CC BY
66
УДК 621.316.722
УПРАВЛЕНИЕ В СИСТЕМАХ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ПО БАЛАНСУ НАКОПЛЕННОЙ И НЕОБХОДИМОЙ ЭНЕРГИИ
Ю.М. Казанцев*-**, А.Ф. Лекарев**
*Томский политехнический университет **ОАО «Научно-производственный центр «Полюс», г. Томск E-mail: polus@online.tomsk.net
Предложен метод синтеза управления в преобразовательной технике с широтно-импульсной модуляцией, основанный на формировании управляющего воздействия по балансу необходимой и накопленной энергии. Приведены алгоритм формирования управления импульсным преобразователем напряжения и результаты исследования системы в различных режимах работы.
Ключевые слова:
Синтез управления, энергетический баланс, максимальное быстродействие, широтно-импульсная модуляция, переходной процесс.
Key words:
Controlsynthesis, energy balance, maximum performance, pulse-width modulation, transient.
Задача проектирования систем управления с максимальным быстродействием часто решается с помощью принципа максимума Понтрягина [1]. Однако непосредственное применение данного принципа наталкивается на серьезные трудности, связанные с преобразованием вектора оптимального управления как функции вектора количества движения в вектор управления как функцию вектора состояния или времени.
В преобразовательной технике существенно упростить задачу позволяет использование уравнения баланса между текущим значением внутренней (запасенной системой) энергии и её значением в установившемся режиме [2]. В соответствии с принципом наименьшего действия стратегия управления, обеспечивающая минимум интеграла по времени от уравнения баланса, обеспечивает и минимальное время переходного процесса.
Рассмотрим реализацию этого подхода на примере импульсного преобразователя напряжения (ИП) (рис. 1), в котором текущее значение накопленной LC-фильтром энергии
V = уин2(0 + |(»ь(0-/н(/))^п(/ь(0-/н(0), (1)
где Ь, С - индуктивность дросселя и емкость конденсатора LC-фильтра; Ц() - выходное напряжение; /Ь(/) - ток дросселя; /н(/) - ток нагрузки; ¡^(^©-/„(О) -знак пульсирующей составляющей энергии дросселя.
Пусть переключение ключевого элемента УГ осуществляется по смене знака баланса между текущим значением внутренней энергии, запасенной непрерывной частью ИП ^С-фильтром), и значением энергии LC-фильтра в установившемся режиме [2]. Тогда после простых преобразований уравнения (1) закон управления можно представить в виде
Fз = (иКг)-и о2п) +
+р20ь(0 - ¿н(* ))2 э^(/ь(0 - /н(0);
F =
1 при F3 <0; 0 при F3 > 0,
(2)
где F3 =
С
W--
CU,
2 А
- сигнал, пропорциональ-
ный текущему значению баланса между запасенной LC-фильтром энергией и энергией CUon2/2, необходимой LC-фильтру при выходном напряжении, равном заданному ин=иоп, и нулевом значении тока конденсатора iC(t)=iL(t)—t)=0; p=VL/C - характеристическое сопротивление LC-фильтра; иоп - заданное (опорное) напряжение; F - состояние VT (при F=1 включен, при F=0 выключен).
При широтно-импульсной модуляции с формируемым генератором пилообразного напряжения (ГПН) линейным сигналом развертки Yp=Ap({t/T}-1), где Ар - амплитуда; {t/T} - дробная часть отношения t/T; Т - длительность периода широтно-импульсной модуляции, управление осуществляется синхронизующим Fc и управляющим Fy сигналами, управляющий сигнал F формируется компаратором К из сигнала энергетического баланса F,, вычисляемого блоком Е в соответствии с уравнением (2).
Рис. 1. Схема ИП
При модуляции заднего фронта импульса в соответствии с (2) закон управления имеет вид
F = F + 7, ;
F =•
J1 пРи tn < t < t„ ê ;
10 ПРИ tnê < t < W
(3)
где ¡„, /„+1 - моменты синхронизации; к - момент выключения УТ, определяемый наименьшим положительным корнем уравнения /у=0 на и-м периоде модуляции.
Устойчивость периодических режимов в системе на частоте широтно-импульсной модуляции обеспечивается, если крутизна пилообразного сигнала развертки больше максимальной крутизны изменения энергетического баланса системы в установившемся периодическом режиме [3]:
= — Q ,
С э-м
где Qэ.м - максимальное значение реактивной мощности LC-фильтра.
Учитывая, что для рассматриваемой схемы
и.2г
Л чз | л 2 с1Ж
Т сИ М = С Л
получим
Q =
Q =
-«-'Э.М
21 и£ 21 '
и„ = ип(1 - СС8(Ю0/К));
= —этОоО;
Р
1 К У
С =— агссо81 1----------
2
где Цн.к, /Ск - напряжение и ток конденсатора LC-фильтра в момент первого выключения УТ; ю0 =1/лЬС - собственная угловая частота LC-фильтра.
Таблица. Параметры ИП
Наименование параметра Значение
Напряжение питания, ип, В 54,0
Заданное выходное напряжение, иоп, В 27,0
Индуктивность дросселя, /, мГн 0,2
Емкость конденсатора, С, мФ 2,0
Частота коммутации VT, ^, кГц 50,0
Амплитуда пилообразного сигнала, Ар, В 0,73
Сопротивление нагрузки, И„, Ом 2,7
Анализ закона управления (3) проведем на модели ИП (рис. 1) с параметрами по таблице.
Определим минимально возможную длительность переходного процесса при заданных в таблице параметрах.
При включении УГ с нулевых начальных условий на сопротивление нагрузки первое вы-
ключение должно происходить в момент 4 при /э=0 и
С учетом того, что на интервале разомкнутого состояния УТ энергия, накопленная LC-фильтром, должна обеспечить к моменту окончания переходного процесса ¡= Тп.п заряд конденсатора С до заданного выходного напряжения Цоп, справедливо уравнение
и со$,(ап(Т -П) = и ,
оп V 0\ п.п к// н.к’
откуда
Тп.п = 4 +—аГСС05
' и ^
н.к
V и оп ,
Рис. 2. Переходный процесс при включении с нулевых начальных условий
Для заданных в таблице параметров ИП получим 4=0,334 мс; Цн.к=7,22 В; /с.к=85,5 А; Тп.п=1,16 мс.
Переходный процесс имеет минимальную дли-
ч
тельность потому, что интеграл | ^Э (/)Ж ■
т. к. на интервале (0, 4) используются максимальные ресурсы управления (/к=1).
Исследования процесса включения с нулевых начальных условий на модели ИП (рис. 1) с управлени-
ем по (3) и параметрами по таблице показали (рис. 2), что 4=0,331 мс; Цн.к=7,38 В; /с.к=84,9 А; Тп.п=1,2 мс; выходное напряжение устанавливается на уровне Цн=27,006±0,001 В, а ток дросселя 4=10,0+0,7 А, т. е. длительность переходного процесса превышает минимально возможную менее чем на 4 %.
Влияние изменения напряжения питания в широком диапазоне у (от 0,9 до 0,1) на параметры установившегося режима иллюстрируется соответствующими предельными циклами на фазовой
А
-1,0
-1,0
Гр =270 В
Г4 \
и. ,=54 В
ЗОВ / ч
( 1
N 1
1 г \ Г 1 -/ч
[у
0 5
Рис. 3. Предельные циклы при ип, равном 30, 54 и 270 В
10
— &ПГГ; МВ
Рис. 4. Положение рабочей точки Fэ на пилообразном сигнале развертки Ур при напряжении питания и„, равном 30, 54 и 270 В
плоскости (рис. 3). При ип, равном 30, 54 и 270 В, переключение УТ происходит при ошибке ди=ин-и0п, которая определяется положением рабочей точки - значениями - на пилообразном сигнале развертки 7Р (рис. 4).
Очевидно, что в момент коммутации согласно (3) выполняется равенство
Р3 + Гр = 0,
а для полного диапазона регулирования справедливо соотношение
и,2 -и о2п < Ар,
или
(Uí -иon)(Uí + Uоп) < Ap
откуда максимальная статическая ошибка
ди <—р и 2и
оп
Влияние нестационарности параметров LC-фильтра на статические и динамические характеристики иллюстрируют соответствующие диаграммы переходных процессов при включении с нулевых начальных условий (рис. 5).
30 Us, В 20
10
0
30 Us, В 20
10
0
30
US,B
20
10
0
30 С/н, В 20
10
0
0
0,5
е)
1,0
1,5
/р
и*
0 0 5 a) 1, 0 1, 5 2,0
1 Л! i us
.X Ч X
0 0 5 6) 1, 0 1, 5 2,0
90
¡b А
30
0
£, мс 90
¡Ь А
us
0
t, мс
■90
■30
1 f~ Г *'*■■■■ b__ _ ÍL\ U ' ' lili
1 f 1 1 1 / 1 1 1J 1 1 H 1 1 i i lili lili lili lili lili lili
1 1 1 II 1 1 ¡\ \ -- 1 1 i r'Vs ■ lili lili lili lili lili
№ i ^ 1 1 \: lili lili lili lili
■о
2,0 £, мс 90
¡Ь А 60
0,5
1,0
1,5
■30
0
2,0 t, мс
Рис. 5. Диаграммы переходного процесса при: а) уменьшении емкости конденсатора на 25 %; б) увеличении индуктивности дросселя на 25 %; в) увеличении емкости конденсатора на 50 %; г) уменьшении индуктивности дросселя на 50 %
Видно, что увеличение характеристического сопротивления ведет к перерегулированию (рис. 5, а, б), а уменьшение - к изменению длительности переходного процесса (рис. 5, в, г). Изменение статической ошибки практически не проявляется.
Исследуем влияние возмущения по цепи питания и нагрузки на выходные параметры ИП с предложенным управлением.
Зададим напряжение питания с периодическим воздействием
и = и + и 8т(2п /В г),
п.в п В .В V •/В.В''’
где Ц,в и/в.в - амплитуда и частота напряжения периодического воздействия по цепи питания.
При ив.в<0,2ип и /,„<10 кГц возмущение по цепи питания отрабатывается с минимальной ошибкой, система остается в зоне регулирования (рис. 6).
Зададим нагрузку с периодическим воздействием
*„ = 4 + Л.в 8Ш(2п./В.вО,
где /в.в - амплитуда тока периодического воздействия по цепи нагрузки.
При /в.в<0,2/н и/в.в<10 кГц ток дросселя 4 отслеживает изменения тока нагрузки /н, система остается в зоне регулирования (рис. 7).
При скачкообразном набросе тока нагрузки (рис. 8) ток дросселя увеличивается с крутизной (ип-и„)/Х, при сбросе - уменьшается с крутизной Ц/Х, переходный процесс при Д/н=5 А завершается за 6 периодов широтно-импульсной модуляции установлением номинального значения выходного напряжения и пульсации тока дросселя.
В следящем режиме работы синусоидальное изменение опорного напряжения Ц,п с амплитудой 25 мВ и частотой 5 кГц отслеживается с запаздыва-
Рис. 8. Скачкообразный сброс и наброс нагрузки 5 А
4,75
Рис. 9. Следящий режим работы
нием по {7н, не превышающим 15° (рис. 9).
Как следует из рис. 9, максимальное отклонение выходного сигнала от заданного значения не превышает 2...3 мВ, что свидетельствует в пользу высокой эффективности предложенного метода.
Выводы
1. Предложен метод синтеза управления в системах с широтно-импульсной модуляцией, основанный на формировании управляющего воздействия по балансу необходимой и накопленной энергии.
2. Приведены алгоритм формирования управле-
ния импульсным преобразователем напряжения и результаты исследования системы в различных режимах работы.
3. Показано, что управление с широтно-импульсной модуляцией на основе баланса между текущим значением внутренней (запасенной системой) энергии и её значением в установившемся режиме позволяет создавать высокоточные стабильные системы с высоким быстродействием и низкой чувствительностью к изменению внутренних и внешних параметров.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ту Ю. Современная теория управления: Пер. с англ. / Под ред.
В.В. Солодовникова. - М.: Машиностроение, 1971. - 472 с.
2. Казанцев Ю.М., Лекарев А.Ф. Формирование управления по балансу необходимой и накопленной в системе энергии // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. -2009. - № 5. - С. 17-20.
3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Гос. изд-во физ-мат. литературы, 1961. - 311 с.
Поступила 22.06.2009 г.
УДК 629.78.01
