 2000. 416 с.

3. Машины и аппараты пищевых производств / Под ред. акад. В.А. Панфилова. М.: Высш. шк., 2001. 1383 с.

Амплитуда

Библиографический список