CC BY
42
Том XLV
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2014
№ 3
УДК 629.78.015:531.55
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
С МАЛОЙ ТЯГОЙ
В. В. ЛАРИЧЕВА
Уравнения плоского движения космического аппарата в центральном поле притяжения под действием непрерывной малой тяги преобразуются к виду квазилинейной слабо нестационарной системы. Для квазилинейных уравнений такого класса автором обобщен принцип суперпозиции решений неоднородных линейных уравнений: строго показано, что общее решение квазилинейных уравнений КА состоит из частного особого медленного апериодического решения и наложенных на него быстрых колебательных отклонений. Для решений, входящих в суперпозицию, предложены адекватные асимптотики, чем достигнута достаточная точность аналитического представления общего решения, описывающего многооборотную траекторию КА. Указаны условия существования и устойчивости частного особого решения.
Ключевые слова: космический аппарат (КА), центральное гравитационное поле, возмущенная многооборотная траектория (орбита), малая тяга, квазилинейные уравнения, особое решение, суперпозиция.
ВВЕДЕНИЕ
В [1, очерк 7], [2, с. 529 — 552] дан обзор работ, предшествующих работам [5 — 8, 11, 14] и данной статье, посвященных поиску адекватных аналитических приближений к многооборотным плоским траекториям космического аппарата (КА), непрерывно возмущаемых в той же плоскости центрального поля малыми силами, в частности, малой тягой.
От аналитического описания многооборотной траектории КА требуется его пригодность на протяжении многих оборотов в пределах сохранения малости возмущающих членов в уравнениях КА. В рамках этой постановки укажем на существенную разницу результатов работ автора и из обзоров [1, 2]. В последних аналитические приближения получены по отдельности для двух
диапазонов значений эксцентриситета многооборотной траектории КА: для почти нулевых и, наоборот, относительно больших, но меньших единицы. Такими аналитическими приближениями не охватывается диапазон изменения эксцентриситета почти от нуля до не очень малых его значений и возникает проблема численного сопряжения двух разных кусков решения. В данной статье и в работах [5 — 8, 11, 14] эта проблема решена полностью аналитически во всем диапазоне допустимых значений эксцентриситета для общего решения возмущенных уравнений КА. Аналитический способ [5, 8] основан на последовательном улучшении кеплеровского невозмущенного движения с тем, чтобы новое («некеплеровское») невозмущенное движение отражало основные особенности возмущенного движения КА. В [4], наряду с подробным разбором статьи [3], освещается также идея работ [5, 8].
Аналитический способ данной статьи более оперативен, чем в [5, 8], так как предназначен для непосредственного анализа возмущенного
ЛАРИЧЕВА Валентина Васильевна
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЦАГИ
движения с его особенностями. Показано, что точное общее решение квазилинейных возмущенных (непрерывной малой тягой) уравнений КА состоит из суммы частного особого медленного апериодического решения и наложенных на него быстрых колебательных отклонений. Дан алгоритм аналитического представления особого апериодического решения. Путем точного исключения особого апериодического решения из исходных уравнений КА с малой тягой выделены для отклонений дифференциальные уравнения, все решения которых колебательны около нуля. Такие уравнения принадлежат к классу анализируемых методом осреднения [9, 10].
1. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ПЛОСКОСТИ ЦЕНТРАЛЬНОГО НЬЮТОНОВСКОГО ПОЛЯ
ПРИТЯЖЕНИЯ
Пусть в плоскости движения КА заданы две системы осей координат, отсчитываемых от центра гравитационного притяжения: неподвижные декартовы оси х, у и полярные г, ф, где г — безразмерный модуль радиуса-вектора, соединяющего притягивающий центр с центром масс КА; ф — полярный угол, отсчитываемый от оси х против часовой стрелки. Пусть безразмерное реактивное ускорение га и его проекции гОф, гаг на трансверсаль и радиус-вектор, малость которых
отмечается символом г > 0 — малым параметром, не зависят явно от времени и полярного угла ф. Тогда, следуя традициям небесной механики, возьмем в качестве аргумента не безразмерное время I, а полярный угол ф и зададимся четырьмя зависимыми от ф переменными:
^ = e cos &, т = e sin &, p, t.
(1.1)
Здесь t — полярные компоненты вектора Лапласа; & = / —ш — истинная аномалия; ос-
кулирующие элементы орбиты: e = — эксцентриситет, ш — угловое положение пери-
центра на орбите, p — безразмерный фокальный параметр. Элементы т орбиты — не оскули-рующие, так как явно зависят от аргумента ф через посредство истинной аномалии & = ф — ш. Но оскулирующими элементами являются проекции lx = e cos ш, ly = e sin ш того же вектора Лапласа на неподвижные декартовы оси координат x, y.
В переменных (1.1) уравнения плоского возмущенного движения КА имеют вид квазилинейной, квазигамильтоновой, слабо нестационарной системы, в которой дифференцирование по ф обозначено штрихом:
= + 2вр2аф/ф2, n' = ^ + sp22 a
p' = 2sp3a//(l +
' ' = P3/2 / (l H)2.
-a/Tl/)]/^)2,
(1.2) (1.2') (1.2")
Система (1.2), (1.2 ') — замкнутая, результат ее интегрирования учитывается в уравнении (1.2 '' ), связывающем безразмерное время ^ с полярным углом. Системой (1.2), (1.2 ') определяются элементы возмущенных (многооборотных) траекторий КА. Последние проанализируем в течение многих оборотов (витков) в области малости возмущающих членов, где система по-прежнему остается квазилинейной. Наибольший интерес для нашего анализа представляют сложные возмущенные траектории КА, например, состоящие из квазиэллиптических витков, постепенно переходящих в квазикруговые. Тенденции поведения фазовых элементов мгновенных орбит — квазиэллиптических и квазикруговых — различны: угловое положение перицентра орбиты на последних изменяется быстро, а на квазиэллиптических — медленно. Несмотря на трудность анализа указанной ситуации, в статье предлагается подход к получению единого аналитического представления общего решения квазилинейной системы (1.2), (1.2 '), непрерывно и длительно охватывающего (во всей области малости возмущающих членов) участки с разными тенденциями изменения элементов траектории и их взаимные переходы друг в друга. В основе предлагаемого аналитического
подхода — свойство возмущений типа малой тяги, под действием которых в системе (1.2), (1.2') колебания совершаются не около неподвижной нулевой точки, а около медленно изменяющейся линии мгновенных центров колебаний, определяемой особым апериодическим решением системы.
2. РАЗМЕРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ТРАЕКТОРНОГО ДВИЖЕНИЯ КА
Введем условное обозначение для размерных параметров (звездочка):
г *, р* — длина радиуса-вектора и фокальный параметр;
V*, t* — скорость и время движения КА;
га* — возмущающее (в частности, реактивное) ускорение, малость которого отмечается безразмерным малым параметром г > 0;
£о — ускорение свободного падения при г * = г0* в момент ^ = 0.
Безразмерные переменные, входящие в (1.1) — (12''), введены по формулам, аналогичным [1, очерк 7]:
* / * * г = г/ r0, р = р/ Ро
/ро, V = V , t = ^/Л
т* * * , * / г*, га * *
* / * ' = Ш / g0.
(2.1)
3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ВИД ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ КА
Действующее на КА возмущающее ускорение зададим функцией вида га = гру/(%, л), где
у — вещественное число, л) — гладкая функция л. Квазилинейной слабо нестационарной системе (1.2), (1.2') придадим вид:
= -л + 2гр2+у/1 Л), л' + 2гр2+^./2 2 Л),
,2+у
(3.1)
р' = 2гр3+у/ (%, л).
(3.1')
Здесь
р'/ а л) = аф/(1 + ^)2, ру/2 & л) = [аг + афл/(1 + $)]/2(1 +
/з & Л) = /1 & л)/(1 + *),
(3.2)
где по смыслу а аг — величины порядка единицы, но ваф, гаг <С1.
Гладкие функции / (%, л), * = 1, 2, разложим в ряды Тейлора по степеням л в окрестности нулевой точки = л = 0:
/ & Л) = / ( 0,0) +
= / (0,0)+в
/1 *+(/) л+Щ
/ 1 «» Ъ + №
0, 0
1л
^ + вЩ:
0, 0
(3.3)
в=
£
2 , ~,2 л
Здесь члены с квадратными скобками аннулируются при е ^ 0; Щ — сумма членов более высоких степеней по л ; Щ — ограниченная функция при 0 < е < 1. Предполагается, что в (3.3) отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов при членах, линейных по л. Если в (3.3) нет свободных членов, то для возмущающих членов системы (3.1), (3.1') выполнятся в нулевой точке локальные равенства:
/1 (0, 0) = /2 (0, 0) = 0 при % = л = в = 0 .
(3.4)
Тогда квазилинейной системе (3.1), (3.1' ) удовлетворяет тривиальное частное изолированное нулевое решение: особая точка типа центр — единственное положение равновесия, около которого колеблются все остальные решения системы (3.1), (3.1' ). Важным следствием выполнения (3.4) является ограничение
|f (%, л)/е| <c при e ^ 0 (c = const, не зависящая от в). (3.5)
Учет (3.4) в (3.2) приводит к локальному равенству
аф = ar = 0 при ^ = л = 0, р > 0. (3.6)
Равенствам (3.4) удовлетворяют, например, возмущающие члены квазилинейных уравнений вида (3.1), анализируемых в [9, 10] методом осреднения. Но при возмущениях типа малой тяги нарушаются равенства (3.4). При этом наиболее важны случаи отличия от нуля одного или обоих
значений: f (0, 0) Ф 0. Тогда в правых частях (3.1) отличны от нуля члены вида 2вр2+уf (0, 0) —
особые, обуславливающие появление в (3.1) частного особого медленного апериодического решения в подобласти малых значений амплитуды колебаний (эксцентриситета). Для подтверждения сказанного в (3.1) пренебрежем: слева — производными ', л', малыми ввиду медленности искомого особого решения; справа — членами, пропорциональными e и малыми по сравнению с f (0, 0). Тогда из (3.1), (3.3) находим
Л « 2вр
2+f (0,0), ^-2вр2+^2 (0,0), (e « 2вр2+^f2 (0,0) + f2 (0,0)), (3.7)
откуда видно существование в (3.1) частного (особого) медленного апериодического решения при е порядка 2вр2+у и отличии от нуля хотя бы одного из значений f (0, 0), 7 = 1, 2. (В аналогичных (3.1) уравнениях [9, 10] нет особого апериодического решения вида (3.7). Поэтому для уравнений [9, 10] выполняются равенства (3.4) и, значит, все их решения колеблются около неподвижного нулевого положения равновесия.)
Согласно (3.7), величина эксцентриситета особого решения длительно остается малой. Значит, свойства особого решения с его малой окрестностью можно частично выявить из линеаризованных уравнений КА.
4. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ ПО л УРАВНЕНИЯ (3.1), (3.1 ')
Линеаризованные по л уравнения получим, сохраняя в рядах (3.3) лишь свободные и линейные члены:
%' = -л + 2гр2 [/ (0, 0) + ап% + а^л], л' = % + 2г/+у [/ (0, 0) + а2£ + а22л]; (4.1) р' = 2гр3+у [/з ( 0,0) + аз£ + 032^]. (4.1' )
Здесь
а11 = (/1/^0,0 , а12 = (дА1 ^П)0,0 , а21 = (д/2/5%)0,0 ,
а22 = (5Л/^П)0,0 , а31 = (/з/5%)0,0 , а32 = (д/з/^0,0 .
(4.2)
В правых частях (4.1) особыми являются неоднородные члены, нарушающие равенства (3.4) и порождающие частное решение - особое медленное апериодическое. Согласно принципу суперпозиции решений неоднородных линейных уравнений, общее решение л уравнений (4.1) можно представить в виде сумм (суперпозиций)
% = а + А%, л = Р + Ал. (4.3)
Здесь а, р — медленные компоненты частного особого решения уравнений (4.1), (4.1' ); А%, Ал — быстро колеблющиеся около нуля компоненты общего решения однородной линейной системы, следующей из (4.1) после отбрасывания неоднородных членов. Геометрически А%, Ал — отклонения, отсчитываемые от особого решения. В плоскости %, л начало отсчета отклонений А%, Ал медленно перемещается по линии, определяемой особым решением, и является подвижным мгновенным центром колебаний в системе (4.1). И, как видно из (4.3), колебания в (4.1) совершаются около особого апериодического решения, а не около нуля % = л = 0.
Если исходная квазилинейная система (3.1), (3.1' ) вследствие линеаризации станет однородной линейной, то это — эквивалентный (3.4) признак отсутствия в исходной системе особого апериодического решения: а = р = 0. Тогда обе правые части (4.3) станут одночленами, быстро колебательными около нуля. Значит, к исходной системе применим метод осреднения [9] с оценкой погрешности [6, 7].
5. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ВИДА (3.1) , (3.1 ')
Пусть в (3.1) хотя бы одно из значений / (0,0), (7 = 1, 2), отлично от нуля, тогда
2вр 2+у / (0,0) будет особым членом, порождающим в (3.1) частное особое апериодическое решение, компоненты которого обозначим как % = а, л = Р . На последнее, как обнаружено выше, наложены быстрые колебания — отклонения, которые обозначим как А%, Ал . Такова структура решений (3.1). Поэтому представим общее решение квазилинейной системы (3.1) , (3.1' ) в виде суммы компонентов а, р особого решения и отклонений от него А%, Ал:
% = а + А%, л = Р + Ал. (5.1)
Компоненты а, р точного особого решения обращают (3.1) в тождества
а ' = -р + 2sp2/ (а, р), р' = а + 2вр2/2 (а, р). (5.2)
В (3.1) подставим (5.1), (5.2). Получим уравнения, точное общее решение которых составляют отклонения А%, Ал от особого решения:
А% ' = -Ал + 28р2+уА/1, Ал' = -А% + 2гр2+1А/2. (5.3)
Здесь А/г = / (а + А%,р + Ал)- / (а, р), 7 = 1, 2 — функции, аннулирующиеся в точке
А% = Ал = 0. Значит, все решения (5.3) колеблются около нулевой точки — единственного в (5.3) положения равновесия А% = Ал = 0. К системе (5.3) для ее замыкания присоединим уравнение (3.1' ) после подстановки в него (5.1):
р' = 2вр3+у/3 (а + А%,р + Ал). (5.3')
Таким образом, суммой (5.1) адекватно отражается существование в (3.1) при нарушенных равенствах (3.4) решений двух типов: частного особого медленного апериодического решения с компонентами а, р и быстро колеблющихся около него отклонений А% = % - а, Ал = л-р.
Известно, что решения любых линейных дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, подчиняются принципу суперпозиции. Но для решений квазилинейных уравнений в общем случае этот принцип неверен, что не исключает возможности выполнения принципа суперпозиции решений в отдельных классах квазилинейных уравнений, как это показано нами для системы (3.1), (3.1' ). К тому же обобщенность (5.1) подтверждается тем, что после линеаризации (3.1), (3.1') суммы (5.1) совпадают с (4.3).
Для быстрой и медленной составляющих суперпозиции (5.1) укажем возможность приближенного (асимптотического) представления.
6. ОСРЕДНЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ВИДА (5.3), (5.3')
Подставляя в (5.3) выражения:
A^ = Acos O, = Asin O, (0 = ф-ст), (6.1)
где A — амплитуда, с — сдвиг по фазе колебаний, перейдем от (5.3), (5.3') к эквивалентным уравнениям в амплитудно-фазовых переменных A, с:
A' = 2sp2+y(A/1cosO+A/2sinO), с'= 2вр2+у (A/i sinO-A/2 cosQ)/A; (6.2)
p' = 2вр3+у /3 (a + A cos O, p + A sin O). (6.2 ' )
Очевидно неравенство
|A//A| = |[/ (a + Acos O, p + Asin O)-/(a, p)]/A| < Со при A ^ 0, (i = 1, 2), (6.3)
где Со — константа, не зависящая от в .
Итак, в области малости возмущающих членов правые части (6.2), (6.2 ' ) определены, ограничены константой порядка в и периодичны по O с периодом 2л. Согласно [6, 7], ошибка осреднения (6.2), (6.2 ' ) по периоду O не превысит величины порядка в в течение ф порядка 1/в.
7. АЛГОРИТМ ПОИСКА ОСОБОГО АПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Как отмечалось, особыми членами, нарушающими равенства (3.4) и порождающими особое апериодическое решение в (3.1), являются: 2вр2+y/ (0, 0), i = 1, 2.
В (3.1), (3.1' ) перейдем к аргументуp и вместо л подставим a, Р:
2вр3+y/3 (a, Р)da/dp = -р + 2вр2+у/ (a, Р); 2вр3+у/3 (a, Р) dp/dp = a + 2вр2+у/2 (a, Р). .
Для краткости рассмотрим лишь два случая нарушения в (7.1) локальных равенств (3.4). В первом случае будем полагать, что при a = Р = 0
/ (0,0) = / (0,0)* 0, ar (0,0) = 2Яф(0,0). (7.1' )
Компоненты a, Р искомого особого решения малы по величине и изменяются медленно. Поэтому пренебрежем в левых частях (7.1) производными da/dp, dp|dp , а в малых возмущающих членах, стоящих в правых частях (7.1), положим a«p«0. Тогда в первом приближении получим
Р1 = 2вр2+у/ (0, 0), a = -2вр2+у/2 (0, 0); (p = ввиду (7.1')). (7.2)
Из (7.2) выразим оскулирующие элементы особого решения:
e1 = 2л/2вр2+у /1 (0,0), sin =- cos = >/2/2. (7.2 ' )
Второе приближение a2, Р2 получим, добавляя к (7.2) малые поправки Aa2, Ap2, удовлетворяющие равенствам:
2вр3+у/з (ai, Р1) da^dp = -(Р1 +AР2 ) + 2вр2+у / (ai, Р1), (Р2 =Р1 +AР2 ), 2вр3+у/3 (a1,Р1)dpl/dp = (a1 + Aa2 ) + 2вр2+у/2 (a1, Р1), (a2 = a1 + Aa2 ).
Аналогично (7.3) найдем аи+1, ри+1 из соотношений:
2sp3+/(аи, Р„)dvjdp = -(р„ +АРй+1) + 2sp2+/ (аи, р„),
2sp3+/ (ап, Рй ) dpjdp = (а„ +Аай+1) + 2sp2+/ (а„, Р„ ).
При п ^ да выражения (7.3 ' ) стремятся к совпадению с уравнениями (7.1), и, очевидно, решение предельного результата (7.3 ' ) стремится к частному особому апериодическому решению (7.1).
Во втором важном случае, намеченном нами к рассмотрению, нарушается первое равенство (3.4) и выполняется второе:
У[(0,0) = аф/р^ 0, /2(0,0) = 0 при а = р = 0. (7.4)
Локальные условия (7.4) характерны, например, для уравнений космического полета под действием малого реактивного ускорения, направленного почти трансверсально. Неравенство, входящее в (7.4), аналогично неравенству (7.1' ). Поэтому для определения р в первом уравнении (7.1) отбрасывается ввиду малости производная йа/ йр, затем повторяются действия, проведенные при выводе (7.2). Во втором уравнении (7.1) на особом решении производная йр/йр мала, но ввиду равенства, входящего в (7.4), соизмерима по величине с остальными членами. В итоге из (7.1) с учетом последнего и (7.4) выделяется первое приближение к особому решению:
Р1 = 2гр2+у/ (0, 0), а! = -2вр2+у/2 (0, р ) + 2вр3+^ (0, 0)^/ф. (7.5)
Здесь величины: р! о^ ех втЭ ^р/^ «1, сов^ =а1/е1
Во втором приближении к Р1, а1 аддитивно добавляются малые поправки Лр2, Аа2, определяемые из алгебраических уравнений:
2вр3+т/3 (а1, Р1)йа/йр = -(Р1 +ЛР2) + 2вр2+у/1 (а1, Р1), (Р2 =Р1 + ЛР2),
(76)
2ер3+/ (а1, Р1) ^Р2 / йр = (а1 + Ла2 ) + 2вр2+т/2 (а1, Р1), (а 2 = а1 + Ла 2 ).
В (п + 1)-приближении: Ри+1 = Ри + ЛРи+1, аи+1 =ап + Лаи+1 — малые поправки ЛРп + 1, Лап + 1 к п-приближению удовлетворяют алгебраическим уравнениям:
2sp3+/ (ап, р„)dап/dp = -(p„ + Ap„+1) + 2sp2+^/1 (а„, p„ ), 2sp3+/ (ап, p„)dpn+jdp = (а„ + Аай+1) + 2sp2/ (ай, Рй+1). .
Последовательность (7.7) рекуррентная и при n ^ да стремится к совпадению с уравнениями (7.1). Это, как в предыдущем случае, означает сходимость (в общем, асимптотическую) рядов p1 + ^Apn , а1 + ^Ааи , n = 2, ..., к точному частному особому апериодическому решению.
n n
Расчеты по формулам (7.2) — (7.7) показали, что можно ограничиться вторым приближением [14].
Итак, формулами (5.1) — (7.7) описывается обобщение, выработанное в данной статье непосредственно из уравнений возмущенного движения КА (без использования невозмущенного движения).
Основной результат дополним некоторыми аспектами невозмущенного движения и уравнений в оскулирующих элементах.
8. УРАВНЕНИЯ КЕПЛЕРОВСКОГО НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Уравнения кеплеровского невозмущенного движения получим, полагая s = 0 в (3.1), (3.1' ):
= -л, л' = p = const. (8.1)
Общее решение линейных уравнений (8.1) представим гармониками
% = ecosfl, л = еsinfl, (А = ф-ю, p = const),
(8.2)
колеблющимися около нулевого положения равновесия = л = 0, являющимся для (8.1) тривиальным частным решением, изолированной особой точкой типа центр. Здесь константы интегрирования — элементы невозмущенной орбиты: амплитуда е — эксцентриситет, сдвиг по фазе ю — угловое положение перицентра на кеплеровской эллиптической орбите, р — фокальный параметр; полная фаза колебаний & — истинная аномалия.
Аналогично невозмущенной системе (8.1), возмущенная квазилинейная система (3.1), (3.1') при условиях (3.4) имеет изолированное нулевое решение в качестве положения равновесия, около которого (негармонически) колеблются все остальные решения системы. Свойство аналогичности типа колебаний в невозмущенной и возмущенной системах, по -видимому, более специальное, чем известное в математике определение качественной эквивалентности двух дифференциальных уравнений. Очевидным признаком отсутствия особого апериодического решения в возмущенной системе является свойство аналогичности по типу колебаний с линейной невозмущенной системой Кеплера (8.1).
9. ОСКУЛИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В уравнения (3.1), (3.1') возмущенного движения, где в > 0, подставим соотношения вида (8.2), считая в них е, ю, р переменными. Получим эквивалентные уравнения в амплитудно-фазовых переменных — оскулирующих элементах е, ю, р:
e' = 2sp2+y Sb ш' = 2sp2+y S2; p' = 2sp3+yf3 ( e cos fl, e sin fl).
(9.1) (9.1')
Здесь f3 = fj/(1 + ecosfl) ввиду (3.2), (8.2); через S1, S2 обозначены функции с первыми членами их тейлоровских разложений (3.3):
S1 = f1 cos fl + f2 sin fl = f1 (0, 0)cos fl + f2 (0, 0)sin fl +
f 1 cosfl + ff f 1 cosfl + [f
sin fl + eW1
0,0
sin fl + eW0
0,0
cos fl +
sin fl k;
(9.2)
S2 = (f1 sin fl - f2 cos fl^2e = [f1 (0, 0) sin fl - f2 (0, 0) cos fl]/2e +
+21
cosfl + i&
sin fl + eW1
f1 cos fl + ff
^Л/0,0
sin fl + eW2
sin fl-
(9.2')
0,0
cos fl k
Здесь, согласно (3.3), при всех 0 < е < 1 функции Ж2 ограничены.
Если для уравнений (9.1), (9.1') выполняются равенства (3.4), то в (9.2), (9.2') аннулируются члены вне фигурных скобок. Оставшаяся в фигурных скобках сумма членов ограничена при е ^ 0, чем обеспечивается определенность и ограниченность при 0 < е < 1 правой части уравнения (9.1) для ю. В итоге, при 0 < е < 1 правые части всех уравнений (9.1), (9.1') определены, ограничены и периодичны по & с периодом 2л. Значит, осреднением по & из уравнений (9.1), (9.1')
выделятся уравнения первого приближения [9, 10], погрешность которых остается малой во всей области малости возмущающих членов при 0 < e < 1 при изменении ф на интервале порядка 1/s , согласно [6, 7].
Для анализируемых здесь уравнений КА с малой тягой характерно нарушение (3.4) и обуславливаемое этим фактом существование в уравнениях КА при малых значениях эксцентриситета частного особого медленного апериодического решения. Вдали от этого решения, где е s, близки к выполнению равенства (3.4) и оскулирующие элементы e, ю квазипостоянны, истинная аномалия изменяется быстро. Но в s-окрестности особого решения, где e порядка s, поведение фазовых переменных резко изменяется: истинная аномалия S квазипостоянна и быстро изменяется угловое положение перицентра ю. (Последнее естественно для околокруговых орбит.) Для единства аналитического описания разноречивых тенденций элементов предпримем следующее. Оскулирующие элементы выразим через суперпозиционные переменные, аналитические представления которых пригодны при непрерывном изменении эксцентриситета от квазинулевых до относительно немалых значений в области малости возмущающих членов. Тогда для всей этой области получим аналитические представления оскулирующих элементов, непрерывно охватывающие разнообразие их поведения.
10. КОНЕЧНЫЕ СВЯЗИ ЭЛЕМЕНТОВ ОСКУЛИРУЮЩИХ е, ю С СУПЕРПОЗИЦИОННЫМИ A, ст, а, p
В суперпозиции (5.1) учтем (6.1) и результат приравняем соответствующим выражениям (1.1). Получим конечные (тригонометрические) связи элементов оскулирующих и суперпозиционных:
£ = а + A cos Q = e cos S, (П = ф-а),
V J (10.1) Л = Р + Asin Q = e sin S, (& = ф-ю).
Уравнения (10.1) разрешим так, чтобы слева были оскулирующие элементы или тригонометрические функции от них, а справа определяемые аналитически единым образом во всей области 0 < e < 1 суперпозиционные элементы или тригонометрические функции от них:
e2 = el + 2А(а cos Q + psin Q) + A2, в среднем e2 = el + A2; (10.2)
cos S = (а + A cos Q)/e, sin S = (p + A sin Q)/e,
cos ю = [(а + A cos Q) cos ф+(р + Asin Q) sin ф]Д, (10.2')
sin ю = [(а + A cos Q) sin ф - (p + A sin Q) cos ф]/e.
/ 2 2
Здесь e*=ya +p — эксцентриситет особого решения; справа в знаменателях выражений для тригонометрических функций S, ю надо заменить e, используя (10.2). Тогда правые части (10.2), (10.2') полностью выражаются через суперпозиционные элементы и аргумент ф.
Величиной А характеризуется удаленность регулярного решения от особого. При значении A = 0, соответствующем особому решению, из (10.2), (10.2') следуют выражения для параметров особого решения:
2 „2 2 , п2
e = e =а
р2, ( cos S),=a/e,, (sin S),=p/e,,
(10.3)
( cos ю)^ =(а cos ф+p sin ф)/е^, (sin ю)^ =(а sin ф-p cos ф)/е^,
откуда видно, что тригонометрические функции истинной аномалии S* — знакопостоянны. Следовательно, S* — медленная функция ф, и при ф ~ 1/s ее значение не превысит л/2. Тригонометрические функции углового положения перицентра ю* знакопеременны по ф, что означает быструю переменность ю4 на особом решении, где эксцентриситет мал по величине.
Очевидно, соотношения (10.2), (10.2') позволяют непрерывно проследить изменение поведения оскулирующих элементов регулярного решения в зависимости от его удаленности от особого решения. Проверим это и вдали, и вблизи от особого решения. В последней ситуации
А2<Се*2; ё2 «е2 =а2 + р2, ё*е„ (10.4)
В правых частях (10.2), (10.2') пренебрежем малой величиной А и учтем (10.4). Получим совпадение с выражениями (10.3) для особого решения. Вдали от особого решения выполняются приближенные соотношения
А2» е2; ё2 « А2; ё -^ё2; А/е -А/ё -1. (10.5)
С учетом (10.5) из (10.2), (10.2') находим:
cos &«( A cos Q)/e « cos Q, &«Q; cos ш «(A/e )(cos Q cos ф+sin Q sin ф) = A[cos (Q —ф)]/ e « cos с, ш « с.
(10.6)
Из (10.6) следует, что истинная аномалия S — быстрая переменная, аналогичная Q; угловое положение перицентра со — медленная переменная, аналогичная с. Значит, в этом случае (в частности, при ограничении вместо суперпозиционных уравнений в переменных А, с, р можно пользоваться уравнениями в оскулирующих элементах e, ш, p. Результаты осреднения по быстрой угловой переменной S (или Q) обеих упомянутых систем уравнений будут близкими на интервалах ф ~ 1/s .
11. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗ ОСОБОГО АПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ
Сюда входит класс квазилинейных уравнений типа уравнения Ван дер Поля, описывающих явления в основном радиофизические, анализируемые в [9, 10] методом осреднения. Убедимся, что свойства возмущений — их пропорциональность амплитуде колебаний в квазилинейных уравнениях упомянутого типа — обуславливают определенность и ограниченность правой части фазового уравнения при уменьшении амплитуды колебаний до нуля. (Такого свойства нет в фазовом уравнении (9.1), если возмущением является малая тяга, которая не пропорциональна амплитудной характеристике — эксцентриситету.)
В качестве примера возьмем уравнение Ван дер Поля. Запишем его в переменных S, л, зависящих от аргумента ф, дифференцирование по которому обозначим штрихом:
£' = -Л + е(1 -Л2 )S, л' (111)
Здесь переменные S, л связаны формулами вида (8.2) с характеристиками колебаний: амплитудой е, сдвигом по фазе ш, полной фазой А = ф —ш. Возмущающий член
sf1 (S, n) = s(l — Л2= se(l — e2 sin2 s)cosS (11.2)
аннулируется в нулевой точке. Значит, выполняется равенство (3.4) и среди решений (11.1) нет апериодического, существуют только колебательные около нулевого положения равновесия
S = л = 0.
Эквивалентными (11.1) являются амплитудно-фазовые уравнения:
e' = se(l — e2sin2 S)cos2 S, <»' = s(l — e2sin2 s)cosSsinS. (11.3)
Ввиду свойств (11.2) при е ^ 0 правая часть уравнения (11.3) для ю определена и ограничена.
Из (11.3) следуют осредненные по S уравнения:
в = гв (l - в2/4^2, ю' = 0, откуда ю = const = ю0. (11.4)
Возмущающий член в системе (11.1) аннулируется также в динамически равновесном режиме автоколебаний — незатухающих колебаний около нулевого положения равновесия с почти постоянной амплитудой и частотой. В (11.4) автоколебательному решению соответствует е' = 0. На окрестных решениях, где е' < 0 (е ' > 0), амплитуда колебаний убывает (возрастает) до амплитуды автоколебаний, что означает устойчивость автоколебаний. Автоколебательное решение — частное особое, но не апериодическое, а колебательное около нуля и не приводящее к неопределенности в правой части фазового уравнения (11.3).
12. АНАЛИЗ ОКОЛОПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ КА С МАЛОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ ТЯГОЙ
Полагая sar = 0 в (1.2), (1.2' ), получим уравнения плоского траекторного движения КА под действием малого трансверсального (реактивного) ускорения ваф = sa = га (£, т):
£ ' = -л + 2sp2a/ (1 + £)2, n' = ^ + sp2aV(l + £)3; (12.1)
p' = 2sp3a/ (1 + £)3. (12.1' )
Здесь в возмущающие члены входят функции от £, т
fi = a(£, л)/(1 + £)2, f2 = a(£, тОл/2(1 + £)3, (12.2)
которые в точке £ = т = 0 принимают значения
f (0, 0) = a(0, 0) > 0, f2 (0, 0) = 0. (12.2 ' )
Отличие f (0, 0) от нуля является признаком существования в (12.1) частного особого апериодического решения.
В (12.1) зададим конкретную структуру функции a(£, т), например:
a(£, т) = a1 (1 + £)n при постоянных a1, n, (|£| < 1 при e < 1). (12.3)
Квазилинейная система (12.1), (12.1') после учета (12.3) при n = 3 превращается в неоднородную линейную по £, т систему:
£ ' = -т + 2sp2a1 (1 + £), т ' ^гАт, p2 = pi/(1- 4sa^p029). (12.4)
Элементы (£, т) = (a, Р) особого апериодического решения уравнений (12.4) определим в первом приближении, согласно (7.5), как
(a1, р1 ) = (6s2p4a12, 2sp2a1), e1 « 2sp2a1, cos= a/в1 « 3sp2a1. (12.5)
Ввиду линейности (12.4), уравнения для отклонений А£, Ат (от компонентов a, Р особого решения) однородные линейные:
А£' = -Ат + 2sp2a1A£, А^ = A£ + sp2a1A^ (12.6)
Не вызывает сомнений выполнение для (12.6) локальных равенств вида (3.4) и колебательность всех решений (12.6) около нулевой точки А£, = Ал = 0. Значит, общее решение (12.6) можно искать в виде:
А^ = A cos Q, Ал = A sin Q, ^ = ф — с). (12.7)
Здесь амплитуда A и сдвиг по фазе с — медленные переменные, удовлетворяющие эквивалентным (12.6) амплитудно-фазовым уравнениям
2 / 2 \ о 3
A = spa1AI1 + cos Q), c' = spa1sinQcosQ, p' = 2sp a1. (12.8)
Осреднение (12.8) по Q приводит к уравнениям первого приближения
A = 3sp2a1A¡2, с' = 0, p' = 2sp3a1, (12.9)
общим решением, которых являются квадратуры
A = Ао (p/po)3/4, с = const = ^ p = Po/Ф — 4spOa1 ф. (12.10)
Из (12.8) — (12.10) видно, что A' > 0 при ф > 0. Это признак неустойчивости в (12.4) особого апериодического решения, которое при ф < 0 — смене направления движения — становится устойчивым.
13. ОЦЕНКА ОШИБКИ ОСРЕДНЕНИЯ СУПЕРПОЗИЦИОННЫХ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИЙ
В качестве наглядного дополнения к оценкам [6, 7] укажем оценки разности решений уравнений (12.8) и (12.9) с гладкими правыми частями. В этих уравнениях для удобства перейдем
к аргументу Q вместо ф, пользуясь связью Q' = 1 — с ' = 1 — sp2a1 sin Q cos Q, и проведем некоторые несложные преобразования:
d 1n A = 1 sp2a1 (3 + cos 2Q) /| 1 —1 sp2a1 sin 2Q ]« 1 sp2a1 (3 + cos 2Q); d 2 /V 2 j 2
(131)
d с 1 2 • 0 L 1 2 • -0 I 1 2 •
-= —sp a sinQ/l 1—sp a sin2Q \ &—sp a sin2Q.
dQ 2 F 1 /V 2 ^ 1 j 2 F 1
Здесь в знаменателях правых частей отброшены члены порядка sp2a1, как малые по сравнению с единицей. Осредняя (13.1) по Q, получим:
d In A/dQ = 3sp2a1/2, da/d Q = 0, (13.2)
Решение (13.1) представим как
In (A/A) ) = In (A/A)+AR1 + R1, с = со+ar2 + R2, (A = A). (13.3)
1 2
Здесь R11 =AR1 + R1, R22 = AR2 + R2 — ошибки осреднения; AR1 = — sp a1sin2Q,
1 2 2 AR2 = ——ep ci\ cos 2Q — колебательные no Q малые функции порядка sp a, <C 1; . R2 — неизвестные пока части ошибки.
Посредством (13.3) с учетом (13.2) из (13.1) находим уравнения для R2 :
dRj dQ = (sp2 )2sin2Q, dR2/ dQ = (sp2 )2cos2Q. (13.4)
Для решений эквивалентных (13.4) интегральных уравнений укажем оценки:
Q
№
{(sp2a1 ) dQ
о
<(sp2ai) Q, (R(0) = 0, i = 1,2). (13.5)
2 /2
Последние не превысят величины порядка sp Ü1 для Q порядка 1/ sp a.
14. ОКОЛОПЛАНЕТНЫЕ ТРАЕКТОРИИ КА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО ПО МОДУЛЮ МАЛОГО ТРАНСВЕРСАЛЬНОГО РЕАКТИВНОГО УСКОРЕНИЯ
Продолжим анализ уравнений (12.1), (12.1') движения КА под действием малого трансвер-сального реактивного ускорения с модулем, описываемым как некая функция из семейства (12.3) с параметром п. Легко проверить, что при ф > 0 особое решение уравнений движения КА неустойчивое при п = 2 и устойчивое при п = 1; оно также будет устойчивым при п = 0, когда из (12.3) следует постоянство модуля реактивного ускорения saф = sa = const.
Ввиду важности последнего случая изучим его подробнее. Уравнения движения получим из (12.1), (12.1'), обозначая в них для краткости постоянную величину sa как s:
= -Л + 2sp2/(1 + £)2 * -Л + 2sp2 (1 - 2£ + 3£2...);
П' = £ + ерУ(1 + £)3 *£ + sp2л(1 -3£ + 6£2...); (14.1)
p' = 2spV(1 + £)3 * 2sp3 (1 - 3£ + 6£2...).
Для (14.1) в соответствие с (7.4) — (7.7) находим приближение к частному особому апериодическому решению с компонентами (£, л) = («, ß):
£2 = а2 = 6s2p4 (1 -126s2 p4 ); л2 =ß2 = 2sp2 (1-36sp2 ). (14.2)
Здесь дан результат второго приближения, где за круглые скобки вынесен результат первого приближения. Из (14.2) находим в первом приближении:
2/2 e1 *ß1 = 2sp ; cos=а/e1 *3sp . (14.2 ')
Компоненты а, ß особого решения обращают уравнения (14.1) в тождества
а' = -ß + 2sp2 (1 - 2а + 3а2...); ß' = a + sp2ß(1 - 3а + 6а2...). (14.3)
Переменные Д£ = £ - а, Дл = Л - ß отсчитываются от компонентов а, ß особого решения и удовлетворяют уравнениям:
Д£ ' = -Ал + 2sp2A£[-2 (1 - 3а) + 3Д£]; / р 9П , (14.4)
ДЛ ' = Д£ + sp2|Дл| (1 -3а)-3Д£ + 6(Д£ + а)2 -3ßA£[1 -2(Д£ + 2а)][.
Последние свободны от особого апериодического решения, и нулевая точка Л£ = Лл = 0 является для (14.4) тривиальным изолированным частным решением, около которого колеблются все остальные решения (14.4). Поэтому адекватно представление общего решения (14.4) в виде гармоник с медленно изменяющимися амплитудой А и сдвигом по фазе с:
Л£ = Аа^О, Лл = ^т О, (О = ф-с). (14.5)
Возмущающие члены в (14.4) упростим, отбрасывая в них малые по сравнению с единицей слагаемые порядка ер2, как то а, р, а также тейлоровские члены старших степеней. Тогда вместо (14.4) получим более компактные уравнения
Л£ ' = -Ал + 2ер2Л/1 (£, л), Ал' = Л£ + 2ер2Л/2 (£, л), (14.6)
где
Л/ = (-2 + 3Л£)Л£, Л/ = 0.5(1-3Л£)Лл. (14.6 ') Система (14.6) посредством (14.5) преобразуется к переменным А, с
А = 2ер2 (Л/1 со8 О+Л/2 ^п О); с' = 2ер2{Л/1^1пО.-Л/2со^О)1А. (14.7)
Здесь О = ф-с, и ввиду (14.5) эквивалентные (14.6 ') выражения имеют вид:
Л/1 = Аео8 О(-2 + 3Аео8 О) , Л/2 = 0.5Аяп О(1 - 3Аео8 О) (14.7 ' )
Очевидна ограниченность при А ^ 0 отношений Л//А, / = 1, 2, гарантирующая определенность сдвига по фазе с при 1 > А > 0 и малость ошибки осреднения (14.7) по О при изменении ф на интервале порядка 1/е. Для замкнутости системы присоединим к (14.7) уравнение (14.1) для р(ф):
р' = 2ер3 [1 - 3( Аео8 О+а)], (14.8)
решение которого — медленное апериодическое, поэтому из тейлоровского разложения правой части этого уравнения удержаны лишь главные члены. Результатом осреднения (14.7), (14.8) по О являются уравнения:
А = -1.5ер2 А, с ' = 0, р' = 2ер3 (1 - 3а)« 2ер3. (14.9)
Здесь отрицательность производной А означает устойчивость при ф > 0 особого апериодического решения системы (14.1).
Общее решение (14.9) выражается квадратурами:
А = А (ро/р )3/4, с = со, р = роЛ/1 - 4еро2ф. (14.10)
Учитывая последние в (14.5) и прибавляя результат к (14.2), получим приближение к общему решению (14.1), описывающее быстрые колебания около медленно возрастающей линии центров колебаний.
Пользуясь (10.2), (14.2 ' ), (14.10), получим осредненную функцию е2 (р) :
е2 = А2 +Х2 = Ао2 (ь/х)3/4 + X2, (х = 2ер2 ). (14.11)
Здесь, согласно (14.2 '), % — приближенное значение эксцентриситета е* особого решения. В (14.11) — сумма монотонных функций %(р): первая А — убывающая к особому решению, вторая % — возрастающая вдоль особого решения. Функция (14.11) имеет аналитический минимум е2 при
%1 =(3А2Х0/4/8)4/11> (%о = 2вр02 >%1). (14.11')
На интервале (%0, %1) функция е2 убывает монотонно, далее е2(%) возрастает, асимптотически приближаясь к значению £*(%) — %2 = 4в2 р4.
В (14.11) подставим (14.11' ) и учтем, что %о — величина порядка в, 3 А^/8 — константа, не зависящая от в. В итоге:
е\ и л/хГ —величины порядка в3/11 ^в. (14.11")
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для класса квазилинейных нестационарных систем, к которому принадлежат уравнения (околопланетного, многооборотного) плоского движения КА, возмущаемого малой тягой, выявлена сложная структура колебаний. Последние являются быстрыми и совершаются не около неподвижной (нулевой) точки, а представляются наложенными на квазипостоянную линию (мгновенных центров колебаний), задаваемую частным особым медленным апериодическим решением. (Для особого решения указаны условия существования и алгоритм аналитического определения.) Путем точного исключения особого апериодического решения из квазилинейных возмущенных уравнений КА получены уравнения (для наложенных быстрых колебаний — отклонений от особого решения), легко анализируемые методом осреднения. Показана малость ошибки на большом интервале изменения аргумента возмущенных уравнений КА при аналитическом определении особого решения и отклонений от него.
В целом показано, что ввиду геометрической сути упомянутых сложных колебаний точное общее решение квазилинейных возмущенных уравнений КА описывается суммой (суперпозицией) частного особого медленного апериодического решения и быстрых колебательных отклонений от него.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. — М.: Наука, 1977, 430 с.; — М.: Изд. ЛКИ, 2009, 432 с.
2. Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. Механика космического полета с малой тягой. — М.: Наука, 1966, 620 с.
3. Охоцимский Д. Е. Исследование движения в центральном поле под действием постоянного касательного ускорения // Космические исследования. 1964. Т. 2, № 6, с. 817 — 842.
4. Прикладная небесная механика и управление движением. — Сб. статей / Составители: Энеев Т. М., Овчинников М. Ю., Голиков А. Р. — М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 2010, 368 с.
5. Ларичева В. В., Рейн М. В. Асимптотика уравнений небесной механики, пригодная при широком диапазоне изменения эксцентриситета // Космические исследования. 1965, Т. 3, № 1, с. 28 — 41; Т. 3, № 3, с. 359 — 368.
6. Ларичева В. В. Эффективное преобразование и асимптотика одного класса нелинейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1965. Т. 165, № 2, с. 289 — 292.
7. Л а р и ч е в а В. В. Об осреднении одного класса нелинейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1966. Т. 2, № 3, с. 345 — 352.
8. Ларичева В. В., Ефимов Г. Б. Асимптотика несимметричных колебаний маятника и разнотипность решений уравнений разгона точки с малой тягой в центральном поле притяжения. — М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 1983, препринт № 56, 27 с; № 108, 28 с.
9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Физматгиз, 1963, 412 с.
10. М и т р о п о л ь с к и й Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наукова думка, 1971, 440 с.
11. Ларичева В. В. Аналитические решения и особенности уравнений эволюции орбиты космического аппарата под действием малых сил // ДАН. 2011. Т. 441, № 3, с. 325 - 327.
12. Ларичева В. В. Приближенное аналитическое продолжение в область больших возмущений квазистационарных решений уравнений движения точки в ньютоновском гравитационном поле // Ученые записки ЦАГИ. 1977. Т. VIII, № 2, с. 69 — 79.
13. Ларичева В. В. Приближенное аналитическое решение задачи о возможности попадания в режим авторотации вращающегося асимметричного тела, входящего в атмосферу // Ученые записки ЦАГИ. 2000. Т. XXXI, № 1 — 2, с. 188 — 201.
14. Л а р и ч е в а В. В. Анализ эволюции многовитковых возмущенных траекторий космического аппарата в центральном поле притяжения // Космические исследования. 2013. Т. 51, № 4, с. 338 — 348.
Рукопись поступила 19/У12012 г.
