CC BY
27
Kopp Vadim Yakovlevich, doctor of technical sciences, professor, v koppCciimail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Obzherin Yuriy Evgenevich, doctor of technical sciences, professor, objsev(a),mail. ru, Russia, Sevastopol, Sevastopol State University,
Zamoryonova Darya Viktorovna, candidate of technical sciences, docent, za-mik(a),ukr.net, Russia, Sevastopol State University
УДК 539.375
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МОДИФИЦИРОВАННОЙ ТЕОРИИ «ЛОКАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ»
Ю.Н. Овчаренко
С позгщии механики хрупкого разрушения в статье изложена модифгщирован-ная теория «локальная плотность энергии деформации» и ее экспериментальная проверка.
Ключевые слова: локальная плотность энергии деформации, линейная трещина, model, modell, направление распространения трещины.
В работе автора [1] были предложены новые условия разрушения для теории «локальная плотность энергии деформации», разработаннойра-нее G.C. Sih в [2, 3].Речь идет о линейной трещине для задачтиоб/е/и/илитиоб/е// и оценивании опасности разрушения с помощью критерия плотности энергии деформации.
В теории G.C. Sih длякритерия плотности энергиидеформации использовалось известное в научной литературе выражение:
W = \(оггг + авев + т гвугв) (1)
Асимптотические напряжения и перемещения у вершины трещины в полярной системе координатах могут быть записаны в виде [4]:
иг = C]Y~ ^ ^—cos ^ в + 5 cos~j + C2r~^(3sin^6 — Ssin^j; ÜQ = C^i^cos^e + 3 cos~j + C2r~2^(—sin^6 — sin^j;
тгв = C^^^sin^e + sin^j + C2r~2±(3cos^6 + cos^jX 2) 2/шг = Ctr2 [(/с — ^ cos^ — ^cos^O + C2T2 (k — ^ sin^ + ^sm^öj;
= С±Г2^—(^k+ + + C2r2 — (k + ^ C05~ + \cos\®
Здесь С± =
кI
С7 =
Кп
^_ , — , где К1 и Кп - коэффициенты интенсивности напряжений для нормального разрыва и поперечного сдвига. Для плоского напряженного состояния к = и к = 3 — 4у- для плоской деформации.
Модуль сдвига [1 =
2(1+1')
, где Е - модуль упругости, V - коэффициент
Пуассона. Далее будет идти речь о задаче плоской деформации. На рис. 1 показаны эпюры напряжений в соответствии с формулами (2).
/у> N
\2.0 А -2,0 л х
г©>
ог"
Ах
ТгО
II X
а
б
Рис. 1. Напряженное состояние у вершины трещины:
а-тойеI; б-тойеП
В работе [1] показано, что вышеуказанный критерий (1) не соответствует основному требованию теории трещин в механике хрупкого разрушения: чем выше интенсивность напряжений или подведенной упругой энергии у вершины трещины, тем большая опасность ее распространения. И предлагается вместо выражения (1) использовать его отдельные час-ти(которые вышеуказанных проблем не имеют)в качестве самостоятельных критериев:
=^(аг£г + ав£в), (3)
где присутствуют только нормальные напряжения;
Щ — 2ТгвУгв, где присутствуют только касательные напряжения.
Подставляя (2) в (3) и (4), имеем:
Wa=- [С}аг1 + СгС2а12 + С%2а22] , (5)
где
йи = \(8к — 7)cos2 - — Icos-cos-O + cos2 -в ; 11 16Е L 2 2 2 2 J'
1 +v
а12 = — [-(8fe - 9)sin6 + 4sin26 - 3sin39];
a77 = \(8k — 7)sin2 - — 6 sin-sin-6 + 9sin2-9\\ 16E L 2 2 2 2 J'
2
й Л
Рис. 2. Плотность энергии деформации для model: a-Wa = ^{arEr + авЕв); ó-Wt = ^тгвугв
Ha рис. 2 по формулам (5) и (6) построены эпюры плотности энергии деформации Wa и WT для model при условных^ = 1, С± = 1, С2 = О, V = 0,25. Из рис. 2,а следует, что максимальная величина Wa находится на направлении в = 0 и, следовательно, разрушение путем отрыва следует ожидать именно здесь, поскольку напряжения <тг и ов- растягивающие (см. рис. 1,а). На рис. 2,а показано также, что асимптотическая эпюра Wa в зависимости отг, для направления в = 0 является максимальной среди эпюр любых других направлений (некоторые показаны пунктиром). Из рис. 2,6 следует, что максимальная величина WT находится на направлениях в = +70,5° и где наиболее вероятно ожидать разрушение путем сдвига. На рис. 26 показано, что асимптотическая эпюра WT в зависимости отг для направлений в = +70,5° является максимальной по сравнению с эпюрами любых других направлений (некоторые показаны пунктиром). Можно предположить, что возможная начальная пластичность в зоне вершины трещины будет характеризоваться первыми дислокациями именно в направлениях в = +70,5°.
Какая энергия WG или WT (т. е. отрыв или сдвиг) для рассмотренного model окажет решающее значение при разрушении, будет, конечно, зависеть от физических и механических свойств материала.
б
а
Рис. 3. Плотность энергии деформации для modell: a -W„ = i (ar£r + авЕв); ó-WT = ^тгвугв
На рис. 3 также по формулам (5) и (6) построены эпюры плотности энергии деформации Wa и WT для modell при условных Е = 1, Сг = О, С2 = 1, v = 0,25. Из рис. 3,а следует, что максимальная величина Wa находится на направлениях в = +180°. Здесь полностью доминируют напряжения аг (см. рис. 1,6) и, следовательно, формально разрушение путем отрыва следует ожидать перпендикулярно этим направлениям. На рис. 2,а показано, что асимптотическая эпюра Wa в зависимости отгдля направлений в = +180° является максимальной по сравнению с эпюрами любых других направлений. Но растягивающие напряжения <тг действуют только на направлении вс = —180°, следовательно, распространение трещины должно пойти по последнему направлению (точнее, перпендикулярно направлению вс = —180°). Обратим внимание на направления в = ±70,5°, где полностью доминируют напряжения оg (см.рис. 1,6). Обычно именно эти направления распространения трещины для modell обсуждаются в научной литературе. Но как видно из эпюры рис. 3,а, энергия деформации на направлениях в = +180° существенно больше, чем на направлениях в = +70,5°. Следовательно, вариант с в = +70,5° отпадает как не перспективный по разрушению.
На рис. 3,6 построены эпюры плотности энергии деформации WT для modell при условных^ = 1, Сг = 0, С2 = l,v = 0,25. Из рисунка следует, что максимальная величина WT находится на направлении в = 0 ° и, следовательно, разрушение путем сдвига следует ожидать именно здесь. На рис. 3,6 пока-
зано также, что асимптотическая эпюра У\1Т в зависимости отг, для направления в = 0° является максимальной по отношению к эпюрам любых других направлений. Это доказывает наибольшую опасность указанного направления для распространения трещины путем сдвига.
Какая энергия Ша или У\1Т (отрыв или сдвиг) для рассматриваемой задачи тоёеП окажет решающее значение при разрушении, будет также зависеть от физических и механических свойств материала.
Далее (5) и (6) представим в виде:
где выражения для инвариантов 5а(в) и 5Т(0), характеризующих соответствующие асимптотические поля плотности энергии деформации, ясны из сравнения (5), (6) и (7), (8). Далее эти инварианты называются коэффициентами интенсивности плотности энергии деформации.
Условия разрушения (новые):
1. Трещина распространяется в направлении вс, где коэффициенты интенсивности плотности энергии деформации 5а(в) или 5Т(0) максимальны.
2. Начало распространения трещины происходит в направлении вс, определенном условием 1, когда или 5Т(0) достигают своих критических значений Бас или 5ТС .
Другими словами, трещина имеет два возможных варианта распространения: в направлении вс, для которого Ба(6)максимален (среди всех прочих направлений) или в направлении вс, для которого 5Т(0) максимален (также среди всех прочих направлений). Критические значения коэффициентов Бас или 5ТС для соответствующих вс вычисляются, исходя из знания критических коэффициентов С1с и С2с (см. формулы (5) - (8)), а те в свою очередь - из знания разрушающей нагрузки (требуется эксперимент). И последнее - по формулам (7) или (8) находится локальная критическая плотность энергии деформации Шас или Штс на расстоянии г = гс. Расстояние гс трактуется как весьма малый радиус цилиндрической центральной зоны у вершины трещины, где материал нельзя считать сплошной средой ввиду сингулярности напряжений.
Для оценки правильности полученных теоретических выводов обратимся к результатам экспериментов, проведенных в свое время С.С. и Б. Егск^ап[5].Большие пластины из плексигласа (хорошее приближение к идеально хрупкому материалу, V = 0,35) с центрально расположенными и произвольно ориентированными трещинами были подвергнуты растяжению (рис. 4, а).
Щ =
(7)
(8)
а б
Рис. 4. Одноосное растяжение: а- пластина с трещиной; б-углы начального разрушения
Коэффициенты интенсивности напряжений для этого случая задаются уравнениями:
Сг = о ¡-Бт2Р;
(9)
С2 = о \-sinf} СОБ р.
(10)
Теоретические углы начального разрушения показаны на графике рис. 4, б. При каждом угле /? были испытаны по четыре пластины.График содержит только средние значения углов разрушения вс.
Результаты экспериментов дают хорошее совпадение с теоретической кривой, построенной по формуле (5).
Как утверждал А. Эйнштейн - любая теория будет правильной, если она внутренне непротиворечива и подтверждается экспериментом. Это имеет место в разработанной автором модифицированной теории «локальная плотность энергии деформации» применительно к механике хрупкого разрушения.
Список литературы
1.0вчаренко Ю.Н.К теории (концепции) разрушения «локальная плотность энергии деформации» // ИзвестияТульского государственного университета. Естественныенауки. 2014. Вып. 4. С. 80-91.
76
2. Sih G.C. A special theory of crack propagation.Mechanics of frac-ture.Vol. l.Ed.by G.C. Sih.The Netherlands.Noordhoff International Publish-ing.Leyden,1973.P. XXI - XLV.
3. Sih G.C. Strain energy density factor applied to mixed mode crack problems // International Journal of Fracture.1974.Vol. 10.№ 3. P. 305 - 321.
4. Овчаренко Ю.Н. Теорияипрактика V-образных вырезов в механике разрушения / Ю.Н. Овчаренко. Тула: Изд-воТулГУ, 2003. 167 с.
5.Erdogan F., Sih G.C. On the Crack Extension in Plates Under Plane Loading and Transverse Shear // Journal of Basic Engineering. 1963. Decem-ber.P. 518 - 527.
Овчаренко Юрий Николаевич, канд. техн. наук, доц., ovcharenkos@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
EXPERIMENTAL VERIFICATION OF A MODIFIED THEORY "LOCAL DENSITYOF STRAIN ENERGY"
Y.N. Ovcharenko
From the position of mechanics of brittle fracture a modified theory of local density of strain energy and its experimental verification are presented.
Key words: local density of strain energy, linear fracture, mode I, mode II, the propagation direction of the crack.
OvcharenkoYuryNikolaevich, candidate of technical sciences, docent, ovcharen-kosarambler. ru, Russia, Tula State University
\
