Упругие характеристики трехкомпонентных антифрикционных композитов с ориентированными неизометричными включениями Текст научной статьи по специальности «Физика»

150

Техника и технологии

2 D

« =~/т ■■

3D

«2 = Т ,

где----параметр кривизны кривой, 1/мм.

R

В проведенных расчётах для сечения 20, в котором регламентирован допуск запаса металла на износ D = 10 мм, определен радиус входа на возвышение R = 3784 мм.

Заключение

В отличие от уравнений кривых конструкций прототипов, полученная формула является приближенной, но обеспечивающей точность расчётов в пределах точности изготовления конструкции. Она довольно проста. Для расчёта ординат кривой не требуется специальных прикладных программ, и при необходимости он может быть выполнен даже в полевых условиях.

Библиографический список

1. А. с. 1245640 СССР, МКИ Е 01 В 7/10. Крестовина для рельсовых пересечений / В. В. Го -воров, В. Ф. Яковлев, Е. П. Ясеновец (СССР). -№ 3830559 ; заявл. 07.12.1984 ; опубл. 22.03.1986, Бюл. № 27. - 2 с. : ил.

2. А. с. 2410481 РФ, МПК Е 01 В 7/10. Крестовина для рельсового пересечения / В. В. Гово -ров, А. В. Колтаков (СССР). - № 2009136733/11 ; заявл. 05.10.2009 ; опубл. 27.01.2011, Бюл. № 3. -2 с. : ил.

3. А. с. 2427680 РФ, МПК Е 01 В 7/10. Крестовина для пересечений заводских железных дорог / В. В. Говоров, А. В. Колтаков. - № 201013 0746/11 ; заявл. 21.07.2010 ; опубл. 27.08.2011, Бюл. № 24. - 2 с. : ил.

4. Геометрические неровности рельсовых нитей / В. Ф. Яковлев // Тр. ЛИИЖТа. - Вып. 222. -Л. : Транспорт, 1964. - С. 59-67.

5. Железнодорожный путь / В. Ф. Яковлев, Л. А. Андреева. - СПб. : Петербургский гос. ун-т путей сообщения, 2002. - С. 58-62.

УДК 539.3

И. В. Колесников

Ростовский государственный университет путей сообщения, Ростов-на-Дону

УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРЕХКОМПОНЕНТНЫХ АНТИФРИКЦИОННЫХ КОМПОЗИТОВ С ОРИЕНТИРОВАННЫМИ НЕИЗОМЕТРИЧНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Решена задача вычисления эффективных упругих характеристик трехкомпонентных матричных композитов с эллипсоидальными включениями одинаковой формы, ориентированными параллельно некоторой плоскости в двух взаимно перпендикулярных направлениях. При этом материал включений, расположенных в одном из указанных направлений, отличен от материала включений в перпендикулярном направлении. Для антифрикционного композита на основе эпоксидного связующего ЭПАФ с включениями из ПТФЭ и БЩ-стекла выполнены модельные расчеты параметров упругой анизотропии в различных направлениях, учитывающие изменения формы и концентрации эллипсоидов.

матричные композиты, включения, матрица, эффективные модули упругости, анизотропия, моделирование.

2012/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Техника и технологии

151

Матричные композиты находят широкое применение в узлах трения и сопряжений машин и механизмов. Однако использование двухкомпонентных материалов антифрикционного назначения в тяжелонагруженных узлах трения ограничено ввиду их малой удельной прочности и несущей способности. Поэтому для таких узлов целесообразно создавать многокомпонентные композиты исходя из синтеза конструкционного материала с антифрикционным [1, 2]. По мере распространения износостойких антифрикционных композитных материалов, наряду с совершенствованием технологий изготовления, требуется дальнейшая разработка общих принципов их конструирования. Эта разработка возможна как на основе экспериментального исследования поведения рабочих слоев в процессе трения, так и прогнозирования напряженно-деформированного состояния неоднородного материала. Поэтому наряду с экспериментальными подходами, широко применяемыми для решения этой задачи, важную роль играют теоретические методы моделирования и расчета физикомеханических (в частности, упругих) свойств создаваемых композитов. Такие модели дают возможность изучить влияние концентрации, геометрических и механических параметров структурных элементов на распределение компонент полевых тензоров (например, тензоров напряжений и деформаций) [3].

Вопросы, связанные с прогнозированием эффективных (эксплуатационных) упругих характеристик нетекстурированных композитов в зависимости от состава и концентрации элементов неоднородности, рассматривались многими специалистами. Подробный обзор этих исследований можно найти в [3]. Однако проблеме прогнозирования эффективных упругих характеристик многокомпонентных композитов в научной литературе уделено значительно меньше внимания. Задача прогнозирования эффективных модулей упругости трехкомпонентных нетекстурированных композитов на эпоксидной основе антифрикционного назначения в зависимости от состава и концентрации элементов неоднородности решена в [4].

На практике армирование антифрикционных композитных материалов часто производится неизометричными включениями [3,

5]. Так, в узлах трибосопряжений применяются композиты, армированные тканями, у которых по основе и по утку используются различные материалы (например, скользуны боковых опор электровоза). Широкое распространение в тяжелонагруженных узлах трения получили композиции на основе полимерного связующего и арматуры - волокон из политетрафторэтилена (ПТФЭ) или графита, ортогональных стекло- или углеволокон. Подобное армирование приводит к появлению анизотропии физико-механических свойств создаваемых композитов. Эта анизотропия может быть усилена или ослаблена в зависимости от требований, предъявляемых к материалу [3, 5].

Модели прогнозирования эффективных упругих свойств таких материалов строятся на основе представления их структуры в виде статистически однородных матричных композитов [6], армирование которых производится включениями эллипсоидальной формы, ориентированными в различных направлениях. При этом необходимо учитывать текстуру формы, ориентацию и концентрацию включений.

Положим далее, что температурные условия стабильны, в частности, отсутствуют линейные расширения элементов неоднородности композита. Кроме того, не будем учитывать наличие температурного градиента в трибосопряжении, приводящего не только к градиенту механических свойств, но и к инициированию диффузионных, электрических и трибохимических процессов в зоне фрикционного контакта.

Эффективные упругие характеристики

матричных композитов определяются с по*

мощью тензора четвертого ранга c , связывающего средние значения напряжений <о (r)>

и деформаций <8И (r)> в материале (i, j, k, l = = 1, 2, 3) [3, 6]:

<Oj(r) > = j <Ski (r) >

где r - радиус-вектор случайной точки среды; угловые скобки здесь и далее определяют

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2012/3

152

Техника и технологии

процедуру статистического усреднения по ансамблю, которое для статистически однородных композитов, т е. при выполнении гипотезы эргодичности, совпадает с усреднением по объему.

Общая схема расчета эффективных упругих свойств матричных композитов в рамках теории случайных функций выглядит следующим образом [6]. Представим тензоры напряжений о, деформаций s и модулей упругости c в виде суммы средних значений и флуктуаций (для удобства в дальнейшем, по возможности, индексы в записи компонент тензоров и элементов матриц будем опускать): o(r) = <o(r)> + o'(r), s(r) = <s(r)> + + s'(r), c(r) = <c(r)> + c'(r). Полагая, что флуктуации линейно зависят от средних значений, получим: o'(r) = P(r)<o(r)>, s'(r) = = Q(r)<e(r)>. Тензоры P(r) и Q(r) являются интегральными операторами, описывающими взаимодействие между включениями. Таким образом, связь между локальными и средними напряжениями и деформациями в материале может быть представлена в виде

o(r) = (I + P(r)) < o(r) >, s(r) = (I + Q(r)) < s(r) >,

где I - единичный тензор четвертого ранга.

Эффективные упругие характеристики получаются из решения системы стохастических дифференциальных уравнений 2-го порядка (уравнений равновесия):

Lg (r) uj(r) = -f(r), (1)

где Ly.(r) = Vkcijk(r)Vl - дифференциальный оператор, а f (r) и w.(r) - компоненты соответственно вектора объемных сил и вектора смещения.

Для бесконечной среды решение этой системы можно отыскать, используя метод функций Грина с помощью специально вводимого однородного тела сравнения. Тогда выражение для расчета тензора эффективных модулей упругости представляется в следующем виде:

c* = <c(r)(I - Q(r)c"(r))-1 >

< (I - Q(r)c"(r))-1 >-1,

где (и далее) двумя штрихами обозначена разность между величинами неоднородной среды и однородного тела сравнения [6].

В данной работе используется обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей, предполагающее наложение некоторых ограничений на ядро интегрального оператора Q [6]. В рамках данного подхода для вычислений эффективных модулей упругости необходимо воспользоваться только сингулярной составляющей тензора Грина уравнений равновесия (1), зависящей лишь от дельта-функции Дирака. В этом случае интегральная свертка дельта-функции переводит интегральный оператор Q в постоянный функционал g, который можно вычислить с помощью Фурье-образа сингулярной составляющей второй производной тензора Грина уравнений равновесия, что физически означает предположение однородности полей напряжений и деформаций в пределах отдельного элемента неоднородности. Расчетной формулой обобщенного сингулярного приближения теории случайных полей является выражение

c* = <c(r)(I - gc"(r))-1 > (2)

< (I - gc"(r))-1 >-1,

где g - интеграл от сингулярной составляющей второй производной тензора Грина уравнений равновесия [6], являющийся тензором четвертого ранга с компонентами

gijkl ai)(kl)(j ,

(3)

где aikU =--[nkn. taldQ, dQ = sin0d0d9,

4n

t- - элементы матрицы, обратной матрице T с элементами t а = cckljnknj, а nk и nj (k, j = 1, 2, 3) - компоненты вектора внешней нормали к поверхности включения.

Для эллипсоидальных включений с главными полуосями l1, l2 и l3 компоненты

вектора нормали определяются соотноше-

1 • 0 1 • 0 •

ниями nx = — Sin 0 cos ф, n2 =— Sin 0 Sin ф ,

1

l1

l

n3 = — cos 0. По парам индексов i и j, k и l, l

2012/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Техника и технологии

153

заключенным в выражении для компонент g ы тензора g в круглые скобки, осуществляется операция симметризации. Верхний индекс «с» в записи компонент cckl тензора модулей упругости обозначает, что рассматриваются упругие характеристики однородного тела сравнения.

Соотношение (2), как показано в [3, 5], может быть использовано для расчета эффективных характеристик статистически однородных матричных композитов с включениями неизометричной формы, ориентированными друг относительно друга.

Остановимся подробнее на процедуре усреднения. В случае выполнения условия эргодичности можно, как указывалось, использовать усреднение по объему (для каждого компонента неоднородного материала). Тогда операция усреднения по всему объему материала для некоторой случайной величины a(r) сводится к суммированию

< a(r) > = Zvs < as(r) > Vs, (4)

s

где vs - объемная концентрация компонента s-го типа, У v s = 1; а a (r) и V - соответ-

5 t—i s 5 sx х s

s

ствующие ему случайная величина и объем

[3, 6].

Рассмотрим далее трехкомпонентный матричный композит с эллипсоидальными включениями одинаковой формы (l1, l2 и l3 -главные полуоси этих эллипсоидов) в предположении, что армирование производится только в направлениях осей x и у лабораторной системы координат (рис. 1). При этом материал включений, ориентированных в направлении оси x, отличается от материала включений, ориентированных в направлении оси у. Положим, что включения представляют собой эллипсоиды вращения. Причем l1 = L, l = l3 = 1 - для включений, ориентированных в направлении оси x; l = L, l1 = l3 = 1 - для включений, ориентированных в направлении оси у.

Пусть v1, v2, v3 (v1 + v2 + v3 = 1) - объемные концентрации компонентов рассматриваемого композитного материала, где индексы «1» и «2» относятся к включениям, а «3» - к матрице. Упругие модули эллипсоидальных

Рис. 1. Элемент трехкомпонентного матричного композита, армированный эллипсоидальными включениями в направлениях осей x и у

включений, ориентированных в направлении оси х, соответствуют ПТФЭ (антифрикционная фаза), а модули упрочняющей фазы в направлении оси у - бесщелочному (БЩ) стеклу. Свойства матрицы соответствуют полимерному связующему ЭПАФ (эпоксидный материал на основе триглицидилпараамино-фенола) [7]. Модули упругости и плотности компонентов композита, согласно [7-9], представлены в таблице.

С учетом (4) получаем удобное для численных расчетов выражение для вычисления эффективных упругих характеристик трехкомпонентных композитных материалов:

c* = (v1 < c1( 1- gcT1 >v +

+ v2 < C2(I — g2C2) >V2 +v3 < c3 >V3) X

x(v1 <(I - gcT1 >V +

+ v2 < (1 - g2c2)-1 >V2 + v31 Г\

где g1 и g2 - тензор g с компонентами, вычисляемыми по соотношению (3) и соответствующими эллипсоидальным включениям, ориентированным своей главной полуосью L в направлениях осей х и у соответственно; cs (s = 1, 2, 3) - тензоры модулей упругости s-го компонента композита.

Положим далее, что компоненты модельного композита изотропны. Для модельных

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2012/3

154

Техника и технологии

ТАБЛИЦА. Свойства компонентов композита (E - модуль Юнга, у - коэффициент Пуассона, р - плотность)

Тип компонента Материал компонента E, ГПа Y р, г/см 3

1 ПТФЭ (включения, ориентированные по оси х) 0,15 0,33 2,20

2 Стекло БЩ (включения, ориентированные по оси у) 76,2 0,22 2,54

3 ЭПАФ (матрица) 5,4 0,46 1,30

расчетов эффективных упругих характеристик в работе при операциях с тензорами использовалась их матричная форма записи, переход к которой осуществлялся по общепринятым правилам [6]. При этом ненулевые элементы c(i, j = 1, ..., 6) матрицы тензора модулей упругости c для изотропного материала выражаются через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона у (см. табл.) следующим образом [6]:

С11 = С22

= E (1 -у) ,

(1 + y)(1 -2 у)’

С44 = С55 = С(

E ; 2(1 + у) ’

С12 = С21 = С13 = С31 = С23 = С32 =

E у

(1 + у)(1 -2 у)

На практике принято использовать не объемные концентрации элементов неоднородности, а их концентрации по массе (в процентах). Процентные концентрации по массе включений рр р2 и связующего р3 связаны соответственно с их объемными кон -центрациями vp v2, v3 и плотностями р р2, р3 (табл. 1) с помощью формул

р; =------^----------100%, i = 1,2,3,

P1V1 +Р2v 2 +P3V3

поэтому все результаты модельных расчетов приведены далее относительно процентной концентрации элементов неоднородности по массе.

Эффективные упругие характеристики модельных материалов вычислялись в приближении самосогласования [3, 6]. С этой целью была организована итерационная процедура, в которой в качестве параметров тела сравнения брались значения тензора модулей упругости (в матричной форме записи), полученные на предыдущем шаге итерации. В качестве начальных значений параметров тела сравнения брались упругие характеристики, полученные в приближении Хилла (среднего арифметического между значениями, полученными в приближениях

Ройсса CReuss = (^(С1)-1 + <Л(С2)-1 +

и ФойгТа ^ = v1c1 + ^С2 + vзcз) [6]. Выход из итерационной процедуры осуществлялся, когда максимальная разница между эффективными модулями составляла менее 0,01. Отметим, что для каждого значения L и концентрации изотропных компонентов материала требовалось проводить порядка 15 итераций.

Результаты модельных расчетов значений ненулевых элементов с* (ГПа) матрицы тензора эффективных модулей упругости в зависимости от длины главной полуоси L и концентраций рр р2 включений эллипсоидальной формы при концентрации матрицы р3 = 30 % приведены на рис. 2.

На основании модельных исследований и расчетов эффективных модулей упругости композита можно заключить, что характер зависимости значений ненулевых с* от длины главной полуоси L эллипсоидальных включений существенно нелинеен, причем

2012/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Техника и технологии

155

Рис. 2. Зависимости отличных от нуля эффективных модулей упругости композита с* (ГПа) от длины главной полуоси L и концентраций включений:

1 - р1 = 4 %, р1 = 66 %; 2 - р1 = 7 %, р2 = 63 %; 3 - р1 = 10 %, р2 = 60 %

при 0,5 < L < 10 эта нелинейность проявляется в наибольшей степени. При L > 10 происходит стабилизация значений с*. Увеличение концентрации антифрикционных включений ПТФЭ при сохранении массовой доли эпоксидного связующего ЭПАФ приводит к уменьшению значений с* с сохранением характера их зависимости от изменения длины L. Следовательно, необходимы дополнительные экспериментальные и теоретические исследования по оптимизации концентрации ПТФЭ с целью максималь-

ного улучшения трибохарактеристик рассматриваемого композитного материала без существенного снижения его упругопрочностных свойств. Это особенно важно для антифрикционных композитов, работающих в тяжелонагруженных узлах трения.

Были выполнены также расчеты коэффициентов упругой анизотропии Ax, Ay и Az в направлениях соответственно осей x, y и z лабораторной системы координат (рис. 1). Параметры анизотропии Ax и Az вычислялись по следующим формулам:

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2012/3

156

Техника и технологии

A = cii ci2 . a = Сз3 C23 2C44 2C66

Параметр анизотропии Ay вычислялся по формуле для коэффициента A но для этого при проведении модельных расчетов производилась переориентация между собой включений 1-го и 2-го типов (т. е. включения из ПТФЭ ориентировались в направлении оси y, а включения из БЩ -стекла - в направлении оси x). Результаты вычислений представлены на рис. 3.

сделаны именно для данного диапазона изменения L. Увеличение концентрации ПТФЭ при сохранении массовой доли эпоксидного связующего ЭПАФ приводит к большему отклонению от единицы значений коэффициентов анизотропии в направлениях x, y и z с сохранением характера их зависимости от изменения длины L. Самая заметная вариация параметров анизотропии при L > 1 происходит в направлении y, а в направлении z вариация анизотропии несущественна и значения Az близки к единице.

а)

б)

в)

Рис. 3. Зависимости коэффициентов анизотропии Ax (а), Ay (б) и Az (в) от длины главной полуоси L и концентраций включений:

1 - р1 = 4 %, р1 = 66 %; 2 - р1 = 7 %, р2 = 63 %; 3 - р1 = 10 %, р2 = 60 %

Отметим, что точка L = 1 на рис. 3 определяет переход от включений в форме дисков к включениям в форме волокон. В данной точке параметры анизотропии равны единице, что определяет изотропию эффективных упругих свойств материала. Кроме того, при увеличении длины главной полуоси эллипсоидальных включений до значений L = 10 наблюдается более существенное изменение коэффициентов анизотропии в направлениях всех осей лабораторной системы координат. Дальнейшее увеличение L не приводит к значительным изменениям этих параметров.

Важным для практики является случай L > 1, поэтому все остальные выводы будут

В заключение следует отметить, что дальнейшие исследования автора будут направлены на изучение влияния температуры и температурного градиента на физикомеханические характеристики многокомпонентных композитов антифрикционного назначения.

Библиографическй список

1. Материалы в триботехнике и в нестационарных процессах / А. В. Чичинадзе, Р. М. Матвеевский, Э. Д. Браун. - М. : Наука, 1986. - 240 с.

2. Полимерные композиционные материалы в триботехнике / Ю. К. Машков, З. Н. Овчар,

2012/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Техника и технологии

157

М. Ю. Байбарацкая, О. А. Мамаев. - М. : Недра, 2004. - 261 с.

3. Механика микроструктур (Эффективные и локальные свойства текстурированных поликристаллов и композитов) / В. Бардушкин, В. Яковлев. - Саарбрюккен : Lambert Academic Publishing, 2011. - 164 с.

4. Эффективные упругие характеристики антифрикционных композитов на эпоксидной основе / В. И. Колесников, В. В. Бардушкин, А. В. Ла-пицкий, А. П. Сычев, В. Б. Яковлев // Вестник ЮНЦ РАН. - 2010. -Т 6. - № 1. - С. 5-10.

5. Упругие свойства матричных композитов с неизометричными включениями / В. И. Колесников, В. В. Бардушкин, А. П. Сычев, В. Б. Яков-

лев // Известия вузов Северо-Кавказского региона. Технические науки. - 2004. - № 1. - С. 67-70.

6. Теория упругости микронеоднородных сред / Т. Д. Шермергор. - М. : Наука, 1977. -399 с.

7. Эпоксидные полимерные матрицы для высокопрочных и теплостойких композитов / А. В. Лапицкий // Клеи. Герметики. Технологии. -2010. - № 2. - С. 12-15.

8. Физические величины : справочник // Под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. - М. : Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

9. Стеклянные волокна : учеб. пособие / С. И. Гутников, Б. И. Лазоряк, А. Н. Селезнев. -М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 2010. - 53 с.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2012/3