Управление траекторией в задаче о мягкой встрече двух летательных аппаратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VI 197 5

№ 2

УДК 629.191

УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЕЙ В ЗАДАЧЕ О МЯГКОЙ , ВСТРЕЧЕ ДВУХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

А. 3. Брауде

Задача о мягкой встрече двух спутников рассматривается в предположении, что на каждом активном участке направление управляющего ускорения фиксировано. Показано, что такой режим управления будет оптимальным по расходу топлива, если векторы конечного промаха по радиусу и скорости коллинеарны. Подробно разобран случай коллинеарных векторов конечного промаха. Построены области изменения модулей векторов конечного промаха, при которых возможно выполнение граничных условий, а также области изменения начальных условий, при которых векторы конечного промаха коллинеарны. Установлено, что этот случай практически всегда реализуется, когда время перелета достаточно велико.

§ 1. Введение. Основные соотношения. В [1] показано, что при движении в тонком слое поля тяготения соотношения, обеспечивающие выполнение граничных условий, можно записать в виде

Г(К(Т, Ч)а®сК=ь7(Т, Т„...( Тл);

5г <1Л>

//.(Г, ї)а(ї)ії=АУ(Т, т,,..., х„),

о .

где а (£) — вектор управляющего ускорения, Дг и Д1/— невязки в граничных условиях по радиусу-вектору и вектору скорости, которые получаются, если движение на отрезке происхо-

дит без воздействия управляющего ускорения. Далее эти векторы будем называть векторами конечного промаха. Параметры, ... ,%п характеризуют возможный произвол в задании начала и конца перелета.

В работе [2] решена задача об оптимальном выборе управляющего ускорения а (і), обеспечивающего переход из данного начального состояния при (= 0 в некоторое конечное состояние при і = Т таким образом, чтобы минимизировать характеристическую скорость при ограниченном модуле управляющего ускорения шах(0- Показано, что в случае неколлинеарных векторов

конечного промаха при оптимальном управлении вектор управляющего ускорения перемещается в плоскости управления, параллельной векторам конечного промаха Д г и АУ [1 — 3]. Характер оптимального управления определяется поведением функций влияния К(Т, £) и Ь(Т, £). Установлено, что при движении в тонком сферическом слое при угловых дальностях перелета, меньших тс/2, возможны два режима оптимального управления величиной тяги: режим с одним активным участком,, принадлежащим отрезку 0<*<7\ и режим с двумя активными участками, примыкающими к концам отрезка [О, Т].

§ 2. Случай кусочно-постоянной ориентации вектора тяги. Рассмотрим задачу о мягкой встрече двух летательных аппаратов: летательный аппарат, закон управления которым определяется, должен за заданное время Т перейти в заданную точку пространства, где в это время должен находиться летательный аппарат-цель, имея одинаковый с последним вектор скорости. Время Т и положение точки, в которой происходит встреча, определяются на основании закона движения летательного аппарата-цели и могут регулироваться выбором времени старта. Предположим, что на каждом из активных участков ориентацию вектора тяги можно

считать постоянной. Пусть — единичные векторы, определяющие направление вектора тяги на первом и втором активных участках. Записав для этого случая соотношения (1.1), обеспечивающие выполнение граничных условий, получим систему уравне-

—► -*

ний для определения и 12 -

Решив эту систему уравнений, получим

~ А?122-АУ1п . г АУІп-А7і21

1 /п./22-Л,/2.. ’ ат- /п/«-/,а/21 ■ ( }

Выражения (2.2) определяют направление тяги. Для определения момента окончания первого активного участка іх и момента начала

второго активного участка ї2 используем условия | | = 1; |г2| = 1.

Согласно (2.2), имеем

^і'Лі + ^гЛа — &Г(Т); | Ї./2і+І2/22 = ДІ>(7); |

(2.1)

здесь

о

^2

т

А г2 ІІ2 + АУЧЪ-2 (Аг .А У)Іп /,2 = (/„ /22 _ /12 /28)*; Аг2 Ум + Д У2 /и - 2 (Аг- А У)1п /21 = (/, 1 /22 - /12/а1)*.

При заданных граничных условиях эти уравнения определяют два свободных параметра ^ и £2-

Будем рассматривать движение в плоскопараллельном поле тяготения. В этом случае [1]

ЦТ,Ъ = Л,

(2.3)

и свободное движение летательных аппаратов описывается уравнениями

(2.4)

МО — гоо + ^оо ^ Ч~ (0- ^00+^;

г\ (0 — г\о “Ь ^ + ^~2 > (0 = +

а векторы конечного промаха определяются по формулам:

дг(г) = Дг0 + лКо*; ДК(0 = Д1Л,;

здесь индекс „0“ относится к летательному аппарату,закон управления которым определяется, индекс „1“ относится к летательному

(2.5)

аппарату-цели, Дг0 = г10 — г00, А К0 = V

ю'

V,

оо-

Для получения качественных результатов примем при решении задачи схему перелета, предложенную в [4] для задачи выведения на орбиту.

Выберем некоторую точку, лежащую на орбите цели фиг. 1, и на первом активном участке будем подбирать управление таким

Фиг. 1

образом, чтобы в этой заданной точке за время Т<7\ произошла „жесткая" встреча, т. е. совпали радиус-векторы аппаратов без подравнивания векторов скорости. В [4] показано, что в задаче существует „прямая управления” и вектор управляющего ускорения параллелен вектору конечного промаха по положению летательного аппарата ах || Дг(Т'), где, согласно (2.5), Дг(7’/)=Дг0-|-Д УдТ'г

5—Ученые записки ЦАГИ № 2

65

продолжительность первого активного участка определяется из уравнения

л

5)<Й = Дг(Г). (2,6)

о ■

Характеристическую скорость на первом активном участке находим по формуле

Л(Г, *0= ]«!(£)Л. (2.7)

о

В момент Т' траектория, получающаяся после первого активного участка, пересекает траекторию дели. Следовательно, второй этап маневра сводится к задаче о перелете между пересекающимися орбитами. В [1,3] показано, что в задаче о перелете между пересекающимися орбитами при специальном выборе начала и конца перелета также существует „прямая управления1* и управляющее

ускорение параллельно Д1/(Т). С учетом (2.4) —(2.7) запишем выражения для векторов конечного промаха после окончания первого активного участка

д У(Т) = ДУ(Г) = Щ-1ЛТ', *,) ;

ь7(т)=ьу(т')(т— т').

В силу того что а2 II ДУ(Т), для определения длительности второго активного участка получим уравнение

|аа(5)Л = Д^(Г) = /8, (2.9)

где /2 — характеристическая скорость второго этапа маневра.

Согласно (2.7) —(2.9), суммарная характеристическая скорость будет

/=Л +/2 = А + >0?-2ДКв/,С088 + ДУо, (2Л°)

где 8 —угол между векторами Д1^0 и Дг(Г'). ■ _

Перейдем к расчету параметров активных участков. Для упрощения выкладок примем, что величины управляющих ускорений на активных участках постоянны. Тогда с учетом (2.3), (2.6) момент окончания первого активного участка будет определяться по формуле

^ =Т/ —]/г'« - 2Дд1(Г)- • (2.11)

Обозначим полное время движения на втором активном участке через М2 .

М2 — Т — /2; . (2.12)

здесь Т — момент мягкой встречи, а ^2 — момент начала второго активного участка.

(2.8)

Согласно (2.9),

А и

А

а2

дк0-ьРП-

0 Дг (Г)

в-2

В работе [4] показано, что в задаче о перелете между пересекающимися орбитами „прямая11 управления существует, если в свободном движении времена движения летательного аппарата от точки пересечения орбит до момента окончания перелета по начальной и конечной орбитам равны г, = г2 = -с (см. фиг. 1). В этой

же работе показано, что в силу симметричности активного участка при постоянной перегрузке х = Д£2/2. Отсюда получается связь между заданным временем перелета Т и моментом времени Т'\

Т ==Т'

Дй-А

Дг (Г)

2 аг

(2.13)

Момент начала второго активного участка в соответствии с (2.12), (2.13) определяется выражением

ДКо-/,М1

|___ 1 Дг (Г)

(2.14)

Рассматриваемая схема перелета может быть реализована при или с

учетом (2.11), (2.14)

1/т'2 - 2 АГ(Г) <•* ^А1/0-2АУ0/1СО58 +1\

V «1 2 а2 '

Будем считать момент Т' и, согласно (2.13), время перелета Т переменными параметрами.

Рассмотрим вопрос о таком выборе момента Т' и времени Т, чтобы суммарная величина характеристической скорости перелета / была бы минимальной. Величина / определяется выражением (2.10). В этом выражении от Т’ зависят /4 и 8. Введя безразмерные величины

/=//ДУ0; 7, = /Х/Д 1^0,

перепишем формулу (2.10) в виде

/=/, + У\ — 2/,со8 8 + /;.

Зависимость / от 1Х при различных значениях угла 8 построена на фиг. 2. Видно, что / является монотонно возрастающей функцией

67

1Х и 8. В этом случае время перелета Т должно быть выбрано таким образом, чтобы /] и 8 с учетом существующей между ними зависимости через посредство момента времени Т' имели бы минимально возможные значения. Задача о минимизации /,, очевидно, соответствует оптимизации параметров перелета в задаче о жесткой встрече.

§ 3. Об оптимальности схемы управления. Для исследования оптимальности изложенной выше схемы управления введем вариации времени включения и выключения двигателя Д^1, Д^2, а также вариации направлений вектора управляющего ускорения на первом

и втором активных участках. Вариации ортов ц и 12 зададим следующим образом:

Д^1 == Л?1 (£)» ^^2 = /г ?2 (£)•

Векторы у\ и /2 удовлетворяют условиям

1/11= 1/21 — 1> ^1 -Ь Ну /г -1. Ь,

причем /ь у2 лежат в той же плоскости, что и векторы 1и г2 [см.

(2.1)]. Проварьировав систему уравнений (2.1), получим

где

1Лр, + 1Лр2 + Vtl + V*» = 0, г?1 + Лр2 + + Г(, — 0, (3.1)

и

(3.2)

6)^(6) Л. ^ = М Ъа(и)Ь{Ти^,

о

^ ^ т _

== /*2^(5)(7’, ^)?г(^)^, V*, = г2 Д^2 а (£2)/• (7\

^2 . .

Я, = Л |«(5) К{Т, I)<р2(5)^6, £ Д* 1 а&) /С(Г, /,),

О

Я, = Л | а (?) /с (т, I) ?2 (£)<#, г,, = - Т2 М2 а (/2) /((Г, *2).

^2

Спроектировав векторные уравнения (3.1) на направления ]\ и у'2, получим выражения для определения Д^ и Д^2:

+ 1Лр, (у!, /2) 1^4 (Д, ь) — 0; |

(Л) Уг) Ц>. + Ц>, + ^(^1, У2) — 0> I г?, + '*(£ Л) — г/, (7ь У = 0;

(Л, 7г)гъ + гп + П, (?!, 7а) = 0.

(3.3)

(3.4)

Из каждой пары уравнений, используя (3.2), найдем Мь Д£>, а затем Д^ — вариацию суммарного времени работы двигателя, характеризующую изменение расхода топлива. С учетом того, что вариации

одного и того же момента времени, найденные из уравнений (3.3) и (3.4), должны быть равны

(А^=(Д^; (Щу=(М2)г, (3.5)

получим систему двух уравнений, связывающих четыре функции

і г<Рі і

К,

К (Г, —■ (у’і, у2) [А (Т, ^) К{Т, ^і) 1/ір,],

К (Г, д У?,-А(7\ *2)г?

(Ун Л)

(3.6)

Эта система уравнений позволяет исключить две функции, например V?, />,. В силу (3.5) (Д^)к = (&Ь)Г, поэтому безразлично, из какой системы уравнений его находить. Если использовать (3.3), то Д£з будет зависеть от Ц,, и У9, или, с учетом (3.2), от <рг (?) и ?2(?)- Система уравнений (3.6) позволяет выразить У^ через У*, и гъ , тогда Д^ будет зависеть только от «р^ В случае плоскопараллельного поля, полагая для простоты а(/1) = а(^2), получим

І [ Оі.Уг) + (Л, г’а) (Ун Уг)] + [(Уі> Уг) (1ъ У2) +

+ (Уі> Уг)]

(Т—<,)(Уі.У2) — Т-і2

(У1.У2)

І\ —

1

(Уі> Уг)

(Уь Уг)

в(*і)(Уі. к) (к, /г) (^ —*і)

(3.7)

Исследуемый режим будет оптимален, если вариация суммарного времени работы двигателя равна нулю. Для этого должны быть равны нулю коэффициенты при 1/^(1) и г?1 (£). Нетрудно видеть, что оба коэффициента равны нулю, если

(Уи Л) = +1-

Таким образом, режим управления с кусочно-постоянным вектором тяги будет оптимальным в случае, если направления тяг ^

и г2 на первом и втором активных участках коллинеарны, а с учетом соотношений (2.1) при коллинеарности векторов конечного

лромаха Дг и ДК.

Аналогичное условие для плоскопараллельного поля может быть получено и в более общем случае 2).

§ 4. Решение задачи ц мягкой встрече при коллинеарных векторах конечного промаха. Согласно [2], при оптимальном по расходу топлива управлении граничные условия можно записать в виде

. т -

ат^)иК(Т, £) = Д г (Г);

\Ь\

I'

О

; т 1'

атах(?)и£(7, 6)4гЛ = ДУ(Г)1

\ь\

(4.1)

где

Ь(Т, %)~К{Т, 1)Ра+ЦТ, 5)РР;

1 при 11(Т, 6)1,

и —

О при I Ь(Т, 6)1;

здесь Ра, Рр — векторы сопряженных переменных.

В случае коллинеарности векторов конечного промаха и в силу

того, что в данной задаче векторы Р„ и Рр постоянны, необхо-

димо выполнение условия

'й|1Ра||Р3||Д17(Т)||д7:(Т). (4.2)

Введем в рассмотрение единичный вектор п = , тогда Дг (Т) —

• ' |Аг|

= Дг(7)и; ДУ(7) = Д1/(Г)я; Ь = Ь-п. При этом, согласно (2.3) и (4.1), в плоскопараллельном поле тяготения

Ь = {Т-Ч)Ра + Рр. (4.3)

Согласно [2], для определения моментов конца первого активного участка и начала второго активного участка *2 служит уравнение | /7 (7, 6) | = 1 йли, с учетом (4.3),

|(Т-6)Ра + РрЬ^ = 1, *2>^.

, . '

Найдя из этого уравнения Р, и Рр и подставив найденные значения в (4.3), получим ,

* = 4-(*,-6), (4.4)

1П

где £л = £2 — Ьх— длина пассивного участка; 1% = и — середина

пассивного участка.

Выражение (4.4) определяет режим тяги при выведении. После интегрирования системы уравнений (4.1) с учетом (4.4) получим выражения для определения моментов времени Ьх и для случая, когда первый активный участок разгонный, а второй — тормозной

11-21 +-^Д*1=-Дг; *~--|Дг2 = ДК; (4.5}

где аи а2 — модули перегрузок на первом и втором активных

участках;

Д?2=^; Дг=.^; Й = 1-Д#2; (4.6)

здесь М2 — Т— — продолжительность второго активного участка. 70

Решая систему (4.5), получим выражения: 1_ ду + уъ

Д <«>==■

1 +

Оъ

а\

ах

«1

1 +

кУ-

0-1

«і

+ УЯ

1 +

Лх

ах

(4.7)

где /? = (! +-§-)(! — Д?) —-§-(1 _ДК)а.

Исследуем, при каких условиях возможно выполнение граничных условий. _ _

1. Активные участки не должны перекрываться, т. е. ^2 ^ ^1* Отсюда, с учетом (4.7), получим

+ У$>±-^Уя

Равенство может быть лишь при /? —0. В этом случае ^ = и активные участки стыкуются. Если подкоренное выражение положительно, то получим неравенство

+ !> +

(4.8)

Так как -^->0, то для выполнения граничных условий перед

радикалами в выражениях (4.7) следует брать знак „минус“ в формулах для \ и Д72,'знак „плюс11 в формуле для

2. Подкоренное выражение в формулах (4.7) должно быть неотрицательным, /?>0. Отсюда

1- |/'(1 + -|-)(1-Дг) <ДУ<1 4-

+ УГ(1 + ^)(1~АГ")’ 0<Дг<1.

(4.9)

На границе рассматриваемой области активные участки стыкуются (/? — 0). Вне области выполнение граничных условий невозможно. Это ясно видно, если составить формулу для продолжительности пассивного участка •

*я =

% + ')У*

‘ + -І7

= УЯ

(4-Ю)

3. Длительность второго активного участка должна быть неотрицательной

ДГ2>0 или Г2<!1.

С учетом (4.7) и (4.8), получаем

1-Д1/>}/7?. (4.11)

Отсюда видно, что выполнение неравенства возможно лишь при ДК< 1. С учетом сказанного находим решение неравенства (4.11)

Д\7<1— VI -Дг. (4.12)

Нетрудно видеть, что при выполнении этого неравенства выполняется правая часть неравенства (4.9). На границе области Д£2 = 0 реализуется режим с одним активным участком, примыкающим к началу траектории. Вне рассматриваемой области невозможно выполнение граничных условий (Д£2<())-

4. Длительность первого активного участка должна быть неотрицательной С учетом (4.7) после преобразований получим

дт^>+^!д->0 (4 13)

а1

Это неравенство справедливо при любых неотрицательных Дг, т. е. в плоскопараллельном поле режим с одним активным участком, примыкающим к концу траектории, существует лишь при

Дг<0. С учетом всего сказанного на плоскости параметров ДV и Дг можно построить область значений векторов конечного промаха, в которой задача выведения может быть решена. Эта область представлена на фиг. 3, а. Если первый активный участок тормозной, а второй разгонный, область достижимости будет симметрична рассмотренной относительно начала координат.

§ 5. Возможные случаи коллинеарности векторов конечного промаха в задаче о мягкой встрече. Рассматривая выражения для векторов конечного промаха (2.4), можно заключить, что при достаточно большой величине полного времени перелета Т значение вектора конечного промаха будет определяться в основном

—У _

составляющей АУйТ. В этом случае

а7(Т)^ЬУ0Т, Д V (Т) = Д У0, (5.1)

и векторы конечного промаха будут коллинеарны. В реальных задачах о мягкой встрече (или в задачах выведения на орбиту) это условие обычно выполняется.

Рассмотрим далее'случай мягкой встречи с целью, движущейся по круговой орбите с высотой Яц, и установим, при каких значениях начальных данных векторы конечного промаха могут быть коллинеарны. По-прежнему будем использовать модель плоскопараллельного поля тяготения, согласно которой свободное движение летательного аппарата при выведении и цели по орбите вблизи точки встречи происходит по схеме, представленной на фиг. 4. При выведении

Уо = Ноо + УуооТ-

ЖЇ1. 2 ’

хй—УХ(х>Т\ Ууо—Уут—§Т', Ух о = Ух оо-

(5.1)

Движение по орбите свободным не является.

У*=Ъ,Ух=УюУъ~Нл. (5.2)

Координату л;ц цели в мо-фИГ 4 мент встречи считаем варьируе-

мой величиной.

Составив выражения для составляющих векторов конечного промаха

Ду = Н^-^(Т), Дх = хц -х0(Т),

АУу=,~Уу0(Т), кУх=Уа—Ух

00

(5.3)

и используя условие коллинеарности векторов

- [ДЯ Д1/] = 0, (5.4)

получим уравнение, связывающее полное время перелета Т, координату хц и другие начальные данные

£(КЦ + Ухоо) Т* - 2 (1/ц 1/,оо + gxц) Т +

+ 2 [АН(Уа -Ух!уо)+ ха Ууоо] = 0, (5.5)

где

Ш=Н„

■Н00.

Условием существования решения этого уравнения относительно Т будет выполнение неравенства

gi 4- 2ёУуооУхооХч+ VI V? оо - 2 ёАН( У* -У2х00)> 0. (5.6)

Дискриминант выражения (5.6) £) = (VI— Vloo)(2g^H— 1/уоо) положителен, если АУу>1/лцо. Поскольку в задачах выведения эти условия всюду выполняются, решение неравенства (5.6) запишем в виде либо

-*ц>4-^оо81п 2 6 Ч-2ДЯ- У02о81п2 60, (5.7)

либо

^<4-^008^20 — / 2ДЯ- Уоов^б,,.

Фиг. 5

На фиг. 5 приведены границы областей (5.7) для выведения в поле тяготения Земли в зависимости от начальной скорости и начального угла наклона траектории 60. При малых значениях начальных углов наклона траектории и в диапазоне реальных начальных скоростей величина л:ц ограничена снизу и практически постоянна. При больших значениях начального угла наклона тра-

дхп

ектории модуль производной

весьма велик при небольших ха

что позволяет малыми вариациями начальной скорости существенно изменять величину л-ц.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кузмак Г. Е„ Б р а у д е А. 3. Приближенное исследование оптимального управления движением материальной точки в тонком сферическом слое центрального поля тяготения. Космические исследования, т. 10, № 2. 1972.

2. Кузмак Г. Е. К вопросу о синтезе оптимального управления движением материальной точки в тонком сферическом слое центрального поля тяготения при неколлинеарных векторах конечного промаха по радиус-вектору и вектору скорости. Космические исследования, т. 10, № 5, 1972.

3. И с а е в В. К„ Давидсон Б. X. Об одном свойстве оптимальной программы ориентации реактивной силы при пространственном движении точки переменной массы в центральном гравитационном поле. Труды III чтений, посвященных разработке научного наследия К. Э. Циолковского, секция механики полета. М., Изд. ВИНИТИ, 1970.

4. К у з м а к Г. Е. Синтез оптимального управления при движении в однородном центральном поле в случае коллинеарности векторов конечного промаха по радиус-вектору и вектору скорости. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 1, 1971.

Рукопись поступила 2/1 1974 г.