УПРУГАЯ ЛИНЕЙНАЯ, БИЛИНЕЙНАЯ, НЕЛИНЕЙНАЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ И ГИПЕРУПРУГИЕ МОДЕЛИ КОЖИ

Муслов Сергей Александрович; Перцов Сергей Сергеевич; Чижмаков Евгений Александрович; Асташина Наталия Борисовна; Никитин Владислав Николаевич; Арутюнов Сергей Дарчоевич

Муслов С.А., Перцов С.С., Чижмаков Е.А., Асташина Н.Б., Никитин В.Н., Арутюнов С.Д. Упругая линейная, билинейная, нелинейная экспоненциальная и гиперупругие модели кожи. Российский журнал биомеханики, 2023, Т. 27, № 3, С. 89-103. БО!: 10.15593/Я7ЬВютеЬ/2023.3.07

РОССИИСКИИ ЖУРНАЛ БИОМЕХАНИКИ № 3,2023

RUSSIAN JOURNAL OF BIOMECHANICS

https ://ered.pstu. ru/index.php/rjb

Научная статья

БО1: 10.15593/К7ЬВютеЬ/2023.3.07 УДК 531/534 + 612.79

УПРУГАЯ ЛИНЕЙНАЯ, БИЛИНЕЙНАЯ, НЕЛИНЕЙНАЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ И ГИПЕРУПРУГИЕ МОДЕЛИ КОЖИ

С.А. Муслов1, С.С. Перцов12, Е.А. Чижмаков1, Н.Б. Асташина3, В.Н. Никитин4, С.Д. Арутюнов1

1 Московский государственный медико-стоматологический университет имени А.И. Евдокимова, Москва, Россия

2 Научно-исследовательский институт нормальной физиологии имени П.К. Анохина, Москва, Россия

3 Пермский государственный медицинский университет имени академика Е.А. Вагнера, Пермь, Россия

4 Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

О СТАТЬЕ

АННОТАЦИЯ

Получена: 07 декабря 2022 Одобрена: 08 сентября 2023 Принята к публикации: 10 сентября 2023

Ключевые слова:

кожа, линии Лангера, упругие свойства, гиперупругие модели

Результаты одноосных механических испытаний, проведенных на коже спины верхней, средней и нижней её части in vitro были сопоставлены с линейной, билинейной и нелинейной экспоненциальной, а также пятью гиперупругими моделями. Результаты показали, что деформационные свойства тканей зависят от её местоположения и наилучшим образом описываются экспоненциальной функцией а = a(exp(b-£) - 1), где a и b - материальные константы, зависящие от локализации и направленности образцов по отношению к линиям Лангера. Определены параметры упругих дифференциальных модулей Е(е) тканей (минимальные, средние и максимальные значения). Дифференциальный модуль упругости является инкрементальным (возрастающим с деформацией от 8.57 до 154.44 МПа), а уравнение регрессии имеет вид Е = abexp(b-£) (r = 0.998) и весьма точно характеризует его упругое поведение. Модуль Юнга образцов, параллельных линиям Лангера выше, чем в косом (45°) и поперечном направлении, а в средней части спины больше, чем в верхней и нижней части (Еср(е) = 56.59, 35.76, 21.74 МПа, соответственно), коэффициент упругой анизотропии равен 3.49. Рассмотрены линейная (r = 0.965) и билинейная (r = 0.967) упругие модели и определены численные значения параметров моделей. Для изучения гиперупругих свойств кожи были использованы: неогуковская, Муни-Ривлина, Огдена, полиномиальная и Веронда-Вестманн (V-W) феноменологические модели. Расчеты производились в системе компьютерной алгебры Mathcad 13.0 и многоцелевом пакете программ ANSYS 2022 R2. Определены параметры моделей и теснота корреляционной связи между опытными и расчетными данными. Коэффициент корреляции использовался как критерий соответствия моделей и реальных свойств тканей. Наибольшую корреляцию с экспериментальными значениями продемонстрировала полиномиальная модель (r = 0.9997) и модель Веронда-Вестманн (r = 0.999), наименьшую - неогуковская (r = 0.935). Значения модулей Юнга и других упругих и гиперупругих характеристик тканей сравнивались для изучения факторов, влияющих на механическое поведение кожи спины человека.

©ПНИПУ

© Муслов Сергей Александрович - к.ф.-м.н., д.б.н., профессор, e-mail: [email protected] : 0000-0002-9752-6804 © Перцов Сергей Сергеевич - д.м.н., профессор, член-корр. РАН, заведующий кафедрой, e-mail: [email protected] : 0000-0001-5530-4990

Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

Введение

Помимо мозга, никакой другой орган человеческого тела не играет такой центральной роли в нашей повседневной биологической и социальной жизни, как кожа. Кожа является первой линией защиты нашего тела от внешней среды и, следовательно, действует как первичный и важный физический интерфейс. Она контролирует многие виды обмена между нашим внутренним и внешним миром, которые имеют форму механических, тепловых, биологических, химических и электромагнитных процессов [29]. Её общая поверхность у взрослого человека составляет 1,5-2,0 м2, а объем составляет 1/6-1/7 часть от всего тела [1].

Изучению механических свойств кожи человека и животных посвящено большое число исследований. Чтобы разработать и подобрать подходящие материалы для замены тканей кожи с целью эффективного лечения, необходимо детально знать её биомеханические характеристики. Экспериментально показано, что по

Сравнение литератур

механическим свойствам кожа является нелинейным реологическим материалом, допускающим большие деформации [5]. Для измерения механических свойств кожи использовались различные методы: например, испытания на одноосное и двухосное растяжение [36, 48, 49, 53], многоосные испытания [33], испытания на кручение [34], вдавливание [43], всасывание (аспирацию) [20, 45, 50-52] и на вздутие [37].

По данным [41] в литературе модуль Юнга кожи колеблется от 0,42 до 0,85 МПа [10, 40] в испытаниях на кручение, от 4,6 до 20 МПа [31] в эксперименте на релаксацию напряжений и от 0,05 до 0,15 МПа [18, 23] в испытаниях на аспирацию. Большие расхождения в результатах могут свидетельствовать об изменениях, происходящих в коже в процессе старения, а также различиях в свойствах кожи в зависимости от ее анатомического расположения. Результаты других измерений представлены в табл. 1. Из таблицы следует, что результаты измерений модуля Юнга кожи в испытаниях на растяжение варьируются в диапазоне от 2,9 до 83,3 МПа.

Таблица 1

данных [11, 14] (М ± SD)

Авторы Тип теста Предел прочности UTS, МПа Деформация разрушения, % Модуль Юнга E, МПа Нач. модуль Юнга Ei, МПа Расположение Возраст

Jansen & Rottier, 1958 [25] In vitro растяжение 1-24 17-207 2,9-54,0 0,69-3,7 Ab 0-99

Dunn & Silver, 1983 [19] In vitro растяжение 2-15 - 18,8 0.1 Ab&T 47-86

Vogel, 1987 [46] In vitro растяжение 5-32 30-115 15-150 - V 0-90

Jacque-moud et al, 2007 [24] In vitro растяжение 5.7-12.6 27-59 19,5-87,1 - F&A 62-98

Agache et al., 1980 [9] In vivo кручение - - 0,42-0,85 - Спина 3-89

Diridollou et al., 1998 [17] In vivo всасывание - - 0,12-0,25 - A&F 20-30

Khatyr et al., 2004 [27] In vivo растяжение - - 0,13-0,66 - Tibia 22-68

Pailler-Mattei et al., 2008 [39] In vivo индентирование - - 0,0045-0,008 - A 30

Zahouani et al., 2009 [54] In vivo индентирование - - 0,00620,0021 - A 55-70

Gallagher et al., 2012 [22] In vitro растяжение 30,5±6,53 29,8±12,77 0,22±0,02 0,26±0,04 127,22±36,38 117,14±58,81 - Спина 82-85

Annaidh et al., 2012 [11] In vitro растяжение 21,6±8,4 54±17 83,3±34,9 1,18±0,88 Спина 81-97

Примечание: SD - стандартное отклонение, Ab - живот (abdomen), T- грудная клетка (thorax), V- разное (various), F-лоб (forehead)), A - рука (arm), Tibia - кожа ноги в области большеберцовой кости

Параметры кожи меняются с возрастом. В исследованиях на растяжение кожи [46, 47] выявлены возрастные различия. Предел прочности кожи, измеренный при одноосной нагрузке in vivo у ребенка, составило около 21 Н/мм2 (МПа), в то время как результат, измеренный у пожилых людей, снизился примерно до 17 Н/мм2 (МПа). Модуль упругости у детей в среднем составлял 70 Н/мм2 (МПа), в то время как у пожилых и взрослых модуль эластичности имел в среднем 60 Н/мм2 (МПа). Более того, средняя предельная деформация кожи перед разрывом составила 75% у новорожденных и 60% у пожилых людей.

Исследованию акустических свойств кожи и скорости распространения акустических поверхностных волн посвящены работы [2, 7]. Авторы показали, что упругие свойства кожи анизотропны и использовали этот феномен в качестве диагностического критерия. Коэффициент акустической анизотропии измеряли как отношение скоростей распространения поверхностной волны по двум взаимно перпендикулярным направлениям. В [6] исследованы механические свойства кожи как материала, проявляющего вязкоупругие свойства. Предложена модель, позволяющая описать реологическое поведение кожи, и определены параметры модели путем экспериментов на одноосное растяжение кожных лоскутов. Количественно оценены возрастные изменения механических свойств кожи и установлено влияние пола человека на механические свойства кожи.

Рис. 1. Образцы для механических испытаний относительно линий Лангера (пунктирные линии) [22]: T = Top, M = Middle, B = Bottom; L = Left, R = Right, C = Centre; H = Horizontal, V = Vertical (T = Верх, M = Середина, B = Низ; L = Слева, R = Справа, C = Центр; H = Горизонтальный, V = Вертикальный). Телесным цветом выделены образцы, использованные нами в данной работе при расчетах параметров упругих и гиперупругих свойств

В данной работе в контексте изучения упругих и гиперупругих феноменологических моделей кожного покрова человека мы применили данные, приведенные в работах Annaidh et al., 2012 [11] и Chanda, 2018 [14].

Материалы и методы

В исследовании использованы данные механических испытаний образцов кожи спины 7 пациентов (3-х мужчин и 4-х женщин) в возрасте 89±6 лет без сопутствующих прижизненных заболеваний на аутопсий-ном материале со скоростью деформации 0.012 с-1. Испытания на растяжение проводились на универсальной машине для механических испытаний. Образцы зажимались с помощью специально разработанных противоскользящих захватов. Растягивающую нагрузку измеряли с помощью 1 кН пьезоэлектрического тензодат-чика. Каждое испытание на растяжение снималось двумя цифровыми видеокамерами Dalsa Falcon 1.4M100 со скоростью 20 кадров/сек. Кожу для образцов вырезали из тела скальпелем. В соответствии со стандартом испытаний на растяжение вулканизированной резины ASTM D412 образцы в форме "собачья кость" изготавливали с использованием изготовленной на заказ матрицы. Каждый экземпляр имел эпидермис, а подлежащую жировую ткань осторожно удаляли скальпелем. Толщина кожи после удаления жировой ткани измерялась с помощью электронного штангенциркуля и в среднем имела толщину 2,56±0,39 мм [11].

Деформационные кривые были обработаны и дис-кретизированы с помощью приложения GetData Graph Digitizer 2.26. После оцифровки кривых их аппроксимировали экспоненциальными функциями с = a-(exp(6-e) - 1) с параметрами a и b. Данное приближение было успешно применено при изучении влияния вязкоупругости на болевые ощущения кожи в рамках квазилинейной модели вязкоупругости (quasi-linear viscoelasticity, QLV) [30]. На правомерность такой аппроксимации указывают также имеющиеся сведения об экспоненциальном характере зависимости деформация - напряжение для многих мягких биологических тканей [3]. Вычисления проводили с помощью функции genfit пакета Mathcad 13.0. Эта функция имеет синтаксис (е, с, VS, F) и применяется для нахождения параметров регрессии, доставляющих ей наилучшее приближение к данным, т.е. с её помощью можно оценить значения в промежутках между заданными точками. Модули Юнга E находили по формуле E = dc/de. Рассчитывали показатели: минимальное

^ емакс

Емин = E(0) = a b, среднее Еср (е) =- j E(e)dе и

е макс 0 0

максимальное Eмакс = E^^o) = a-bexp^^^) значения упругих модулей, а также удельную энергию деформации (упругую энергию на единицу объема)

емакс

w = j a(e)d& - площадь под кривой с-е.

0

По результатам испытаний также рассматривали линейные и билинейные с двумя модулями модели. В дополнении к исследованиям модуля Юнга рассчитывали константы гиперупругих неогуковской, Муни-Ривлина, Огдена, пятипараметрической полиномиальной и Ве-ронда-Вестманн (V-W) моделей кожи. Параметры гиперупругих моделей вычисляли опять же в системе компьютерной алгебры Mathcad 13.0 (с помощью функции Unfit) и в многоцелевом пакете программ ANSYS 2022 R2 (ANSYS Workbench - Static Structural - Hyperelastic).

В 2-х параметрической модели Муни-Ривлина 2-го порядка при одноосном растяжении зависимость напряжения от деформации гиперупругих тел описывается функцией [35]

а = 2|C,n -^У X--1 1 =

= 2СШ|Х-—I + 2С01|1 --I,

(1)

где с - инженерное (условное) напряжение, а две материальные константы С10 и С01 имеют размерность напряжений и определяют функцию плотности энергии деформированного материала как линейную комбинацию двух инвариантов левого тензора деформации Коши-Грина:

W = Cio (Ii - 3) + С01 (I2 - 3),

(2)

где I и I2 - первый и второй инварианты тензора, рав-

ные I = ц +Х2 +х 2

г 1 1 1

и I2 = 77 + 77 + 77 ^

Х1 Х2 Х3

а значения

X, = е,- + 1 (, = 1, 2, 3) - главные компоненты, е,- - главные относительные деформации. Если С2 = 0, модель эквивалентна неогуковской модели. При малых деформациях вклад С2 ничтожен и можно показать, что С1 связан с модулем Юнга соотношением Е = 6С1. Модель Муни-Рив-лина является дальнейшим развитием неогуковской модели. Модель была предложена М. Муни в 1940 году и выражена в терминах инвариантов Р. Ривлином в 1948 году.

В рамках гиперупругой модели Огдена формула для упругого потенциала при одноосной деформации

w = y^(хар -3), p=1а p

(3)

где i = 0, 1, 2 и

ст = 2(Х - Х-2 )[С10 + С01Х-1 + 2С20 (Х2 + 2Х-1 - 3) + + 2Х-1С02 (2Х + Х-2 - 3) + 3Qj (X -1 - Х-1 + Х-2)] =

= 2С10 (Х-£^ + 2С0111 -^^ + 4С20 (Х3 -3Х +1 + (6)

Х ■

3 2 I ^ ^ „ 1 3 1 I + "3--7 I+ 4С021 2Х-3---+ —--- I +

Х2 Х3 I 021 Х2 Х3 Х5 I

11

1

+6С111 X2-Х-1+ -5- + -Т—г

11 ^ X2 X3 X4

Полиномиальная модель - это наиболее общий вариант записи потенциала энергии деформации. Она лежит в основе других известных моделей [8].

Неогуковскую модель можно получить из полиномиальной модели 1-го порядка при С01 = 0 и С10 = ц/2, где ц - начальный модуль сдвига. Она представляет собой модель, аналогичную закону Гука, которая может быть использована для прогнозирования нелинейного поведения напряжений и деформаций материалов, испытывающих большие деформации. Модель была представлена Рональдом Ривлиным в 1948 году. В отличие от линейно-упругих материалов, кривая "напряжение-деформация" неогуковского материала не является линейной. На начальном этапе соотношение линейно, но в какой-то момент кривая выходит на плато. Это самая простая гиперэластичная модель, в которой используется постоянный модуль сдвига. Ее удобно использовать на начальном этапе, поскольку она требует минимального количества констант. Устанавливающие уравнения для этой модели:

W = ^(I1 -3), ст = 2цк2 -1

(7)

В иерархии моделей модель Веронда-Вестманн (Veronda-Westmann, V-W) задается соотношениями:

w = с [e

С2«-3)

-1] -

С1 С->

I - 3),

(8)

ст = 2С1С2еСг (Х2+2Х-1 -3) (Х -Х-2) + 2С3 (1 - Х"3)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и весьма часто применяется при анализе материалов с механическими нелинейными свойствами поскольку хорошо коррелирует с опытными данными [14].

Результаты и обсуждение

что дает

ст = £ц p (Ха p-Х-2 а p), p=1

(4)

где ц и а р - материальные константы, п - порядок модели. Это феноменологическая модель, основанная на главных относительных удлинениях в большей степени, чем на инвариантах деформаций [38].

В полиномиальной 5-параметрической модели 2-го порядка соответствующие выражения имеют вид [13; 42]:

W = £ Сv (I, - 3) • (I2 - 3)j

i=0 ,j=0

Упругие модели

Экспоненциальная модель. Были получены аналитические зависимости напряжение-деформация с-е для образцов кожи с = a-(exp(b-e) - 1) различных (верхнего, среднего и нижнего) отделов спины человека вдоль направлений: преимущественно 45° по отношению к линиям Лангера 1 (TLH), параллельно 3 (MLP) и перпендикулярно им 10 (BRV). На основании этих зависимостей получены формулы для дифференциальных упругих модулей данных участков кожи E = a-b-exp(b-e) и численные значения параметров a и b

n

(табл. 2). Графики регрессионных зависимостей Е = Е(е) представлены на рис. 2.

Из рисунка видно, что независимо от принадлежности образцов кожных покровов к тем или иным частям тела их дифференциальные модули являются инкрементальными, т.е. возрастающими по мере деформации от значений 9,31, 12,59 и 8,57 МПа образцов 1 (TLH), 3 (MLP) и 10 (BRV) до 90,71, 154,44 и 44,28 МПа в диапазоне относительных деформаций 0-0,67, 0-0,45 и 0-1, соответственно. Отметим, что такое деформационное поведение характерно для мягких биологических тканей [21].

Наиболее "мягкими" по параметрам (Ео, Еср(е) и Емакс) оказались образцы тканей кожи 10 (BRV), вырезанных из кожного покрова перпендикулярно линиям Лан-гера (p < 0,05). Больший модуль Юнга (в 2,05 раза) продемонстрировали образцы кожи, расположенные косо (под углом преимущественно 45°) к линиям Лангера. При тестировании выявлено, что кожа "жестче" параллельно линиям Лангера по сравнению с поперечным направлением (в 3,49 раз), что согласуется с данными [26]. Отметим, что модуль Юнга в средней части больше, чем в верхней и нижней части (Емин = 12,59, 9,31, 8,57

МПа, Еср(е)

56,59,

35,76,

21,74 МПа,

Емакс = 154,44, 90,71, 44,28 МПа, соответственно), что согласуется по порядку с данными [11], где изучали механические свойства кожи образцов верхнего (п = 12), среднего (п = 27) и нижнего (п = 17) отделов спины. Диаграмма растяжения позволяет определять энергетические характеристики материала. Упругая энергия, запасаемая кожей при деформации на единицу объема, также была наибольшей у образцов с осью параллельной линиям Лангера и наименьшей у образцов

перпендикулярной им (по данным [11] для Емакс). Таким образом упругие свойства тканей кожи спины человека, исследованные in vitro неоднородны и анизотропны. Пренебрегая неоднородностью, коэффициент анизотропии A вычисляли исходя из среднего значения дифференциального модуля Юнга Еср(е) по отношению к упругому модулю образцов кожи из нижней части спины, вырезанных перпендикулярно линиям Лангера.

Наравне с экспоненциальной моделью нами были исследованы линейная и билинейная с двумя модулями упругие модели. Результаты расчетов показаны в табл. 2 и на рис. 3 (на рисунке в качестве примера приведены данные для образцов в верхней части спины с расположением по отношению к линиям Лангера под углом 45°).

Линейная модель. Для определения параметров линейной модели также применяли функцию genfit Mathcad 13.0. Модуль Юнга моделей составил 26,98, 42,99 и 18,19 МПа для образцов 1 (TLH), 3 (MLP) и 10 (BRV), что отвечает интервалу значений Емин - Емакс моделей и немного меньше Е(е)ср (на 24.55, 24.03 и 16.33 %), соответственно.

Билинейная модель. Параметры двухпараметриче-ской билинейной модели кожи были заимствованы из экспоненциальной с помощью формул: E1 = Емин и E2 = Емакс (табл. 2). В результате были получены следующие значения модулей E1: 9,31, 12,59, 8,57 МПа и E2: 90,71, 154,44, 44,28 МПа для образцов 1 (TLH), 3 (MLP) и 10 (BRV), соответственно. На диаграмме с-е билинейная модель представлена касательными, проведенными к линии регрессии с координатами е = 0 и е = Емакс. При вычислении корреляции билинейной

160

J3

г:

Р?

о 3 >Я

3 I Я 1

л I

г rz Я И Я 1

4 I &

■в*

Я

150

100

50

S.567

J

/ то Em ^ю^ю)

/ / /

0.2

0.8

0.4 0.6

tu ^ Sio 1

Относительная деформация

Рис. 2. Кривые регрессии дифференциальных упругих модулей образцов кожи различных частей спины человека: 1 (TLH), 3 (MLP) и 10 (BRV) в диапазонах деформаций 0-0,67, 0-4,5 и 0-1

26.822

20

10

X

О, оо О® /

О/

<г / -

0.2

0.4

0.6

Ч С

0.7

Относительная деформация

Рис. 3. Линейная (коричневая линия) и билинейная (синие линии) модели упругих свойств кожи. Также представлена кривая (красная линия) с-е экспоненциальной модели и экспериментальные значения точками.

Образец 1 (ТРИ)

Таблица 2

Параметры линейной, билинейной и экспоненциальной моделей кожи

Образец Линии Лан-гера a, МПа b Емин (Ei), МПа Е(£)ср, МПа Емакс (E2), МПа A £макс Энергия деформации W, МДж/м3 Е, МПа SD/ R

1*, TLH** 45° 2,74 3,40 9,31 35,76 90,71 2,05 0,67/0,52 5,21/2,49 26,98 0,645/ 0,997

3, MLP II 2,26 5,57 12,59 56,59 154,44 3,49 0,45/0,46 3,55/3,81 42,99 0,571/ 0,998

10, BRV ± 5,21 1,64 8,57 21,74 44,28 1 1/0,61 8,02/2,29 18,19 0,13/ 0,999

Примечание: *нумерация согласно Chanda, 2018 [14], **обозначения - Gallagher et al., 2012 [22] (рис. 1), коэффициент анизотропии А (по максимальному значению дифференциального модуля Юнга Емакс), SD - стандартное отклонение, R - коэффициент корреляции, емакс и W: Chanda, 2018 [14], Annaidh et al., 2012 [11].

зависимости с опытными данными, чтобы составить из двух матриц одну, применяли функцию Mathcad stack (A, B, С, ...).

Отметим, что точка пересечения касательных екр. соответствует моменту "переключения" режима деформирования биологических тканей и тесно связана с особенностями механизма их деформации (рис. 4). Для обследованных образцов 1 (TLH), 3 (MLP) и 10 (BRV) выявлены следующие значения екр.: 0,45, 0,31 и 0,63. Как следует из рис. 4 на начальной стадии растяжения тканей "работает" только эластиновая матрица с низким модулем упругости, она является несущим элементом, а кол-лагеновые волокна всё ещё волнистые и лишь при е = екр. в процесс деформирования "включаются" гораздо более "жесткие" коллагеновые волокна, что сопровождается возрастанием модуля Юнга и снижением податливости материала. При этом характер переплетения коллагено-вых пучков делает возможным значительное растяжение кожи благодаря вовлечению соседних структур и переориентированию волокон пара-

Таблица3

Статистические параметры соответствия экспоненциальной, линейной и билинейной моделей (МаМеай 13.0)

Параметр Образец Экспоненциальная Линейная Билинейная

SD 1, TLH 0,645 2,833 4,45

3, MLP 0,571 3,2 4,44

10, BRV 0,13 1,833 2,59

R 1, TLH 0,997 0,9606 0,9514

3, MLP 0,998 0,9558 0,9636

10, BRV 0,999 0,9775 0,9851

ллельно друг другу [15]. Следует отметить, что оба типа волокон образуют структурную и функциональную целостность. Существует не менее шестнадцати типов коллагена, причем типы I, II и III составляют около 80-90% коллагена в организме [41]. Диаметр коллагеновых волокон колеблется от 50 до 200 нм.

Магкет,со$г X. и соавт. [32] использовали простую модель сети коллагеновых волокон в дерме для расчета уровня деформации, при котором жесткость кожи резко увеличивается. Коллагеновая сеть была смоделирована как состоящая из небольших прямых волокон единичной длины, прикрепленных друг к другу. Угол в точках крепления рассматривался как случайная величина, распределенная с равной вероятностью от 0 до 180°. Они предсказали, что все волокна выпрямляются при деформации е = 57 %, что хорошо согласуется с нашими оценками, представленными выше. Тем не менее, следует отметить, что этот вывод сделан, исходя из предположения, что направления волокон совершенно случайны, что противоречит наблюдениям линий Лангера.

Статистические параметры соответствия моделей эмпирическим данным представлены в табл. 3. Видно, что наименьшее стандартное отклонение ББ модельных данных от экспериментальных значений имеет экспоненциальная модель независимо от локализации образцов и их направленности, наибольшее демонстрирует билинейная модель кожи. Соответственно, лучше всего коррелирует с экспериментальными данными экспоненциальная модель механических свойств кожных покровов, меньшая сила связи опытных и модельных данных зафиксирована у билинейной (г = 0.967) и линейной (г = 0.965) моделей.

Гиперупругие модели

Поведение гиперупругих материалов, называемых еще эластомерами, с точки зрения механики деформируемого тела описывается нелинейными законами зависимостей напряжение - деформация. В этом случае закон Гука не может применяться, а взаимосвязь между напряжениями и деформациями задается с помощью потенциала энергии деформаций. В организме человека большинство мягких тканей также считаются гиперупругими. Разнообразные гиперупругие модели используются для оценки механического поведения мягких тканей, и не всегда этот выбор является обоснованным. В связи с этим выбор адекватных численных моделей и определяющих соотношений для гиперупругих материалов, является актуальной задачей в современной биомеханике [8].

Неогуковская модель. Действительно, кривая "напряжение-деформация" неогуковского материала не является линейной (рис. 5, а). Более того, на начальном этапе соотношение линейно, но в какой-то момент кривая выходит на плато, что не соответствует деформационному поведению кожи. Об этом говорит и весьма высокое стандартное отклонение модельных кривых от экспериментальных (табл. 5) и достаточно низкий

коэффициент корреляции г = 0.935, что даже меньше, чем у линейной упругой модели (0,965). Единственный параметр модели (д) представлен в табл. 4 и 6. Среднее значение параметра модели д

(М ± БП) 6,79 ± 2,31 (Ма^саф и 4,86 ± 0,81 (АМБГБ), выборочное среднее 5,82 ± 1,88 (МПа). Как известно модуль сдвига д связан с модулем Юнга материалов соотношением Е = 2 (1+ V)- д ~ 3д, где V ~ 0,5 - коэффициент Пуассона. Принимая Е = Е(0), получаем приемлемое соответствие между начальным модулем Юнга в упругой экспоненциальной модели (табл. 2) и гиперупругой неогуковской модели (табл. 4 и 6).

Модель Муни-Ривлина. Закон Муни-Ривлина (рис. 5, б) является наиболее употребительным при моделировании гиперупругих материалов. Его соотношения базируются на выражении для функции плотности энергии деформаций, которая учитывает до девяти параметров в виде комбинации инвариантов тензора деформаций. Мы применили для простоты анализа двух-параметрическую модель. Недостатком этой модели оказалась неустойчивость, которая проявляется в интервале малых деформаций (при росте нагрузки деформация имеет противоположный знак),в результате модель не подходит для описания малых деформации материала. Тем не менее, модель имеет высокие статистические параметры (г > 0,994). Средние выборочные значения (М ± БП) параметров Муни-Ривлина Сю и С01 составили: 25,31 ± 15,95 и -27,39 ± 18,06 МПа, соответственно.

Модель Огдена. Из рис. 5, в видно, что модель Огдена лучше, чем неогуковская модель подходит для описания гиперупругих свойств кожи (г = 0.998). Но на диаграмме с-е (образец 1 (ТЬИ)) на начальном участке она слишком трудно набирает деформацию, а при больших, наоборот, резко устремляется вверх. В связи с

этим невязка модели

-Е (°(1-) )2 пРи-

Vй-1 /

мерно той же величины, что и у модели Муни-Ривлина (0,586 и 0,754, соответственно). Другая трудность, связанная с этой и следующими рассматриваемыми моделями, заключается в том, что параметры материала не имеют физического смысла, и, соответственно, их сложно интерпретировать [4]. Тем не менее отметим, что значение д, умноженное на три, ожидаемо дает по порядку величины начальный модуль Юнга: Е ~ 3д. Среднее значение (М ± БП) параметра д = 1,35 ± 0,34 {Магкса^) и д = 0,74 ± 0,53 (АМБГБ), параметра а = 5,85 ± 1,85 (Майса^) и а = 8,84 ± 3,85 (АМБГБ), что весьма значительно отличается от данных [44] д = 0,4-7,5 МПа, а = 12 (кожа свиньи) и д = 0,11 МПа, а = 9 (кожа человека). Авторы Ьш е( а1. (2011) сообщили следующие результаты для свиной кожи: д = 0.01-0.3 МПа, а = 7-11 [28].

Полиномиальная и модель Веронда-Вестманн. Очевидно, оптимальными для описания гиперупругих свойств кожи являются полиномиальная модель (рис. 5, г) и модель Веронда-Вестманн (рис. 5, д). Они из всех

использованных моделей (рис. 5, е) имеют наибольший коэффициент корреляции (r >0,9995 и r > 0,999, соответственно) и хорошо описывают экспериментальные кривые нагружения (табл. 5). Действительно, полиномиальные модели обладают лучшими интерполяционными свойствами и являются одними из наиболее часто используемых эмпирических моделей для подгонки кривых.

Здесь надо остановиться на следующем моменте. В табл. 4 сведены данные по параметрам исследованных гиперупругих моделей, полученные с помощью приложения Mathcad 13.0 с помощью функции linfit, в табл. 6 и 7 - ANSYS 2022 R2. Однако данные, полученные в 1-м приложении, весьма разнились от полученных во 2-м для всех образцов. В связи с этим согласно рекомендациям [12] мы повторили расчеты в ANSYS 2022 R2, применив при вводе данных так называемые истинные (Коши) напряжения и деформации (табл. 7) вместо инженерных (условных) (табл. 6). Действительно, согласно [12] при работе с программой ANSYS, начиная с версии 5.0, требуется вводить значения напряжений и деформаций в виде истинных напряжений и деформаций. Для одномерного случая истинные деформации подсчитываются по формуле

= ln(. 1/10\

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(9)

где - истинные деформации, I - текущее значение длины, /0 - начальная длина. Истинная деформация

представляет собой среднюю величину деформации при изменении длины стержня от исходного значения до текущего. Чтобы перейти от инженерных напряжений и деформаций к истинным, нужно использовать следующие соотношения:

= ст (1 +е . . ),

e engineering V engineering''

Ztrue ln(1 + Zengineering

(3)

где - истинные напряжения.

Однако и переход к истинным напряжениям и деформациях не дал ожидаемого сходства данных, полученных в программах Mathcad 13.0 и ANSYS 2022 R2. В связи с этим мы приводим в тексте статьи оба варианта расчета данных в пакете ANSYS 2022 R2 (табл. 6 и 7) - через инженерные и истинные напряжения и деформации.

Следует отметить, что результаты расчета коэффициентов моделей в программах Mathcad 13.0 и ANSYS 2022 R2 полностью совпали только после переключения пункта меню "Нормированная ошибка (Normalized error)" на "Абсолютная ошибка (Absolute error)". Кроме того, мы сравнили модельные кривые для полиномиальной модели, полученные в программах Mathcad 13.0 и ANSYS 2022 R2 на основе табл. 6. (инженерные напряжения и деформации) (рис. 6). Как видно, в исследованном интервале деформаций, приведенном в [11], кривые практически идентичны, а отсутствие сходства в данных связаны, возможно, с различными итерационными процедурами, применяемых приложениями в процессе расчета параметров моделей. Также отметим, что по своей природе функция Mathcad linfit сильно зависит от исходного приближения. При наличии локальных минимумов это может привести к нестабильным моделям.

В заключении отметим неоднородность/анизотропию гиперупругих свойств тканей кожи спины (рис. 7). Помимо различной локализация и направленности образцов свой "вклад" в вариабельность параметров ги-пе-рупругих моделей внесли (как было отмечено) различные методы обработки данных.

Выводы

1. Упругие свойства тканей кожи спины человека неоднородны и анизотропны.

СТэ..

I I Эластиновая матрица Коллагеновые волокна

с-кр.

б

Рис. 4. Механизм билинейной упругости, обусловленный запаздыванием в натяжении коллагеновых волокон (я), и

соответствующая численная модель (б) [16]

а

Муни-Ривлина

25

20

10

а к

■и «

-0,852 -10

- о О

1,2

1.4

Я, Г

Коэффициент деформации

б

1,6

1.7

25 20

а к

■и

В! &

10

1

1,2

Огдена

Полиномиальная

/

о о ООэйепСО

О/ /

1.4

1 Я, Г

Коэффициент деформации в

1,6

1.7

25 20

% 10

В! &

-К

о О ОРо1утют(0

1 —

1,2

1.4

Я, Г

1,6

1.7

Коэффициент деформации

г

Сводная (все модели)

д

25

20

10

а к

■и

В! &

-0,852 -10

^ оОБЛм(0 °Мн(0 аРо1упот(0 0^(0 °УУУ(0 ¡А

/

/ /

1,2

1.4

Я, Г

Коэффициент деформации е

1,6

1.7

Рис. 5. Гиперупругие модели кожи (МаМсаё 13.0). Образец 1 (ТЬИ): а - неогуковская, б - Муни-Ривлина, в - Огдена, г - полиномиальная, д - Веронда-Вестман, е - сводная

а

Таблица 4

Параметры гиперупругих моделей кожи (Mathcad 13.0)

Гиперупругая модель Образец МПа a C10, Ci, МПа C01, C2, МПа C20, C3, МПа C02, МПа C11, МПа

Неогуковская (д) 1, TLH 6,306 - - - - - -

3, MLP 9,308 - - - - - -

10, BRV 4,757 - - - - - -

Му ни-Ривлина (С10, С01) 1, TLH - - 27,371 -31,605 - - -

3, MLP - - 52,319 -58,216 - - -

10, BRV - - 13,215 -14,821 - - -

Огдена (д, а) 1, TLH 0,96 6,302 - - - - -

3, MLP 1,526 7,428 - - - - -

10, BRV 1,568 3,815 - - - - -

Полиномиальная (С10, С01, С20, С02, С11) 1, TLH - - 52,062 -53,675 -126,89 -320,132 393,138

3, MLP - - 33,823 -34,295 -196,07 -392,465 557,61

10, BRV - - -9,164 11,721 7,749 26,323 -24,169

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Veronda- Westmann (С1, С2, С3) 1, TLH - - 18,552 -1,218 25,868 - -

3, MLP - - 31,207 0,639 -20,818 - -

10, BRV - - 23,716 -0,66 20,395 - -

Таблица 5

Статистические параметры соответствия гиперупругих моделей (Mathcad 13.0)

Параметр Образец Неогуковская Муни-Ривлина Огдена Полиномиальная Веронда-Вестманн

SD 1, TLH 3,762 0,727 0,693 0,161 0,239

3, MLP 4,067 0,735 0,931 0,249 0,286

10, BRV 2,876 0,801 0,133 0,12 0,414

R 1, TLH 0,928 0,995 0,9958 0,9998 0,9995

3, MLP 0,93 0,996 0,9982 0,9995 0,9994

10, BRV 0,948 0,994 0,9998 0,9999 0,9983

Примечание: SD - стандартное отклонение, R - коэффициент корреляции

Таблица 6

Параметры гиперупругих моделей кожи (АЖУБ 2022 Я2, инженерные деформации и напряжения)

Гиперупругая модель Образец МПа а Cio, Ci, МПа Coi, Ci, МПа Cio, C3, МПа Coi, МПа Cii, МПа Ошибка

Неогуковская (Ц) 1, TLH 4,2S - - - - - - S,77

3, MLP 4,51 - - - - - - 11,1S

10, BRV 5,7S - - - - - - 4,4S

Муни-Ривлина (2-х параметр.) (Сю, См) 1, TLH - - 16,95 -17,50 - - - 1,95

3, MLP - - 32,91 -33,90 - - - 1,S5

10, BRV - - 9,07 -S,31 - - - 1,55

Огдена (1-го порядка) (ц, а) 1, TLH 0,50 S,7S - - - - - 1,26

3, MLP 0,3S 12,72 - - - - - 1,59

10, BRV 1,35 5,02 - - - - - 1,04

Полиномиальная (2-го порядка) (Сю, См, С20, С02, Сц) 1, TLH - - -3,44 4,67 -S,09 -13,95 2S,S4 1,03

3, MLP - - -9,74 10,S6 S2,51 159,2 -207,5 1,02

10, BRV - - 17,6S 40,10 -14,73 -37,12 11,3S 1,01

N

Примечание: Нормализованная ошибка = ~а'м)2

;=1

Таблица 7

Параметры гиперупругих моделей кожи (АЖУБ 2022 Я2, истинные деформации и напряжения)

Гиперупругая модель Образец МПа а Cio, Ci, МПа Coi, Ci, МПа Cio, C3, МПа Coi, МПа Cii, МПа Ошибка

Неогуковская (ц) 1, TLH 4,75 - - - - - - 11,65

3, MLP 3,59 - - - - - - 15,94

10, BRV 7,33 - - - - - - 9,S9

Муни-Ривлина (2-х параметр.) (Cío, Coi) 1, TLH - - 31,95 -33,66 - - - 3,25

3, MLP - - 53,46 -55,64 - - - 1,SS

10, BRV - - 24,96 -25,93 - - - 2,S6

Огдена (1-го порядка) (ц, а) 1, TLH 0,32 12,S4 - - - - - 1,17

3, MLP 0,21 17,S4 - - - - - 2,65

10, BRV 0,73 S,72 - - - - - 1,49

Полиномиальная (2-го порядка) (Cio, Coi, C20, C02, Cii) 1, TLH - - 6,50 -5,69 46,40 -6,35 -43,16 1,04

3, MLP - - 115,62 -11S,2 -1357 -2514 3676 0,06

10, BRV - - 133,17 -137,3 -274,5 -754,4 SS0,9 0,6S

N

Примечание: Нормализованная ошибка = S(CTLe )2

i=1

Коэффициент деформации Рис. 6. Сравнение полиномиальной модели 2-го порядка, рассчитанной в программах Mathcad 13.0 и ANSYS 2022

R2 (инженерные напряжения и деформации). Образец 1 (TLH)

60

40

20

и 1

в

% -20

о. ■и

-40

-60

Рис. 7.

ИН-ц

МР-С2 \ЛЛ/-С1 \ЛЛ/-С2

Оц Оа

и гТ

и ^

та

о.

та

600

400

200

-200

-400

Р-С10 Р-С01 Р-С20 Р-С02 Р-С11

Неоднородность/анизотропия параметров гиперупругих свойств тканей кожи спины по данным табл. 4 и 6: NH - неогуковская, MR - Муни-Ривлина, O - Огдена, VW - Веронда-Вестманн, P - полиномиальная

гиперупругие модели

2. В рамках экспоненциальной модели дифференциальный модуль Юнга описывается функцией E = a•b•exp(b•£) (г = 0,998) и является инкрементальным, т.е. возрастающим по мере деформирования. Модуль Юнга кожного покрова параллельно линиям Лангера выше, чем под углом 45° и в поперечном направлении, а в средней части больше, чем в верхней и нижней части спины ^^(8) = 56,59, 35,76, 21,74 МПа), что соответствует литературным данным. Коэффициент упругой анизотропии A = 3,49. Проанализированы линейная (г = 0,965) и билинейная с 2-я модулями (г = 0,967) упругие модели тканей и определены

параметры этих моделей. Линейно-упругие модели недостаточно точно описывают наблюдаемое поведение материала.

3. При описании гиперупругих свойств кожи применены феноменологические модели: неогуковская, Муни-Ривлина, Огдена, полиномиальная и Веронда-Вестманн (V-W). Для оценки механического поведения кожной ткани лучше всего подходят гиперупругие модели на основе 5-параметрической полиномиальной модели и модели Веронда-Вестманн (г = 0,9997 и г = 0,999, соответственно).

4. При работе с приложением ANSYS 2022 R2 необходимо учитывать различия между инженерными

(условными) и истинными (Коши) напряжениями и деформациями материалов, а также пункт меню

"Normalized error"/"Absolute error".

Список литературы

1. Гребенюк Л.А., Утёнкин А.А. Механические свойства кожного покрова человека // Физиология человека. -1994. - № 2. - C. 157-162.

2. Кравец В.И., Федорова В.Н., Притыко А.Г. Анализ акустических свойств мягких тканей как метод функционального контроля состояния ран челюстно-лицевой области и шеи // Вестник РГМУ. - 2010. - № 4. - C. 33-37.

3. Лямец Л.Л. Применение экспоненциальных полиномов для структурного биомеханического анализа сосудистой стенки // Математическая морфология: электронный математический и медико-биологический журнал. - 1997. -Т. 2, № 1. - С. 71-82.

4. Немавхола Ф., Панделани Т., Нгвангва Г. Применение гиперупругих моделей для описания поведения разных областей овечьего сердца на основе двухосных механических испытаний // Российский журнал биомеханики. -2022. - № 2. - С. 19-30. DOI: 10.15593/RZhBiomeh/2022.2.02

5. Федоров А.Е., Адамов А.А. Моделирование поведения кожи человека при больших деформациях // Российский журнал биомеханики. - 2007. - Т. 11, № 1. - С. 76-83.

6. Федоров А.Е., Самарцев В.А., Кириллова Т.А. О механических свойствах кожи человека // Российский журнал биомеханики. - 2006. - Т. 10, № 2. - С. 29-42.

7. Федорова В.Н., Фаустова Е.Е., Смирнова А.Н., Фаустова Ю.Е. Акустическая анизотропия кожи как диагностический критерий (обзор) // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. - 2016. -№ 1-4. - С. 558-562.

8. Шмурак М.И., Кучумов А.Г., Воронова Н.О. Анализ гиперупругих моделей для описания поведения мягких тканей организма человека // Master's Journal. - 2017. - № 1.

- С. 230-243.

9. Agache P., Monneur C., Leveque J., De Rigal J. Mechanical properties and Young's modulus of human skin in vivo // Archives of Dermatological Research. - 1980. - Vol. 269. - P. 221-232.

10. Agache P.G., Monneur C., Leveque J.L., de Rigal J. Mechanical properties and Young's modulus of human skin in vivo // Arch. Dermatol. Res. - 1980. - Vol. 269. -P. 127-133.

11. Annaidh A.N., Bruyère K., Destrade M., Gilchrist M.D., Ot-ténio M. Characterizing the anisotropic mechanical properties of excised human skin // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. - 2012. - Vol.5, iss. 1. - P. 139-148. DOI: 10.1016/j.jmbbm.2011.08.016

12. Browell R., Lin G. The power of nonlinear materials capabilities // ANSYS Solutions. - 2000. - Vol. 2, no. 1. -P. 15-21.

13. Calvo-Gallego J.L., Martínez-Reina J., Domínguez J. A polynomial hyperelastic model for the mixture of fat and glandular tissue in female breast // Int. J. Numer. Meth. Biomed. Engng.

- 2015. - Article no. e02723. DOI: 10.1002/cnm.2723

5. Значения модулей Юнга и других упругих и гиперупругих характеристик тканей сравнивались для изучения факторов, влияющих на механическое поведение кожи спины человека. Эти знания могут стать ключом к разработке эффективных методов лечения и трансплантации.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

14. Chanda A. Biomechanical modeling of human skin tissue surrogates // Biomimetics. - 2018. - Vol. 3. - Article no. 18. DOI: 10.33 90/biomimetics3030018

15. Daly C.H. Biomechanical properties of dermis // J. Invest. Dermatol. - 1982. - Vol. 79, suppl. 1. - P. 17-20.

16. Delalleau A., Josse G., Lagarde J.M., Zahouani H., Bergheau J.M. A nonlinear elastic behavior to identify the mechanical parameters of human skin in vivo // Skin Res. Tech-nol. - 2008. - Vol. 14. - P. 152-164. DOI: 10.1111/j.1600-0846.2007.00269.x

17. Diridollou S., Berson M., Vabre V., Black D., Karlsson B., Auriol F., Gregoire J.M., Yvon C., Vaillant L., Gall Y., Patat F. An in vivo method for measuring the mechanical properties of the skin using ultrasound // Ultrasound in Medicine & Biology. - 1998. - Vol. 24, no. 2. - P. 215-224.

18. Diridollou S., Patat F., Gens F., Vaillant L., Black D., Lagarde J.M., Gall Y., Berson M. In vivo model of the mechanical properties of the human skin under suction // Skin Res. Tech-nol. - 2000. - Vol. 6, no. 4. - P. 214-221. DOI: 10.1034/j.1600-0846.2000.006004214.x

19. Dunn M.G., Silver F.H. Viscoelastic behavior of human connective tissues: Relative contribution of viscous and elastic components // Connective Tissue Research. - 1983. - Vol. 12, no. 1. - P. 59-70.

20. Epstein M. Mathematical characterization and identification of remodeling, growth, aging and morphogenesis // J. Mech. Phys. Solids. - 2015. - Vol. 84. - P. 72-84.

21. Fung Y.C. Biomechanics: mechanical properties of living tissues. - Springer, 1983. - 2nd edition. - 586 p.

22. Gallagher A.J., Annaidh A.N., Bruyere K., Ottenio M., Xie H., Gilchrist M.D. Dynamic tensile properties of human skin // IRCOBI Conference 2012, 12-14 September 2012. -Dublin, 2012. - P. 494-502.

23. Hendriks F.M., Brokken D., Van Eemeren J.T., Oomens C.W., Baaijens F.P., Horsten J.B. A numerical-experimental method to characterize the non-linear mechanical behaviour of human skin // Skin Res. Technol. - 2003. - Vol. 9, no. 3. - P. 274-283. DOI: 10.1034/j.1600-0846.2003.00019.x

24. Jacquemoud C., Bruyere-Garnier K., Coret M. Methodology to determine failure characteristics of planar soft tissues using a dynamic tensile test // Journal of Biomechanics. - 2007. -Vol. 40, no. 2. - P. 468-475.

25. Jansen L., Rottier P. Some mechanical properties of human abdominal skin measured on excised strips // Dermatologica. - 1958. - Vol. 117. - P. 65-83.

26. Joodaki H., Panzer M.B. Skin mechanical properties and modeling: a review // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part H. Journal of Engineering in Medicine. -March 2018. - 21 p. DOI: 10.1177/095441191875

27. Khatyr F., Imberdis C., Vescovo P., Varchon D., Lagarde J.M. Model of the viscoelastic behaviour of skin in vivo and study

of anisotropy // Skin Research and Technology. - 2004. - Vol. 10. - P. 96-103.

28. Lim J., Hong J., Chen W.W., Weerasooriya T. Mechanical response of pig skin under dynamic tensile loading // Int. J. Impact Eng. - 2011. - Vol. 38, no. 2-3. - P. 130-135.

29. Limbert G. Mathematical and computational modelling of skin biophysics: a review // Proc. Math. Phys. Eng. Sci. -2017. - Vol. 473, no. 2203. - Article no. 20170257. DOI: 10.1098/rspa.2017.0257

30. Liu F., Li C., Liu S., Genin G.M., Huang G., Lu T., Xu F. Effect of viscoelasticity on skin pain sensation // Theoretical and Applied Mechanics Letters. - 2015. - Vol. 5, iss. 6. -P. 222-226. DOI: 10.1016/j.taml.2015.11.002

31. Manschot J.F., Brakkee A.J. The measurement and modelling of the mechanical properties of human skin in vivo. I. The measurement // J. Biomech. - 1986. - Vol. 19. -P. 511-515.

32. Markenscoff X., Yannas I. On the stress-strain relation for skin // J. Biomech. - 1979. - Vol. 12. - P. 127-129.

33. Mazza E., Papes O., Rubin M.B., Bodner S.R., Binur N.S. Nonlinear elastic-viscoplastic constitutive equations for aging facial tissues // Biomech. Model Mechanobiol. - 2005. - Vol. 4. - P. 178-189.

34. Mazza E., Papes O., Rubin M.B., Bodner S.R., Binur N.S. Simulation of the aging face // J. Biomech. Eng. -2007. - Vol. 129. - P. 619-623.

35. Melly S.K., Liu L., Liu Y., Leng J. A review on material models for isotropic hyperelasticity // Int. J. Mech. Syst. Dyn. -2021. - Vol. 1. - P. 71-88.

36. Muñoz M.J., Bea J.A., Rodríguez J.F., Ochoa I., Grasa J., Pérez del Palomar A., Zaragoza P., Osta R., Doblaré M. An experimental study of the mouse skin behaviour: damage and inelastic aspects // J. Biomech. - 2008. - Vol. 41. - P. 93-99.

37. Neumann C.G. The expansion of an area of skin by progressive distension of a subcutaneous balloon; use of the method for securing skin for subtotal reconstruction of the ear. Plastic and Reconstructive Surgery (1946). - 1957. - Vol. 19, no. 2. -P. 124-130. DOI: 10.1097/00006534-195702000-00004

38. Ogden R.W. Large deformation isotropic elasticity - on the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. - 1972. - Vol. 326, no. 1567. - P. 565-584.

39. Pailler-Mattei C., Bec S., Zahouani H. In vivo measurements of the elastic mechanical properties of human skin by indentation tests // Medical Engineering & Physics. - 2008. -Vol. 30, no. 5. - P. 599-606. DOI: 10.1016/j.medengphy.2007.06.011

40. Pailler-Mattei C., Beca S., Zahouani H. In vivo measurements of the elastic mechanical properties of human skin by indentation tests // Med. Engin. Phys. - 2008. - Vol. 30. - P. 599606.

41. Pawlaczyk M., Lelonkiewicz M., Wieczorowski M. Age-dependent biomechanical properties of the skin // Postepy Dermatol Alergol. - 2013. - Vol. 30, no. 5. - P. 302-306. DOI: 10.5114/pdia.2013.38359

42. Rackl M. Curve fitting for Ogden, Yeoh and polynomial models // ScilabTEC 2015. 7th International Scilab Users Conference, 21-22 May 2015. - Paris, 2015. - P. 1-11.

43. Rubin M.B., Bodner S.R. A three-dimensional nonlinear model for dissipative response of soft tissue // Int. J. Solids Struct. - 2002. - Vol. 39. - P. 5081-5099.

44. Shergold O.A., Fleck N.A., Radford D. The uniaxial stress versus strain response of pig skin and silicone rubber at low and high strain rates // International Journal of Impact Engineering. - 2006. - Vol. 32. - P. 1384-1402.

45. Taber L.A. Biomechanics of growth, remodeling and morphogenesis // Applied Mechanics Review. - 1995. - Vol. 48. - P. 487-545.

46. Vogel H.G. Age dependence of mechanical and biochemical properties of human skin. Part I. Stress-strain experiments, skin thickness and biochemical analysis // Bioeng. Skin. -1987. - Vol. 3. - P. 67-91.

47. Vogel H.G. Age dependence of mechanical and biochemical properties of human skin. Part II: hysteresis, relaxation, creep and repeated strain experiments // Bioeng. Skin. -1987. - Vol. 3. - P. 141-176.

48. Volokh K.Y. Modeling failure of soft anisotropic materials with application to arteries // J. Mech. Behav. Biomed. Mater.

- 2011. - Vol. 4. - P. 1582-1594.

49. Volokh K.Y. On irreversibility and dissipation in hyperelas-ticity with softening // Journal of Applied Mechanics. - 2014.

- Vol. 81, no. 7. - Article no. 074501. DOI: 10.1115/1.4026853

50. Volokh K.Y. Prediciton of arterial failure based on a microstructural bi-layer fiber-matrix model with softening // Proceeding of the Amse Summer Bioengineering Conference -2007. - 2007. - P. 129-130.

51. Weickenmeier J., Jabareen M. Elastic-viscoplastic modeling of soft biological tissues using a mixed finite element formulation based on the relative deformation gradient // Int. J. Nu-mer. Meth. Bio. - 2014. - Vol. 30. - P. 1238-1262.

52. Weickenmeier J., Jabareen M., Mazza E. Suction based mechanical characterization of superficial facial soft tissues // J. Biomech. - 2015. - Vol. 48. - P. 4279-4286.

53. Yang W., Sherman V.R., Gludovatz B., Schaible E., Stewart P., Ritchie R.O., Meyers M.A. On the tear resistance of skin // Nat. Commun. - 2015. - Vol. 6. - Article no. 6649.

54. Zahouani H., Pailler-Mattei C., Sohm B., Vargiolu R., Cenizo V., Debret R. Characterization of the mechanical properties of a dermal equivalent compared with human skin in vivo by indentation and static friction tests // Skin Research and Technology. - 2009. - Vol. 15, no. 1. - P. 68-76.

Финансирование. Исследование выполнено при финансовой поддержке Правительства Пермского края в рамках научного проекта «Разработка бионического протеза уха на основе интеллектуальных и медицинских 3D- технологий». Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

ELASTIC LINEAR, BILINEAR, NONLINEAR EXPONENTIAL AND HYPERELASTIC SKIN MODELS

S.A. Muslov1, S.S. Pertsov12, E.A. Chijmakov1, N.B. Astashina3, V.N. Nikitin4, S.D. Arutyunov1

1 Evdokimov Moscow State University of Medicine and Dentistry, Moscow, Russia

2 Anokhin Research Institute of Normal Physiology, Moscow, Russia

3 Perm State Medical University named after Academician E.A. Wagner, Perm, Russia

4 Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russia

ARTICLE INFO ABSTRACT

Linear, bilinear, exponential and hyperelastic models of human back skin are analyzed. The results showed that the elastic properties of tissues depend on its location and are best described by exponential functions a = aexp(b-£) - 1), where a and b are material constants that depend on the localization and orientation of the samples along relation to the Langer lines. The parameters of elastic differential moduli E(e) of tissues (minimum, average and maximum values) are determined. The differential modulus of elasticity is incremental (increasing with strain from 8.57 to 154.44 MPa), and the regression equation has the form E = abexp(b-£) (r = 0.998) and very accurately characterizes its elastic behavior.

The Young's modulus of samples parallel to the Langer lines is higher than in the oblique (45°) and transverse directions, and in the middle part of the back is higher than in the upper and lower parts (EaJ(z) = 56.59, 35.76, 21.74 MPa, respectively), the elastic anisotropy coefficient is 3.49. Linear (r = 0.965) and bilinear (r = 0.967) elastic models are considered, and the numerical values of the model parameters are determined.

To study the hyperelastic properties of the skin, neo-Hooke, Mooney-Rivlin, Ogden, polynomial and Veronda-Westmann (V-W) phenomenological models were used. The calculations were carried out using the Mathcad 13.0 computer algebra system and the ANSYS 2022 R2 multipurpose software package. The parameters of the models and the closeness of the correlation between experimental and calculated data are determined. The correlation coefficient was used as a criterion for the correspondence between models and real properties of tissues.

The polynomial model (r = 0.9997) and the Veronda-Westmann model (r = 0.999) demonstrated the highest correlation with the experimental values, the Ogden model (r = 0.891) and the neo-Hookean one (r = 0.935) demonstrated the lowest correlation with the experimental values. The values of Young's moduli and other elastic and hyperelastic characteristics of tissues were compared to study the factors influencing the mechanical behavior of human back skin.

©PNRPU

Received: 07 December 2022 Approved: 08 September 2023 Accepted for publication: 10 September 2023

Key words:

skin, Langer lines, elastic properties, hyperelastic models.

УПРУГАЯ ЛИНЕЙНАЯ, БИЛИНЕЙНАЯ, НЕЛИНЕЙНАЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ И ГИПЕРУПРУГИЕ МОДЕЛИ КОЖИ Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

ELASTIC LINEAR, BILINEAR, NONLINEAR EXPONENTIAL AND HYPERELASTIC SKIN MODELS

Текст научной работы на тему «УПРУГАЯ ЛИНЕЙНАЯ, БИЛИНЕЙНАЯ, НЕЛИНЕЙНАЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ И ГИПЕРУПРУГИЕ МОДЕЛИ КОЖИ»