CC BY
13
Ташкинов А.А., Шавшуков В.Е. Упругопластическое взаимодействие зерен в поликристаллических материалах // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019. № 4. С. 175-190. DOI: 10.15593/peim.mech/2019.4.17
Tashkinov А.А., Shavshukov V.E. Elastoplastic interaction of grains in polycrystalline materials. PNRPUMechanics Bulletin, 2019, no. 4, pp. 175-190. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.4.17
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА
№ 4, 2019 PNRPU MECHANICS BULLETIN
http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/inf/
DOI: 10.15593/perm.mech/2019.4.17 УДК 539.3
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗЕРЕН В ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ
А.А. Ташкинов, В.Е. Шавшуков
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
АННОТАЦИЯ
В работе развит новый метод решения краевых задач упругопластического деформирования поликристаллических материалов на основе теоретико-полевого подхода. Краевая задача для неоднородных глобальных полей деформирования в дифференциальной форме преобразуется в систему интегральных уравнений для тензоров мезодеформаций в зернах. В этом подходе деформация в любой точке какого-либо зерна поликристалла представляется в виде суперпозиции однородной макродеформации и вкладов от взаимодействий с деформациями в этом зерне и во всех остальных зернах поликристаллического тела. Показано, что эффекты взаимодействия деформаций в зернах поликристалла можно описать с помощью тензоров четвертого ранга. Для двух зерен произвольной анизотропии этот тензор имеет 36 независимых компонент. Взаимодействия носят аддитивный характер, что кардинально упрощает решение некоторых задач, например нахождение экстремальных микроструктур поликристалла, в которых зарождаются критические локализованные явления типа очагов первых пластических сдвигов. Для тела в целом и отдельных зерен используются определяющие соотношения деформационного типа. Построена модель упругопластического деформирования монокристаллов зерен. Физическими механизмами пластического деформирования являются сдвиги в системах скольжения кристаллов. Получены общие выражения для вычисления секущих модулей монокристаллов при любом многоосном деформировании. Для решения систем интегральных уравнений для мезодеформаций в зернах поликристаллов применяется теория возмущений по меж-зеренному взаимодействию. Нелинейные системы уравнений для пластических деформаций решаются методом итераций.
Теоретически исследованы особенности упругопластического взаимодействия зерен. Интенсивность упругопластического взаимодействия зависит от деформированного состояния зерен. Для двух одинаковых зерен упругопластическое взаимодействие пары в несколько раз интенсивнее упругого. При этом влияние пластически деформированного зерна на упругодеформированное намного выше, чем обратное влияние. Рост интенсивности взаимодействия с развитием пластических деформаций ведет к эффекту гомогенизации мезодеформаций. Вычислительные эксперименты выполнены на примере поликристаллического титана.
©ПНИПУ
О СТАТЬЕ
Получена: 17 ноября 2019 г. Принята: 05 декабря 2019 г. Опубликована: 30 декабря 2019 г.
Ключевые слова:
упругопластические деформации, поликристаллы, интегральные уравнения.
© Ташкинов Анатолий Александрович - д.ф.-м.н., проф., e-mail: tash@pstu.ru, : 0000-0002-1852-166Х. Шавшуков Вячеслав Евгеньевич - к.ф.-м.н., доц., e-mail: shavshukov@pstu.ru, : 0000-0003-3755-6507.
Anatolii A. Tashkinov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, e-mail: tash@pstu.ru,
: 0000-0002-1852-166X. Viacheslav E. Shavshukov - CS in Physical and Mathematical Sciences, Assistent Professor, e-mail: shavshukov@pstu.ru, : 0000-0003-3755-6507.
.-4 ' Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International Qy License (CC BY-NC 4.0)
л; This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
ELASTOPLASTIC INTERACTION OF GRAINS IN POLYCRYSTALLINE MATERIALS
A.A. Tashkinov, V.E. Shavshukov
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
ARTICLE INFO ABSTRACT
A new method is developed for solving boundary value problems of elastoplastic deformation of polycrystalline materials based on the field-theoretical approach. The boundary value problem for inhomogeneous global strain fields in differential form is transformed into a system of integral equations for mesostrain tensors in grains. In this approach, strain at any point of any grain represented as a superposition of homogeneous macrostrain and contributions of interactions with strain in given grain and all another grains of polycrystalline body . It is shown that the effects of the interaction of strains in polycrystal grains can be described using tensors of the fourth rank. This tensor has 36 independent components. The interactions are additive in nature, that drastically simplifies the solution of some problems, for example, search for extreme microstructures of a polycrystal in which critical localized phenomena arise, such as nucleation of the first plastic slips occur. Constitutive equations of deformation type are used for whole body and separate grains. A model of elastoplastic deformation of single crystals of grains is constructed. The physical mechanisms of plastic deformation are shifts in slip systems of crystals. General expressions are obtained for calculating the secant modules of single crystals for any multiaxial deformation. To solve systems of integral equations for mesostrains in grains the perturbation theory upon intergrains interaction used. Nonlinear systems of equations for plastic strains are solved by the iteration method.
The features of the elastoplastic interaction of grains are theoretically investigated. The intensity of the elastoplastic interaction depends on the deformed state of the grains. For two identical grains, the elastoplastic interaction of the pair is several times more intense than the elastic one. In this case, the effect of plastically deformed grain on elastically deformed grain is much higher than the inverse effect. An increase in the intensity of interaction with the development of plastic deformations leads to the effect of homogenization of mesodeformations. Computational experiments were performed using polycrystalline titanium as an example.
©PNRPU
Received: 17 November 2019 Accepted: 05 December 2019 Published: 30 December 2019
Keywords:
elastoplastic strains, polycrystals, integral equations.
Введение
Способность металлических материалов в достаточно высокой степени деформироваться пластически лежит в основе всей промышленной цивилизации. В силу большой сложности процессов пластического деформирования и многообразия физических механизмов реализации пластических деформаций первые модели их теоретического описания появились значительно позднее моделей упругого деформирования. В настоящее время сложились три основных подхода к проблеме пластического деформирования поликристаллических материалов, связанные в первую очередь с масштабными уровнями рассмотрения структуры: макроскопический (однородное тело), мезоскопический (учет размеров и структуры зерен), микроскопический (уровень отдельных дислокаций).
На макроскопическом уровне применяются чисто феноменологические континуальные теории, базирующиеся на разложении полной деформации на упругую и пластическую части. Пластическая часть оценивается из термодинамических соображений касательно диссипа-тивных процессов в материале (принцип максимальной пластической работы Р. Хилла и т.д.). Для учета влияния зеренной структуры вводятся некоторые внутренние переменные, подлежащие идентификации. Феноме-
нологический подход использует классические модели пластичности.
При мезоскопическом рассмотрении пластические свойства поликристаллического агрегата выводятся из свойств и закономерностей пластического деформирования монокристаллов, соответствующих зернам материала. Свойства отдельного зерна и соответствующего (макроскопического) монокристалла считаются идентичными. Физическим механизмом деформирования зерна является сдвиг в определенных кристаллографических системах скольжения. Решается краевая задача деформирования поликристалла как составного тела. Большое распространение получили методы компьютерного моделирования структуры поликристаллических тел с последующим решением для них краевых задач численными методами. Для зерен-монокристаллов используются различные модели пластического деформирования. В англоязычной литературе это наиболее часто применяемый подход в исследовании пластичности поликристаллов. Соответствующее направление получило название вычислительной кристаллической пластичности (Computational Crystal Plasticity). Разработано много вариантов этого метода, опубликованы многочисленные обзоры [1-5]. Метод вычислительной кристаллической пластичности позволяет проследить эволюцию деформирования индивидуальных
зерен, что особенно важно в проблемах высокоцикловой и гиперцикловой усталости, где зарождение усталостных повреждений происходит в результате накопления малых пластических деформаций в отдельных зернах. Очаги повреждений возникают в специфически ориентированных зернах, окруженных характерной микроструктурой. Эти зерна получили название «мягкие зерна», а микроструктуры - название микроструктурных экстримов или экстремальных микроструктур [6, 7, 8]. Для поиска таких микроструктур применяют различные вычислительные и экспериментальные методы [9, 10, 11]. Вероятность образования экстремальных микроструктур весьма мала, но они являются причиной большого разброса усталостной долговечности [12] в режимах сверхвысокоцикловой усталости. Вычислительный поиск случайно образующихся экстремальных структур методом компьютерного моделирования практически невозможен ввиду необходимости генерировать колоссальное количество моделей.
На микроскопическом уровне используются дискретные или континуальные модели отдельных дислокаций и их взаимодействий [13]. Для связи микроскопических параметров, применяемых на этом уровне, с макроскопическим пластическим откликом вводятся дополнительные модельные соображения.
Все три вышеупомянутых подхода активно развиваются многочисленными научными школами в теории пластичности. В настоящей работе используется мезо-скопический уровень рассмотрения проблемы пластического деформирования поликристаллов. Для решения краевых задач упругопластического деформирования моно- и поликристаллов развивается новый метод, основанный на теоретико-полевом подходе к проблеме деформирования неоднородных тел.
1. Краевая задача упругопластического деформирования поликристаллических тел в теоретико-полевой формулировке
Рассмотрим произвольное неоднородное упруго-пластическое тело. Пусть етп (г) - тензор полной глобальной неоднородной деформации в теле; ит (г) -полный неоднородный вектор перемещений. Будут рассматриваться только малые упругопластические деформаций, так что полные деформации и перемещения связаны соотношением
ит (г)=ит (г)+ит (г).
Будем использовать деформационную теорию пластичности. Определяющие соотношения для всего тела запишем в виде
О.. (?) = С.. (?)е (?),
. V У утпV у тп V У >
где Сутп (г) - глобальный тензор секущих модулей упругости. Секущий модуль зависит не только от координат, но и от текущего значения тензора деформаций. Однако для краткости эту зависимость явно не будем указывать, но всегда подразумевать. Считаем тензор секущих модулей обладающим обычными свойствами симметрии по перестановкам индексов:
е.. (?) = С .. (?) = е.. (?) = е.. (?). (3)
утпУ у тп. У у .1тпУ у .пт \ У \ У
Будем рассматривать только макроскопически изотропные тела. Это означает, что осредненный по объему
тела тенз°р С .тп (?)
— iC.. (r)dr =(C.. >
V j ijmn^ J \ ijmn'
(4)
однороден и изотропен, то есть представим в виде
. > = 3< К >. + 2<Д>А,.тп, (5)
где Уутп и Оутп - шаровая и девиаторная части единич-
ного тензора 4-го ранга
1
. = 2(§Л 5. + 5¡1 5. ) '
где 5И - символ Кронекера, а (К> и (Д> - осреднен-ные по объему тела модули объемного сжатия и сдвига.
Для получения искомых уравнений теоретико-полевого подхода поставим две краевые упругопласти-ческие задачи в традиционной дифференциальной форме. Первая задача для неоднородного упругопластиче-ского тела, не обязательно поликристаллического, с кинематическими граничными условиями имеет вид
о., j (r) + f (Г) = 0,
О .. (r) = C.. (r)e (r),
ij V ' ijmn V J mn^
. (rJ)|r = Vi(r).
(6)
1
£ (r ) = — (u (r ) + U (r )) ,
mny У ^ m,n V У n,m V У У '
(1)
где ит п (г) - градиент перемещений.
Для деформаций и векторов перемещений считается справедливым аддитивное разложение на упругие и пластические части:
£ mn (r) = С (r) + £ t (r)
(2)
Здесь Г - внешняя поверхность тела; ^ (г) - заданные перемещения на поверхности тела.
Разлагаем тензор секущих модулей на осредненную по объему тела и флуктуирующую составляющие:
Cijmn (r ) ^^ ijmn > + Cijmn (r ) .
(7)
Осредненный тензор (С.тп > не зависит от координат, но зависит от осредненной макродеформации тела.
Осредненная макродеформация является в данном контексте внешним параметром и не затрагивает структуру уравнений (не участвует в дифференцировании по координатам). Уравнения равновесия в (6) примут вид
<С,и >, (Г) + [С]м (г К, (г)],, + £ (г) = 0 . (8)
Введем функцию Грина С, (Г) для однородного уп-
ругопластического тела с осредненным тензором секущих модулей упругости посредством уравнения
{CiJkl )Gjkm,jl (r - r' ) + 5,m 5(r - r' ) = 0.
(9)
Для большого тела за решение (9) можно взять функцию Грина для неограниченной среды, обращающуюся на бесконечности в ноль. Для нахождения ее вида поступим так же, как это делается для упругой задачи [14]. Перейдем в (9) к образам Фурье-переменных по формулам
1
Gm (?) = i Gm (q dq ,
S(r) = 8П3 i'
■wdq .
Однородный тензор <Cijkl) не зависит от координат и не подвергается Фурье-преобразованию. Для Фурье-образа функции Грина Gim (q) получается уравнение
(Сум )qjqfikm (q) = Sim >
по форме совпадающее с аналогичным уравнением для функции Грина упругой задачи [14]. Поэтому для среды
с однородным изотропным тензором (Cijkl) типа (5)
искомая функция Грина
G'm (Г) = 2 - X) Sim + xnn ], (10)
Умножим уравнение (8) на Ст (Г - г') и просуммируем по , одновременно переобозначив аргумент г ^ г':
<С,н >СС1т (Г - Г')ык , (г') +
+ [С'т (гК,1 (г)],, Стт (г - г' ) + £ (г )Стт (г - г') = 0.
Уравнение (9) умножаем на и 1 (Г) и также суммируем по :
<С,н >Скт1Т (г - г')и (г' ) + 8тДг - г' )и (Г') = 0 .
В первых членах последних двух уравнений распространим производные по х' на все сомножители,
вычтя соответствующие члены:
д
[«] >Ст (г - г' К, (г')] --<ст СтА? - г')ик1 (г') + + [С^ (г К,, (г)],, Ст (Г - г') + £ (г')Ст (г - г) = 0, (12)
■X [«] >ССтг(г - г ')и (г ')]-
- С т >Окт,г (г - г' )ии (г' ) + 5(г - г' )ит (г' ) = 0. (13)
В уравнениях (12) и (13) свободный индекс т, немые индексы (по которым производится суммирование) можно переобозначать. Сделав во вторых членах (12) и (13) замену ] о к1, можно видеть, что они одинаковы. Вычитая из (12) уравнение (13) и применяя теорему Гаусса для объемного интеграла от первых членов (с дивергенциями), получим
Кт (г) = <С ]к1 >§ [Ст (г - гК,, (г ) - Сы/ (г - гК (?' )] X
Г
X Ж, +1[ с,и (Г'К, (г)]] ССтт (г - г' +
V
+1 £ (Г)Ст (г - Гур. (14)
где nt =—— единичный вектор вдоль направления ра-
диуса-вектора r , ах =
3(K ) + <(1)
упругопластиче-
3<К > + 4<(т >
ский материальный параметр. Выражение (10) внешне совпадает с упругой функцией Грина, если в последней формально заменить средние упругие модули на секущие <К> ^ <К>, <ц> ^ <Д>. Упругопластическая функция Грина зависит от осредненного тензора деформации как от внешнего параметра.
Производные функции Грина обладают очевидны-
ми свойствами:
Gkm, jl (Г - Г') = Gkm, jl (Г - Г) = Gkm, jl (Г - Г Gkm,j (Г - Г') = -Gkmj(T - Г' ).
Уравнение (14) есть интегродифференциальное уравнение для глобального вектора перемещений ит (Г) в рамках деформационной модели пластичности неоднородного тела.
Вторая краевая задача ставится для однородного упругопластического тела с осредненным тензором секущих модулей. Вектор перемещений для этого тела
отметим звездочкой ит (г).
Уравнения равновесия в перемещениях и граничные условия для этого тела
<Cvkl )u'kJl (r) + f (r) = 0,
ui(r)|г = Фi(r)
(15)
где ф,. (Г) - заданные перемещения на поверхности тела для второй задачи.
x
r
Вводим для этой задачи функцию Грина, совпадающую с функцией Грина в уравнении (9):
>6^ (? - ?' ) + 5.т5(? - ?' ) = о . (16) Умножаем (15) на От (г - г') , а (16) на и* (г'): >6тт (? - ?' К. (?' ) + (?' Ат (? - ?' ) = 0,
+ Íd7[(fк,¡ (r')] -дЦт (r - f)dr'. (22)
дх'
Ck (Г - r)u* (Г) + 5,.m5(r - r)u* (Г) = 0.
(17)
ные:
Уравнение (22) неудобно тем, что содержит (в случае микронеоднородных тел, например поликристаллов) производную от быстроосциллирующих или даже разрывных функций С\ИН (г'). Чтобы уйти от этих производных, применим прием, впервые использованный И.М. Лифшицем в статье 1946 г. [16]. Заменяем функции С\ИН (г') пробными, совпадающими с исходными
везде, кроме узких областей вблизи границ зерен, где пробные функции непрерывны и дифференцируемы, что устраняет неопределенности с производными. Вно-
- ' . д ~ -(Сна >СшГ (г - г')ик1 (г') + / (г')Отт (г - г') = 0, (18) сим-Отт (г - г') под знак первой производной (чтобы
. ^ • дхп
получить полную дивергенцию) и одновременно вычитаем соответствующее выражение:
Переписываем систему (17), комбинируя производ-
дХ
7[(C¡jU )G¡m (r -r' )u'kJ (r')]-
~p~T [«j )GmAr - r')uk(r')]-
дх'
- (Са >Оы/ (? - ?' )и*. (?' ) + 5(? - ?' )и'т (?' ) = 0. (19)
Снова замечаем, что вторые члены в уравнениях (18) и (19) одинаковы. Вычитаем из уравнения (18) уравнение (19), интегрируем по г' по объему тела, применяем теорему Гаусса для членов с дивергенциями и получаем интегродифференциальное уравнение для перемещений в однородном теле
и'т (?) = (Ст >$ [От (? - ?' )ик,1 (?' ) - Оы/ (? - ?' )ик (?' )] X
xdSj,+J f (r)Gmm (r - r )dr'.
V
(20)
Если выбрать граничные условия для уравнений равновесия (8) и (15) обеих задач одинаковыми, то поверхностные интегралы в интегродиффреренциальных уравнениях (14) и (20) совпадают. Вычитая одно уравнение из другого получаем
ит (?) = и'т (?) + /[С^ (?')ии (?')] (? - ?)йТ. (21)
Это интегродифференциальное уравнение для полного вектора перемещений ит (г) в неоднородном уп-ругопластическом теле. Влияние граничных условий на решение перенесено в задачу для перемещений и'т (г) в однородном теле. Решение однородной задачи можно считать известным (это классическая задача деформационной теории пластичности однородного тела). При
этом само решение ит(г) может быть неоднородным. Таким образом, как и в упругой задаче [15], уравнение (21) разделяет влияние на решение граничных условий и неоднородностей тела.
Дифференцированием (21) по г переходим к градиентам перемещений:
и (г) = и (г) +
т,п V ' т.п V '
"i" J дХ
дХ
vUXj
u (r) = u (r) +
m,n V ' m,n V '
CL (f )uk ,¡ (r') -4- Gmm (r - f )
dx„
dr -
i C'vkl (f )ukJ (r ) - dx^dX" Gm (r - r' W . (23)
В последней производной в (23) замечаем, что
52
dx'J дхп
Gmm (г - г') = -
52
dxj дхп
G¡m (Г - Г ). Преобразуя пер-
вый объемный интеграл в поверхностный, получаем еще одну форму интегрального уравнения:
um,n (Г) = um,n (Г) + Ф Cjk! (Гu J (Г) - Gimn (Г - Г)dSj +
+i C'm (Г )uu (Г' ) - GimJn (Г - f drr .
(24)
Уравнение (24) не содержит производных от разрывных функций, и в нем можно вернуться к исходным бы-строосциллирующим и разрывным функциям C¡Jk¡ (Г).
Уравнение (24) предпочтительнее для микронеоднородных тел. Для них в поверхностном интеграле стоит произведение быстроосциллирующей около нуля функции C'iju (Г ) на гладкие функции. Поэтому по любому достаточно большому участку поверхности тела (для поликристалла много больше площади сечения зерна), а значит, и для всего тела интеграл обращается в ноль.
Получаем искомое точное для больших поликристаллических (или микронеоднородных) тел уравнение для градиентов деформаций
um,п (f) = «m,n (r) + i C'm (f u,¡ (r') - G ¡mJn (r - r')dr'. (25)
V
Уравнение (25) отличается от соответствующего уравнения для упругого случая [15] формальной заме-
ной тензора модулей упругости на тензор секущих модулей. В этом удобство использования секущих, а не касательных модулей, применяемых в инкрементальной формулировке задач пластичности, в контексте развиваемого метода. Инкрементальная формулировка позволяет решить более широкий круг задач пластичности (хотя не все задачи пластичности решаемы этим подходом; например, задачи пластической устойчивости точнее решаются в деформационной формулировке). Однако инкрементальные уравнения сложнее, а методы их решения трудоемки.
Производя в (25) симметризацию по индексам т и п, переходим к уравнению для тензора полных деформаций
Е тп (г) = С (г) 8тП] (г-?')С]м (Г>И (ГУГ' , (26)
V
где §тп] (Г) - модифицированный тензор Грина упру-гопластической задачи для однородного тела,
§тп] (Г ) = 1 (ССШ,]п (Г ) + С ш,]т (Г)) . (27)
Уравнение (26) является исходным для последующего анализа. Для исследования деформаций в отдельных зернах представим глобальный тензор секущих модулей и глобальный тензор деформаций в виде суперпозиции локальных тензоров с помощью индикаторных функций (равных единице внутри зерна и нулю вне его):
Стп (г) = Е )] (г),
5=1
М
е ] (Г) = Е )е®(г ),
5=1
(28)
(29)
где С]^ - однородный тензор секущих модулей 5-го зерна (рассматриваемого как монокристалл) в глобальной системе координат; е®(г) - полная мезодеформа-
ция 5-го зерна; М - полное число зерен в поликристалле (макроскопически большое число).
Подстановка разложений (28) и (29) в (26) приводит к системе интегральных уравнений для мезодеформа-ций е® (Г5 ) в зернах:
^(Г) = е* +
М
+Е1 (г5 - ю [(ст (г')-<СмтП >)] Етп (г'). (зо)
п =1 ш„
В уравнениях (30) интегралы под знаком суммы отражают неупругое взаимодействие деформаций. В нем удобно выделить в отдельное слагаемое внутризеренное взаимодействие в рассматриваемом 5-м зерне:
е(5)(Г ) = е*] +
+ | ЛГ'] (г5 -г') [(С®, (г') <Ск1тп >)] Ет5) (г ) +
Ш5
+ЕI (?5 - г') [(ст, (Г) - <Ск1тп >)}т) ю. (31)
Система (31) содержит макроскопически большое число уравнений для деформаций во всех зернах. В теоретическом отношении интерес представляют как решения для каждого зерна (мезодеформации и мезонап-ряжения), так и осредненные по объему тела макронапряжения. Последнее, будучи найденным, дает макроскопические определяющие соотношения. Ключевым в уравнениях (31) является концепция неупругого взаимодействия деформаций.
Для решения уравнений (31) с учетом взаимодействий применяем теорию возмущений по межзеренному взаимодействию [17], отнеся внутризеренное взаимодействие деформаций к нулевому приближению. Разложение решения в бесконечный ряд суммы поправок всех порядков
Е®^) = е(°)(5)(Г) + Е^ЧГР + +Е^Чг)+Е^Чг)+...
(32)
дает бесконечную (точную) систему уравнений для поправок:
„(0)(5)
,,(1)( 5)
,(2)(5)
~(3)(5)
(Г5) -I^ ] (Г - г? )СтП Г') = Е*,
Ш5
(Г?) -1^ ] (г5 - г?)скт еЦ;)(5)(Г) =
Ш?
Е1 (г? - оом^г ),
(г?)-1^ (г -Г5')Ск,(5П е^5)ф =
Ш5
= ЕI ^ (Г - МП еЦ;,(л) (Г,'), (зз)
пШп
(Г5)-I л^«(Г -г^отш=
Ш5
= Е1 (Г -ост, Е^Ю,
и т.д. ,
где С,5) = (Г) - <С]И > - отклонение секущего модуля 5-го зерна от макроскопического осредненного модуля.
Для приближенного решения системы уравнений (33) применим кусочно-постоянную аппроксимацию для мезодеформаций. Таким образом, осуществляется дискретизация континуальной краевой задачи.
Ограничимся пренебрежением неоднородностями мезодеформаций внутри отдельных зерен. Тогда все
п
поправки в (33) становятся постоянными числами, и для них получается система алгебраических уравнений
Г/ - В]е(°>® = е*
[.к! иЦк1 ^ к!
э(4п)С(0)(п) ijkl bkl
[J -в(44) 1 р®® -У В(i; jkl и ijkl J fc kl ~ п ijk
П
[j - j ] 42)(Э-У в^Г, (34)
n#4
[ J - B (
_Jjkl nij
,(44) ]c(3)(4) = yp(4n)c(2)(n)
n *4
'ijkl ] С k/"' -У Bjk" С kl
и т.д.,
где
ВШ - | (? -?)(С^п-(Ст>) - (35)
тензорные коэффициенты, зависящие от конфигурации структуры поликристалла.
Микроструктура поликристалла задается совокупностью коэффициентов В Ш . Каждая строка в (34) есть
в действительности подсистема из шести уравнений.
Введем новый тензор, обратный тензорному выражению в квадратных скобках в (34),
A (44) =[ J - В«4) ]' .ijkl — |_J ijkl ijkl J •
(36)
Вычислительные эксперименты с зернами-монокристаллами различных сингоний и всевозможных случайных ориентаций кристаллографических осей зерен в
поликристалле (от этого зависят коэффициенты В.!®)
показали, что такое обращение всегда возможно. Для практических вычислений система (34), тензор (36) и аналогичные выражения ниже записываются в матричном виде. Например, тензоры Д(кР и В.^ заменяются
на квадратные матрицы Др и В®9 размерностью 9х9.
Используя симметрию введенных тензоров по перестановке индексов первой и второй пары, можно сократить ранг матриц до 6х6. Матричные операции выполняются численно с помощью стандартных современных пакетов программ для решения задач линейной алгебры.
С введением тензоров (36) система (34) перепишется так:
е(0)(5) = Д(44)е* ~ .к! °к1 '
,(!)(4) = V A(4n)p(0)(n)
'-Ij ~ / : jkl ^kl :
n#4
С(2)(4) = V A(4n)p(1)(n) j jkl kl
С(3) (4) = V A(4n)c(2)(n)
Ь ij ~ / : ijkl t-kJ ■.
n
и т.д.,
(37)
где введен еще один тензор
ДШ - [/. -В«4) ]-1 в^, = дтВ^пк/. (38)
.к! [ .тп .тп I тпИ .тп тпИ '
Сложив все уравнения в (37), получим уравнение, связывающее полные деформации во всех зернах,
С (4) = 2(44)С* + V A(4n)c(n) ij ijkl kl ijkl kl ■ n#4
(39)
Из последнего уравнения видно, что тензор Д<к> описывает взаимодействие упругопластических деформаций в !-м и п-м зернах, а ДШ1 -
внутризеренное
взаимодействие.
Система (34) нелинейная, так как коэффициенты
В.
(4n)
зависят от искомой полной деформации и мезо-
деформаций. Таким образом, каждая подсистема в (34) и система в целом являются нелинейными алгебраическими. Они решаются методом последовательных итераций. Применен следующий алгоритм вычислений. Задается фиксированное значение макродеформации ги . На первой итерации все секущие модули полагаются равными упругим модулям. Численно находятся коэффициенты В(тП в левых частях уравнений с этими
модулями, и решается линеаризованная система (34). Полученное решение принимается за нулевое приближение. На следующем шаге по найденному нулевому приближению для мезодеформаций уточняются (перевычисляются) значения секущих модулей по формулам из подразд. 2 настоящей статьи, уточняются все коэффициенты в левых частях уравнений, снова решается линеаризованная система. Процесс продолжается до достижения стационарного состояния с требуемой точностью. Вычислительные эксперименты показали, что такой алгоритм дает устойчивое решение с точностью не хуже 1 % не более чем за десять итераций. Алгоритм реализован в среде Java для высокопроизводительной настольной платформы.
Значение мезодеформации в фиксированном по форме и ориентации зерне зависит от взаимодействия с окружающими зернами. Интенсивность этого взаимодействия (при фиксированных формах и размерах зерен) зависит от взаимной ориентации кристаллографических осей взаимодействующих зерен и расстояния между ними. В определенных конфигурациях это взаимодействие максимально. При анализе локализованных критических явлений эти конфигурации микроструктуры представляют значительный интерес. Им соответствуют экстремальные флуктуации в фиксированном зерне, которые ведут к инициации разрушения в таких зернах. В приложении теоретико-полевого подхода к упругопластиче-скому деформированию поликристаллов ограничимся анализом таких экстремальных состояний на начальных этапах пластического макродеформирования при малых макроскопических пластических деформациях.
Таякктоу А.А., 8ксп>яИикоу КВ. /РМЯРиМвсНап1сз ВиШт 4 (2019) 175-190
Структура левых частей всех уравнений в системе (34) одинакова. Нужен единственный код решения системы нелинейных уравнений размерностью 9х9 или 6х6. Последовательным применением кода сначала для первого уравнения (поправки нулевого порядка), а затем для всех остальных, подставляя в правые части решения для предыдущих поправок, можно получить решения формально с любой точностью.
Для практического решения уравнений (34) необходимо задаться моделью деформирования одиночного зерна-монокристалла и исследовать сходимость процедуры последовательного нахождения поправок. Кроме того, нужно оценить минимально необходимое число взаимодействующих зерен, входящих в правые части уравнений. Оно связано со скоростью уменьшения интенсивности взаимодействия при увеличении расстояния между зернами.
2. Модель упругопластического деформирования монокристалла зерна
В работе принимается, что единственным физическим механизмом пластической деформации является скольжение по кристаллографическим плоскостям с наибольшими плотностями упаковки атомов в решетках монокристаллов. Скольжение происходит в соответствии с законом Шмида: скольжение наступает при превышении разрешающих напряжений критических значений в каждой системе скольжения. При этом предполагается, что при наличии упрочнения рост (инкремент) разрешающих напряжений превышает скорость (инкремент) роста критических разрешающих напряжений в активных системах скольжения.
В этом параграфе все величины относятся к кристаллографической системе координат 5-го зерна.
Пусть зерно-монокристалл подвергнут однородной пластической деформации, так, что в некоторых системах скольжения произошли пластические сдвиги. Будем нумеровать системы скольжения в монокристалле индексом §. Пусть п § - нормаль к плоскости скольжения системы §, а т§ - направление скольжения в этой системе. Ориентационный тензор Шмида системы § имеет вид
Я§ = — (п§т§ + п§т§). ] 2 1 ] ] 1
(40)
Если обозначить величину скольжения в системе § как у§ , то пластическая часть полной деформации в 5-м зерне представима в виде [18]
^(5) = Е Я§ У §
(41)
где N - количество систем скольжения.
Уравнение (41) можно разрешить относительно у § . Умножим обе части на Я§§ и просуммируем по индексам . и ]:
Я§Ер1 (5) =Е Я§Яку" .
V V ¿—¡V V '
Выражение (42) есть система линейных уравнений относительно N неизвестных у§. Введем квадратную матрицу в пространстве индексов систем скольжения, которые пишем в верхнем положении (в отличие от «координатных» индексов - индексов ортов систем координат, записываемых внизу):
П§" = Я§Я" .
^ V V
(43)
Тогда имеем
и решение
Е е§" у" =я§ е
р! (5) ]
У" =Е Е
§=1
р! (5) ]
(44)
где обратная матрица 0_§ определяется соотношением
N
Е Фе* = §"£,
§=1
а 5§" - символ Кронекера по индексам систем скольжения.
Можно выразить сдвиги у § через полные деформации с помощью условий скольжения т§ = т§г ^ условий), выраженных через деформации у § . Для этого уп-ругопластические определяющие соотношения деформационного типа запишем в двух вариантах:
^ = С$(е)е2 )
т(5)
= С(5) /Е(5) - Ер!(5)\ _ ]к! у к! к! ) ■
(45)
(46)
где С]) и С]) - тензоры секущих модулей и модулей упругости соответственно.
Разрешающее напряжение сдвига т§ в системе скольжения § связано с тензором напряжений в зерне соотношением
т§(5) = Я§ а® .
Подставляя в (47) формулы (46) и (44), имеем
(47)
т§(5) = Я§0(5) = ЦС$(Е<*> -ЕЯ"у"). (48)
"=1
Если система скольжения активна, то для нее должно быть
т® = т°
(49)
и
или
т = —т
если т§, находимое по т§(5) = Я§ а® .
(50)
отрицательно.
Здесь т§г - критическое разрешающее напряжение Шмида в системе скольжения §. Кроме того, при наличии упрочнения должно выполняться дополнительное условие для инкрементов
dTg > dT g
(51)
иначе деформирование будет продолжаться упруго.
Ниже для краткости временно опускаем индекс зерна 5, но все выражения относятся к конкретному зерну.
Предполагаем линейный закон упрочнения, который запишем в виде
Tgr = т 0rg + Z Hgh Yh = £
Y g
'+ H
gh
(52)
где тгг - начальное значение критического напряжения; Н§" - матрица упрочнения.
Подставляем (48) и (52) в условие скольжения (49):
т§ = Я§С]к! (ЕИ -ЕЯ"у" ) =
N
= =Е
сг / . "=1
Переписываем (53) так:
§ + Hgh
Yg gh
Yh.
(53)
z
У §gh+Hgh + Rjh
Yh = RfC«eи . (54)
Выражение (54) есть система NxN нелинейных (так как коэффициенты - квадратные скобки - зависят от у")
уравнений относительно у". Формально преобразуем ее с помощью матричных операций. В квадратных скобках в (54) стоит квадратная матрица. Обозначим эту матрицу Р§",
Pgh §gh + Hgh + RgCiiyR,
Y
'ij ijkl kl
(55)
и перепишем (54) в кратком виде, используя общепринятое правило суммирования по повторяющимся индексам:
Р§"у" = Я§С]Иеи . (56)
Если ввести матрицу Р_§", обратную Р§",
Р_§"Р% = 5 §1, (57)
то получим формальное решение системы (56) для у § в виде
Yg = V PghRhC e = PghRhC I Z^ —1 j jklbkl - 1 — 1
eH.
ijkl kl
(58)
Уравнение (58) выражает пластические сдвиги в активных системах через полную деформацию, содержащую упругую и пластическую части. На самом деле (58) не решение, а новое уравнение, так как правая
часть зависит от у § через матрицу Р_§".
С помощью (58) получим связь пластической части деформации с полной деформацией:
ep й) =Z Rg Yg =
g=1
= Чг Rg pghRhC®e® = Rg pghRhC® _ /Vr— 1^ij^-ijMbM - 1 -Kij^ijkl
e(5) fc« •
(59)
Возвращаемся к закону Гука (46) и подставим в него (59):
N
а® = «) - С® ЕЕ Я^^^Я^СК)4) . (60)
§ ,"=1
Сравнивая (60) с определяющим соотношением уп-ругопластического деформирования (45), получим выражение для тензора секущих модулей зерна в кристаллографической системе координат кристалла
N
Ci = C® — с® Z R*0P—gh(X(0C®. (61) ;,h=1
Уравнением (61) завершается построение модели упругопластического деформирования монокристалла-зерна в рамках деформационного подхода. Уравнение (61) для секущих модулей по структуре аналогично уравнениям для касательных модулей в инкрементальном подходе, полученным в ряде работ [19-22]. Однако инкрементальные уравнения для деформаций более сложны в решении и в упомянутых работах практически не решаются. Вместо этого применяют различные схемы самосогласования [23, 24] .
Зависимость секущего модуля от полной деформации сосредоточена в матрице Р§" через у § и уравнение (58). Эта зависимость, несмотря на внешнюю простоту (61), весьма сложная и нелинейная.
Формула (61) справедлива, если хотя бы одна у §
отлична от нуля. Иначе С]5 = . Это следует из того,
что при всех у" = 0 становится несправедливым исходное соотношение (54), в котором левая часть обращается в ноль, а правая нет.
В уравнении (61) содержатся тензоры с обычными пространственными индексами (ук!) и матрицы по индексам систем скольжения (§"). Уравнению (61) можно придать характерный для уравнений квантовой теории взаимодействующих полей «перенормировочный» вид [25]:
C ю = с ® — с ®г® с®
ijkl ijkl ijrs rskl rskl '
(62)
h=1
где
45) _
= X я^Р
г, "=1
г (!) р ®"(Ющ"(Ю
■и
(63)
обычный тензор. Пластические деформации эквивалентны наличию дополнительных фиктивных объемных сил [26, 27]. Можно сказать, что эти силы трансформируют («перенормируют») упругие модули в секущие, а Г^ есть перенормирующий множитель, зависящий от полной деформации. В квантовой теории взаимодей-
ствие полей описывается величинами типа
Г(5) 1__1,1
в ла-
гранжиане, а система взаимодействующих полей сводится к невзаимодействующим полям, но при этом перенормируются свойства полей по формулам типа (62).
Идентификация матриц упрочнения для конкретных материалов по экспериментальным данным весьма проблематична. Представляется интересным рассмотреть случай пренебрежимо малого упрочнения и независимости систем скольжения. В этом случае сдвиги в плоскостях скольжения упруго-идеально-пластические. Тогда условие для инкрементов выполняется тривиально, а условия скольжения (49) в системах запишутся так:
т® = Я® О® = ЦС^ (еи-X < /) = т®
"=1
® = 1, 2,... N.
(64)
В (64) отдельные у" могут быть положительными или отрицательными, соответственно, они могут давать уменьшающий или увеличивающий вклад (с учетом умножения на тензор Шмида) в разрешающее напряжение т®. Переписываем (64) в виде системы линейных уравнений для у® :
N
Х.Х]/ = ЩС^еы -тСг. (65)
"=1
Решение для у® записываем по аналогии с (54) в виде
N
1® =ХР-1 (яХнеи -т")-Р® (ЩС^ -т"), (66)
"=1
в котором матрица Р г" имеет простую в сравнении с (55) форму:
Р®" = я®С я" 1 - ■
(67)
Геометрический смысл (66) проясняется, если рассмотреть формально случай всего одной плоскости скольжения без упрочнения и в ней одного направления
скольжения. Тогда матрица Р®" упрощается:
Р®" = ЯЦСциЯк®5®" (по индексу г нет суммирования),
и обратная матриц легко находится:
Р=-
1
1 я®С я®
а для сдвигов получается простое алгебраическое выражение
Г
ЯgеiJk1ЯИ
1 п® (ЯУС«к1 ек1 тСг ) .
Легко показать, что ЩС Цк/Як® = С'птпт - сдвиговая
компонента тензора модулей упругости в системе координат с ортами п®, т®, [п® х т® ] в плоскости п® -т® ,
ЩС иеи = те'с'"с - формально упругое разрешающее сдвиговое напряжение в плоскости п® -т® ; и получаем у® = —^— (те1с"ас - т®г). Это - закон Гука для сдвига
Сптпт
в плоскости п® -т® .
Каждое слагаемое в круглых скобках (66) имеет смысл, если в данной системе "
Щ"С ЦПек/ — тсг ■
(68)
тогда конкретный вклад в сдвиг у® положителен, или если выполняется условие
ЩС ЦИек! — тсг ■
(69)
то соответствующий вклад в у® отрицателен и (66) надо писать в виде
N
1® =х Р-®" (ЩС.^ - т")-Р® (ЩС.^ + т"). (70)
"=1
В диапазоне полных деформаций (для каждой системы скольжения)
(71)
т" ^ Т?"^* о / т"
-тсг < Я .С .И и < тсг
надо полагать соответствующий вклад в у8 равным нулю.
Выражения (66) и (7°) можно объединить в единую формулу
N
у® =Х Р® (ЩСтеи - т")-
"=1
- Р® [КС иеи - й&ЩС Ие„) ]. (72)
При значениях полной деформации в диапазоне условий (71) выражения (66), (7°), (72) для пластических сдвигов неприменимы, они обращаются в ноль.
Для связи пластической деформации с полной получается выражение
N
еР = X ЩР®" (еи - sign(Ще .к!еи) • т"), (73)
® "=1
а закон Гука принимает вид (ниже снова вводим индекс зерна 5)
45)
= С®е(5) - С(5) V Я®(5) Р®'
®"(5)
х^с^^-к^сщ^)-т"). (74)
Его можно записать иначе, тождественно введя во втором члене полную деформацию следующим образом:
а(5) = С(5)е(5) - С(5) V Я§(5) Р§'
°У ]к1 к! ■'-1
§, "=1
- «§«( к) е)5 >) -
§"(5)
,(5) Л
-(5)
(75)
где 12 = е- второй инвариант.
Тогда для тензора секущих модулей зерна получается следующее выражение:
N
С(5) = С(5) - С(5) V Я§(5) Р§ "=1
§"(5)
Я^СК) ->)- т
,(5) Л
г" ьк
(76)
Из экспериментально идентифицируемых параметров в выражение для секущих модулей (76) входят только критические разрешающие напряжения в системах скольжения, в настоящее время измеренные для многих материалов.
Дальнейшие упрощения возможны, если ограничиться учетом лишь одной системы скольжения. Этот случай достаточно реалистичен. Например, в монокристалле чистого титана имеются три плоскости скольжения [28]: призматическая, базовая и пирамидальная, критические напряжения для которых соответственно равны 60, 120 и 120-180 МПа [29]. Так что при малых деформациях активируется только одна призматическая система скольжения. Кроме того, в поликристаллическом титане до макродеформаций 3 % при одноосном растяжении упрочнение практически отсутствует [30]. Наличие одной активной системы скольжения характерно для многих кристаллов с гексагональной плотно упакованной решеткой [31]. Ограничение учетом одной системы скольжения в таких анизотропных материалах представляется адекватным при рассмотрении критических явлений типа зарождения пластических сдвигов в отдельных зернах, имеющих место при малых макронапряжениях и макродеформациях поликристаллов.
В одной системе скольжения § при отсутствии упрочнения разрешающее сдвиговое напряжение по мере роста деформации линейно увеличивается до критического значения и далее остается постоянным:
т § = т §г, при у § > 0 . (77)
Условие скольжения (77) принимает вид
т§ = Я§®а® = Я§(°С®(Е(Р -Я*®у§) = т§®, (78)
откуда
ng(5)С(5)е(5) - т§(5)
у § = ^ Цк1ьк1 1сг
Я§ (5)С (5) Я§ (5) "у ]Ы к
(79)
Я§(5)С(5) е(5) - т§(5) Ер!(5) = Я§(5) Р1 рдг^п 1сг V V я§(5)С(5) Я§(5)
(К (Кут
Закон Гука принимает вид
С(5) Я§(5) Я§(5)С(5) а(5) = С(5)е(5) - уху^ХУ рд ^рг* е(5) +
я§(5)с(5) Я§(5)
С (5) Я§ (5)
-уху'~ху _т § (5)
Я§(5)С(5) Я§(5)
"(К
(81)
Учтем, что в (81) произведение Я^Ср^е® есть
скаляр (зависящий от деформации), а также скаляром является постоянный знаменатель, который обозначим через Ф:
Ф = я§(5)С(5) Я§(5) Поэтому (81) можно переписать в виде
(82)
1
а® = С (.М> -"у уИ к ф
т§ (5)
1 -
Я§(5)с(5) е(5)
рд рдгэ г
хС®Я*® -Я§К)С® - е)5>.
уху ху рд к!рд к
(83)
Отсюда получаем выражения для тензора секущих модулей в рассматриваемом случае:
С(5) = С(5) -
1
Ф
г§ (5)
1-
С5У я^ - . (84)
Я§(5)С(5) е(5)
Выражение (84) справедливо для деформаций |я§> | > т§®, в противном случае С) = С®.
3. Особенности упругопластического взаимодействия зерен и экстремальные микроструктуры
Упругопластическое взаимодействие деформаций разных зерен описывается коэффициентами тензора
ДУП0. Для каждой пары зерен тензор Д]^ имеет
36 компонентов. Свойства симметрии по перестановкам такие же, как для случая упругого деформирования [17]: тензор симметричен по перестановке индексов первой и второй пары, но несимметричен по перестановке пар индексов, что делает взаимодействие несимметричным относительно взаимодействующих зерен. Величина коэффициентов взаимодействия зависит от расстояния между зернами и ориентации их кристаллографических осей. Вычисления для различных типов зерен показывают, что зависимость от расстояния и ориентации осей зерен в упругопластическом случае подобна такой же зависимости для упругого взаимодействия [17]. Величина коэффициентов сильно зависит от упругой анизотропии зерен и достаточно медленно убывает с расстоянием между зернами.
и
X
+
X
Коэффициенты упругопластических межзеренных взаимодействий зависят от мезодеформаций в зернах, в отличие от чисто упругих взаимодействий, которые не зависят от деформированного состояния зерен [17]. Эту зависимость исследуем на примере двух соседних зерен титана кубической формы. Зерна расположим вдоль оси координат Х3. Оси гексагональной упругой симметрии обоих зерен направим вдоль оси Х3. В обоих зернах активны только призматические системы скольжения с вектором нормали плоскости скольжения п = (0,1, 0) и вектором направления скольжения т = (1, 0, 0) в выбранной системе координат. Зерна подвергнуты деформации простого сдвига в плоскости Х1-Х2, так что единственная ненулевая компонента деформаций в зернах е12. Для вычислений используем зависимости секущих модулей зерен от мезодеформаций по формулам (84), соответствующим одной активной системе скольжения. По вычисленным секущим модулям для заданной мезодеформации численно находятся коэффициенты Вт) по формулам (35), а затем Д®0 по формулам
(38). В таблице приведены вычисленные значения характерных компонент тензоров коэффициентов межзе-ренного взаимодействия - нормальных с нормальными (
Д(5П2) и сдвиговых со сдвиговыми (Д12) деформациями в зависимости от полных деформаций в зернах. Рассмотрены четыре возможных комбинации взаимодействий: упруго-упругое, упруго-упругопластическое, упру-гопластическое-упругое и упругопластическое-упруго-пластическое взаимодействия.
Зависимость коэффициентов взаимодействия от полной деформации в зернах
Interaction coefficients dependence on full strain in grains
£12 0 0,1 % 0,2 % 0,3 % 0,4 % 0,5 %
Упруго-упругое â^' > -103 -3,596 -3,596 -3,596 -3,596 -3,596 -3,596
Â^ 1 -103 6,754 6,754 6,754 6,754 6,754 6,754
Упруго-упруго-пласт. Â^';/ 1 -io3 -3,596 -3,663 -3,670 -3,628 -3,624 -3,610
Â(<e'12pl 1-103 6,754 10,708 22,159 25,915 27,855 28,955
Упруго-пласт.-упругое A(p2'2-el1-103 -3,596 -3,589 -3,645 -3,703 -3,658 -3,686
Д(2р'2-е'1-103 6,754 7,372 9,561 10,440 10,956 11,219
Упруго-пласт.-упруго-пласт. A?2-pl -103 -3,596 -3,595 -3,598 -3,626 -3,646 -3,656
Âiû.p' -103 6,754 11,723 31,442 40,127 44,988 47,849
Из таблицы видно, что интенсивность взаимодействия двух пластически деформированных зерен кратно выше, чем тех же двух упругодеформированных (при полной деформации 0,5 % более чем в 7 раз). Взаимодействие двух по-разному деформированных зерен несимметрично. Действие пластически деформированного зерна на упругое в среднем в 2,5 раза интенсивнее действия упругодеформированного зерна на пластически
деформированное. Это означает, что пластически деформированное зерно при росте макродеформации оказывает возрастающее влияние на соседние упругие зерна, способствуя развитию в них пластических деформаций. Таким образом, локально возникшая в одном зерне пластическая деформация быстро распространяется на соседние зерна, способствуя делокализации очагов пластического деформирования и гомогенизации мезоде-формаций.
Очаги пластических деформаций возникают в специфических кластерах зерен, в которых флуктуирующие поля деформаций принимают экстремальные значения. Разработанный формализм позволяет находить такие кластеры в случайной микроструктуре поликристалла при различных типах макронагружения, одноосных и многоосных, и исследовать эволюцию деформированного состояния зерен в кластере при увеличении макродеформации всего поликристалла. Для вычислительного поиска нужно сгенерировать большой ансамбль случайных микроструктур поликристалла, решить для каждой реализации микроструктуры из ансамбля краевую задачу деформирования и выбрать микроструктуру с экстремальными деформациями в каком-либо выбранном зерне.
Рассмотрим кластер зерна размером 3х3х3, погруженный в осредненную среду остальных зерен поликристаллического титана (рисунок, слева), и найдем конфигурацию микроструктуры, приводящую к максимальной деформации в центральном зерне кластера. Хотя в таком кластере взаимодействуют только ближайшие зерна-соседи (для кубических зерен одинакового размера число ближайших соседей центрального зерна равно 26), то все равно ясно, что нужно сгенерировать неимоверно большое число случайных конфигураций микроструктур кластера и решить для каждой такое же число краевых задач, из решений которых выбрать экстремальное. Аддитивность предлагаемого подхода позволяет сократить объем необходимой вычислительной работы на много порядков. Достаточно найти экстремальную ориентацию каждого зерна-соседа по отдельности. Решить для него «парную» краевую задачу, а затем сложить результаты решений «парных» задач для всех соседей.
Рассмотрим для примера еще раз макроскопический сдвиг поликристаллического титана в плоскости Х1Х2 с учетом только одной призматической системы скольжения и без упрочнения. Без учета межзеренных взаимодействий максимальные разрешающие сдвиговые напряжения генерируются в зернах, в которых плоскость пирамидального скольжения параллельна плоскости Х1Х3 . Это зерна предпочтительной в отношении пластического деформирования ориентации, мягкие зерна [6, 8]. В нашем подходе этому соответствует нулевое решение по межзеренному взаимодействию - решение первого уравнения в (34). Фиксируем в качестве такого «мягкого зерна» центральное зерно кластера.
Хз
Xi
Х2
А
1 *
А
1 ♦
А
1 ♦
А
А ♦
1
А *
Рис. Ориентации зерен в экстремальном кластере Fig. Grains orientations in extreme cluster
Взаимодействие с соседями увеличивает деформацию в мягком зерне. Поправки от взаимодействия даются правыми частями уравнений в (34). Величины добавок зависят от ориентации кристаллографических осей взаимодействующих зерен. Разработанный алгоритм для заданной макродеформации находит ориентации соседних зерен, дающие максимальные вклады, на большом массиве ориентаций и визуализирует эти ориентации. Найденная структура экстремального кластера, приводящая к максимальному значению сдвиговой деформации в центральном зерне при макродеформации сдвига е*2 = 0,2 %, показана в правой части рисунка. Кластер образует симметричный паттерн. Для наглядности зерна разделены на три слоя, параллельные плоскости сдвига, и условно разнесены. Обоюдоострые стрелки изображают оси гексагональной упругой симметрии зерен, а их наклон имитирует углы, образуемые этими осями с осью Х3 системы координат в экстремальной конфигурации.
Проследим эволюцию деформирования двух исследуемых взаимодействующих зерен - центрального зерна и зерна в зените кластера.
Вычисления по разработанному алгоритму решения систем уравнений (34) для мезодеформаций в первом порядке теории возмущений (чему соответствуют первые два уравнения в системе) с учетом взаимодействий всех зерен в кластере дают следующие результаты.
До макродеформации е*2 = 0,085 % все зерна кластера деформируются упруго. При этой макродеформации мезодеформация в центральном зерне кластера е(центр) = 0,113% (на 33 % больше макродеформации),
а разрешающее сдвиговое напряжение в призматической системе скольжения сравнивается с критическим:
т
(центр) _ _
12
= тсг = 60 МПа. Мезодеформация зерна в зените
е(2енит) = 0,098 %, а разрешающее сдвиговое напряжение
в нем т(з2енит) = 52,0 МПа меньше критического. В остальных зернах мезодеформации значительно меньше (кроме зерна в надире, эволюционирующего так же, как зерно в зените). Мезодеформации в рассматриваемых
зернах отличаются в е{центр) :е(з2енит) = 1,15 раз.
При макродеформации е12 = 0,1% начинается пла-
стическое скольжение мезодеформация в
12
в центральном зерне. Полная нем увеличивается до
е(центр) = 0,133%. Полная мезодеформация в зенитном
зерне увеличивается до формаций в паре
е(центр) :е^ = 1,10 раз.
е(з2енит) = 0,121%.
зерен
Различие де-уменьшается до
При макродеформации е12 = 0,2% полные мезоде-формации в рассматриваемых зернах становятся соответственно: е1(центр) = 0,266% и 4енит) = 0,247%. Меж-зеренная неоднородность деформаций становится еще меньше: е^ :е(з2енит) = 1,07.
Таким образом, упругопластическое взаимодействие зерен приводит к существенному уравниванию деформаций в рассмотренной паре зерен. С такой же скоростью происходит выравнивание деформаций в зерне в надире кластера. Деформации в остальных зернах кластера меньше, но пластическое деформирование начинается и в них и ведет к снижению неоднородностей деформаций. В целом происходит гомогенизация деформаций в зернах при увеличении макродеформации, качественно описанная выше, даже при относительно малых макродеформациях в несколько десятых долей процента. При больших макродеформациях активизируются другие системы скольжения, гомогенизация усиливается и распространяется на остальные зерна кластера.
Эффект гомогенизации проявляется и на уровне одного зерна, если его разбить на малые субзерна и применить описанную в работе [32] методику вычисления неоднородных мезодеформаций. Все субзерна в зерне имеют одинаковую ориентацию кристаллографических осей и систем скольжения. Вследствие этого коэффициенты взаимодействия субзерен в одном зерне выше, чем межзе-ренные коэффициенты, и эффект гомогенизации проявляется сильнее. Экспериментальные измерения деформаций в индивидуальных зернах с помощью современных источников синхротронного рентгеновского излучения, методов микрорентгенотомографии и дифракции нейтронов [33, 34] подтверждают высокую степень однородности пластических мезодеформаций. Заметная неоднородность наблюдается только вблизи стыков границ зерен.
Заключение
Развитый ранее авторами теоретико-полевой подход к проблеме упругого деформирования поликристаллических материалов распространен на упруго-пластические задачи. В постановке задачи используются определяющие соотношения деформационного типа. Дифференциальная форма краевой задачи упру-гопластического деформирования трансформируется в систему интегральных уравнений для мезодеформаций в зернах. Посредством кусочно-постоянной аппроксимации мезодеформаций система интегральных уравнений преобразуется в систему нелинейных алгебраических уравнений. Последние решаются методом теории возмущений по межзеренному взаимодействию и итераций по нелинейностям. Деформация в каждой точке поликристалла представляется в виде вкладов от парных взаимодействий со всеми зернами. Вследствие аддитивности этих вкладов решение краевой задачи для поликристаллического тела, содержащего макроскопически большое число зерен, разбивается на сумму решений двухзеренных задач. Численное решение парных задач значительно проще, чем для сплошного поликристаллического тела, составленного из множества зерен. Последнее обстоятельство позволяет кардинально, на много порядков, сократить вычислительную трудоемкость решения некоторых задач, таких
Библиографический список
1. Mishnaevsky L. Computational mesomechanics of eomposites. - John Wiley & Sons, 2007. - 276 p.
2. Multiscale modeling and simulation of composite materials and structures. Eds. Y.W. Kwon, D.H. Allen, R. Talreija. -Springer Science+Business Media, LLC, 2008. - 630 p.
3. Computational methods for micro structure-property relationships. Eds. S. Ghosh, D. Dimiduk. - Springer Science+ Business Media, LLC, 2011. - 658 p. DOI 10.1007/978-1-4419-0643
4. Dunne F., Petrinic N. Introduction to computational plasticity. - Oxford: Oxford University Press, 2006. - 241 p.
5. Computational crystal plasticity: from single crystal to homogenized polycrystals / G. Cailletaud, O. Diard, F. Feyel, S. Forest // Technische Mechanik. - 2003. - B. 23. - Heft 2-4. -S. 130-145.
6. Birosca S. The deformation behaviour of hard and soft grains in RR1000 nickel-based superalloy // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. - 2015. - Vol. 82. -P. 012033.
7. The development of grain-orientation dependent residual stressess in a cyclically deformed alloy / Y. Wang, H. Tian, A. Stoica, X. Wang, P. Liaw, J. Richardson // Nature Materials. -2003. - Vol. 2 | February. - P. 101-106.
8. Polycrystal Plasticity: Comparision between grain-scale observations of deformation and simulations / R. Pokharel [et al.] // Annu. Rev. Condens. Matter Phys. - 2014. - Vol. 5. - P. 317-346.
9. Przybyla C.P., McDowell D.L. Microctructure-sensitive extreme value probabilities for high cycle fatigue of Ni-base superal-loy IN100 // Int. J. Plast. - 2010. - Vol. 26. - P. 372-394.
10. Shenoy M., Zhang J., McDowell D.L. Estimating fatigue sensitivity to polycrystalline Ni-base superalloy microstructures
как поиск экстремальных микроструктур, в которых генерируются экстремально большие мезодеформации.
На примере поликристаллического титана исследованы особенности упругопластического взаимодействия зерен. Показано, что его интенсивность зависит от деформированного состояния зерен и существенно выше интенсивности упругого взаимодействия. При полных мезодеформациях в паре зерен 0,5 % это различие составляет 7 раз. Рост интенсивности упругопластическо-го взаимодействия зерен при увеличении макродеформации поликристаллического тела приводит к гомогенизации мезодеформаций, что может быть одной из причин успеха простых моделей типа Тэйлора-Линя в описании пластического деформирования поликристаллов, полностью игнорирующих различие мезодеформа-ций в зернах.
Благодарность
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 18-01-00675, 17-41-590433 р_а).
Acknowledgment
The work has been carried out with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research (Grants No. 18-01-00675, 17-41-590433 р_а).
using a computational approach // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. - 2007. - Vol. 30. - P. 889-904.
11. In situ imaging of hidh cycle fatigue crack growth in single crystal nickel-base superalloy s by synchrotron X-radiation / L. Liu, N.S.Husseini, C.J. Torbet, D.P. Kumah, R. Vlarke, T.M. Pollock, J.W. Jones // Journal of Engineering Materials and Technology. - 2008. - Vol. 130. - P. 021008.
12. Miao J., Pollock T.M., Jones J. Microstructural extremes and the transition from fatigue crack initiation to small crack growth in a poly crystalline nickel-base superalloy // Acta Materialia. - 2012. - Vol. 20. - P. 2840-2854.
13. Multiscale modelling of plasticity and fracture by means of dislocation mechanics. R. Pippan, P. Gumbsch. - Springer Wien New York, 2010. - 394 p.
14. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.: Наука, 1977. - 400 с.
15. Shavshukov V., Tashkinov A. Quantum Field Theory Approach to Mechanics of Polycrystals // Solid State Phenomena. - 2016. - Vol. 243 - P. 131-138. DOI: 10.4028/www.scientific.net/SSP.243.131
16. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов // Журн. эксп. теор. физ. - 1946. -Т. 16, № 11. - С. 967-980.
17. Ташкинов А.А., Шавшуков В.Е. Решение задач механики деформирования поликристаллических материалов на основе теории возмущений // Вычислительная механика сплошных сред. - 2016. - Т. 9, № 4. - С. 486-497. DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.4.4
18. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого де-
формирования материлов. Ч. 1. Жесткопластические и упру-гопластические модели // Вестник Пермского национального исследовательского университета. Механика. - 2011. - № 1. -С. 5-45.
19. Lipinski P., Krier J., Berveiller M. Elastoplicite des mataux en grandes deformations: comportement global et evolution de la structure interne // Revue Phys. Appl. - 1990. -Vol. 25. - Р. 361-388.
20. Paquin A., Sabar H., Berveiller M. Integral formulation and self-consistent modelling of elastiviscoplastic behavior of heterogeneous materiasl // Archive of Applied Mechanics. -1999. - Vol. 69. - Р. 14-35.
21. Berveiller M., Zaoui A. Modelling of the plastic behavior of inhomogeneous media // Journal of Engineering Materials and Technology. - 1984. - Vol. 106. - Р. 295-298.
22. Schmitt C., Lipinski P., Berveiller M. Micromechanical modelling of the elastoplastic behavior of polycrystals containing precipitates - Application to hypo- and hyper-eutectoid steels // Int. J. Plasticity. - 1997. - Vol. 13. - No. 3. - Р. 183-199.
23. Strain localization analysis using a multiscale model / G. Franz, F. Abed-Meraim, T. Ben Zineb, X. Lemoine, M. Ber-veiller // Computational Materials Science. - 2009. - Vol. 45. -Р. 768-773.
24. Franz G., Abed-Meraim F., Berveiller M. Strain localization analysis for single crystals and polycrystals: Towards micro-structure-ductility linkage // International Journal of Plasticity. -2013. - Vol. 46. - Р. 1-33.
25. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Квантовые поля. - М.: Физматлит, 2005. - 384 с.
26. Lin T.H. Physical theory of plasticity // Advances in Applied Mechanics. - 1957. - Vol. 11. - Р. 255-311.
References
1. L.Mishnaevsky. Computational Mesomechanics of Composites. John Wiley & Sons, 2007, 276 p.
2. Multiscale Modeling and Simulation of Composite Materials and Structures. Eds. Kwon Y.W., Allen D.H., Talreija R. Springer Science+BusinessMedia, LLC, 2008, 630 p.
3. Computational Methods for Microstructure-Property Relationships. Eds. Ghosh S., Dimiduk D. Springer Science+Business Media, LLC, 2011, 658 p. DOI 10.1007/978-1-4419-0643.
4. F.Dunne, N.Petrinic. Introduction to Computational Plasticity. Axford, Oxford University Press, 2006, 241 p.
5. G.Cailletaud, O.Diard, F.Feyel, S.Forest. Computational crystal plasticity: from single crystal to homogenized polycrystals. Technische Mechanik, 2003, Band 23, Heft 2-4, pp. 130-145.
6. S. Birosca. The deformation behaviour of hard and soft grains in RR1000 nickel-based superalloy. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering, 2015, vol. 82, pp. 012033.
7. Y. Wang, H.Tian, A.Stoica, X.Wang, P.Liaw and J. Richardson. The development of grain-orientation dependent residual stressess in a cyclically deformed alloy. Nature Materials, 2003, vol 2, pp. 101-106.
8. R. Pokharel, et al. Polycrystal Plasticity: Comparision between grain-scale observations of deformation and simulations. Annu. Rev. Condens. Matter Phys, 2014, vol.5, pp. 317-346.
9. Przybyla C.P., McDowell D.L. Microctructure-sensitive extreme value probabilities for high cycle fatigue of Ni-base superal-loy IN100. International Journal of Plasticity, 2010, vol. 26, pp. 372-394.
10. Shenoy M., Zhang J., McDowell D.L. Estimating fatigue sensitivity to polycrystalline Ni-base superalloy microstructures
27. Lin T.H., Ribeiro S. Development of a physical theory of plasticity // Int. J. Solids Structures. - 1981. - Vol. 17. - Р. 545551.
28. Deformation-mechanism maps. The plasticity and Creep of Metals and Ceramics / H.J. Frost, M.F. Ashby. - Oxford; NewYork: Pergamon Press, 1989. - 328 p.
29. Britton T.B., Dunne F.P.E., Wilkinson A.J. On the mechanistic basis of deformation at the microscale in hexagonal close-packed metals // Proc. Roy. Soc. A. - 2015. - Vol. 471. -Р. 1-29.
30. Direct mesurment of critical resolved shear stress of prismatic and basal slip in polycrystalline Ti using high energy X-ray diffraction microscopy / L. Wang [et al.] // Acta Materialia. -2017. - Vol. 132. - P. 598-610.
31. Cottrel A.H. A brief view of work hardening // Dislocations in solids. Vol. 11. Eds. F.R.N. Nabarro, M.S. Duesbery. -Elsevier Science, 2002. - P. 7-16.
32. Ташкинов А.А., Шавшуков В.Е. Неоднородности полей деформаций в зернах поликристаллических материалов и задача Эшелби // Вестник Пермского национального исследовательского университета. Механика. - 2018. - № 1. -С. 58-72. DOI 10.15593/perm.mech/2018.1.05
33. In situ imaging of hidh cycle fatigue crack growth in single crystal nickel-base superalloys by synchrotron X-radiation / L. Liu, N.S.Husseini, C.J. Torbet, D.P. Kumah, R. Vlarke, T.M. Pollock, J.W. Jones // Journal of Engineering Materials and Technology. - 2008. - Vol. 130. - P. 021008.
34. The development of grain-orientation-dependent residual stresses in a cyclically deformed alloy / Y. Wang, H. Tian, A. Stoica, X. Wang, P. Liaw, J. Richardson // Nature Materials. -2003. - Vol. 2. - P. 101-106.
using a computational approach. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, 2007, vol. 30, pp.889-904.
11. Liu L., Husseini N.S., Torbet C.J., Kumah D.P., Vlarke R., Pollock T.M., Jones J.W. In situ imaging of hidh cycle fatigue crack growth in single crystal nickel-base superalloys by synchrotron X-radiation. Journal of Engineering Materials and Technology, 2008, vol. 130, pp. 021008.
12. Miao J., Pollock T.M., Jones J. Micro structural extremes and the transition from fatigue crack initiation to small crack growth in a polycrystalline nickel-base superalloy. Acta Materialia, 2012, vol, 20, pp. 2840-2854.
13. Pippan R., Gumbsch P. Multiscale modelling of plasticity and fracture by means of dislocation mechanics. NewYork, Springer Wien, 2010, 394 p
14. Shermergor T.D. Teorija uprugosti mikroneodnorodnykh sred [Theory of elasticity of micro inhomogeneous media]. Moscow, Nauka, 1977, 400 p
15. V.Shavshukov and A.Tashkinov. Quantum Field Theory Approach to Mechanics of Polycrystals. Solid State Phenomena, 2016, vol. 243, pp. 131-138. DOI: 10.4028/www.scientific.net/SSP.243.131
16. Lifshitz I.M., Rosenzweig L.N. K teorii uprugikh svoistv poli-kristallov [On the theory of elastic properties of polycrystals]. Zhurnal eksper. i teoreticheskoi fiziki, 1946, vol.16, no. 11, pp.967-980.
17. Tashkinov A.A., Shavshukov V.E. Reshenie zadach mekhaniki deformirovaniya polikristallicheskikh materialov na osnove teorii vozmushchenii [Solving the problems of deformation mechanics of polycrystalline materials on the basis of perturbation theory]. Vychislitelnaia mekhanika sploshnykh sred. 2016, vol. 16, no. 4, pp. 486-497. DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.4.41
18. Trusov P. V., Volegov P.S. Crystal plasticity theories and their applications to the description of inelastic deformations of materials. Part 1 : Rigid-plastic and elastoplastic theories. PNRPU Mechanics Bulletin, 2011, no. 1, pp. 5-45.
19. P.Lipinski, J.Krier et M.Berveiller. Elastoplicite des mataux en grandes deformations: comportement global et evolution de la structure interne. Revue Phys., 1990, vol.25, pp. 361-388.
20. A.Paquin, H.Sabar, M.Berveiller. Integral formulation and self-consistent modelling of elastiviscoplastic behavior of heterogeneous materiasl. Archive of Applied Mechanics, 1999, vol.69, pp. 14-35.
21. M.Berveiller, A.Zaoui. Modelling of the plastic behavior of inhomogeneous media. Journal of Engineering Materials and Technology, 1984, vol. 106, pp. 295-298.
22. C. Schmitt, P. Lipinski and M. Berveiller. Micromechani-cal modelling of the elastoplastic behavior of polycrystals containing precipitates - Application to hypo- and hyper-eutectoid steels. Int. J. Plasticity, 1997, vol. 13, No.3, pp. 183-199.
23. G. Franz, F. Abed-Meraim, T. Ben Zineb, X. Lemoine, M. Berveiller. Strain localization analysis using a multiscale model. Computational Materials Science, 2009, vol. 45, pp. 768-773.
24. G.Franz, F. Abed-Meraim, M.Berveiller. Strain localization analysis for single crystals and polycrystals: Towards micro-structure-ductility linkage. International Journal of Plasticity, 2013, vol. 48, pp. 1-33.
25. Bogolubov N.N., Shirkov D.V. Kvantovye polya [Quantum fields]. Moscow, Fizmatlit, 2005, 384 p.
26. T.H.Lin. Physical theory of plasticity. Advances in Applied Mechanics, 1957, Vol.11, pp. 255-311.
27. T.H. Lin and S.Ribeiro. Development of a physical theory of plasticity. Int. J. Solids Structures, 1981, Vol.17, pp. 545-551.
28. Deformation-mechanism maps. The plasticity and Creep of Metals and Ceramics. By H.J.Frost and M.F.Ashby. Oxford-NewYork, Pergamon Press., 1989, 328 p.
29. T. B. Britton, F. P. E. Dunne and A. J. Wilkinson. On the mechanistic basis of deformation at the microscale in hexagonal close-packed metals. Proc. Roy. Soc. A, 2015, vol.471, pp. 1- 29.
30. L.Wang et al. Direct mesurment of critical resolved shear stress of prismatic and basal slip in polycrystalline Ti using high energy X-ray diffraction microscopy. Acta Materialia, 2017, Vol.132, pp. 598-610.
31. A.H.Cottrel. A brief view of work hardening. In "Dislocations in solids. Vol. 11", ed. F.R.N.Nabarro and M.S.Duesbery. Elsevier Science, 2002. pp. 7-16
32. Tashkinov A.A., Shavshukov V.E. Inhomogeneities in grains of polycrystalline materials and eshelby problem. PNRPU Mechanics Bulletin, 2018, no.4, pp.58-72. DOI 10.15593/perm.mech/2018.1.05
33. Liu L., Husseini N.S., Torbet C.J., Kumah D.P., Vlarke R., Pollock T.M., Jones J.W. In situ imaging of hidh cycle fatigue crack growth in single crystal nickel-base superalloys by synchrotron X-radiation. Journal of Engineering Materials and Technology, 2008, vol. 130, pp. 021008.
34. Y.Wang, H.Tian, A.Stoica, X.Wang, P.Liaw and J.Richardson. The development of grain-orientation-dependent residual stresses in a cyclically deformed alloy. Nature Materials, 2003, vol. 2, pp. 101-106.
