CC BY
30
УДК 637:664
С.П. Григорьева, Л.К. Юрченко, И.В. Пищулина
Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет,
690087, г. Владивосток, ул. Луговая, 52б
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА II РОДА ДЛЯ ПЛОСКОГО ПОДВИЖНОГО СИТА
Составлены два уравнения Лагранжа II рода для подвижного плоского сита, наклоненного под углом а к горизонту, по которому движется частица классифицируемого сырья. Из первого уравнения получено ускорение относительного движения частицы. Из второго -дифференциальное уравнение движения сита без частицы.
Ключевые слова: сито.
S.P. Grigoreva, L.K. Jurchenko, I.V. Pishchulina THE EQUATIONS OF LAGRANZHA OF THE SECOND SORT FOR A FLAT MOBILE SIEVE
Two equations of Lagranzha of the second sort for the mobile flat sieve inclined at an angle a to horizon, on which the particle of classified raw materials moves, are worked out. From the first equation acceleration of relative movement particle, of the second -differential equation of movement of a sieve without a particle is received.
Key words: sieve.
Для того чтобы получить частицы близкого размера, производят классификацию исходного сырья. Классификация - это процесс разделения сыпучего материала на части (фракции, классы) с различным размером содержащихся частиц.
Из всех способов классификации рассмотрим механическую, т.е. рассев сыпучих материалов на плоских движущихся поступательно ситах. Составим уравнения Лагранжа II рода для подвижного плоского сита, наклоненного к горизонту под углом а, по которому перемещается частица исходного сырья [1].
На рисунке показано плоское сито АВ, подвешенное на тягах ОА и 01В. Будем считать эти тяги невесомыми. М - частица (материальная точка). На систему действуют активные силы: пг^д - вес сита, т2д - вес
частицы, М - вращающий момент, приводящий
Плоское сито с частицей М A flat sieve with the particle M
сито в движение и сила трения Ртр.
Механическая система «сито - материальная точка М» имеет 2 степени свободы. Ее положение определяется двумя обобщенными координатами.
За обобщенную координату системы примем «х» - смещение точки М вдоль сита из положения покоя и «ф» - угол поворота тяги ОА. На рисунке показано положение системы при положительных обобщенных координатах.
Уравнения Лагранжа II рода:
1 ГаТ 1 - аТ = о
л ^ах) ах х' л Г ат1 ат
= о
л^аф) аф ф
где Т - кинетическая энергии системы: х - относительная скорость частицы; ф - угловая скорость тяги; 0х,0ф - обобщенные силы [2].
Для вычисления кинетической энергии системы определим абсолютную скорость точки М. Ее относительное движение есть движение вдоль поверхности сита, относительная скорость V,. = х; переносное движение - поступательное движение сита,
переносная скорость равна скорости точки А тяги, т.е. Vе = = фС(С - длина тяги).
По теореме косинусов:
V =>/Ч2 + V + 2УГ • УеС08(а + ф) =^х2 + ф212 + 2хф1соь(а + ф).
Кинетическая энергия сита (совершает поступательное движение):
упост _ Ш.Уе _ т$>212 1 2 2
Кинетическая энергия частицы (совершает сложное движение):
гсл _ _ т2(х + ф / + 2хф/соБ(а + ф))
т2сл = -2 2
Кинетическая энергия системы:
Т = Т1+Т2 = [^1 + ^-| ф2^2 + ^ х2 + т2хф^соз(а + ф),
ЭТ • • „ , — = т2х + т2ф^соз(а + ф), дк
ЭТ . ,
— = (т1 + т2 )ф £ + т2х^С05(а + ф),
Зф
= + т2Ф^С03(а + Ф)" т2ф2^п(а + ф),
— | ^-г] = (т1 + т2)ф/2 + т2х£соБ(а+ ф)-т2хф/5т(а + ф), сК ^Зф )
ЗТ „ ЗТ • • „ . , — = 0; — = -т2хф^51п(а + ф). Зх Эф
Для подсчета обобщенной силы 0Х сообщим координате «х» приращение бж > 0, при этом бф = 0, элементарная работа будет иметь вид:
бА = (т2дз1па-т2д^о8а)бж.
Следовательно:
0Х = m2g(siпа-fcosа).
Для подсчета обобщенной силы Оф сообщим координате «ф» приращение бф>0, при этом бх = 0 .
Элементарная работа: 5А2 =(M-m2g(ísin9 + x-cosa)-Fip¿cos(a + 9)-m1g(ísin9 + ^cosa))59, где Ь-длина сита, FTp = fm2gcosa .
5А2 = (М - m2g£sincp - m2gxcosa - fm2g£cosacos(a + ср) - m^sincp - т.,д ^ соза)5ф. Обобщенная сила:
Оф = М - m2g(£sincp + xcosa + f£cos(a + ф)соэа) - m^feincp + ^ cosa).
Уравнения Лагранжа:
m2x + m2cpfcos(a + ср) - m2cp2^sin(a + cp) = m2g(sin a - fcosc^) (m1 + m2 )q>£2 + m2x/cos(a + cp) - m2xcp/sin(a + cp) + m2xcp/sin(a + ф) =
= M - m2g(¿s¡n9 + xcosa + f&os (a + cp)cosa) - m1g(¿sin9 + -jocosa), x = -ф^соБ(а + ф)+ cp2^sin(a + ф) + g(sina-fcosa),
(m1 + m2 )ф f2 = -m2xfeos(a + ф) + M - m2g(^sir^ + xcosa + Kcos(£ + ф)соэа) -
b
- гг^д^этф + — cosa).
или
Первое уравнение Лагранжа дает нам выражение относительного ускорения точки в зависимости от угловой скорости и углового ускорения вращения тяги. Если х = аг, ф = £, ф = ш,то
аг = д(51па^С05а)-№С05(а + ф) + ^и)251п(а + ф). (1)
Это же уравнение Лагранжа можно получить, если составить уравнение относительного движения материальной точки:
тД =т2д + Ртр+Ы + Ф;+Ф^
и спроецировать его на ось, направленную по поверхности сита. Здесь: Ф^ = т2е£ - модуль переносной касательной силы инерции, а Ф^ = т2ш2е - модуль переносной нормальной силы инерции.
Второе уравнение Лагранжа дает выражение углового ускорения тяги:
(т, + т2)^2ф = т2^хсоз(а + ф) + М-т2д(№1пф + xcosa + fteos(a + ф)cosa)-- гг^д^этф + ^соэа).
В таком виде оно не поддается интегрированию.
Если положить, что частица прошла сквозь сито, т.е. ушла в «проход» (т2=0), то дифференциальное уравнение движения сита примет вид:
b
m/ ф = M-m1g(fsincp + — cose?)
g ■ M gb Ф + —sinp =-^--^cosa.
I m/ 2f
Если положить в1пф « ф , то
g М gb
Ф + -Ф = —^--S-^cosa .
I т/ 2f
Правая часть этого уравнения есть величина постоянная. Это уравнение можно решить как линейное неоднородное с постоянными коэффициентами.
Уравнением (1) можно воспользоваться для вычисления угла наклона сита к горизонту для различных значений коэффициента трения исходного сырья [3]. Если положить в уравнении (1) ы = 0 и е = 0, то
а = g(sina-fcosa).
Здесь а>0, поэтому gsin« >fcos«.
Для f = 0,1 gsin5° < 0,1cos5°, a gsin6° >0,1 cos6°
Следовательно, a = 6° и больше.
Для f = °,2 a = 12°. Для f = °,3 a = 17°.
Мы приходим к выводу, что угол наклона сита к горизонту нужно брать в пределах от а = 5° до а = 17°.
Список литературы
1. Баранов Д.А. Процессы и аппараты [Текст] / Д.А. Баранов, А.М. Кутепов. - М.: Академия, 2005. - 303 с.
2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики [Текст] / С.М. Тарг. - М.: Высш. шк, 2000. - 416 с.
3. Антипов С.Т. Машины и аппараты пищевых производств [Текст]: учеб. для втузов: в 2 кн. Кн. 2 / С.Т. Антипов, И.Т. Кретов, А.Н. Остриков и др; под ред. акад. РАСХН В.А. Панфилова. - М: Высш. шк., 2001. - 680 с.
Сведения об авторах: Григорьева Светлана Петровна, главный специалист ИЗО, email: spu_vl@lift.ru;
Юрченко Лилия Константиновна, доцент;
Пищулина Ирина Валентиновна, старший преподаватель, e-mail:stepka53@mail.ru.
