Управляемость каузальных дифференциально-алгебраических систем с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.929

© В. В. Крахотко, Г. П. Размыслович УПРАВЛЯЕМОСТЬ КАУЗАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Рассмотрим динамическую систему управления вида

А0ж(і) = Аж(і) + Аіж(£ — Н) + Ви(^, і ^ 0, (1)

Жо(-) = {ж(і) = <^(і), —Н ^ і < 0, ж(0) = ж0}, (2)

где ж Є Лга, и Є Лт; А0, А, А1 — постоянные п х п-матрицы (ёе1 А0 = 0), В — п х т-матрица; Н > 0 — запаздывание; ^(¿) — кусочно-непрерывная п — вектор-функция; Жо — заданный п -вектор,

и ее дискретный аналог

А0ж^ + 1) = Аж(і) + А^(і — Н) + Ви(^, і Є ^+, (3)

жо(-) = {ж(г) = qт, т = —Н, —Н + 1,0}, (4)

где qт Є і{” и запаздывание Н Є N (Н ^ 1).

Пару |ж0(■), Ви(і)}, состоящую из начального состояния (2) (соответственно состояния (4) для системы (3)) и неоднородности Ви(і), і ^ 0, будем называть допустимой, если система (1), (2) (соответственно система (3), (4)) имеет хотя бы одно решение ж(і), і ^ 0. Если для каждой допустимой пары система имеет единственное решение, то она называется совместной. Пусть гапкАо = г < п. Без ограничения общности будем считать, что матрица Ао имеет

вид Ао =

1 £3 1 o4^ ''^tf

1 1

где квадратная г х г - матрица АЦ имеет полный ранг. Так как

rankA^ = r, то это влечет условие А^ — А^АЦ

A$ = 0.

В соответствии с блочным разбиением матрицы Ао представим матрицы А, А\,В в

Bi

виде А =

An A12

A21 A22 _

Ai =

Л(1) Л11 Л(1) 1 Л12

AV Л21 AD A22 _

B =

B2

и введем матрицы Fj,

F11 = All, F12 = —A11A1A12 + A12, F21 = —A21 Ai1 A11 + A:

(0b(0)-

2i ,

F22 = 4°)a(1°1} 'a 1 lAЦ 'A^ - (A2 lA Ц 'AЦ + A^AЦ 'A 1 2)+ A22.

Следуя [1,2], будем говорить, что система является каузальной (causal systems), если матрица F22 является невырожденной. Условие каузальности системы обеспечивает регулярность тройки матриц (A0, A, A 1 ) , которая в свою очередь является необходимым и достаточным условием совместности систем (1), (3).

Обозначим

Qll ^12 і A(1) 1 Л12

^21 ю ю = П1 1 AD A22

D2,

B

B2

D2

л(°Гх лп 0 Er -FuF^1 1

0 F-1 f22 0 E En-r _

D 1

Er

B

B2

Q = A(0) (F11— F12F2-2 1F2 1 ),

-

—A(0) л(о)-1

—A21 A11

E

Er л(о)-1 A(0) Л11 Л12 Er О

0 E En-r [ -F22F21 E En-r

1

0

Рассмотрим первоначально дискретную систему (3), (4) и введем в рассмотрение так называемые определяющие уравнения:

Y?+1 = Ql? + nnY?_h + n12Zt_h, Z\ = -П2іYU - ^Z\_h, г = ЇЇД t = 1,2..., при условиях:

Y00 = Er,r, Y0 = Q, ZQ = 0; Y0-1 = 0, Y/ = Qn, Zd = —Q21; Y02 = 0, Y2 = Q12,

Zf = -Q22; io3 = °> Yi = Ви Z$ = -B2, Z\ = 1? = 0, при t > 0.

Вектор x Є Rn является допустимым в момент времени t, t Є Z + для системы (3), если

существуют векторы x Є Rn и и Є Rm такие, что

Aox(t — 1) = Ax(t) + A\x(t — h) + Bu(t).

Пусть Ro(t) - множество всех допустимых векторов системы (3) в момент t.

Определение 1. Система (3) называется Ro -управляемой в момент времени t1 (t1 - заданное время, tz Є N), если для любого допустимого начального состояния (4) и любого вектора Х1 Є Ro(t1) существует последовательность управлений {u(0), и(1),..., u(t1 — 1)} такая, что решение системы (3), (4) удовлетворяет условию x(t1) = Х1.

Определение 2. Система (3) называется t1 - управляемой, если она Ro - управляема в момент t1 и Ro(t1) совпадает со всем пространством Rn.

Теорема 1. Каузальная система (3) Ro - управляема в момент времени t1 тогда

и только тогда, когда ranklY-^,Y2, ...,Y1} = rankAo.

Теорема 2. Каузальная система (3) t1 - управляема тогда и только тогда, когда она Ro -управляема в момент t1 и rank(Z0, Z*,..., Z31) = n — rankAo.

Рассмотрим теперь систему (1), (2) и пусть Qo множество ее допустимых пар в момент времени t = 0.

Определение 3. Каузальную систему (1) назовем H -управляемой, если для любого начального условия Хо(-) Є Qo найдутся момент времени t1, 0 < t1 < и достаточно гладкая m-вектор функция u(t), t Є (0,t1), такие, что для траектории x(t) системы (1), (2) выполняется условие Hx(t1) = 0.

Следуя работам [3-5]для системы (1) ставятся и другие задачи управляемости: относительная управляемость, полная управляемость и т.д. Для указанных видов управляемости получены критерии, выраженные через параметры системы (1).

Список литературы

1. Luenberg D.G. Dynamic equations in descriptor form. // IEEE Trans. Automat. Contr. 1977. Vol.AC 22. P. 312-321.

2. Размыслович Г. П. Управляемость каузальных линейных дескрипторных дискретных систем с запаздыванием. // Вестн. БГУ. 1996г. Сер. 1. № 2. С. 72-74.

3. Крахотко В. В., Размыслович Г. П. К проблеме полной управляемости динамических систем. // Дифференц. уравн. 1979г. Т. 15. № 9. С. 1707-1709.

4. Крахотко В.В., Размыслович Г.П. К проблеме управляемости дифференциальноалгебраических динамических систем. // Дифференц. уравн. 2005г. T 41. № 9. С. 1291-1292.

5. Размыслович Г. П., Крахотко В. В. Н-управляемость каузальных дифференциальноалгебраических динамических систем. // Вестник БГУ. 2006г. Сер. 1. № 1. C. 123-125.

Крахотко Валерий Васильевич Белгосуниверситет,

Беларусь, Минск e-mail: [email protected]

Размыслович Георгий Прокофьевич Белгосуниверситет,

Беларусь, Минск e-mail: [email protected]