Управляемое движение малого тела в силовом поле Ньютона Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.sibac.info

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

УПРАВЛЯЕМОЕ ДВИЖЕНИЕ МАЛОГО ТЕЛА В СИЛОВОМ ПОЛЕ НЬЮТОНА

Бабаджанянц Левон Константинович

д-р физ.-мат. наук, профессор Санкт-Петербургского государственного университета,

РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: [email protected]

Брэгман Анна Михайловна

студент Санкт-Петербургского государственного университета,

РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: [email protected]

Брэгман Константин Михайлович

старший преподаватель Санкт-Петербургского государственного университета,

РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: beswdw@gmail. com

Петросян Леон Аганесович

д-р физ.-мат. наук, профессор Санкт-Петербургского государственного университета,

РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: [email protected]

94

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

www. sibac. info

CONTROLLED MOTION OF A SMALL BODY IN NEWTONIAN FORCE FIELD

Levon Babadzanjanz

doctor of Science, professor of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Anna Bregman

student of Saint-Petersburg State University, Russia, Saint-Petersburg

Konstantin Bregman

senior Lecturer of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Leon Petrosyan

doctor of Science, professor of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Работа выполнена при поддержке гранта СПбГУ 9.37.345.2015.

АННОТАЦИЯ

Предложенный нами ранее алгоритм решения уравнений в вариациях для задачи о движении материальной точки в центральном силовом поле с возмущением используется в настоящей работе для получения возмущений первого порядка в декартовых координатах малого тела, движущегося в силовом поле Ньютона и управляемого кусочно-постоянной малой тягой.

ABSTRACT

In this study based on the algorithm of solution of equations of variations for the problem of motion of a point mass in a perturbed central force field that has been proposed earlier, we obtain the first order perturbations of Cartesian coordinates of a small body moving in Newtonian force field under a piecewise-constant low thrust.

Ключевые слова: уравнения в вариациях; поле Ньютона; уравнения движения; возмущения; кусочно-постоянная малая тяга.

Keywords: equations of variations; Newtonian field; equations of motion; perturbations; piecewise-constant low thrust.

95

www.sibac.info

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г.

1. Введение

В статье [1] был предложен метод решения уравнений в вариациях в декартовых координатах для случая движения материальной точки в произвольном возмущенном центральном поле. В настоящей работе этот метод при-меняется в задаче об управляемом малой тягой движении малого тела в цен-тральном поле Ньютона для построения возмущений первого порядка.

Мы рассмотрим управляемое кусочно-постоянной малой тягой движение малого тела массы m в точечном поле притяжения Солнца в относительной декартовой системе координат Ox1x2x3 (ее центр O совпадает с Солнцем) и будем далее использовать астрономические единицы длины (а.е.), массы (масса Солнца равна 1) и времени (сутки). Невозмущенную орбиту тела будем считать эллиптической. Соответствующие возмущенная и невозмущенная задачи Коши будут следующими [2; 3]:

Xj (v) + MXj (v)r ~3 (v) = Uj (v), (1)

Xj (v) + jux°j (v) (r0 (v)) 3 = 0, j = 1,2,3, (2)

X°j (v0 ) = Xj (v0 ) = xj0 , Xj (v0 ) = Xj (v„ ) = Xj0 , j = 1,2,3, v0 = V(/0 ), (3)

где uJ (v) = UJ / m, UJ — компоненты малой тяги v = v(t) — истинная аномалия эллиптической задачи двух тел (2),(3), r2 = xf + x2 + x32, m = k 2(1 + m), а k — гравитационная постоянная Г аусса

(k =0,01720209895 в астрономической системе единиц). В рассматриваемом здесь случае центрального поля Ньютона уравнения для возмущений dxj и уравнения для s = x10dx1 + x0dx2 + x0dx3 можно получить из уравнений (6) и (11) работы [1], положив там <р(г) = -ц!гъ, п = 3 (а также 8х} Ц = 8х}\t=h = 0, яЦ = i|(=,o = 0 , см. (3)):

Sxj + /^(^°) 8Xj -3jux°j s ■■

;.+/л(г0^ s = G(v) = У XjUj(v) + 2jUj(v)—Xjdv

J =1

u

v

(4)

(5)

96

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

www. sibac info

Рассмотрим уравнение

q(y) + ц[г°(v)) 3 q(v) = Q(v),

(6)

где v = v(t) — истинная аномалия эллиптической задачи двух

тел [2; 3], определяемой уравнениями:

4j+M{r°) 3 4j =0, j = 1,2,3.

Решение уравнения (6) можно найти в [5] (см. также [2; 3]):

v

q(v) = (/ua(l~e2)) r0(v)JQ(v')-(r0(v')) sin(v-v)dv\ p = a(1-e2),

v

где: p, a,e — параметр, полуось и эксцентриситет эллиптической орбиты.

Используя (7), выпишем решения уравнений (4), (5):

s(v) = (mp') lrQ(v) Z(v), (7)

v 3

Z(v) = J G(v’) (r0(v')) sin(v - v)dv,

vo

dXj (v) = (mp)~- r0 (v)Xj (v), j = l, 2,3, (8)

v f -4 Л з

Xj(v) = j uj (v’)+3p-1xt°(v')(r0(v ')) Z(v') l(r0(v ')) sin(v-v')dv'.

vo 0 0

Далее мы будем использовать следующее представление решения задачи двух тел [2; 3]:

x0(v) = r(v) (Ai sin v + Bt cos v), i e[1:3], r = p / (l + e cos v), (9)

A1 = -sin®cosW-cos®sinWcosi, B1 = cos®cosW-sin®sinWcosi, A =-sin® sinW + cos® cosWcosi, B2 = cos® sinW + sin® cosWcosi,

A3 = cos ® sin i, B3 = sin ® sin i, tg(v / 2) = >/(1+e) / (1 - e) tg(E / 2),

97

www.sibac.info

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

E-esinE = M, M = M0 + n(t -t0) .

’ =4м/‘

3

где: v, E — истинная и эксцентрическая аномалии,

a,, e, W, w, i, M0 — элементы эллиптической орбиты,

определяемой задачей Коши (2), (3) (полуось, эксцентриситет, долгота восходящего узла, аргумент широты, наклонение и средняя аномалия в эпоху t0).

Кроме того, нам понадобятся следующие формулы [2; 3; 4]:

p = 1-b I1 + 2^ (-b)k cos k |, b =

1 + fh-e

r | 1

a) 2

= о E0 +Z (-1')kEk cos kv■.

Ek =sl 1-e2 2 + e2 + 3bJ1-e2 + k2(1-e2)

¥

(r / p)4 = p- (1 + e cos v) 4 = p~4 ^

'-4 U-1)'

bk, (10)

k k

a, e cos v,

k!

k-1

-П( 4+m)

e

¥

k

m=o

2. Движение малого тела в поле Ньютона под действием кусочно-постоянной малой тяги

Рассмотрим малую тягу (Wl(v),W2(v),W3(v)) в виде:

W (v) = h. ■ H(v v.,2) =

hj, v е[. vj,2) j’2> |0, v gj vj,2)

v0 £ j < v. 2, hj e (-¥, + ¥), j = 1,2,3,

(11)

где H (rl,t1) = H (t) - H (t2), а H (t) — функция Хэвисайда.

Это означает, что в качестве компонент ускорений от малой тяги малого тела (см. (1)) мы будем рассматривать функции u.(v) = m-1W.(v) = mTlh. • H(v.,,vj2) . Учитывая это и полагая ради простоты v(t) > v. 2, j = 1,2,3 , можно переписать формулы (7), (8) в виде:

98

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

www. sibac info

s(v) = (mp) 1 r0(v)Z(v), dr »(pp) 1Z(v), (12)

3 V 3

Z(v) = m-1JhjZj (v), Zj (v) = J x°(v') (r0(v')) sin(v -v')dv' +

j=1 vj,i

v 3

+2(x°j-x0(^.д)) J(r°(v')) sin(v-v')dv\

v0

dXj(v) = (mp)-1 r°(v)Xj(v), j = 1,2,3, (13)

Xj(v) = ZhkC.,J (v), Ck,j(v) = m_1 (J(v)dk,j + 3P~lKj(v)),

vj,2 3

J(v) = J (r V)) sin(v -v)dv', 1k ^ (v) =

j

v -1

= J Zk (v')x0 (v') (r0 (v')) sin(v -v')dv,

v

где dk j — символ Кронекера.

Чтобы упростить эти формулы введем в рассмотрение девять функций:

b

2 / „ \3

q0(bvb2,v) = J(r0(v')) sin(v-v ')dv',

h

b2

qos (b1,b2, v) = J q0(v0, v, v ')sin v ' sin(v - v ')dv ',

b1

b2

qoc (b1,b2, v) = J q0(v0, v, v Ocos v' sin(v - v ')dv',

b1

b2 4

qs (b1, b2, v) = J (r0(v ')) sin v ' sin(v - v ')dv ',

b1

b2 4

qc(b1,b2,v) = J(r0(v ')) cosv'sin(v-v ')dv ',

b1

b2

qss(b\,b2,k,v) = j qs(vy,vk,2, v)sinvsin(v-v')dv',

99

€

СибАК

www.sibac.info

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

qsc b b2,k, v) = J qs (vk>1, vk>2, v')cos v'sin(v - v')dv',

b2

qcs (bi, b2,k,v) = J qc (vki, vk2’ v')sin v'sin(v - ,

bi

b2

qcc(b.,b2,k,v) = J qc(vk1,vk2,v')cosv'sin(v-v')dv'.

bi

Используя (9), получаем:

vj,2 3

J(v) = J (r0(v')) sin(v -v)dv' = qa (v^, vy. 2,v),

vj,i

vj ,2 3

Zj (v) = J x0 (v')(r0(v ')) sin(v -v')dv' +

vji

v3

+2 (xj (vj,2) - x0 (v;,i)) J (r0(v ')) sin(v - v')dv' =

vo

= j j ^ v) + Bj-qc (vj,1,vj,2,v) + 2( x“ (vj,2) - xj0 (vj,1)) qo (v0,v, v),

v v

J zk(v)sin v sin(v - v’)dv’ = J (Ak qs (vk,p vk^ v) + Bk qc (vk,P Vk,2, v) +

vo vo

+2 (Xk (vk,2 ) - xk (vk,1)) qo (v0,^ v ')) sin v 'sin(v - v ')dv' =

=A qss (vo, v k, v)+Bk qcs (vo, v,k, v)+2 (xk (vk,2) - xk (vk,i)) qos (v, v, v),

v v

J zk(v ')cos v 'sin(v - v')dv' = J (A qs (vk,l, vk,2, v 0+Bk qc (vk,l, vk^ v 0+

v0 v0

+2 (xk (vk,2) - xk (vk,i)) qo0^v, v') )cos v'sin(v - v')dv'=

=Aqsc (vv,k, v)+Bk qcc(^v,k,v)+2 (xk0(vk,2) - xk(vk,i)) qoc (vo, v, v),

\j(v)=Jzk(v)x0(v')(r0(v')) sin(v-v')dv=

v0

v v

= Aj J zk (v ') sin v ' sin(v - v' )dv'+Bj J zk (v ') cos v ' sin(v - v ')dv' =

b

0

0

100

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

www. sibac info

= A

" A qss (vo, v,k>v)+Bk qcs (vo,v,Kv) +''

+2 (xk (vk>2) - x0 (Vk>1)) qos (vo, v,v) ^

} (Aqsc(vo->v,kv)+Bkqcc(^v,kv) +л >J +2(xk(vk,2)-xk0(vk,i))qoc(^v,v) 0

Таким образом, мы выразили правые части в (12), (13) в терминах введенных функций.

Т ак как эти функции qo, qs, qc, qos, qoc, qss, qsc, qcs, qcc не могУт

быть вычислены в подходящем виде непосредственно при помощи систем компьютерной алгебры, мы выразим их приближенно в терминах следующих (более простых в этом смысле) функций:

b2

P (b1,b2, k, v) = J cos(k v')sin(v - v')dv',

b

b2

p2s (b1,b2, k, v) = J cosk v'sin v'sin(v - v')dv'.

b

b2

P2c (b1,b2, k ,v) = J coskv ' cos V sin(v - v')dv',

bi

b2

P2ss (biA,k,v) = J P2s (bi,b2,k,V)sinVsin(v-V)dV,

bi

b2

Pisa (biA, k, v) = J P2s (bi,b2, k, v ) cos v' sin(v - v' )<А',

b1

b2

P2cs (b1,b2, k, v) = J P2c (b1,b2, k, v' )sin v sin(v - v )dv',

b

b2

P2cc (b1,b2, k, v) = J P2c (b1, b2, k, v) cos v' sin(v - v')dv,

b

b2

Jks(b1, b2, v) = J Jkb b2, v' )sin v' sin(v - v' )dv',

b2

Jkc (b1, b2, v) = J Jk(b1, b2, v Ocos v' sin(v - v’)dv’,

b

101

€

СибАК

www.sibac.info

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

J = 2a3E0Pi(b1,b2,k,v), Jk(b1,b2,v) = a3Ep(^Д,k,v), k =1,...,

Действительно, используя эти функции и формулы (9), (10), получаем:

1.

b2 3

qo(b1,b2,v) = J (r0(v’)) sin(v-V)dV>

(. b.

„3

1 “2 K b2

—E0 J sin(v - v')dv' + X (- 1)k Ek J cos(k v') sin(v - v')dv'

2 k=1 b,

= 1 J0(b1,b2,v) + S(-1)k Jbb2,V), J0 =1 a^E0p1 (b1,b2,k v),

2 k=1 2

b2

Jk(b1, b2, v) = a3E J cos(k v' )sin(v - v' )dv' = a3Ekp1 (b1,b2, k ,v), k = 1,...

b1

b2 4

2. qs(b1,b2,v) = J(r0(v ')) sinv 'sin(v-v ')dv '»

b1

b2 K

» [ X akek cosk v' sin v' sin(v - v')dv' =

b1 k=0 K b2

,ek f coskv'

= Xakek f cosk v sin v sin(v - v)dv' -

k=0 b1

K

= XakekP2s (b1,b2,kv).

k=0

b2 4

3. qc(b1,b2,v) = J(r0(v')) cosv'sin(v-v')dv'»

K b2

f Xakekcoskv'cosv 'sin(v-v')dv' = Xakek f coskv'cosv'sin(v-v ')dv'

b k=0 ’ " 2

K

= XakekP2c (b1,b2,k, v).

k=0

k=0

2

4. qss (b1, b2,k, v) = J qs (vk,1, vk,2, v)sin v sin(v - v )dv'

b

102

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

www. sibac info

K b2

Jk

%akek jp2s (bl,b2,k,v')sinv'sin(v-v')dv' = £akekp2ss (bPb2,k,v)

k=0 b

k =0

5- qsc(bi,b2,k,v) = j qs(vtl,vu,v')cosv'sin(v-v')dv';

K b2 K

* £akek j P2s (b1,b2,k,v')COsv'sin(v-v'')dv' = £akekP2sc (b1,b2,k,v) ■

k=0 bi k=0

b2

6- qcs (b1, b2,k, v) = j qc (vk1, vk 2, v') sin v'sin(v - v')dv'»

bi

K b2 K

* £0^ j P2c b b2, k, v')sin v'sin(v - v')dv' = £akekP2cs (blA, k, v) ■

k=0 bi k=0

b2

7 qcc(bi,b2,k,v) = j qc(vy,vu,v')cosv'sin(v-v')dv'»

Ъ1

K b2

ok

£ akek j P2c (b1^b2, k, v') COs v'sin(v - v')dv' = £ akekP2cc (b1, b2, k,v) -

k=0 bi k=0

b2

8- qos(bi,b2,v) = j qo(vo,v,v')sinv'sin(v-v')dv'»

bi

k b2 k

»£(-1)k jjAA,v')sinv'sin(v-v')dv' = £(-1)k Jk,AA,v) ■

k=0 bi k=0

b2

9- qocAA,v) = j qo(vo,v,v')cosv'sin(v-v')dv'»

K ъ2

\k

£ (-i)k j Jk(bi,b2,v ')cosv 'sin(v-v ')dv' = £(-1)kJc(bi,b2,v) ■

k=0 bi ■ "

k=0

b

3. Заключение

Таким образом, мы получили формулы для возмущений первого порядка в относительных декартовых координатах малого тела, движущегося под действием кусочно-постоянного управления в центральном поле Ньютона. Это формулы (12), (13), которые легко вычисляются средствами таких программ компьютерной алгебры как, например, Wolfram Mathematica [7] или Maple [6], так как их правые

i03

www.sibac.info

Технические науки — от теории к практике № 7-8 (44), 2015 г

части выражаются через функции p, p2s, р2с , p2ss, p2sc , p2cs, p2cc, ^ks ’ ^kc ’ которые непосредственно вычисляются в этих программах

через элементарные функции. Очевидно, что полученные результаты для одноимпульсной малой тяги легко обобщить и на случай многоимпульсной малой тяги, последовательно применяя формулы (12), (13).

Список литературы:

1. Бабаджанянц Л.К., Брэгман А.М., Брэгман К.М., Касикова П.В. Об уравнениях в вариациях в задаче о движении точки в возмущенном центральном поле // НП «Сибак», Сборник статей XXXI Межд. Конф., Секция 7: Аэрокосмическая техника и технологии. — 2014. — № 2(27). — C. 83—91.

2. Брауэр Д., Клеменс Д. Методы небесной механики — М.: Мир, 1964. — 515 с.

3. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию — М.: Наука, 1968. — 800 с.

4. Холшевников К.В., Титов В.Б. Задача двух тел — СПб: Изд. СПбГУ, 2007. — 180 с.

5. Hill G, A Method of Computing of Absolute Perturbations // Astr. Nachr., 83. 1874. — P. 209—224.

6. Maplesoft Documentation Center [Электронный ресурс] — Режим

доступа. — URL: http://www.maplesoft.com/documentation_center/

7. Wolfram Mathematica Documentation Center [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL:http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/ Mathematica.html

104