Управление запасами по двум критериям с учетом ограничений Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.И. Смагин, С.В. Смагин

УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ ПО ДВУМ КРИТЕРИЯМ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ

Рассматривается алгоритм синтеза системы управления запасами на основе оптимизации локального критерия и критерия общих затрат с учетом ограничений на транспортные средства и ограничений на объем склада. Синтез осуществляется с использованием пакета МаНаЬ 6.5.

Теория следящих систем применяется в задачах управления запасами в работах [1 - 3]. В настоящей работе для определения поставок на склад используется метод локально-оптимального слежения [4] и метод случайного поиска, с помощью которого минимизируются общие затраты.

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Поведение дискретной системы управления запасами, описывающей модель склада, имеет следующий вид: х(к +1) = Ах(к) + и(к) -,(к), х(0) = х0, (1)

где х(к) - я-мерный вектор (х(к) - количество товаров і-й номенклатуры, находящееся на складе); и(к) - я-мерный вектор поставок; ,(к) - я-мерный вектор переменного спроса; А = diag(1-Kь ... ,1-К, ... ,1-Кп) (К - коэффициенты потерь); х0 - вектор начальных условий. Оптимизируемый первый критерий является локальным и имеет вид

I (к) = (х(к +1) - 2 )т С, (х(к +1) - 2) + и( к )т Ди(к), (2) где С, > 0, Д > 0 - весовые матрицы; 2 - я-мерный

вектор, подлежащий определению.

Рассмотрим задачу формирования поставок одним транспортным средством грузоподъемности Отах при этом будем учитывать, что площадь склада ограничена и для всех к > 0 справедливо неравенство

X ^хі(к) - бр .

(3)

і=1

В (3) ,^і - площадь, занимаемая единицей товара і-й номенклатуры; 8р - общая площадь склада. Вектор поставок будем определять с учетом транспортных ограничений следующего вида:

и*(к), если Отт - 0(и*(к)) - О),

0, если О(и*(к)) < ОтШ, (4)

и** (к), если О (и* (к)) > Отах .

и (к) =

Здесь Г(и (к)) = 2 р1и1 (к) - вес перевозимого груза (р1

1=1

- вес единицы товара /-й номенклатуры); и (к) - вектор поставок, минимизирующий критерий (2) без учета ограничений на вес перевозимого груза; и (к) -вектор поставок, минимизирующий критерий (2) с учетом ограничения 0(и(к)) < Гтах, если при этом 0(и (к)) > Гтах; Отт - параметр, подлежащий определению (бтт определяет минимальный вес перевозимый транспортным средством).

На величину Гтт накладываются ограничения

Г

— - (5)

От

■> К

общих затрат, вычисленных на скользящем интервале времени:

т

3(2, Отт) = С! X SІgП(О(м (к)) +

к=т-1

пт пт

+ХС2,і X х+ (к) + ХСз,і X I х-(к)|. (6)

і =1 к=т-1 і=1 к=т-1

В (6) С1 - стоимость выполнения одной транспортной заявки; С2 і - стоимость хранения единицы товара і-й номенклатуры; С3і - штраф за невыполнение заказа в одну единицу товара і-й номенклатуры (х,+(к) = хі(к), если хі(к) > 0, х,г(к) = хі(к), если хі(/) < 0, в противном случае х+ и х,г равны нулю); I - длина скользящего интервала.

После того, как найдены оптимальные 2 , О тт и становится известным вектор спроса ,(т+1), определяется размер поставок и (т +1) на основе оптимизации критерия (2) с ограничениям (3), (4). Затем для определения новых значений 2 и О тт, решается двухкритериальная задача (2), (6) на интервале т -I + 1,., т + 1 и так далее по мере поступления новых данных о спросе определяются новые размеры вектора поставок.

Алгоритм оптимизации двух критериев (2), (6) реализован с использованием пакета МаЙаЬ 6.5, при этом применялась процедура quadprog с учетом ограничений вида (3), (4). Критерий (6) минимизировался с использованием алгоритма случайного поиска [5].

Итерационная схема алгоритма случайного поиска имеет вид

Хк+1 = Хк + афЕк , (7)

где к = 0,1,2 ., к - шаг поиска; Хк = (2^,..., 2пЛ,ОтШ к)Т

- текущее приближение; Ек - равномерно распределенный в единичной сфере случайный вектор с центром в начале координат. Обозначим Дк = Д(Хк), 3+к = = Д(Хк + ккЕк), X - точка минимума функции Д(Х), 3* = Д(Х*).

Величина ак вычисляется по следующему правилу:

ак ={1, если Д+к - Дк,

[0, в противном случае.

(8)

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Моделирование выполнено для двухпродуктового склада для следующих исходных данных:

К1 = 0,005, К2 = 0,001, Отвх = 140,

С, =

1 0" , Д = "0 0"

0 1_ 0 0_

Ко = 0,7

где КГ - коэффициент использования грузоподъемности транспортного средства.

Компоненты вектора г и параметр Гтш выбираются с учетом ограничений (5) из условий минимума

Бр = 1650, 51 = 2, 52 = 3,

р1 = 1, р2 = 1,5, С! = 27,6,

С2,1 = 0,15, С2,2 = 0,2, С3,1 = 1, С3,2=1.

Начальные значения оптимизируемых параметров принимались следующими: 2 = [40 40]Т, ОтіП = 110.

На рис. 1 показаны значения общего критерия затрат в ходе его минимизации в течении 220 итераций алгоритма случайного поиска. Как видно из графика, критерий уменьшается приблизительно по линейному закону.

Рис. 1. Реализация значений общего критерия затрат при использовании метода случайного поиска

Оптимальные значения вектора 2 и параметра От для первого скользящего интервала равны /29,84\

2 =

35,71

О_ = 100,39.

Рис. 2. Размеры поставок товара 1-го вида

теме управления запасами возникает дефицит по товарам второго вида. Однако этот дефицит держится на протяжении достаточно короткого интервала времени. Реализации переменного спроса приведены на рис. 6.

Рис. 4. Количество товара 1-го вида на складе

При этом значение критерия общих потерь (6) уменьшилось с 220 до ,/=196,41. Приведенные на рис. 2 - 8 результаты соответствуют оптимальным значениям параметров 2 и ОтіП.

На рис. 2 и 3 приведены реализации объемов поставок товаров на склад. Как видно из графиков, поставки в течение 13 тактов осуществляются только 4 раза. В результате мы имеем экономию расходов на транспорт.

Рис. 5. Количество товара 2-го вида на складе

Рис. 6. Реализации переменного спроса

На рис. 7 и 8 приведены графики загруженности транспортного средства и занятости площадей склада. Как видно из рис. 7, вес перевозимого груза находится в заданных пределах, а график на рис. 8 показывает, что занимаемая товарами площадь не превышает площади склада .

Рис. 3. Размеры поставок товара 2-го вида

На рис. 4 и 5 приведены реализации количества товаров на складе. Кривые имеют пилообразную форму, что естественно для задач управления запасами. Анализ графика, приведенного на рис. 5, показывает, что в сис-

Рис. 7. Загруженность транспортного средства при каждой поставке товара

Рис. 8. График занятости площадей склада

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе на основе оптимизации двух критериев предложено решение задачи синтеза системы управления поставками на склад в условиях переменного спроса. Первый критерий оптимизируется в текущий момент времени, второй - на скользящем интервале времени. Учитываются ограничения, связанные с грузоподъемностью транспортного средства и с объемом склада. С использованием пакета МЛТЬЛБ 6.5 разработана программа синтеза и моделирования системы управления запасами для двухпродуктового склада.

ЛИТЕРАТУРА

1. Симон Г.А. О применении теории следящих систем для изучения процессов регулирования производства // Процессы регулирования в моделях экономических систем: Сб. статей / Под ред. В.Я. Фридман, Л.П. Якименко. М.: ИЛ, 1961.

2. ПервозванскийА.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975.

3. Основы управления технологическими процессами / Под ред. Н.С. Райбмана. М: Наука, 1978.

4. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996.

5. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 25 мая 2005 г.