Упругопластическая модель твердых бытовых отходов Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 624.131

ОФРИХТЕР В. Г. ЛИХАЧЕВА Н. Н.

Упругопластическая модель твердых бытовых отходов

Офрихтер

Вадим

Григорьевич

кандидат технических наук, доцент кафедры «Строительное производство и геотехника» Пермского национального исследовательского политехнического университета

e-mail: ofrikhter@mail.ru

Лихачева

Наталья

Николаевна

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная математика» Пермского национального исследовательского политехнического университета

Массивы твердых бытовых отходов (ТБО), складированные на полигонах депонирования, представляют собой армогрунтоподобный материал с характерными свойствами. Моделирование ТБО позволяет прогнозировать развитие напряженно-деформированного состояния как в период эксплуатации, так и после закрытия полигонов при анализе возможности повторного использования территорий старых свалок. Ключевые слова: твердые бытовые отходы, армогрунтовый материал, упругопластическая модель.

OFRIKHTER V. G.

LIKHACHEVA N. N.

ELASTO-PLASTIC MODEL FOR MUNICIPAL SOLID WASTE

Municipal solid waste (MSW) massifs stored on the landfills represent reinforced soil-like mate-rial with typicalfeatures. MSW modelling allows to predict the development of stress-strain behav-iour as during the maintenance as at postclosure period for the analysis of the possibility of reuse of the territories of closed landfills.

Keywords: municipal solid waste, reinforced soil-like material, elasto-plastic model.

Преимущество упругопластических моделей твердых тел заключается в том, что они дают возможность изучения стадий, предшествующих общему разрушению конструкций, что в общем случае не представляется возможным при применении жесткопластических моделей. Предполагается, что грунтоподобная основная порода и армирующая матрица ТБО являются идеальными упругопластическими материалами, совершенно соединенными друг с другом.

1. Общие зависимости упругопластического поведения простых армогрунтоподобных композитных материалов

Общие зависимости упругопластического поведения простых армогрунтоподобных композитных материалов изложены в работах [6—8]. В соответствии с правилами механики грунтов, сжимающие напряжения принимаются со знаком плюс, а растягивающие — со знаком минус.

Поведение композита ТБО в упругой области описано в статье [3]. Структурная матрица напряжений В“, представленная при этом, играет важную роль в определении начальной поверхности текучести композита. Необходимо отметить, что если зависимость а“ = В“а подставить в условие текучести для а-й составляющей

то условие текучести примет форму, выраженную в макронапряжениях взамен микронапряжений [8]:

f

о,

(2)

где ст — микронапряжения а-й составляющей (а = г, s);

г — описывает армирующую компоненту,

5 — грунтоподобную; ст — макроскопический тензор напряжений. Это означает, что можно преобразовывать условия текучести для обеих составляющих из соответствующих пространств микронапряжений (отдельных для каждой составляющей) в пространство макронапряжений. Таким образом, пространство макронапряжений играет роль некоторого общего знаменателя. Такое преобразование поверхностей текучести из пространств микронапряжений в пространство макронапряжений схематично изображено на Иллюстрации 1.

Начальная поверхность текучести композита математически определяется следующим образом:

Fo = { = О V Г = 0}

(3)

f “

о,

(1)

что означает, что она состоит из нескольких частей, соответствующих пластической грунтовой составляющей, и нескольких частей, соответствующих пластической армирующей составляющей. В общем, какая из составляющих

первой становится пластичнои, зависит от траектории приложения нагрузки в пространстве макронапряжений. Иногда, в случае достижения угловой точки начальной поверхности текучести обе составляющие становятся пластичными [8]. Область в пространстве макронапряжений, ограниченная поверхностью текучести, соответствует упругому поведению обеих составляющих, для которого справедливы все зависимости, приведенные в статье [3].

Предположим, что одна из составляющих (например, армирующая) стала пластичной:

/

0,

дГ

dгг = МЧаг + d\ д—.

г да

d ^ = МЧ а3

df^■ = • dar = 0.

даг

d ст“ = В “

(4)

где ст — макронапряжения, соответствующие пластическому состоянию армирующей матрицы (Иллюстрация 1).

Обозначим приращения напряжений ёст , так что

ст = ст* + ё ст. (5)

Для идеально пластического материала приращение напряжений ёст может быть направлено или во внутреннюю область поверхности текучести (разгрузка), или по касательной к этой поверхности (нейтральное нагружение). Материал считается упрочняющимся, если пластические деформации происходят при ёст , направленном наружу поверхности текучести [5]. Это будет указывать на то, что композит макроскопически ведет себя как упрочняющийся материал. Если ёст направлено во внутреннюю область начальной поверхности текучести, то имеет место процесс разгрузки. Если ёст направлено по касательной к этой поверхности, то возможна перегруппировка упругого состояния в обеих составляющих. Вторая составляющая, находящаяся в упругом состоянии, налагает ограничения на пластическое течение первой составляющей. Приращение макронапряжений ёст , направленное наружу начальной поверхности текучести, вызывает перегруппировку упругого состояния в обеих составляющих, так же как и появление пластических деформаций в первой составляющей. Общее приращение микродеформаций в первой составляющей (примем армирующую) выражается следующей зависимостью [8]:

Иллюстрация 1. Трансформация составляющих поверхностей текучести в пространстве макронапряжений и начальная поверхность текучести армогрунтового композита [8]

Эти матрицы необходимо определять с помощью вспомогательных условий (14, 15 [3]), которые также справедливы для приращений напряжений и деформаций. Для описания макроповедения армогрунтоподобного композита, в котором одна составляющая упругая, а другая пластическая, требуется макроскопическое базовое уравнение следующего вида [8]:

d ст = D‘pd є,

(11)

упругопластическая матрица.

где De‘

Эта матрица может быть получена следующим образом. Выражения (6) и (8) приводят к следующей формуле [8]:

d а' = D'de'

где

Е

[дГ ] [дГ

да' да'

дГ

да'

Е

дГ

да'

(12)

(13)

(6)

Во второй составляющей (в рассматриваемом случае — грунтовая) появляются только приращения упругих деформаций [8]:

(7)

Необходимо отметить, что приращения микронапряжений в материале, который находится в пластическом состоянии, направлены по касательной к соответствующей поверхности текучести в пространстве микронапряжений [8].

(8)

Обобщая выражения (12 [3]) и (13 [3]), можно представить следующие зависимости для упругопластического макроповедения армогрунтоподобного композита:

(9)

d е“ = А “*, (10)

где А “ — структурная матрица для приращений деформаций; В “ — структурная матрица для приращений напряжений.

Из выражений (7 [3]), (10, 12, 16 [2]) следует:

D‘p = пг^Лг + щЕА3, (14)

где пг, п - количественная составляющая а-й компоненты композитного материала, определяемая как отношение площади поперечного сечения а -й компоненты к общей площади поперечного сечения композитного элемента.

Необходимо отметить, что выражение ст = и1ст1 + ^ст2 (16 [3]) справедливо также для приращений напряжений. Дифференциальные уравнения (9)—(11) дают возможность изучения макроповедения композита в упругопластическом диапазоне вплоть до той стадии, когда вторая составляющая также становится пластичной. Эти дифференциальные уравнения необходимо интегрировать по заданной траектории нагружения в пространстве макронапряжений. Обычно это интегрирование выполняется численным методом. Подобная процедура может применяться и в случае, когда другая составляющая первой становится пластической [8].

Также можно показать, что начальная поверхность текучести изменяет положение и очертание, отображая явление макроупрочнения. Соответствующие уравнения представлены в [6, 7].

аі 8

аз

і

Є3 — Єз — Єз .

Уравнение ст“ = В“ст (13 [3]) ( а = £, г ) имеет следующую форму:

а сті Ваі Ра В12 6"

а 5э О а 221 Т}а 22 "3

(17)

где В*и = 1; В[2 = -2V ; В^ = -у В/ ;

Е.

В.

1 -уВ! - 2В1!С ; %

п£' + пЕг

С

В'

упЕг

пЕ*

-- 0; в;

• В

’-°11 = -^22

V пЕ

В22 = 1;

(18)

П.Е,

Иллюстрация 2. Схема трехосных испытаний образца твердых бытовых отходов

2. Осесимметричное упругопластическое поведение твердых бытовых отходов

Упругопластическая теория армогрунтоподобной композитной матрицы, описанная в предыдущем разделе, будет применена для описания осесимметричного поведения фиброармированной грунтоподобной матрицы ТБО в классическом трехосном испытании.

Твердые бытовые отходы представляют собой армогрунтоподобный материал, к которому можно применять закономерности механики грунтов. Особенности классификации ТБО приведены в статье [1]. Результаты трехосных испытаний фиброармированного грунтоподобного материала ТБО указывают на наличие псевдосцепления [4]. Представленная в настоящем разделе теория дает возможность анализа фиброармированного грунтоподобного материала ТБО на стадиях, предшествующих предельному состоянию.

2.1. Упругое поведение и начальная поверхность текучести

Рассматриваемый пример представлен на Иллюстрации 2. Образец находится в макронапряженном состоянии ст = {ст1, ст3} , что вызывает соответствующие микронапря-женные состояния в грунтоподобной матрице и армирующей составляющей. Следующие отношения следуют соответственно из условий равновесия и совместности деформаций:

(15)

(16)

Составляющие относительных удлинений в направлении главных осей при осесимметричном напряженном состоянии сведены в Таблицу 1.

Относительные деформации выражаются зависимостями:

(19)

2с'

= —\-уВ1с[ + - уЯУз + 2Вс'3

= -1 \-vBlC + (1 - VВ1 — 2ВС) с3

(20)

Предполагается, что грунтоподобная основная порода ТБО подчиняется условию текучести Кулона — Мора, которое можно представить двумя прямыми линиями, выходящими из начала координат пространства микронапряжений грунтоподобной основной породы.

ст, I - I ст,

: 0.

(21)

Предполагается, что армирующая матрица ТБО подчиняется условию текучести Мизеса — Губера, которое можно представить двумя параллельными прямыми линиями в пространстве микронапряжений армирующей матрицы [8].

г = (ст; -ст; )2 - я2 = 0;

(22)

где В — прочность армирующей составляющей при одноосном растяжении.

Условия текучести для грунтоподобной основной породы (21) и армирующей матрицы (22) могут быть преобразованы в пространство макронапряжений ТБО с помощью структурных зависимостей (18):

Таблица 1. Составляющие относительных удлинений в направлении главных осей при действии на элемент сжимающих нормальных напряжений ст1, ст3

ус

є, = —

Составляющие относительных удлинении Главные нормальные сжимающие напряжения Относительные удлинения

а1 а3прод ^Зпопер

СТ1 —уст 3 -УСТз ст^ 2устЗ

1 Е3 Е Е,

е3 —УСТ^ + СТ^ ст3 —УстЗ + ст3 уст; ст; уст; 2ст;

Е Е, Е Е + Е Е + Е

Г =1№ - В'

-1((,

В'

0;

/' =!((' - в^А) — - л2 = 0.

(23)

(24)

ё ст[ 1 0 ^9

3^ 0 0 3

d ст^ 1 —V d ст1

d ст3 d ст3

d е1 1 Ds -ип Ds 12 d о"1

d е3 = Е Ds 21 Ds 22 d 03

(26)

(27)

где Б*

Ds

22

ПI1 -vs ) + '

/5 =

' О-5 \

"11 "21 )

Эти преобразования схематически представлены на Иллюстрации 3.

Начальная поверхность текучести составлена из сектора, соответствующего пластическому состоянию основной грунтоподобной породы, и двух параллельных прямых, соответствующих пластическому состоянию армирующей матрицы. Заштрихованная область соответствует упругому состоянию обеих составляющих.

2.2. Упругопластическое поведение и предельные поверхности

Предположим, что армирующая матрица первой приходит в пластическое состояние, для которого базовые уравнения (9), (11) имеют вид:

(25)

Иллюстрация 3. Трансформация составляющих условий текучести в пространстве макронапряжений и определение начальной поверхности текучести. Трехосные испытания образца ТБО

В1 1 Вп 1

- Дст, ) -

Д>2 (3 Дст3 )

- Я2 = 0, (29)

п + пп

Составляющие малых приращений относительных удлинений сведены в Таблицу 2.

При кинематическом упрочнении, т. е. разгрузке до нулевого состояния макронапряжений с последующей повторной загрузкой, выражения для текущих поверхностей текучести имеют вид:

т1 + ((2- "22) + _

+ (1 + "Л )Л°1 _" + п )Л°з

(28)

Iг =

где Дст,- = ^ dст, ;

Е

Е - траектория приложения нагрузки в пространстве макронапряжений [8].

Точки пересечения прямых линий (28), (29) лежат на линиях поверхности общего предельного состояния для армогрунтоподобного материала ТБО.

Теперь рассмотрим ситуацию, при которой грунтоподобная основная порода ТБО первой приходит в пластическое состояние, для которого базовые уравнения (9), (11) имеют вид:

1 л „

(30)

(31)

й ^ 1 л й 1

й 1 - V Си 3

d 1 0 d СТ!

d ст3 0 0 d СТз

("п + "21) СТ1 + ("12 + "22) СТ3 + 2 sin2 ф = 0; d 0! Dr ^11 и 12 & СТ1

+ " _^П )Дст1 -(^ _ П )Дстз & £3 и 21 Dr 22 & °з

(32)

V

1; Б2 = -2у ; ;

21

п

Таблица 2. Составляющие малых приращений относительных удлинений в направлении главных осей

Составляющие относительных удлинении Главные нормальные сжимающие напряжения Относительные удлинения

d СТ1 ^ СТ3прод ^ ^Зпопер

d £1 d СТ1 Е —V d ст3 Е —V d ст3 Е — (ст! — 2 V d СТ3) Ее

^ £3 —*d °1 ^ аз -УХ d СТ3 1 [-V ио + П (1 -^) + п ио \

п*Е* (П + П )Е и 0"1 + 2 и СТ3 Е* п п + пП J

общая поверхность

начальная поверхность текучести (армирующая матрица первой переходит в пластичное состояние)

начальная поверхность текучести (грунтоподобная матрица первой переходит в пластичное состояние)

Иллюстрация 4. Общая поверхность текучести образца ТБО в трехосных испытаниях

D'

—Iv

Dr

21

(n + n )Er

fs =

Bl + B2l)(a1 - Да11 +

Bl2 - B22 )(аз - Даз,

(33)

+ ((12 + B22 ) (а3 - Да3 1

0;

є, =-------а.----------а, +-------------------1— а, ; є3 =-—

nE nE nE nE,

sa1 + (V - 1)а3

nrEr nsEs

^ a0 = ^ [Vsai +(vs - 1)а3 ].

n E

Обозначим a = r r , тогда a0 = a [va1 + ( — 1)а31; n*Es

1 - avs — (1 + avs) sin с [1 + a(v -1)](1 + sinф

(38)

Таким же образом преобразуем выражение (36). После преобразования получим выражение

(1 + avs )(1 + sin ф)

(1 — sin ф) — a (vs —1)(1 + sin ф)

(39)

( + п Ж

При кинематическом упрочнении, т. е. разгрузке до нулевого состояния макронапряжений с последующей повторной загрузкой, выражения для текущих поверхностей текучести имеют вид:

((1 - )(ст1 - Да;) +

„ 1 - в'Л)- Вл + 2

fr = 1 11 1 - R = 0. (34)

+ (1-V. )д^1 -(-V )Д^3 _

Условие текучести композита твердых бытовых отходов представляет две пересекающиеся прямые линии в пространстве макронапряжений. Выражения для этих линий можно получить из условий текучести (3 [2]), (4 [2]) композитного массива твердых бытовых отходов.

( — ст3 — ст0) — ( + ст3 + ) sin ф = 0; (35)

(ст3 — CTj — ст0) — ( + ст3 + ) sin ф = 0; (36)

a0 = nrR, (37)

где R — прочность армирующей матрицы на растяжение.

Выражение (35) можно преобразовать, выразив ст0 через главные напряжения а1, ст3 в связи с тем, что еЗ = еЗ:

Линии (38) и (39) образуют поверхность предельного состояния для армогрунтоподобного материала твердых бытовых отходов, при котором грунтоподобная основная порода и армирующая матрица находятся в пластическом состоянии и пластическое течение композитного материала твердых бытовых отходов подчиняется ассоциированному закону течения. Общая поверхность текучести образца твердых бытовых отходов в трехосных испытаниях схематично изображена на Иллюстрации 4.

Заключение

Территории старых свалок на сегодняшний день выведены из оборота и не используются. Массив ТБО обладает определенной несущей способностью и может служить основанием сооружений. Применение упругопластической модели ТБО позволяет прогнозировать развитие напряженно-деформированного состояния ТБО на стадиях, предшествующих потере устойчивости основания при возрастании приложенных нагрузок.

Список использованной литературы

1 Офрихтер В. Г. Особенности классификации твердых отходов // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Сер. «Строительство и архитектура». Волгоград, 2009. Вып. 14 (33). С. 33-37.

2 Офрихтер В. Г., Лихачева Н. Н. Условие текучести твердых бытовых отходов // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Сер. «Строительство и архитектура». Волгоград, 2012. Вып. 29 (48). С. 136-142.

3 Офрихтер В. Г., Лихачева Н. Н. Упругая модель твердых бытовых отходов // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Сер. «Строительство и архитектура». Волгоград, 2013. Вып. 30 (49) — в печати.

4 Kockel R., Jessberger H. L. Stability Evaluation of Municipal Solid Waste Slopes // Proceedings of 11th European Conference for Soil Mechanics and Foundation Engineering. Copenhagen, Denmark, 1995. Vol. 2. P. 7378.

5 Koiter W. T. General theorems for elasto-plastic solids // Sneddon I. N., Hill R. (eds). Progress in Solid Mechanics. Amsterdam, 1964. P. 165-221.

6 Sawicki A. Yield conditions for layered composites // International Journal of Solids and Structures. Amsterdam, 1981. Iss. 17 (10). P. 969-979.

7 Sawicki A. Plastic limit behaviour of reinforced earth // Journal Geotechnical Engineering. New York, 1983. Iss. 109 (7). P. 1000-1005.

8 Sawicki A. Mechanics of reinforced soil. Rotterdam, 2000.

а

v

и

I

а