CC BY
2
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 68
Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science
Научная статья УДК 519.217.2 doi: 10.17223/19988605/68/6
Управляемые системы массового обслуживания со стационарным равномерным распределением
Гурами Шалвович Цициашвили1, Юрий Николаевич Харченко2
12Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток, Россия 1 [email protected]. ru 2 [email protected]
Аннотация. Рассматривается способ введения в систему массового обслуживания дополнительных переходных интенсивностей, создающих равномерное стационарное распределение на множестве состояний. В его основе лежит выделение состояний, в которых сумма входных интенсивностей не равна сумме выходных интенсивностей. Между данными состояниями вводятся новые переходные интенсивности, которые преобразуют эти неравенства в равенства. Такое преобразование, с одной стороны, связано с процедурой очистки системы обслуживания от заявок. С другой стороны, эта процедура в какой-то степени моделирует процесс передачи информации от кратковременной памяти в долговременную. В работе процедура введения в граф переходных интенсивностей новых элементов понимается как управление в системе обслуживания. Примененные в работе алгоритмы введения новых переходных интенсивностей тесно связаны с процедурой определения максимального потока в сети и с методом северо-западного угла в линейном программировании.
Ключевые слова: стационарное распределение; переходные интенсивности; эргодичность; потоки в сетях.
Благодарности: Исследование выполнено в рамках государственного задания Института прикладной математики ДВО РАН (№ 075-00459-24-00).
Для цитирования: Цициашвили Г.Ш., Харченко Ю.А. Управляемые системы массового обслуживания со стационарным равномерным распределением // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 68. С. 59-65. doi: 10.17223/19988605/68/6
Original article
doi: 10.17223/19988605/68/6
Controlled queuing systems with a stationary uniform distribution Gurami Sh. Tsitsiashvili1, Yury N. Kharchenko2
12 Institute for Applied Mathematics, FEB RAS, Vladivostok, Russian Federation
1 [email protected]. ru 2 [email protected]
Abstract. The paper considers a method for introducing additional transient intensities into the queuing system, creating a uniform stationary distribution over a set of states. It is basing on the selection of states in which the sum of the input intensities is not equal to the sum of the output intensities. New transitional intensities are introducing between these states, which transform these inequalities into equalities. On the one hand, such a transformation is connecting with the procedure for clearing the service system of customers. On the other hand, this procedure to some extent simulates the process of transferring information from short-term memory to long-term memory. In this paper, the procedure for introducing new elements into the graph of transient intensities is understood as management in the queuing system. The algorithms used in the work for introducing new transient intensities are closely relating to the procedure for determining the maximum flow in the network and to the northwest angle method in linear programming.
Keywords: stationary distribution; transient intensities; ergodicity; flows in networks.
© ГШ. Цициашвили, Ю.А. Харченко, 2024
Acknowledgments: The research was carried out within the framework of the state assignment of the Institute of Applied Mathematics Far Eastern Branch of RAS (No. 075-00459-24-00).
For citation: Tsitsiashvili, G.Sh., Kharchenko, Yu.N. (2024) Controlled queuing systems with a stationary uniform distribution. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 68. pp. 59-65. doi: 10.17223/19988605/68/6
Введение
В настоящей работе вводится и анализируется способ управления одноканальной системой массового обслуживания с отказами с целью придания ей свойств, отображающих интересные для приложений закономерности реальных процессов. Эта система массового обслуживания является частным случаем систем стохастической очистки, которые принимают и накапливают входные данные случайных величин в течение случайных интервалов времени до тех пор, пока не будут выполнены определенные заранее критерии. Затем происходит мгновенная очистка некоторых или всех этих входных данных (см., напр.: [1-4]). В то же время имеется целая серия анатомо-психологических исследований по превращению кратковременной памяти в долговременную c участием гиппокампа [5-8].
Обращает на себя внимание, что для того, чтобы эти системы были приемлемы для многократного использования, они должны обладать достаточно сглаженным распределением на множестве состояний. Для этого здесь по аналогии со статистической механикой [9-11] конструируется система массового обслуживания с равномерным распределением на множестве состояний. Внимание именно к равномерному распределению объясняется тем, что для него характерно отсутствие каких-либо приоритетов для отдельных состояний. Причем равномерное стационарное распределение позволяет уменьшить вероятность попадания в состояние, характеризующееся уходом заявок из системы или переходом информации, описываемой числом заявок в системе, из кратковременной / оперативной памяти в долговременную.
На языке математического моделирования такие системы могут быть описаны [12, 13] с помощью стационарных уравнений Колмогорова-Чепмена, приводящих для заданного равномерного распределения к транспортной задаче линейного программирования (см., напр.: [14]). В настоящей работе рассматривается задача определения переходных интенсивностей в системе обслуживания, строящейся на основе системы с отказами и конечным числом мест ожидания с возможностью очистки и восстановления системы от заявок в случае заполнения всех мест ожидания. В работе процедура введения в граф переходных интенсивностей, описывающих систему обслуживания, новых элементов понимается как управление.
1. Система массового обслуживания с отказами
Рассмотрим модель одноканальной системы массового обслуживания с отказами M | M 111 m при превышении числом заявок верхней границы m. Опишем эту систему массового обслуживания дискретным марковским процессом x(t) с состояниями 0, 1, ..., m, характеризующими число заявок в системе. Предположим, что пуассоновский входной поток в эту систему обслуживания имеет интенсивность X, а интенсивность обслуживания равна ц. Тогда переходные интенсивности между состояниями системы имеют вид:
y(i,i +1) = А,, у(/ + 1,/) = (/' = 0,1,...,»7-1), (1)
и представлены на рис. 1.
Рис. 1. Переходные интенсивности в системе с отказами M | M 111 m Fig.1. Transient intensities in a system with failures
Обозначим р = А/ц коэффициент загрузки системы, тогда при р < 1 стационарная вероятность p(i) нахождения системы в состоянии i, i = 0, 1, ..., m, удовлетворяет равенству
(1 -р)рг 1 Pi=-—р^1Pi =——> р=1
1 -Р"
m +1
(2)
2. Система массового обслуживания с равномерным распределением стационарных вероятностей
Рассмотрим теперь задачу преобразования системы с отказами M | M 111 m в систему с равномерным распределением стационарных вероятностей. Для этого введем в систему M | M 111 m дополнительные интенсивности перехода, характеризующие очистку системы от заявок и восполнение системы удаленными заявками
у(0, m) = X, y(m,0) = ц. (3)
Переходные интенсивности в системе с очисткой от заявок представлены на рис. 2.
Рис. 2. Переходные интенсивности в системе с очисткой от заявок Fig. 2. Transient intensities in a system with clearance of customers
Элементарный расчет показывает, что состояния 0, 1, ..., m образуют цикл, в котором сумма интенсивностей, входящих в состояние i, равна сумме интенсивностей, выходящих из состояния (и равна X + ц). Отсюда следует, что стационарные вероятности нахождения в состояниях расширенной системы удовлетворяют равенству
1
P(i) =
m +1
i = 0,1 ,...,772,
(4)
а само стационарное распределение является равномерным. Тем самым введением только двух новых переходных интенсивностей, приведенных в формуле (3), стационарное распределение (2) преобразуется в равномерное стационарное распределение (4). Особенно сильно такое изменение сказывается для состояния 0, в которое дискретный марковский процесс x(t), характеризующий число заявок в системе в момент t, переходит из состояния m.
Замечание. Следует отметить, что введенные на рис. 2 переходные интенсивности у (0, m) = ц, у(m,0) = X могут быть и другими. Действительно, в вершинах 1, ..., m - 1 графа, изображающего состояния системы M | M |1| m и ее переходные интенсивности (см. рис. 1), разность между суммой выходных интенсивностей и суммой входных интенсивностей равна нулю. В вершине 0 эта разность равна X - ц, а в вершине m она равна ц - X. Поэтому, вводя между вершинами 0, m переходные интенсивности у(0, m) = ц', y(m,0) = X', X + ц ' = X '+ц, можно получить равенство нулю соответствующих разностей. Причем при X > ц можно выбрать X ' = X —ц + в, ц ' = в, в> 0. Аналогично, если ц > X, то, вводя между вершинами 0, m переходные интенсивности у(0, m) = X', у(m, 0) = ц', X + ц' = X'+ ц, мож-
но при ц' = ц — X + е, X' = е, е > 0, получить равенство нулю соответствующих разностей входящих и выходящих интенсивностей.
3. Объединение систем со стационарным равномерным распределением
Рассмотрим граф состояний и переходных интенсивностей для двух систем типа М | М111 т, по которым перемещаются заявки разного типа (например, звуковые и текстовые сообщения). Пусть нулевые состояния в этих системах описывают хранилище долговременной памяти. Такую систему можно изобразить с помощью рис. 3. Тогда новые переходные интенсивности между крайними состояниями этой системы можно определять отдельно для каждой из изображаемых подсистем типа М | М 111 т. Такая постановка вопроса позволяет перейти к более сложным системам, изображаемым, например, ациклическим ориентированным графом. Особенностью такой системы является тот факт, что стационарная вероятность каждого состояния равна 1/(т + т'+ 2)<1/(т +1). Примером такого объединения двух систем, подобных системе, представленной на рис. 2, является система, изображенная на рис. 3. Присоединяя к состоянию 0 не одну подобную рис. 2 систему, можно достичь существенного уменьшения стационарной вероятности нахождения в состояниях объединенной системы. Особенно это важно отнести к состоянию 0, являющемуся общим для объединяемых подсистем.
Рис. 3. Переходные интенсивности в объединенной системе Fig. 3. Transient intensities in the combined system
4. Теорема об эргодичности стационарного распределения
В заключение следует отметить, что все рассмотренные в работе утверждения основаны на следующей теореме.
Теорема. Предположим, что дискретный марковский процесс x(t) с конечным множеством состояний I и с переходными интенсивностями y(i, j), i, j е I, i Ф j, удовлетворяет следующему условию связности состояний для любых i, j е I, i Ф j. Пусть все состояния этого процесса являются сообщающимися, т.е. для V/',y е/ 3il,...,ir е /. г> 0. такими, что
Y(Mi) > 0, y(/j, /2) > 0,..., у(7., j) > 0, (5)
и для любых i е I выполняются равенства
I Y(i, j)= I y(j,i). (6)
jel ,j Ф jel, j Ф
Тогда марковский процесс является эргодическим, и его стационарное распределение p(i) является равномерным на множестве состояний I.
Действительно, из соотношений (5), (6) следует эргодичность (а значит, и существование единственного стационарного распределения) у дискретного марковского процесса x(t) [13, 14]. Причем из равенств (6) следует, что равномерное распределение р(г), I е I, удовлетворяет стационарному уравнению Колмогорова-Чепмена. Теорема позволяет строить различные обобщения переходных интенсивностей, приводящих к стационарному равномерному распределению соответствующих им дискретных марковских процессов.
А • с"
Рис. 4. Максимальная интенсивность перехода из выходного состояния m во входное состояние 0, обеспечивающая стационарное равномерное распределение сети Fig. 4. The maximum intensity of the transition from the output state m to the input state 0, which ensures a stationary uniform distribution of the network
В качестве примера рассмотрим объединение двух линейных цепочек состояний с общим начальным состоянием 0 и с длинами m'+ 2, m"+ 2, соединенных в общем конечном состоянии m (рис. 4) Пусть максимально допустимая разность интенсивностей (пропускная способность) X'— ц' у ребер первой цепочки равна c' > 0 , а у ребер второй цепочки пропускная способность X"— ц" равна с" > 0. Тогда сумма выходных интенсивностей из состояния 0 равна сумме входных интенсивностей в состояние m и равна Л = с'+ с". Эту величину можно трактовать как максимальный поток [15] в сети без ребра (m, 0) с заданными пропускными способностями ребер. Поэтому переходная интенсивность Л из состояния m в состояние 0 обеспечивает равенство сумм входных и выходных интенсивностей для этих состояний и является максимальной.
Заключение
В работе предпринята попытка введения в граф переходных интенсивностей, описывающих функционирование системы массового обслуживания, новых «взвешенных» ребер, обеспечивающих выполнение стационарных уравнений Колмогорова-Чепмена во всех узлах графа. Если исходный граф переходных интенсивностей представляет поток в терминах теоремы Форда-Фалкерсона, то имеются возможности введением нового ребра из выходной вершины во входную добиться выполнения этих уравнений во всех вершинах графа. Причем возникает возможность оптимизационной постановки для этого графа с помощью теоремы о максимальном потоке в детерминированной сети.
Список источников
1. Ghosh S., Hassin R. Inefficiency in stochastic queueing systems with strategic customers // European J. Oper. Res. 2021. V. 295 (1).
P. 1-11.
2. He Q.M., Bookbinder J.H., Cai Q. Optimal policies for stochastic clearing systems with time-dependent delay penalties // Naval
Res. Logist. 2020. V. 67 (7). P. 487-502.
3. Kim B.K., Lee D.H. The M/G/1 queue with disasters and working breakdowns // Appl. Math. Model. 2014. V. 38 (5-6). P. 1788-
1798.
4. Missbauer H., Stolletz R. Schneckenreither M. Order release optimisation for time-dependent and stochastic manufacturing
systems // Int. J. Prod. Res. 2024. V. 62 (7). P. 2415-2434.
5. Вартанов А.В., Козловский С.А. и др. Память человека и анатомические особенности гиппокампа // Вестник Московского
университета. Сер. 14. Психология. 2009. № 4. С. 3-16.
6. Lye T.C., Grayson D.A. et al. Predicting memory performance in normal ageing using different measures of hippocampal siz //
Neuroradiology. 2006. V. 48 (2). P. 90-99.
7. Lupien S.J., Evans A. et al. Hippocampal volume is as variable in young as in older adults: Implications for the notion of
hippocampal atrophy in humans // Neuroimage. 2007. V. 34 (2). P. 479-485.
8. Squire L.R. The legacy of patient H.M. for neuroscience // Neuron. 2009. V. 61 (1). P. 6-9.
9. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М. : Наука, 1990. T. 2: Термодинамика и молекулярная физика. 591 с.
10. Pathria R.K., Beale P.D. Statistical Mechanics. Elsevier, 2011. 540 p.
11. Gyenis B. Maxwell and the normal distribution: a coloured story of probability, independence, and tendency toward equilibrium // Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 2017. V. 57. P. 5365.
12. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М. : Высш. школа, 1982. 256 с.
13. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Киев : Наукова думка, 1983. 366 с.
14. Галяутдинов Р.Р. Транспортная задача: метод Северо-Западного угла // Сайт преподавателя экономики. 2013. URL: https://galyautdinov.ru/post/metod-severo-zapadnogo-ugla (дата обращения: 22.02.2024).
15. Кормен Т.Х. и др. Алгоритмы: построение и анализ. М. : Вильямс, 2006. 1296 c.
References
1. Ghosh, S. & Hassin, R. (2021) Inefficiency in stochastic queueing systems with strategic customers. European Journal of Opera-
tional Research. 295(1). pp. 1-11.
2. He, Q.M., Bookbinder, J.H. & Cai, Q. (2020) Optimal policies for stochastic clearing systems with time-dependent delay penal-
ties. Naval Research Logistics. 67(7). pp. 487-502.
3. Kim, B.K. & Lee, D.H. (2014) The M/G/1 queue with disasters and working breakdowns. Applied Mathematical Modelling.
38(5-6). pp. 1788-1798.
4. Missbauer, H., Stolletz, R. & Schneckenreither, M. (2024) Order release optimisation for time-dependent and stochastic manufac-
turing systems. International Journal of Production Research. 62(7). pp. 2415-2434
5. Vartanov, A.V. & Kozlovsky, S.A. et al. (2009) Human memory and anatomical features of the hippocampus. Vestnik Mos-
kovskogo universiteta. Ser. 14. Psikhologiya. 14(4). pp. 3-16.
6. Lye, T.C. & Grayson, D.A. et al. (2006) Predicting memory performance in normal ageing using different measures of hippocam-
pal siz. Neuroradiology. 48(2). pp. 90-99.
7. Lupien, S.J. & Evans, A. et al. (2007) Hippocampal volume is as variable in young as in older adults: Implications for the notion
of hippocampal atrophy in humans. Neuroimage. 34(2). pp. 479-485.
8. Squire, L.R. (2009) The legacy of patient H.M. for neuroscience. Neuron. 61(1). pp. 6-9.
9. Sivukhin, D.V. (1990) Obshchiy kurs fiziki [General Course of Physics]. Vol. 2. Moscow: Nauka.
10. Pathria, R.K. & Beale, P.D. (2011) Statistical Mechanics. Elsevier.
11. Gyenis, B. (2017) Maxwell and the normal distribution: A coloured story of probability, independence, and tendency toward equilibrium. Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 57. pp. 53-65.
12. Ivchenko, G.I., Kashtanov, V.A. & Kovalenko, I.N. (1982) Teoriya massovogo obsluzhivaniya [Theory of Queuing]. Moscow: Vysshaya shkola.
13. Kovalenko, I.N., Kuznetsov, N.Yu. & Shurenkov, V.M. (1983) Sluchaynye protsessy [Random Processes]. Kyiv: Naukova dumka.
14. Galyautdinov, R.R. (2013) Transportnaya zadacha: metod Severo-Zapadnogo ugla [Transport task: The method of the Northwestern corner]. [Online] Available from: https://galyautdinov.ru/post/metod-severo-zapadnogo-ugla (Accessed: 22nd February 2024).
15. Kormen, T.H. et al. (2006) Algoritmy: postroenie i analiz [Algorithms: Construction and Analysis]. Translated from English. Moscow: Vil'yams.
Информация об авторах:
Цициашвили Гурами Шалвович - профессор, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института прикладной математики ДВО РАН (Владивосток, Россия). E-mail: [email protected].
Харченко Юрий Николаевич — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института прикладной математики ДВО РАН (Владивосток, Россия). E-mail: [email protected]
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Tsitsiashvili Gurami Sh. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Main Researcher of the Institute of Applied Mathematics, the Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences, Vladivostok, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Kharchenko Yury N. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Researcher of the Institute of Applied Mathematics, the Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences, Vladivostok, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 12.04.2024; принята к публикации 03.09.2024 Received 12.04.2024; accepted for publication 03.09.2024
