CC BY
45
Управление технологическими процессами производства губчатого титана в условиях неопределенности
Ю. П. Кирин, В. В. Кирьянов
Пермский национальный исследовательский политехнический университет,
Березниковский филиал
Аннотация: В статье предложены подходы к разработке адаптивной и робастной систем, предназначенных для повышения качества управления температурным режимом процессов восстановления и вакуумной сепарации губчатого титана в условиях неопределенности. Рассмотрены принципы построения систем управления. Показано, что при практически одинаковом с адаптивной системой качестве управления робастная система имеет более простую структуру. Изложен метод определения робастных настроек ПИ- регулятора температурного режима процессов.
Ключевые слова: губчатый титан, восстановление и вакуумная сепарация, условия неопределенности, модель динамики, адаптивное и робастное управление.
Введение
Основными технологическими процессами промышленного производства губчатого титана являются восстановление тетрахлорида титана магнием и последующая вакуумная сепарация реакционной массы. Процессы проводят в аппаратах периодического действия. После окончания процесса восстановления получают реакционную массу, представляющую собой титановую губку, в порах которой содержатся примеси магния и хлорида магния. В процессе вакуумной сепарации реакционную массу нагревают в герметичном аппарате, в котором создают вакуум. При этом возрастает давление паров примесей, которые испаряются из реакционной массы, а затем отгоняются в конденсатор. Рабочий объем каждого аппарата восстановления разделяют на несколько зон нагрева и зону экзотермической реакции, рабочий объем каждого аппарата вакуумной сепарации - на три и более зон нагрева [1].
Первоочередными задачами действующего производства являются повышение качества губчатого титана и производительности технологических процессов. Эти задачи реализуют в аппаратах периодического действия путем улучшения качества управления
температурным режимом процессов восстановления и вакуумной сепарации. Объектами управления являются зоны нагрева и зоны экзотермической реакции аппаратов восстановления, зоны нагрева аппаратов вакуумной сепарации. Особенность таких объектов состоит в том, что исполнительными механизмами служат электромеханические контакторы или магнитные пускатели с двумя рабочими положениям (включено - отключено), т.е. используется двухпозиционное управление температурным режимом технологических процессов.
Для решения названных задач к системам двухпозиционного управления предъявляют требования стабильности и интенсификации температурного режима процессов восстановления и вакуумной сепарации. Двухпозиционные регуляторы должны с высокой точностью поддерживать заданную температуру для обеспечения стабильности технологических процессов. Кроме того, улучшение качества двухпозиционного управления должно обеспечивать интенсификацию и сокращение продолжительности процессов за счет повышения в допустимых пределах их рабочей температуры [2].
Обзор ранее выполненных работ показал, что повышению качества двухпозиционного управления температурным режимом процессов уделялось недостаточное внимание. Рабочие режимы двухпозиционного регулирования температуры - сложные асимметричные автоколебания, для которых характерно наличие остаточной неравномерности. На практике это приводит к возникновению ошибки регулирования, величина и знак которой изменяются в ходе технологических процессов. Максимальные величины амплитуд отклонений температуры от заданных значений достигали ±27° С. При этом не удавалось обеспечить высокую точность повторения технологических режимов процессов восстановления и сепарации. Из-за низкого качества регулирования заданные значения двухпозиционным
регуляторам температуры назначались значительно ниже допустимых пределов. Эти обстоятельства снижали качество губчатого титана и производительность процессов восстановления и вакуумной сепарации. В сложившейся ситуации предложено использовать совершенствование систем управления температурным режимом процессов как одно из направлений повышения технико - экономических показателей производства губчатого титана [3].
Решение указанных вопросов встречает значительные трудности, связанные с тем, что управление температурным режимом процессов восстановления и вакуумной сепарации осуществляется в условиях неопределенности, под которыми понимают [4]:
- структурную и параметрическую неопределенность математических моделей динамики объектов управления;
- отсутствие информации о характеристиках, действующих на объекты возмущений.
Существующие традиционные методы анализа и синтеза систем двухпозиционного регулирования разработаны для стационарных объектов управления и неприемлемы для решения задач повышения качества управления в условиях неопределенности [5].
Проблема повышения качества управления технологическими процессами в условиях неопределенности остается основной проблемой современной теории и практики управления. Для ее решения разработаны и успешно применяются в различных отраслях промышленности адаптивные и робастные системы управления [6].
В нашей работе используются аналогичные подходы, предусматривающие два основных этапа:
- построение и идентификацию моделей динамики процессов производства губчатого титана в условиях неопределенности [7];
1
- синтез с применением моделей адаптивной и робастной систем управления температурным режимом процессов [8,9].
Структурная схема системы двухпозиционного регулирования температуры процессов производства губчатого титана
Построение и идентификация моделей динамики процессов восстановления и вакуумной сепарации выполнены в замкнутом контуре двухпозиционного регулирования температуры [7,8].
Введено понятие обобщенного нестационарного объекта управления (ОНОУ), под которым понимают названные выше зоны нагрева и зоны экзотермической реакции аппаратов производства губчатого титана. Проведена декомпозиция системы управления технологическими процессами, в результате которой управление разделено на типовые нестационарные двухпозиционные системы регулирования температуры, каждая из которых состоит (рис. 1) из ОНОУ и многоканального двухпозиционного регулятора (МДР). На входе ОНОУ действует неконтролируемое возмущение z(t) - изменение тепловых потерь зоны нагрева, изменение тепла зоны экзотермической реакции аппарата восстановления или изменение тепла, потребляемого зоной нагрева аппарата сепарации на испарение магния и хлорида магния.
МДР включением и отключением входной величины хподдерживает заданное значение уз выходной величины уОНОУ в соответствии с алгоритмом:
х() при у^) < Уз - Лу0
(р[ у^)] =
и уз -лу0 < у(0 < уз + у'(0 >0;
0 при у^) > уз + Лу0
и уз -Лу0 < у(0 < уз +Лу0, у'(t) < 0;
где ф[у (г)] - выходная величина МДР; 2Ау0 - зона нечувствительности МДР;
у '(г ) - скорость изменения выходной величины; х(г) - мощность нагрева зоны
или мощность охлаждения зоны экзотермической реакции; у(г)- температура ОНОУ.
Рис.1.- Структурная схема двухпозиционного регулирования температуры технологических процессов производства губчатого титана
Двухпозиционное регулирование температуры осуществляется следующим образом: в позиции «включено» на входе ОНОУ действует разность х(г) - г (г), в позиции «отключено» - возмущение г(г). Двухпозиционная система при этом работает в автоколебательном режиме.
Структура модели динамики ОНОУ
Для синтеза систем управления температурным режимом процессов в условиях неопределенности модель динамики ОНОУ представлена дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами:
Т (г). +у (г ) = к0 (г)-{х [г-т(г)]-г (г)}, (1)
где Т0 (V), К0 (t), т(t) - динамические параметры ОНОУ, соответственно постоянная времени, коэффициент усиления, время запаздывания.
Таким образом, предполагаем, что уравнением (1) априорно задана структура модели динамики, в которой неизвестными величинами являются динамические параметры и возмущение ОНОУ.
Описание автоколебаний в двухпозиционной системе регулирования
температуры ОНОУ
Параметрическая идентификация ОНОУ заключается в определении названных неизвестных величин. Для решения задачи параметрической идентификации автоколебания температуры описаны системой конечных уравнений в предположениии, что на интервале идентификации (в течение периода автоколебаний) динамические параметры и возмущение ОНОУ являются постоянными величинами (T0 (t) = const, K0 (t) = const, z (t) = const,
t(7 ) = const):
AV(+) = K о •(x - z )
1- exp
' И
T
V 10
+ Ауо •exp
' И
T
V 10 J
(2)
АУ( -) = K о • Z
• z •
1 - exp
V T0 J
+ АУо • exP
V T0 J
(3)
K0 •x-(K0 •z-АУ >exP
T = t + T • ln-
V T0 J .
K0 •(x-Z)-АУ0 K0 •x-[K0 <x-Z)-АУ0 ]exP
t = t + t • ln
V T0 J
K 0 •Z-АУ0
(4)
(5)
1
где Ау( + Ау( -} - соответственно амплитуды положительного и отрицательного отклонений у(г) от уз; Топ, , - время включения и выключения х(г).
Заметим, что х и Ду0 известные величины. Полагаем, что на интервале идентификации значения Ау( + Ау(-}, Топ, Т^ могут быть измерены. В этом случае решение задачи идентификации состоит в определении из системы уравнений (2)-(5) неизвестных коэффициентов Т0, К0, 2, т уравнения (1).
Структурная схема системы идентификации ОНОУ
Для решения задачи параметрической идентификации ОНОУ структурная схема (см. рис. 1) содержит устройство измерения параметров автоколебаний (УИПА) и оценивающее устройство - идентификатор (ИД) (рис. 2), в который заложен алгоритм идентификации, реализованный применением метода Ньютона для численного решения системы уравнений
(2)- (5).
УИПА в процессе двухпозиционного регулирования температуры ОНОУ измеряет значения параметров автоколебаний Топ, Т^, Ау(+), Ау(-),
которые используются в ИД для определения неизвестных Т0, К0, 2, т с
помощью алгоритма идентификации.
Такой подход дает возможность автоматизировать процесс идентификации и позволяет непосредственно в рабочем режиме двухпозиционного регулирования температуры оценивать динамические параметры и возмущения ОНОУ.
Рис.2. - Структура системы идентификации ОНОУ
Во введении статьи отмечалось, что для выполнения требований стабильности и интенсификации процессов восстановления и вакуумной сепарации необходимо, чтобы МДР с высокой точностью поддерживал заданное значение температуры ОНОУ.
Однако непредвиденные изменения Т0 ^), К0 ^), z (), т^) приводят к
возникновению на выходе ОНОУ автоколебаний температуры недопустимо большой амплитуды.
Принципы построения адаптивной системы управления ОНОУ
Для повышения качества двухпозиционного регулирования температуры разработана адаптивная система управления ОНОУ [8] (рис.з).
Рис. 3.- Структурная схема адаптивной системы управления ОНОУ
К контуру двухпозиционного регулирования температуры, образованному МДР и ОНОУ, подключено устройство адаптации (УА), содержащее УИПА, ИД и вычислительное устройство (ВУ). Назначение ВУ - коррекция двухпозиционного регулирования температуры по результатам идентификации ОНОУ.
Для этого в ВУ предварительно задают желаемые значения амплитуд положительного (Дуж ) и отрицательного (Дуж ) отклонений температуры от
у и соответствующие погрешности Д , Д их воспроизведения:
Ду(+)-Ду Ж
< Д/
(6)
Ду(.)-Ду Ж
<Д
(7)
Параметры автоколебаний Топ, Т^, Ду(+), Ау(_} измеряются УИПА. Результаты измерений поступают в блок ИД. Значения Ду+), Ду(_) поступают
также в ВУ для проверки выполнения условий (6)-(7). Если они выполняются, то работа МДР не корректируется. Если одно из условий не выполняется, то по сигналам ВУ в блоке ИД определяются неизвестные Т0,
К0, г, т. Затем ВУ, используя результаты идентификации, рассчитывает и
реализует в МДР необходимые корректирующие воздействия для выполнения условий (6)-(7).
Таким образом, в процессе адаптации последовательно выполняются процедура идентификации ОНОУ и последующий расчет и реализация в МДР оптимальных корректирующих воздействий.
Имитационное моделирование, проведенное с применением программных средств ЫайаЬ, показало, что адаптивная система управления поддерживает заданную температуры ОНОУ с точностью ±2°С, что отвечает сформулированным выше требованиям стабильности и интенсификации технологических процессов [10].
Вместе с тем практическая реализация адаптивной системы управления достаточна сложна, так как для ее функционирования необходимо измерять параметры автоколебаний температуры, идентифицировать динамику и возмущения ОНОУ, рассчитывать оптимальные настройки и корректировать работу двухпозиционного регулятора. Это снижает надежность работы системы и увеличивает затраты на ее разработку и эксплуатацию.
Робастный подход к управлению температурным режимом ОНОУ
Альтернативным адаптивному управлению является робастное управление. Робастное управление отличается простотой исполнения,
поскольку реализуется линейным регулятором, имеющим постоянные настроечные параметры [11].
Для синтеза робастного управления требуется построение интервальной модели объекта и оценка ее адекватности. При описании объекта управления в виде интервальной динамической модели предполагается, что неизвестные значения его динамических параметров лежат внутри некоторого известного интервала [12].
Для этого необходимо в процессе эксплуатации ОНОУ учитывать возможные диапазоны изменения его динамических параметров и возмущений, т.е значений коэффициентов Т0 (г), К0 (г), т(г), г (г) уравнения
(1). Реальный ОНОУ в данном случае следует рассматривать как объект управления с интервально- неопределенными параметрами, а систему двухпозиционного регулирования температуры - как интервальную систему автоматического регулирования [13,14].
В результате решения задачи идентификации получена адекватная реальному ОНОУ модель динамики и определены интервальные значения его динамических параметров и возмущения [15]:
77° < ) < Г™*; (8)
К0™" <К0(г) <КГ; (9)
т1™ <т(г) <тпмх; (10)
г^ < г($) < гmax. (11)
Метод определения робастных настроек ПИ-регулятора температуры
ОНОУ
В общем случае робастный подход предусматривает анализ робастного качества для определения наихудших показателей качества функционирования системы регулирования при изменении интервальных
параметров в заданных пределах и разработку методов синтеза робастных регуляторов, обеспечивающих гарантированное по определенному критерию качество работы системы при любых изменениях значений параметров объекта из заданных интервалов [16,17]. Качество работы системы обычно оценивают по величине максимальной ошибке регулирования в наиболее неблагоприятных условиях функционирования системы [18].
В практике автоматизации технологических процессов для робастного управления широко используют типовые линейные регуляторы: пропорционально-интегральный (ПИ) или пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регуляторы. Задача параметрического синтеза регуляторов состоит в нахождении таких настроек регуляторов, которые обеспечивают гарантированные показатели качества переходных процессов в системе управления интервально - неопределенным объектом. При этом актуальна разработка процедур определения настроек ПИ- и ПИД-регуляторов, которые придают системе регулирования свойство робастной апериодичности. Это свойство заключается в обеспечении апериодических переходных процессов для уменьшения в системе колебательности и перерегулирования при любых значениях интервально-неопределенных параметров объекта [19,20].
Рассмотрим метод определения робастных настроек ПИ- регулятора, обеспечивающий апериодический характер и гарантированное качество переходных процессов в системе управления температурой ОНОУ при изменении его динамических параметров в диапазоне (8)-(10). Определим наиболее неблагоприятные (наихудшие) сочетания значений динамических параметров ОНОУ из указанного диапазона, при которых в системе регулировании имеет место наибольшая ошибка регулирования температуры
[9].
В работе [21] показано, что для промышленных нестационарных статических объектов первого порядка такими сочетаниями динамических параметров являются:
- минимальная величина постоянной времени (Г™11);
- максимальная величина коэффициента усиления (К 0ГПЗХ);
- максимальная величина времени запаздывания (т™").
Подставим в уравнение (1) значения динамических параметров из (8)-(10) и запишем его в следующем виде:
77т • д[ у(()] + у(() = К Г • [ х(( - т1^ ) - г(()]. (12)
д(
Данное уравнение описывает динамику в наихудшем (с точки зрения наибольшей ошибки регулирования температуры) режиме функционирования ОНОУ и используется для определения робастных настроек ПИ-регулятора.
Настройки ПИ-регулятора - коэффициент передачи Кр, время изодрома
Ти для условия апериодичности переходного процесса в системе регулирования со статическим объектом первого порядка рассчитывают по известным формулам [21]:
Кр = 0,6/(К0 •в ); (13) Г = 0,6 • 70, (14)
где в = т / Г0 .
Можно получить робастные настройки ПИ-регулятора Крр06 и Тираб, обеспечивающие в условиях действия возмущения г (() апериодические переходные процессы и гарантированное качество регулирования
температуры при вариациях (8)-(10) динамических параметров ОНОУ. Для этого подставим в (1з), (14) вместо Т0, К0, т значения То1"1", К^, т™х из
уравнения (12), соответствующие наихудшему режиму функционирования ОНОУ , т.е.
Кроб = 0,6/( К^ • 0max):
тр°б = 0,6 • г
(15)
(16)
где ^max =тmax/ Т™1.
Структура робастной системы управления температурой ОНОУ
Структура робастной системы построена с учетом двухпозиционного принципа управления температурным режимом ОНОУ [9] (рис.4).
Рис.4.- Структурная схема робастной системы управления ОНОУ
Для поддержания заданного значения уз выходной величины у (?)
ОНОУ используется импульсный регулятор (ИР), в состав которого входят аналоговый регулятор (АР), широтно-импульсный модулятор (ШИМ), позиционный исполнительного механизма (ПИМ) - электромеханический контактор. В качестве АР используется ПИ- или ПИД- регулятор. В нашем
случае используется ПИ-регулятор с робастными настройками (15) и (16), преобразующий в соответствии с ПИ- алгоритмом ошибку регулирования е(() = у3-у(() в выходную величину регулятора ур((). ШИМ преобразует
ур (() в последовательность импульсов с постоянным периодом повторения,
длительность которых меняется пропорционально ур ((). Сигналы с выхода
ШИМ воздействуют на ПИМ, который изменяет в соответствии с полученными сигналами скважность включения входной величины х(() пропорционально ур ((), обеспечивая поддержание заданного значения
выходной величины ОНОУ.
Настроечный параметр ШИМ - период повторения импульсов Г0пт. Величина Т0пт определена экспериментально с таким расчетом, чтобы при включении и выключении ПИМ в пределах Г 0пт не наблюдалось колебаний температуры ОНОУ. При этом период Т0пт обеспечивает допустимую частоту срабатываний ПИМ.
Заключение
Для одного из типов промышленных аппаратов производства губчатого титана получены следующие интервальные значения динамических параметров и возмущения ОНОУ: Г0П1т=760с, Г0max=840с, К0П11П=2,10С/кБт, К7Х=2,5°С/кБт, т™"=22с, ^28^ г^=10 кВт, г^=100 кВт. Указанные интервальные значения использованы для синтеза робастной системы управления, обеспечивающей в условиях действия возмущения г (()
апериодические переходные процессы и гарантированное качество регулирования температуры с ошибкой, не превышающей ±2°С для всех значений динамических параметров ОНОУ из диапазона (8)-(10). Это дало
возможность улучшить качество губчатого титана и повысить производительность процессов восстановления и вакуумной сепарации [2,3].
Литература
1. Тарасов А.В. Металлургия титана. М.: ИКЦ «Академкнига», 2003. 328 с.
2. Кирин Ю.П., Беккер В. Ф., Затонский А. В. Некоторые результаты совершенствования процесса получения губчатого титана // Цветные металлы. 2009. №12. С.91.- 94.
3. Кирин Ю.П., Затонский А.В., Беккер В.Ф., Бильфельд Н.В. Современные направления совершенствования и развития производства губчатого титана // Титан. 2003. № 2(13). С. 11-16.
4. Кирин Ю. П. Позиционное управление технологическими процессами в условиях неопределенности // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2009. №2. С.158 - 160.
5. Кирин Ю.П., Затонский А В., Беккер В. Ф., Бильфельд Н. В. Синтез и анализ оптимального позиционного управления технологическими процессами производства губчатого титана // Автоматизация и современные технологии. 2010. №9. С.18- 21.
6. Целигоров Н.А., Целигорова Е. Н., Мафура Г. В. Математические методы неопределённостей систем управления и методы, используемые для их исследования // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 (2 часть). URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1340/.
7. Кирин Ю.П., Затонский А. В., БеккерВ.Ф., Краев С. Л. Идентификация технологических процессов производства губчатого титана // Проблемы управления. 2008. № 4. С. 71-77.
8. Кирин Ю. П., Затонский А.В., Беккер В. Ф. Построение адаптивной системы управления технологическими процессами в
производстве губчатого титана // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2009. №2. С. 1 - 7.
9. Кирин Ю. П., Кирьянов В. В. Робастное управление технологическими процессами производства губчатого титана // Научно -технический вестник Поволжья. 2016. №2. С. 120 - 123.
10. Затонский А.В., Кирин Ю.П., Беккер В.Ф. Позиционное управление в сложных системах. Березники: БФ ПГТУ, 2008. 150с.
11. Цыкунов А. М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. М.: Физматлит, 2009. 268с.
12. Целигоров Н. А., Мафура Г. В. Причины возникновения интервальных значений в математических моделях исследования робастной устойчивости систем управления // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 (1 часть). URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1340/.
13. Ackermann J. Parameter space design of robust control systems. // IEEE Trans. On Autom. Control. 1980. Vol. 25. N6. pp.1058-1072.
14. Суходоев М. С. Корневой анализ и синтез систем с интервальными параметрами на основе вершинных характеристик полиномов: дис... канд. техн. наук: 05.13.01. Томск, 2008. 131 с.
15. Кирин Ю. П., Кирьянов В. В. Построение интервальной модели динамики процессов производства губчатого титана // Вестник Череповецкого государственного университета. 2016. №2. С.7-10.
16. Chen C.T., Wang M.D. Robust controller design for interval process systems // Computers and Chemical Engineering. 1997.Vol. 21. pp.707-721.
17. Пушкарев М. И. Анализ и синтез систем управления технологическими объектами с интервальными параметрами на основе корневых показателей качества: дис... канд. техн. наук: 05.13.06. Томск, 2014. 155 с.
18. Небылов А. В. Гарантирование точности управления. М.: Наука, 1998. 304с.
19. Поляк Б. Т., Цыпкин Я. З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1990. №9. С.45-54.
20. Гайворонский С. А., Суходоев М. С. Определение настроек линейных регуляторов, обеспечивающих апериодические переходные процессы в системах с интервально- определенными параметрами // Известия Томского политехнического университета. 2010. Т.316. №5. С.12-15.
21. Автоматический контроль и регулирование в черной металлургии: Справочник / М. Д. Климовицкий, А. П. Копелович. М.: Металлургия, 1967. 467с.
References
1. Tarasov A.V. Metallurgiya titana [Metallurgy of the titanium]. M.: IKTs «Akademkniga», 2003. 328 p.
2. Kirin Yu.P., Bekker V.F., Zatonskiy A.V. Tsvetnye metally. 2009. №12. pp.91-94.
3. Kirin Yu.P., Zatonskiy A.V., Bekker V.F., Bil'fel'd N.V. Titan. 2003. № 2(13). pp.11-16.
4. Kirin Yu.P. Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. Tekhnicheskie nauki. 2009. №2. pp.158-160.
5. Kirin Yu.P., Zatonskiy A.V., Bekker V.F., Bil'fel'd N.V. Avtomatizatsiya i sovremennye tekhnologii. 2010. №9. pp.18-21.
6. Tseligorov N.A., Tseligorova E.N., Mafura G.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 (2 chast'). URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1340/.
7. Kirin Yu.P., Zatonskiy A.V., Bekker V.F., Kraev S.L. Problemy upravleniya. 2008. № 4. pp.71-77.
8. Kirin Yu.P., Zatonskiy A.V., Bekker V.F. Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol', diagnostika. 2009. №2. pp.1-7.
9. Kirin Yu.P., Kir'yanov V.V. Nauchno - tekhnicheskiy vestnik Povolzh'ya. 2016. №2. pp.120-123.
10. Zatonskiy A.V., Kirin Yu.P., Bekker V.F. Pozitsionnoe upravlenie v slozhnykh sistemakh [Position management in complex systems]. Berezniki: BF PGTU, 2008. 150 p.
11. Tsykunov A.M. Adaptivnoe i robastnoe upravlenie dinamicheskimi ob"ektami po vykhodu [Adaptive and robust management of dynamic objects on an exit]. M.: Fizmatlit, 2009. 268 p.
12. Tseligorov N.A., Mafura G.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 (1 chast'). URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1340/.
13. Ackermann J. Parameter space design of robust control systems. IEEE Trans. On Autom. Control. 1980. Vol. 25. N6. pp.1058-1072.
14. Sukhodoev M.S. Kornevoy analiz i sintez sistem s interval'nymi parametrami na osnove vershinnykh kharakteristik polinomov [The root analysis and synthesis of systems with interval parameters on the basis of topmost characteristics of polynoms]: dis... kand. tekhn. nauk: 05.13.01. Tomsk, 2008. 131 p.
15. Kirin Yu.P., Kir'yanov V.V. Vestnik Cherepovetskogo gosudarstvennogo universiteta. 2016. №2. pp.7-10.
16. Chen C.T., Wang M.D. Robust controller design for interval process systems. Computers and Chemical Engineering. 1997.Vol. 21. pp.707-721.
17. Pushkarev M.I. Analiz i sintez sistem upravleniya tekhnologicheskimi ob"ektami s interval'nymi parametrami na osnove kornevykh pokazateley kachestva [The analysis and synthesis of control systems of technological objects
with interval parameters on the basis of root indicators of quality]: dis... kand. tekhn. nauk: 05.13.06. Tomsk, 2014. 155 p.
18. Nebylov A.V. Garantirovanie tochnosti upravleniya [Guaranteeing accuracy of management]. M.: Nauka, 1998. 304 p.
19. Polyak B.T., Tsypkin Ya.Z. Avtomatika i telemekhanika. 1990. №9. pp.45-54.
20. Gayvoronskiy S.A., Sukhodoev M.S. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta. 2010. T.316. №5. pp.12-15.
21. Avtomaticheskiy kontrol' i regulirovanie v chernoy metallurgii [Automatic control and regulation in ferrous metallurgy]: Spravochnik. M.D. Klimovitskiy, A.P. Kopelovich. M.: Metallurgiya, 1967. 467 p.
