Упругое напряженно-деформированное состояние и плотность энергии деформации у вершины предельно узких U-вырезов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 97-108

Механика

УДК 539.375

Упругое напряженно-деформированное состояние и плотность энергии деформации у вершины предельно узких U-вырезов

Ю. Н. Овчаренко

Аннотация. С учетом сингулярных решений в линейной механике разрушения исследовано упругое напряженно-деформированное состояние около вершины предельно узкого U-выреза., Получена аналитическая формула для определения характеристики плотности энергии деформации в качестве оценки этого состояния.

Ключевые слова: линейная механика разрушения, U-вырез, mode I, mode II, сингулярные решения, плотность энергии деформации.

1. Введение. Работ, посвященных U-вырезам с радиусом в вершине р = 0, в настоящее время имеется достаточно много, как теоретических, так и экспериментальных. Однако в представляемой работе интересы лежали в области линейной механики разрушения, что существенно сузило круг изучаемых литературных источников.

В 1966 году в магистерской диссертации 23-летний американский стажер частного Lehigh University аналитически получил [1] формулы для описания напряженного состояния у вершины предельно узкого U-выреза («blunt-трещины») для задач mode I и mode II линейной механики разрушения. Покажем эти формулы:

Gx

Gy

Jxy_

1 ( в 5Л p 3 ■

- 3 cos —+ cos - в--------cos - в

4 V 2 2 J 2r 2

1 L в 5. J p 3Л

- 5 cos-------cos — в +-----cos — в

4 V 2 2 J 2r 2

1 V -в .5.J p . 3Л

- — sin —+ sin - в--------sin - в

4 V 2 2 2r 2

Ох О у

т

ху.

К и -1

- r 2

i U ■ в • 5л\ р ■ Зл

— т ( 7 sin - + sin - в ) — — sin - в

1 С ■в .5.

4 (— sln 2 + sln 2 в

1 ( в

4 (3c°s2 +cos2в

р • Зд

-------sin - в

2r 2

Р з

-------cos — в

2r 2

(2)

Привлекает в (1) и (2) простота и непосредственная связь с известными формулами для трещин Вестергарда-Ирвина (когда р = 0). Формулы предлагается применять, когда a priori известны коэффициенты интенсивности напряжений Ki и Кц для того же тела, но с виртуальной трещиной, аналогичной узкому U-вырезу по плоскостному расположению и размеру.

Рис. 1. Рассматриваемые в [1] узкие эллиптическое отверстие и гиперболический вырез

Схемы и-вырезов с необходимой информацией показаны на рис. 1 а (узкое эллиптическое отверстие) и рис. 1 б (узкий гиперболический вырез). Реально такой вид может иметь обычная трещина, подвергшаяся коррозионному воздействию среды, или трещиноподобный дефект в сварном соединении (непровар, подрез), или специально выполненная узкая прорезь в какой-либо детали. В теоретическом плане интерес к узкому И-вырезу заключается в том, что реальная трещина обычно затупляется до какого-то р прежде, чем стартует, и это по возможности следует учитывать. Есть также теоретический подход при хрупком разрушении, когда предполагается существование весьма малой цилиндрической центральной зоны радиуса р у вершины трещины, где материал уже нельзя считать сплошной средой [2].

Обращает на себя внимание, что начало полярной системы координат находится на расстоянии 2 от дна И-выреза. Именно такое расположение полярной системы позволило Greager получить вышеуказанную форму для представления напряжений.

Для получения формул (1) и (2) Creager применил комплексные функции ф (г) и % (г) для эллиптического отверстия и комплексные функции ф (г) и X (г) для гиперболического выреза из монографии [3]. Для эллиптического

отверстия это:

4p (z) = Sc [e2^0 cos 27 ch Z + (l — e2^0+2iJ ) sh Z] ,

4x (z) = —Sc2

(ch 2{q — cos 27) Z +2 e2Î0 ch 2 (Z — {q — ¿7)

(3)

Здесь Z = С + П где С и п — эллиптические координаты; с и £о — параметры эллиптического отверстия; 5 — внешняя нагрузка с углом приложения 7. Для гиперболического выреза

iF

iF [Z + (1 — 2 cos2 nQ) cth Z] 2 (n — 2no + sin 2 no)

2 (n — 2^o + sin 2no) с sh Z ’

Здесь также Z = С + in, где £ и n — эллиптические координаты; с и По — параметры гиперболического выреза; F — внешняя нагрузка вдоль вертикальной оси у.

Creager рассматривал предельно узкие как эллиптическое отверстие, так и гиперболический вырез, где р мало. Он применял при рассмотрении вышеуказанных комплексных функций различные предельные переходы с отбрасыванием членов высокой степени малости, а также некоторые упрощающие условия. В результате получил тождественный результат, как для эллиптического отверстия, так и для гиперболического выреза, а именно: для mode I

+ 2 Ki __ 1 в

&х + &V = 2 r 2 cos —, v 2п 2

&y — @х + 2iTxy =

Ki _i

" 2

V2n

(4)

для mode II

&х +

2 Kii __ 1 . в

= 2 ,___________r 2 sin -,

V2n 2’

&y — &x + 2iTxy =

л/2П

i2cos в — iP — sin в

r

(5)

Исходя из формул (4) и (5), были получены вышеприведенные формулы (1) и (2). Они использованы в дальнейших работах Creager и других авторов [4, 5] для прочностных исследований «Ыи^-трещин» в коррозионных средах и при некоторых усталостных нагружениях.

В представляемой работе на основе сингулярных решений линейной механики разрушения проведено дальнейшее исследование упругого напряженно-деформированного состояния (НДС) около вершины предельно узкого И-выреза. Получена также соответствующая аналитическая формула для определения характеристики плотности энергии деформации в качестве оценки этого состояния.

2. Теоретические исследования. Первоначальное знакомство с формулами (1) и (2) происходило по косвенным работам [4, 5], так как сама

магистерская диссертация Creager была недоступна. Анализ конструкции вышеуказанных формул показал, что они могут быть получены из следующего представления комплексных функций ф (z) и ф (z) [6]: для mode I

ф

где Cl = тк ,

для mode II

(z) = Cizl/2,

ф (z) = Cl [ - zl/2 — p z 2

(6)

ф

(z) = -iC2z1/2, ф (z) = iC2 ^

2 zl/2 + pz

(7)

где с2 = •

Выражения (6) и (7) при р = 0 — это соответствующее формулам (1) и (2) (тоже при р = 0) комплексное описание трещины в линейной механике разрушения. Покажем это.

Общее представление функции напряжений Э. Гурса через две комплексные функции ф (г) и ф (г) имеет вид

и (z) = - ^ф (z) + ^ (z) + X (z) + X (z)]

(8)

где X (г) = Ф (г). Используя результаты работы [7], можно получить описание этой комплексной функции конкретно для трещины:

и (z) = 2

i /2 i /2 2b 3 2b 3

azz l + azz l + — z 2 + — z 2

3

(9)

где

Cl = 2 (a + a), C2 = 22 (a — a), C3 = l (b + b), C4 = 33 (b — b). Здесь a и b — комплексные постоянные коэффициенты. Из простого сравнения (8) и (9) следует, что

ф (z) = azl/2, ф (z) = bzl/2. (10)

Для mode I имеем [6]: a = Cl, b = 2Cl. Для mode II: a = —iC2, b = i3C2.

Это все, что и требовалось показать. Если продифференцировать (10), то

имеем известные комплексные функции Вестергарда для описания напря-

_ i

женного состояния тела с трещиной. Дополнительные слагаемые ^pz 2 в формулах (6) и (7) были легко подобраны, исходя из внешнего вида (1) и (2).

В дальнейшем представилась возможность познакомиться с самой магистерской диссертацией Creager [1], в частности с формулами (4) и (5). Выяснилось, что предложенные формулы (6) и (7) непосредственно следуют из (4) и (5).

Комплексные функции (6) и (7) позволяют без особого труда добавить к (1) и (2) формулы для перемещений, исходя из известного [8] комплексного

выражения

2^ (u + iv) = кф (z) — zф (z) — ф (z)

Для mode I в прямоугольной системе координат имеем

2ц u 2цу

= Cir1/2

, 1\ в 1 3 р в

к------cos------------cos - в +— cos -,

2 J 2 2 2 r 2’

, 1V в 1 . З р . в

к +— sin---------------------sin - в +— sin -

2 2 2 2 r 2

(11)

где ц — модуль упругости II рода, к = для плоского напряженного состояния, к = 3 — 4v для плоской деформации, v — коэффициент Пуассона. Для mode II

2ци 2ц v

= С2Г1/2

, з\. в і . з р . в ■

к +— sin —I— sin — в----------------sin -

2 J 2 2 2 r 2

. 3 \ в 1 3 р в

—к +— cos----------------cos - в +— cos -

2 2 2 2 r 2.

(12)

Тем самым завершен полный набор асимптотических формул для описания НДС в вершине предельно узкого и-выреза.

3. Плотность энергии деформации. Ясно, что применять напрямую коэффициенты интенсивности напряжений С\ и 6*2 для оценки НДС у вершины узкого И-выреза не корректно. Наличие радиуса р у вершины, хотя и очень малого, вносит существенное изменение. По сравнению с острой трещиной сингулярность напряжений пропадает, они становятся конечными и с другими законами развития. Для оценки соответствующего НДС можно использовать любые подходы, которые имеются в теории упругости. Однако повторимся, интересы автора лежали в области механики разрушения. Поэтому в работе предлагается оценивать НДС у вершины рассматриваемого И-выреза с помощью плотности энергии упругой деформации. Эта характеристика вписана не только в арсенал теории упругости, но и линейной механики разрушения [9, 10].

В полярной системе координат плотность энергии деформации можно представить как

dur

dr

ur

r

1 due\

ar— + I — + r -Qf) + Тгв[-^7Г +

1 dur

r дв

due

dr

ue

r

(13)

Выпишем формулы для напряжений и перемещений в полярной системе координат, используя основополагающие комплексные выражения [8]:

ог + = 2 [у' (г) + у' (г)],

&е — &г + 2ітгЄ = 2е2ге [гу'' (г) + ф' (г)],

2ц (иг + іие) = е-гЄ \ку (г) — гу' (г) — ф (г)] .

Суммарно для mode I и mode II имеем

У r

ув

Ттв

+

1 ( 9 3 \ р 9'

- 5 cos------cos — 9----------cos -

2 V 2 2 J r 2

1„ -1 1 V 9 3 \ р 9

-C1r 2 - 3cos—I cos -9 I—cos -

2 1 2 V 2 2 J r 2

1 V • 9 .3 \ р . 9

- sin —+ sm - 9 +— sin —

2 \ 2 2 J r 2 .

1 ( r • 9 0 . 3 N р . 9 ■

- — 5 sin —+ 3 sin - 9---------sin —

2\ 2 2 J r 2

3V 9 3 J р 9

----sin —+ sin - 9 +— sin -

V2 2 2 J r 2

1V 9 3 J р 9

- cos —I 3 cos — 9-------------cos -

2 V 2 2 r 2

+

2цпг

2цщ

— Cir1/2

, M 9 1 3 р 1 ■

к-------cos--------cos - 9 I— cos - 9

2 2 2 2 r 2

,, 1\. 9 1.3. р . 9

— к I— sin —I— sin — 9------sin -

' 2 2 2 2 r 2

I

+ C2r1/2

,, 1\ . 9 3 . 3„ р . t'

— к------------sin —I— sin — 9 I— sin -

' 2 J 2 2 2 r 2

1J 9 3 3 р 9

— к I— cos —I— cos - 9 I— cos -

1 2 2 2 2 r 2.

Эти формулы для напряжений и перемещений подставляем в выражение для плотности энергии деформации (11). После операций дифференцирования и большого числа элементарных преобразований получаем

где

aii

a12

a22

W — r (aiiC + 2ai2CiC2 + a,22C2)

(1 + cos 9) (K — cos 9) + ^ - j [2 cos 9 — (K — 1)] sin 9 — — sin 9 [K (1 — cos 9) + (1 + 3cos 9) cos 9] — — cos 9 + (

rr

(14)

При р = 0 выражение (14) переходит в известное выражение [9, 10] для плотности энергии деформации в механике острых трещин.

ЯШ С.С. [2] в 1974 году предложил модель разрушения плоского тела с исходной острой трещиной, основанную на концепции локальной плотности энергии деформации. Процесс разрушения, точнее страгивания трещины,

2

связывался с плотностью энергии упругой деформации, локализованной вокруг вершины трещины в зоне радиуса rc. Направление 9С, которое имело экстремальную локализацию плотности энергии на расстоянии rc от вершины трещины, предполагалось вероятным направлением развития трещины. Указанное расстояние rc трактовалось как весьма малый радиус цилиндрической центральной зоны у вершины трещины, где материал уже нельзя считать сплошной средой в связи с сингулярностью напряжений. В качестве характеристики трещиностойкости Sih G.C. предложил считать критическую плотность энергии деформации Wc, определяемую на указанном расстоянии rc от вершины исходной трещины в направлении вС. Концепция локальной плотности упругой энергии деформации интересна тем, что пригодна для описания разрушения смешанного типа (mode I плюс mode II).

Подход Sih G.C. предлагается в представляемой работе распространить на предельно узкие U-вырезы. Ни о каком материале с нарушенной сплошностью внутри цилиндрической центральной зоны здесь говорить не приходится — там его просто нет. Как и Sih G.C. (для острой трещины) будем считать, что разрушение в точке с координатами вС, rc на контуре вершины U-выреза происходит тогда, когда плотность энергии деформации W в этом месте равна или выше ее критической величины Wc:

W ^ Wc. (15)

Условие (15) является необходимым, но недостаточным. Важно еще определиться с координатой 9c вероятного стартового места развития острой трещины на контуре вершины U-выреза. Эту координату будем определять двумя условиями (как Sih G.C. для острой трещины):

dW д 2W . .

~дв = 0 и aw >0 (16)

то есть острая трещина развивается от контура вершины U-выреза в месте,

для которого плотность энергии деформации имеет экстремальный минимум. Здесь для упрощения принимается, что грани трещины параллельны

и, как следствие, в вершине U-выреза вторая координата r = rc = const.

Если вышеуказанного упрощения не принимать и считать, что все-таки имеем в вершине U-выреза контур хоть и предельно узкого, но, например, эллипса, условие (16) запишется следующим образом:

dW п д 2W „

~дП = и ~W > ’ ()

где связь между принятыми полярными координатами r, в в (14) и эллиптическими координатами £, ц находится из решения системы уравнений

Ía — Р + r cos в = c ch £ cos п, r sin в = c sh £ sin n-

В этом случае координата £ = £0 = const. Она характеризует конкретный рассматриваемый контур эллипса.

4. Некоторые расчеты и графические построения. Из выражения для Ну в формулах (1) можно найти связь между коэффициентом интенсивности напряжений Ci и упругим коэффициентом концентрации напряжений аа в вершине узкого выреза с некоторым малым радиусом р. Пусть 9 = 0, r = р, ау = аа стном, где -ном — номинальные напряжения. Имеем

Ci = 2^2 -ном lim аа /р (18)

при р ^ 0. Отсюда может быть предложен способ нахождения Ci через коэффициенты концентрации напряжения аа. Он заключается в том, что подсчитываются несколько значений правой части формулы (18) при изменении р и, соответственно, аа. Эти значения ложатся, как правило, на некоторую прямую на графике зависимости «правой части формулы» от параметра р, которая затем экстраполируется на значение радиуса р = 0. В результате графическим путем находится искомое значение Ci .

На рис. 2 показан пример графического определения Ci для плоского симметричного образца с узким U-образным вырезом при чистом изгибе. Коэффициенты концентрации аа взяты из монографии Петерсона [11]. Точность полученных таким способом результатов для оценки Ci может быть довольно высокой. Однако данный метод можно рассматривать скорее как принципиальный в плане связи Ci и аа, нежели практический.

Рис. 2. Графическое определение коэффициента Ci

На рис. 3 показаны характерные графики для напряжений ах, ау и тху. Они построены для 9 = 0 и условных Ci = С2 = 1, р = 1. На рис. 3, а показана эпюра напряжений ау — mode I. Именно эти напряжения будут играть основополагающую роль в разрушении. Несмотря на их резкое возрастание при приближении к кромке U-трещины, они конечны. Пунктиром также показано как выглядела бы эпюра указанных напряжений, если бы предельно узкий U-вырез выродился в острую трещину. Пути резкого возрастания напряжений заметно различаются. Из рис. 3, б следует, что напряжения ах — mode I и тху — mode II имеют одинаковую эпюру (ввиду тождественности

аналитического описания). Она уходит в ноль у кромки U-выреза, что и следовало ожидать. Пунктиром показано, как бы выглядела эпюра указанных напряжений, если бы узкий U-вырез выродился в острую трещину с вершиной в начале координат O. Разница обнаруживается существенная в связи с отсутствием и наличием сингулярности.

На рис. 4 показаны эпюры плотности энергии деформации на кромках вершины предельно узкого U-выреза для mode I и mode II. Они построены по формулам (14) для эллиптического контура.

Рис. 4. Эпюры плотности энергии деформации: а — mode I; б — mode II

Эпюры построены для задачи плоской деформации, v = 0, 3 при условных Ci = C2 = 1, Ц = 1, р =1. Для нормального разрыва (mode I) согласно расчетам по условиям (18) выполняются для направления 9С = 0. Это направление возможного разрушения не вызывает сомнений ни с точки зрения теории, ни с точки зрения практики, что говорит о действенности предложенных условий.

Для поперечного сдвига (mode II) расчеты показывают, что вышеуказанные условия (17) выполняются при угле 9 = ±94°. Положительные значения 9 соответствуют углу, где окружные напряжения а$ отрицательны, отрицательные значения 9 — углу, где а$ положительны. Из здравого смысла следует, что условия (14) надо считать справедливыми только в зоне, где окружные напряжения а$ положительны, то есть растягивающие, что обеспечивает раскрытие возможной трещины. В данном примере это имеет место при 9 = —94°.

Поговорим о точности полученных асимптотических формул (14) для оценки плотности энергии деформации W в вершине предельно узкого U-выреза. В качестве объекта исследования выбрано mode I и направление 9 = 0. Сравнивались точное решение, полученное по формуле

W = 2 (ах єх + ay Єу), (19)

и асимптотическое (14), представленное в виде

'Р

. r.

w = i— 52 a

r 8ц 2

2(k — 1)+ ( р)

(20)

Для (19) точные значения напряжений подсчитывались по комплексным выражениям (3), которые после необходимых преобразований имели вид

о с

Ох = ^ - В - С) ’ ОУ = 2 + в + С) ’

где

A = (1 + e2^0) ,1Ь2^ — e

2£o.

сЪ2£ - 1

в = 1[-е2«0 + еИ 2^0 - е2«0 (2 8И2 £ - 1) 8И 2^0] ;

С = е2«0 еИ2ео.

Точные значения деформаций ех и еУ определялись из обобщенного закона Гука для плоской деформации.

На рис. 5 показаны две графической зависимости относительных погрешностей вычисления плотности энергии деформации Ш по асимптотической формуле (20) в сравнении с точными решениями по формуле (19). Одна графическая зависимость соответствует р =1, другая р = 0,1. В обоих вариантах принималось С = 1, ц =1, а = 100, V = 0, 3. Из рисунка следует, что для обоих вариантов погрешность вблизи вершины и-выреза (х < 102) находится в пределах ±10%, что для практических расчетов вполне допустимо. Вариант с р = 0,1 дает четкую картину уменьшения погрешности при приближении к контуру вершины выреза вплоть до «минус» 3%, то есть с уменьшением радиуса р решения у контура вершины для Ш по формуле (14) становятся все более точными. Как следствие, это характеризует также точность представленных в работе асимптотических формул для напряжений и перемещений.

Отн. погр., %

:

: ' X

100 104 106 108 ►

Рис. 5. Относительная погрешность расчета W по асимптотической

формуле (14)

Выводы по работе. 1. Представлены более приемлемые для исследований НДС у вершины предельно узкого U-выреза выражения комплексных функций у (z) и ф (z). Получено выражение для плотности энергии деформации через коэффициенты интенсивности напряжений для mode I и mode II, которое предлагается использовать в качестве оценочного показателя НДС у вершины.

2. Используя подходы Sih G.C. по оценке разрушения, предлагается считать, что трещинообразование в вершине происходит, когда плотность энергии деформации на ее кромке при некоторой координате вС достигает критической величины Wc.

3. С уменьшением радиуса р асимптотические решения для плотности энергии деформации W у контура вершины U-выреза по формуле (14) становятся все более точными. Это характеризует также точность представленных в работе асимптотических формул для напряжений и перемещений.

Автор выражает искреннюю признательность А.А. Маркину и А.В. Максимову за полезные советы.

Список литературы

1. Creager Matthew The Elastic Stress Field Near the Tip of a Blunt Crack: Master’s Thesis. Lehigh University, 1966. 40 p.

2. Sih G.C. Strain energy density factor applied to mixed mode crack problems // Intern. J. Fract. Mech. 1974. V. 10, No. 3. P. 305-321.

3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.

4. Creager M, Paris P.C. Elastic Field Equations for Blunt Cracks with Reference to Stress Corrosion Cracking // Intern. J. Fract. Mech. 1967. V. 3, № 4. P. 247-252.

5. Heckel K, Wagner R. The tensile fatigue behavior of CT-specimens with small notch root radius. // Intern. J. Fract. Mech. 1975. V. 11, № 1. P. 135-140.

6. Овчаренко Ю.Н. Теория и практика V-образных вырезов в механике разрушения. Тула: ТулГУ, 2003. 168 с.

7. Каландия А.И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов // Прикладная математика и механика. 1969. Т. 33, вып. 1. С. 132-135.

8. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

9. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985. 504 с.

10. Плювинаж Г. Механика упругопластического разрушения. М.: Мир, 1993. 450 с.

11. Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. М.: Мир, 1977. 302 с.

Овчаренко Юрий Николаевич (ovcharenkos@rambler.ru), к.т.н., доцент, кафедра сварки, литья и технологии конструкционных материалов, Тульский государственный университет.

The elastic stress-deformed conditions and density of energy of deformation at top extremely narrow U-notches

Yu. N. Ovcharenko

Abstract. In view of singular decisions in the linear mechanics of destruction the elastic stress-deformed condition about top extremely narrow U-выреза. is investigated. The corresponding analytical formula for definition of the characteristic of density of energy of deformation as an estimation of this condition is received.

Keywords: linear mechanics of destruction, U-notch, mode I, mode II, singular decisions, density of deformation energy.

Ovcharenko Jury (ovcharenkos@rambler.ru), candidate if technical sciences, associate professor, department of welding, casting and construction materials technology, Tula State University.

Поступила 27.04.2010