CC BY
3
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 67
Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science
Научная статья УДК 519.217.2 doi: 10.17223/19988605/67/5
Стационарное распределение в системах массового обслуживания
с переменной структурой
Гурами Шалвович Цициашвили1, Юрий Николаевич Харченко2
12Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток, Россия 1 [email protected]. ги 2 [email protected]
Аннотация. Для построения математической модели системы массового обслуживания с переменной структурой в статье используется конструкция дискретных эргодических марковских процессов с непрерывным временем. Такая модель представляет собой объединение нескольких моделей систем обслуживания. Множество состояний объединенной системы является объединением множеств состояний объединяемых систем в отличие от классических систем обслуживания, в которых множество состояний системы является прямым произведением множеств состояний объединяемых систем. Переходные интенсивности между состояниями различных систем выбираются так, чтобы предельное распределение объединенной системы было смесью предельных распределений объединяемых систем с различными весами, определяемыми вводимыми переходными интенсивностями. В результате процесс функционирования объединенной системы получается переключением процессов, соответствующих различным объединяемым системам, в определенные моменты времени.
Ключевые слова: системы массового обслуживания; переменная структура; переходные интенсивности; смесь предельных распределений.
Благодарности: Исследование выполнено в рамках государственного задания Института прикладной математики ДВО РАН (№ 075-00459-24-00).
Для цитирования: Цициашвили ГШ., Харченко Ю.А. Стационарное распределение в системах массового обслуживания с переменной структурой // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 67. С. 42-48. doi: 10.17223/19988605/67/5
Original article
doi: 10.17223/19988605/67/5
Stationary distribution in queuing systems with a variable structure Gurami Sh. Tsitsiashvili1, Yury N. Kharchenko2
12 Institute for Applied Mathematics, FEB RAS, Vladivostok, Russian Federation
1 [email protected]. ru 2 [email protected]
Abstract. The construction of discrete ergodic Markov processes with continuous time is using to construct a mathematical model of a queuing system with a variable structure. This model is a combination of several models of queuing systems. The set of states of the combined system is a combination of sets of states of the combined systems, unlike classical queuing systems, in which the set of states of the system is a direct product of the sets of states of the combined systems. The transition intensities between the states of different systems are choosing so that the limit distribution of the combined system is a mixture of the limit distributions of the combined systems with different weights determined by the introduced transition intensities. As a result, the process of functioning of the combined system is obtaining by switching intensities corresponding to different combined systems at certain points in time.
Keywords: queuing systems; variable structure; switching intensities; mixtures of limit distributions.
© ГШ. Цициашвили, Ю.А. Харченко, 2024
Acknowledgments: The research was carried out within the framework of the state assignment of the Institute of Applied Mathematics Far Eastern Branch of RAS (No. 075-00459-24-00).
For citation: Tsitsiashvili, G.Sh., Kharchenko, Yu.N. (2024) Stationary distribution in queuing systems with a variable structure. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 67. pp. 42-48. doi: 10.17223/19988605/67/5
Введение
В последнее время в связи с развитием теоретико-информационного подхода к моделированию процессов самоорганизации в открытых физических системах со стохастичностью появилась возможность объединения динамической и информационной (управляющей) частей их описания в единую систему, когда в условиях конкуренции информационных и физических процессов эволюционное развитие термодинамической системы в значительной мере начинает определяться и ее информационными свойствами, включая информационное отношение к внешнему окружению (см., напр.: [1-4]).
В частности, при достижении сверхкритических значений управляющих параметров («информаторов», по терминологии Г. Хакена [5]) в самоорганизующихся открытых системах происходят вынужденные переходы между стационарными состояниями, при которых возникают упорядоченные пространственно-временные макроскопические образования (диссипативные структуры), сохраняющиеся только при наличии подкачки энергии, вещества и тому подобного из окружающей среды.
В мировой литературе хорошо представлены традиционные термодинамические и статистические аспекты спонтанного возникновения когерентных структур, т.е. процессов самоорганизации, при необратимых процессах в нелинейных термодинамических системах. Диссипация играет при образовании макроскопических структур конструктивную роль при микро- и макроуровневых методах описания (см., напр.: [6, 7]).
Различающая информация не только дает возможность адекватно описывать процессы хаотиза-ции и самоорганизации в классических термодинамических системах (см., напр.: [8]), но и позволяет исследовать вопрос о взаимодополняемости термодинамических и информационных потоков, вводимых в рассмотрение при моделировании спонтанных и вынужденных переходов между стационарными состояниями открытых сплошных сред, находящихся вдали от термодинамического равновесия. Аналогичные исследования проводились в рамках исследования экономического равновесия в пространственных системах [9].
Следует отметить, что наряду с термодинамическими системами близкими по постановке являются системы управления с меняющейся структурой и скользящими режимами [10-13], модели газовой динамики с распадом разрыва [14]. В теории массового обслуживания, по-видимому, наиболее близкой к рассматриваемой в статье модели является модель альтернирующего входного потока с последовательно меняющимися ON- и OFF-периодами [15]. Общим для этих систем (моделей) является переключение от одной системы (управления, движения газа, периода во входном потоке) к другой.
Данная идея положена в основу построения модели массового обслуживания с переменной структурой, рассмотренной в данной работе. Поэтому возникает необходимость попытаться распространить приведенный синергетический подход на системы массового обслуживания. Для построения математической модели СМО с внешним управлением используется конструкция дискретных эргодических марковских процессов с непрерывным временем, а сама модель представляет собой объединение нескольких СМО, причем множество состояний объединенной системы является объединением множеств состояний объединяемых систем. В этом состоит отличие от классических СМО, в которых множество состояний системы является прямым произведением множеств состояний объединяемых систем [16, 17].
Однако именно конструкция с объединением множеств состояний дает возможность ввести управляющие параметры («информаторы»). Таковыми являются переходные интенсивности между некоторыми состояниями, принадлежащими множествам состояний разных СМО, входящих в объединенную систему. При этом на эти интенсивности накладываются условия локального равновесия.
При исследовании свойств построенной СМО используются теоремы эргодичности для дискретных марковских процессов и стационарные уравнения Колмогорова-Чепмена. Это предполагает, что функционирование объединенной СМО определяется не протоколом перемещения заявок в системе, а интенсивностями переходов между состояниями объединенной системы и весами объединяемых систем. В результате получается достаточно общая конструкция СМО с внешним управлением, которая позволяет создавать новые модели СМО.
Основные результаты
В монографии [18] доказаны следующие утверждения. Назовем однородный марковский дискретный процесс Х(0 с множеством состояний X и переходными интенсивностями Х(х, у), х, у еХ,
неприводимым, если существует такое состояние х* е Х, которое достижимо из любого другого состояния. То есть для любого х Ф х либо А,(х, х ) > 0, либо найдется такая цепочка состояний х1,...,хп, что Х(х,х1)>0,Х(х1,х2)>0,...,Х(хп_1,хп)>0,Х(хп,х*)>0.
Теорема 1. Неприводимый однородный марковский процесс тогда и только тогда является эр-годическим, когда система уравнений
Х<хЩх,у) = &уЖу,х), х еХ, (1)
уф х уф х
имеет хотя бы одно решение и( х), х еХ, для которого сумма Х | и (х) |< да.
хеХ
Рассмотрим сначала два дискретных, однородных и неприводимых (а значит, эргодических) марковских процесса Хк (?), ? > 0, к = 1,2, с множествами состояний Хк, переходными интенсивностями Хк(хк,у)>0 и стационарными вероятностями р(х^),х*,у еХ. Из стационарных уравнений Колмогорова-Чепмена следуют равенства
Х р (х ж(хк, ук) = Х рк (ук ^ (ук, хк), хке Хк • (2)
ук ехк укехк
Теорема 2. Предположим, что между некоторыми состояниями х* е Х^, х* е Х2 этих двух процессов введены переходные интенсивности Л(х*,х**)>0, Л(х**,х**)>0, удовлетворяющие при некоторых с, С, 0 < С, С < 1, С + с2 = 1, условию локального равновесия
х*)Л (х*, х**) = С2 Р, (х**)Л (х**, х*). (3)
Тогда процесс X(V) с множеством состояний Х1 ^ Х2 и переходными интенсивностями
у1), х1, у1 е Х1; А^, у2), *2, у 2 еХ2; Л(х*, х**), Л(х**, х*), также является эргодическим, и его стационарные вероятности имеют вид:
% (х) = Ср (х), х е Х1; %( х2) = ^Р (х2), х2 еХ, (4)
и удовлетворяют стационарным уравнениям Колмогорова-Чепмена
%(х) ХМх,у1)= Е%(ух)^х(у1,х1), Х1 еХ1, х Фх*, у1еХ1 у1еХ1
Г \
я(*1*) Х^ х*, у1) + Л(х*, х*) = Х%( у1, х*) + %(х2)Л(х**, х*) (5)
V у1еХ1 / у1еХ1
%(х2) Х Мх2,у2) = Х %(у2)Му2,х2), х2 е Х
2, х2 Ф х2,
у2еХ2 угеХг
Г \
%(х*) Х^2(х*, у2) + Л(х**, х*) = Х%(у2)Му2, х**) + %(х1*)Л(х1*, х**).
V у2еХ2 / у2еХ2
Доказательство. Действительно, из формул (2), (4) следуют равенства
%(хк) Х хк (хк, ук )= Х %(ук (ук, хкх к=1,2.
ук еХк ук еХк
Поэтому для получения равенств (5) достаточно выполнения равенства
п( х1*)Л( х*, х*) = п( х*)Л( х*, х*),
вытекающего из равенств (3), (4).
Следствие 1. Пусть имеются m > 2 дискретных, однородных и неприводимых (а значит, эрго-дических) марковских процесса Хк (/), ^ > 0, с множествами состояний Хк, переходными интенсив-иостями Хк(хк,ук)> 0 и стационарными вероятностями Рк(хк), хк,ук <вХк,к = \,...,т. Предположим,
т
что при некоторых с1,...,ст,0 < с1,...,ст < 1 ,^ск =1 выполняются равенства
к=1
<Хк) = СкРк(.Хк1ХкеХк,к = 1,--;т, (6) п(х{)А(х{ ,х*2) = п(х*2)А(х*2,х*3), п(х*2)А(х*2,х*3) = п(х*3)А(х*3,х*4),..., (7)
х1 -1 )Л( -1 , -О = ^(x'm)Л(x'1, X11), Ф'тЖ^ х1) = П(х11)Л(х1, х1).
Тогда дискретный марковский процесс с множеством состояний X = Хк и переходными ин-
¿=1
тенсивностями
К »У к X Хк, ук е X,, к = 1,..., т, А(х'1, х2), А(х'2, х3*),..., Л^ ,х'т),А(х'т,х[), является однородным, неприводимым (и значит, эргодическим), и его предельное распределение совпадает с я(х), х еХ.
т
Замечание 1. Константы с1,...,ст,0<с1,...,ст < 1, ^ ск =1 определяются только т - 1 перемен-
к=1
ными. Поэтому константы А(х^,х2),А(х*2,х*3),...,А(х*т_1,х*т), А(х*т,х1) удовлетворяют равенствам
•2), А(х2,Х3,
а(х2Х) = %{хЖ^х1\ ч<Х) = п{х'2)К{х'2,х'ъ)
7Г(Х2) я(х3)
А/* *Ч = л( С1)Л( С^ хп) -Ч л( х!)Л( С х1)
Л(хт, х1 ) , *ч , Л(х1 , х2) , % .
яСО ^ФО
Причем по заданным константам с,,...,ст (всего их т - 1 независимых), по я(Х[),...,л(хт) и по Л(х1,х2) можно определить все остальные переходные интенсивности А(х2,х3),...,А(хт_1,хт), Л(хт,х*). Таким образом, эти переходные интенсивности определяются ровно m константами
С1 > • • • >ст_1 > Л(х1,х2).
Замечание 2. Наиболее интересный случай в Следствии 1, когда выполняются равенства ск = 1 / т, к = 1,.. .,т. В этом случае равенства (7) преобразуются в следующие:
Рг (х* )Л(х*, х*) = Р2 (х* )Л(х2, х*ъ), Р2 (х*, х*ъ)А(х*, х*ъ) = Р3 (х^ )Л(х^, х*),...,
Р ,(х* ,)Л(х* ,, х*) = Р (х* )Л(х*, х), Р (х*)Л(х*, х,*) = Р (х*)Л(х*, х*).
т—1 V т—1' V т—1 ' т ^ т V т' V т' т ^ т' V т' 1 ^ ^ 1 ' 2 ^
Пример. Предположим, что дискретные марковские процессы Х1 (/), Х2 (/), рассмотренные в Теореме 2, описывают число заявок в одноканальных системах массового обслуживания М | М 111 да с пуассоновскими входными потоками с интенсивностями \, Х2 и с интенсивностями обслуживания ^, ц2, р1 = ^<1, р2 = Х2/ц2 <1. Тогда дискретные марковские процессы X (0, Х2 (0 имеют предельные распределения
РМ =к) = (1-рМ, р2(х2 = 0 = (1 -р2)р'2, к,1 = 0,1,...
Выделим состояния х* = 0, х* = 0, выберем с, С, 0< С, С, С + С =1, и определим интенсивности переходов Л = Л(х*=0, х* = 0), Л = Л(х* = 0, х* = 0) из условия (6): ^ (1 — р = сг (1 — р . Таким образом, построен процесс X(t) с множеством состояний Х = Х1 ^ Х , положительные интенсивности переходов между состояниями определяются рис. 1.
Рис. 1. Положительные интенсивности перехода между состояниями множества X = и Х2 дискретного марковского процесса X(t) Fig. 1. Positive transition intensities between the states of the set X = X и X of a discrete Markov process X(t)
Вычисление предельного распределения дискретного марковского процесса с переходными ин-тенсивностями, определяемыми на рис. 1, является достаточно простой задачей. Но гораздо важнее добиться того, чтобы сохранялись пропорции между предельными вероятностями в состояниях множества X1 (в состояниях множества X2).
Замечание 3. Нетрудно проверить, что в примере, если в начальный момент времени 0 первая система находится в состоянии X(0) = x* = 0, то в любой момент t* > t0 перехода из состояния x* = 0 в состояние x* = 0 вторая система в последний момент своего функционирования перед моментом t * будет находиться в состоянии x* = 0. Иными словами, если T*=sup(t: t < t*, X(t) eX2), то X(T ) = x* = 0. Аналогично в любой момент t» перехода из состояния x* = 0 в состояние x* = 0 первая система в последний момент своего функционирования перед моментом t» будет находиться в состоянии x* = 0.
Замечание 4. Количество таких примеров можно существенно расширить, используя известные формулы для предельных распределений в различных системах массового обслуживания, количество заявок в которых описывается процессами гибели и рождения [18]. Аналогично для этой цели можно также использовать случайные процессы, описывающие число заявок в узлах открытой [16] или замкнутой [17] сети массового обслуживания, предельные распределения в которых подчиняются мультипликативным теоремам.
Заключение
В настоящей работе строится объединение нескольких систем массового обслуживания путем введения дополнительных переходных интенсивностей между выделенными состояниями объединяемых систем. В результате такого построения предельное распределение объединенной системы становится смесью предельных распределений объединяемых систем с некоторыми весами. Эти веса определяются переходными интенсивностями, введенными между специально выделенными состояниями объединяемых систем. Функционирование так построенной объединенной системы содержит отрезки времени, когда эта объединенная система работает как одна из объединяемых систем обслуживания до очередного момента переключения на другую систему обслуживания. Такая конструкция позволяет строить объединение не только отдельных систем, но и отдельных сетей массового обслуживания (открытых или замкнутых). Использование предложенной модели предполагается распространить на построение вероятностной модели скользящего режима в теории управления.
Список источников
1. Зубарев Д.П., Морозов В.Г., Рёпке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. М. : Физматлит, 2002. Т. 1. 431 с.
2. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. М. : Янус, 1995. Т. 1. 624 c.
3. Зарипов Р.Г. Принципы неэкстенсивной статистической механики и геометрия мер беспорядка и порядка. New Казань :
Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2010. 404 с.
4. Колесниченко А.В. Континуальные модели природных и космических сред: проблемы термодинамического конструиро-
вания. М. : ЛЕНАНД, 2017. 400 с.
5. Хакен Г. Информация и самоорганизация: макроскопический подход к сложным системам. М. : УРСС : ЛЕНАНД, 2014.
320 с.
6. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика: от тепловых двигателей до диссипативных структур. М. : Мир,
2002. 461 с.
7. Marov M.Ya., Kolesnichenko A.V. Turbulence and Self-Organization. Modeling Astrophysical Objects. New York et al. : Springer,
2013. 657 p.
8. Kullback S., Leibler R.A. On information and sufficiency // Ann. Math. Statist. 1951. V. 22. P. 79-86.
9. Ибрагимов Н.М. Концепция экономического равновесия в пространственных системах // Мир экономики и управления.
2021. Т. 21, № 4. С. 5-23. doi: 10.25205/2542-0429-2021-21-4-5-23
10. Zadeh M.K., Gavagsaz-Ghoachani R., Martin J.P. et al. Discrete-time tool for stability analysis of DC power electronics-based cascaded systems // IEEE Trans. Power Electron. 2017. V. 32 (1). P. 652-667.
11. Уткин В.И. Системы с переменной структурой: состояние проблемы, перспективы // Автоматика и телемеханика. 1983. № 9. С. 5-25.
12. Utkin V., Poznyak A., Orlov Yu., Polyakov A. Conventional and high order sliding mode control // Journal of the Franklin Institute. 2020. V. 357 (15). P. 10244-10261. doi: 10.1016/j.jfranklin.2020.06.018
13. Sira-Ramirez H., Gomez-Leon B.C., Aguilar-Orduna M.A. A Geometric Algebra Approach to Invariance Control in Sliding Regimes for Switched Systems // Advances in Applied Clifford Algebras. 2023. Vol. 33 (3). Art. 35.
14. Годунов С.К., Рябенький В.С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1971. 416 с.
15. Mikosch T., Resnick S., Rootzen H., Stegeman A. Is network traffic approximated by stable Levy motion or fractional Brownian motion? // Annals of Applied Probability. 2002. V. 12 (1). P. 23-68.
16. Jackson J.R. Networks of Waiting Lines // Oper. Res. 1957. V. 5 (4). P. 518-521.
17. Gordon K.D., Newell G.F. Closed Queuing Systems with Exponential Servers // Oper. Research. 1967. V. 15 (2). P. 254-265.
18. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М. : Высшая школа, 1982. 256 с.
References
1. Zubarev, D.P., Morozov, V.G. & Repke, G. (2002) Statisticheskaya mekhanika neravnovesnykh protsessov [Statistical mechanics
of nonequilibrium processes]. Vol. 1. Moscow: Fizmatlit.
2. Klimontovich, Yu.L. (1995) Statisticheskaya teoriya otkrytykh sistem [Statistical theory of open systems]. Vol. 1. Moscow: Yanus.
3. Zaripov, R.G. (2010) Printsipy neekstensivnoy statisticheskoy mekhaniki i geometriya mer besporyadka i poryadka [Principles
of nonextensive statistical mechanics and geometry of measures of disorder and order]. Kazan: Kazan State Technical University.
4. Kolesnichenko, A.V. (2017) Kontinual'nye modeli prirodnykh i kosmicheskikh sred: Problemy termodinamicheskogo konstruiro-
vaniya [Continuum models of natural and space environments: Problems of thermodynamic design]. Moscow: LENAND.
5. Haken, G. (2014) Informatsiya i samoorganizatsiya: makroskopicheskiy podkhod k slozhnym sistemam [Information and self-
organization: a macroscopic approach to complex systems]. Translated from English. Moscow: URSS: LENAND.
6. Prigozhin, I. & Kondepudi, D. (2002) Sovremennaya termodinamika. Ot teplovykh dvigateley do dissipativnykh struktur [Modern
thermodynamics. From heat engines to dissipative structures]. Moscow: Mir.
7. Marov, M.Ya. & Kolesnichenko, A.V. (2013) Turbulence and Self-Organization. Modeling Astrophysical Objects. New York;
Heidelberg; Dordrecht; London: Springer.
8. Kullback, S. & Leibler, R.A. (1951) On information and sufficiency. Annual Mathematical Statistics. 22. pp. 79-86.
9. Ibragimov, N.M. (2021) The concept of economic equilibrium in spatial systems. Mir ekonomiki i upravleniya - World of Eco-
nomics and Management. 21(4). pp. 5-23. DOI: 10.25205/2542-0429-2021-21-4-5-23
10. Zadeh, M.K., Gavagsaz-Ghoachani, R., Martin, J.P. et al. (2017) Discrete-time tool for stability analysis of DC power electronics-based cascaded systems. IEEE Trans. Power Electron. 32(1). pp. 652-667.
11. Utkin, V.I. (1983) Sistemy s peremennoy strukturoy: sostoyanie problemy, perspektivy [Systems with variable structure: the state of the problem, prospects]. Avtomatika i telemekhanika. 9. pp. 5-25.
12. Utkin, V., Poznyak, A., Orlov, Yu. & Polyakov, A. (2020) Conventional and high order sliding mode control. Journal of the Franklin Institute. 357(15). pp. 10244-10261. DOI: 10.1016/j.jfranklin.2020.06.018
13. Sira-Ramirez, H., Gomez-Leon, B.C. & Aguilar-Orduna, M.A. (2023) A Geometric Algebra Approach to Invariance Control in Sliding Regimes for Switched Systems. Advances in Applied Clifford Algebras. 33(3). Art. 35.
14. Godunov, S.K. & Ryabenky, V.S. (1971) Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka.
15. Mikosch, T., Resnick, S., Rootzen, H. & Stegeman, A. (2002) Is network traffic approximated by stable Levy motion or fractional Brownian motion? Annals of Applied Probability. 12(1). pp. 23-68.
16. Jackson, J.R. (1957) Networks of Waiting Lines. Operations Research. 5(4). pp. 518-521.
17. Gordon, K.D. & Newell, G.F. (1967) Closed Queuing Systems with Exponential Servers. Operations Research. 15(2). pp. 254265.
18. Ivchenko, G.I., Kashtanov, V.A. & Kovalenko, I.N. (1982) Teoriya massovogo obsluzhivaniya [QueuingTheory]. Moscow: Vysshaya shkola.
Информация об авторах:
Цициашвили Гурами Шалвович - профессор, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института прикладной математики ДВО РАН (Владивосток, Россия). E-mail: [email protected].
Харченко Юрий Николаевич - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института прикладной математики ДВО РАН (Владивосток, Россия). E-mail: [email protected]
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Tsitsiashvili Gurami Sh. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Main Researcher of the Institute of Applied Mathematics, the Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences, Vladivostok, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Kharchenko Yury N. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Researcher of the Institute of Applied Mathematics, the Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences, Vladivostok, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 12.04.2024; принята к публикации 03.06.2024 Received 12.04.2024; accepted for publication 03.06.2024
