CC BY
22
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 669.295 (681.5)
Ю. П. Кирин, В. А. Тихонов МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В СИСТЕМАХ ДВУХПОЗИЦИОННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. ЧАСТЬ 2
Ключевые слова: неопределенный динамический объект, модель, двухпозиционное регулирование, идентификация, автоколебания.
Рассмотрены методы решения задачи параметрической идентификации модели неопределенного динамического объекта, представленного нестационарным объектом первого порядка с самовыравниванием. Решением системы конечных уравнений, описывающих автоколебания в системе двухпозиционного регулирования, определены значения и диапазон изменения неизвестных динамических параметров и возмущения объекта. Результаты параметрической идентификации модели нашли практическое применение для разработки систем управления технологическими процессами производства губчатого титана.
Keywords: undefined dynamic object, model, two-position regulation, identification, self-oscillations.
Methods for solving the problem ofparametric identification of the model of an indefinite dynamic object, represented by a nonstationary first-order object with self-leveling, are considered. By solving a system of finite equations describing self-oscillations in a two-position control system, the values and range of the variation of unknown dynamic parameters and perturbation of the object are determined. The results of the parametric identification of the model have found practical application for the development of control systems for the production processes of sponge titanium.
В работе [1] дана общая постановка проблемы параметрической идентификации моделей неопределенных динамических объектов в системах двухпозиционного регулирования. В работе [2] рассмотрены методы решения в системе многоканального двухпозиционного регулирования (СМДР) задачи параметрической идентификации модели неопределенного динамического объекта (НДО) без самовыравнивания.
В настоящей статье предлагается дальнейшее развитие подходов [1, 2] для решения в СМДР задачи параметрической идентификации модели реального НДО с самовыравниванием, в качестве примера которого рассматривается зона нагрева промышленного аппарата вакуумной сепарации губчатого титана.
Последовательность и основные этапы решения этой задачи те же, что и в работах [1, 2].
1. Записывают математическую модель НДО с самовыравниванием и систему конечных уравнений, описывающих автоколебания в СМДР на интервале идентификации НДО.
2. Задачу параметрической идентификации модели формулируют как оптимизационную задачу, заключающуюся в определении неизвестных динамических параметров и возмущения НДО путем решения переопределенной системы конечных уравнений.
3. Методом пассивного эксперимента определяют значения параметров СМДР, необходимые для расчета из системы конечных уравнений неизвестных динамических параметров и возмущения НДО.
4. Выбирают критерий качества идентификации - функцию потерь, характеризующую различие модели и реального НДО.
5. Для решения оптимизационной задачи определяют начальные приближения неизвестных динамических параметров и возмущения НДО.
6. Разрабатывают алгоритмы, минимизирующие критерий качества идентификации, и решают задачу параметрической идентификации модели в режиме нормальной эксплуатации НДО.
7. Приводят практические результаты методов параметрической идентификации модели НДО с самовыравниванием.
Ниже подробнее рассмотрены особенности решения задачи параметрической идентификации модели НДО с самовыравниванием на указанных этапах.
Математическая модель НДО с самовыравниванием представлена дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами [1]:
Т (')• ^^+> (')= к» Ж* 1>-*(')]-* (0}, (1)
где у(/), х(0 - соответственно выходная и входная величины НДО (температура и мощность нагревателя зоны); 70(0, К0(Т), т(Т), z(t) - постоянная времени, коэффициент усиления, время запаздывания и возмущение НДО (тепло, потребляемое зоной нагрева на испарение из титановой губки примесей магния и хлорида магния).
Неопределенность модели динамики объекта заключается в том, что коэффициенты Т0(/), К0(И), т({), z(t) дифференциального уравнения (1) являются некоторыми неизвестными функциями времени.
Получена система конечных уравнений, описывающая автоколебания в СМДР на интервалах идентификации НДО с самовыравниванием:
Ау(+) = Ko ■(x- z)
Ay(-) = K0 ■z
1-exp I —f-"~oL I + Ay ■ exp
; (2)
I t + t.
1-exp I —on-d
+ АУо ■ exPl -
ton+td.on 1 ; (3)
X-(Ko ■ z-Ayo)■ exp
Ko ■(x - z )-Ay>
t^ +1
ff ' •d.off
To
T
d
T
Jo
Ton =ton +td.of + T0 ■ ln
К0 ■x-[к0 ■(х- z)-Ду0]■ exp
. (5)
Ко ■ z - Д Уо
Предполагалось, что, как и в [2], в уравнениях (2) - (5) для измерения доступны параметры автоколебаний Лу(+), Лу(-), Топ, Тoff - амплитуды положительного и отрицательного отклонений выходной величины от заданного значения, время включения и выключения нагревателя зоны; топ, т^ - время запаздывания НДО при включении и выключении нагревателя; т^.оп, т^ - дополнительное время запаздывания многоканального двухпозиционного регулятора (МДР) при включении и выключении нагревателя (табл. 1). Мощность нагревателя х и зона нечувствительности 2Ду0 МДР - известные величины.
Таблица 1 - Экспериментальные данные автоколебательных режимов многоканального двухпо-зиционного регулирования температуры и результаты параметрической идентификации модели зоны нагрева аппарата сепарации (МДР -машина централизованного контроля)
Номер интервала идентификации Значения параметров СМДР, измеренные в эксперименте Результаты параметрической идентификации модели
О 0 1 У f о й S-? о о £ о р о № р о £ г? о о о н О н z, кВт
1 1П 1Л 22.5 о о 3 о 6 25.9 о\ 00 29.6 34.4 70 7 <N in о
2 К о 2 о 6 23.5 <N 2 21.8 42.4 723.4 in <N 100.1
3 <N сК со <N о 00 о 6 20.8 in со сК 54.5 749.8 УЗ <N 94.4
4 со со о 2 о 2 00 8 35.2 35.2 750.1 in <N 65.0
5 13.6 00 00 о 6 о 00 15.6 21.1 13.8 754.0 <N 34.7
6 1Л 00 о 6 о 2 <N 22.8 47.9 20.2 759.0 in <N 29.2
7 21.7 Ол 1Л о 6 о о 3 со о 25.8 33.2 29.6 701.7 <N 24.1
8 22.2 1Л УЭ о УЗ о УЗ 3 <N 00 27.1 35.6 33.3 703.8 со <N 21.1
Так как в данном случае запаздывание объекта доступно для измерения, то задача параметрической идентификации модели НДО заключалась в определении из системы (2) - (5) числовых значений коэффициентов Т0, К0, z дифференциального уравнения^). Система (2) - (5) является переопределенной (на четыре уравнения (2) - (5) - три неизвестных). Неизвестные Т0, К0, z найдены из условия миниму-
ма функции потерь [2], характеризующей различие измеренных в эксперименте и расчетных значений параметров автоколебаний Лу(+), Лу(--), Топ, То^.
р[(лу(р+), Лу(э+)), (л^), ЛУн), (71,с), (МЭг )] =
(Луулу-,)2 | (Луулу,-,)2 | [Т1 - г: )2 + (70^1 . .. ТЭ т„_
р[(л_у(1+),ЛуЭ+)), ...] - функция потерь;
расчетные значения парамет-
(2) - (5);
где
2 , (6) ^ min
Дур+), ДУ(-), Tn, Tf -
ров автоколебаний из уравнений
+)
Ton' Toff - значения параметров автоколебаний, измеренные в эксперименте (см. табл. 1).
Задача параметрической идентификации модели зоны нагрева сформулирована следующим образом: по измеренным в эксперименте значениям Ду(+), ДУ(-), Ton, Toff, Ton, Toff, Td.on, Td.off (см. табл. 1) и известным х, 2Ду0 (х=130 кВт, 2Ду0=4°С) требуется определить из системы уравнений (2) - (5) неизвестные коэффициенты Т0, К0, z дифференциального уравнения (1).
Требование минимума функции потерь (6) будет выполняться, если значения Т0, К0, z будут найдены из уравнений (2) - (5) из условия минимума функции Ф(То, Ко, z):
ф(го, Ко, z )>+>-ДуЭ+))2+(Ду'УДу»)2
1 0 0 } ДУ(+) ДУ-) тэ
г(-)
(тp - Tэ )2
Y off 1 off )
Tэ
off
(7)
Для практической реализации алгоритма идентификации (7) необходима информация о начальных приближениях неизвестных Т0, К0, z.
В общем случае для определения оптимальных значений неизвестных коэффициентов моделей сложных технологических объектов в алгоритмах идентификации задают их наилучшие начальные приближения в достаточно малой окрестности рабочих режимов объектов. Это обеспечивает сходимость алгоритмов и необходимую точность оценок неизвестных коэффициентов моделей [3 - 5].
В работе [2] наилучшие начальные приближения двух неизвестных коэффициентов модели найдены аналитическим решением системы двух уравнений, выбранных из переопределенной системы конечных уравнений, описывающих автоколебания в рабочих режимах СМДР на интервалах идентификации НДО без самовыравнивания.
В данной статье используется аналогичный подход. Из переопределенной системы уравнений (2) -(5) выбраны три уравнения (2), (4), (5) для нахождения значений начальных приближений трех неизвестных Т0, К0, z алгоритма идентификации (7). Решение системы уравнений (2), (4), (5) аналитическими методами не представляется возможным.
Значения начальных приближений неизвестных Т0, К0, z найдены следующим способом. [6] Для их вычисления уравнения (2), (4), (5) приведены с помощью подстановок и преобразований к следующему виду:
т ~ + т
d.olt
T
=V +Тdon + T0 ■ ln
> min
Л+Д)=
/у„- (p+Ц) • (P • S -Ц •Pp-Pp -Ц +F+S) • (1-Рр)
2 (PP-S -Ц • Pp) • (P -1)+(pp- S+Pp +Ц -Ц • p-F-Si) • (Ц -Pp
+%Pp;
(8)
z,. =
x • (P.^S. + P + Ц - Ц.^Р - F - S.) (9)
_ У i i_,_i_i i_i_
Ко, =
2•(p¡•s¡ - ц^^Р; )
AM P + Ц;)
(10)
X. (P¡ - 1) + Z; .(Ц, - Pt ) r . - T
где p = exp | To"¡ r°n¡ rd. off' 1 ■ ц, = exp f — + Td-o"¡
S¡ = exp I Tff¡ Td°"¡ 1; F¡ = exp ( Г + Tdoff
T
T
rw
i =1, ... , 8 - номер интервала идентификации НДО в табл. 1.
Основные трудности, возникающие при расчетах начальных приближений, связаны с вычислением То. В явном виде выразить Т0/ из (8) не представляется возможным.
Очевидно, что искомое начальное приближение Т0/ должно удовлетворять условию равенства расчетной Ду(+),(Т0,) и измеренной в эксперименте Ду+)/ амплитуд отклонений температуры. Тогда можно записать следующее нелинейное уравнение, связывающее ДУ(+)/(То/) и Ду(+)/:
ДУ(+), (To,) - ДУ(+)' =
(11)
Уравнение (11) с учетом (8) преобразовано к следующему виду:
Ay iP+RXP •S -Ц •F-P-R +PP+S)<1-PP) +Ay ^ =0. (12)
2^ (p • S -Ц •Pp) • (P-1)+(Pp • S +P +Ц -Ц^Р -Pp-S) • (Ц -pp)
Данное уравнение может быть решено одним из известных численных методов, например, методом дихотомии. Наиболее просто оно решается средствами MathCAD [6].
Вычисление значений начальных приближений начинают с определения Т0, из уравнения (12). Затем последовательно определяют из соотношений (9), (10) начальные приближения z,, K0i. В результате получены следующие значения начальных приближений: Т0=736с, z=60 кВт, К0=2,5°С/кВт.
Для практической реализации алгоритма идентификации (7) предпринята попытка воспользоваться встроенной функцией Minimize средств MathCAD [2]. Однако с помощью данной функции не удалось получить удовлетворительные результаты параметрической идентификации модели НДО.
Задача параметрической идентификации модели НДО с самовыравниванием решена применением метода многомерной оптимизации [7, 8]. Поиск минимума заканчивается при достижении заданной точности решения задачи параметрической идентификации, определяемой неравенствами:
) -АУ+)
< 0,1 ■
\Ayf_) - Ay3-) | < 0,1; \Т1 - Til < 0,1;
Tf -T3ff\ < 0,1.
off off\ '
(13)
(14)
(15)
(16)
Структурная схема параметрической идентификации модели НДО приведена на рис. 1.
Рис. 1 - Структурная схема параметрической идентификации модели НДО (МДР - машина централизованного контроля): у(1) - квантованная по времени выходная величина НДО
МДР изменением регулирующего воздействия ф[У(0] - включением и выключением входной величины х поддерживает выходную величину у(Т) на заданном уровне уз.. Устройство измерения параметров автоколебаний (УИПА) в процессе функционирования НДО измеряет на его входе значения параметров автоколебаний Топ, ТоА а на выходе -значения параметров автоколебаний Ду+), Ду(-) и, кроме того, время запаздывания т0П, тоА т^.0п, Идентификатор (ИД) по результатам измерений вычисляет в соответствии с алгоритмом (7) неизвестные величины Т0, К0, z. Результаты решения приведены в табл. 1.
Как видно из табл.1, коэффициенты Т0, К0 изменяется в процессе функционирования НДО незначительно. Существенно изменяется возмущающее воздействие z.
В результате решения задачи параметрической идентификации определены значения неизвестных динамических параметров и возмущения НДО, а также диапазоны их изменений. Это позволило частично снять неопределенность в исходных данных модели (1) и записать ее для целей разработки систем управления НДО в более детерминированном виде.
Так, для разработки комбинированных систем управления процессом вакуумной сепарации губчатого титана используется модель НДО, в которой динамические параметры приняты постоянными величинами [9]:
T
d [ y(t)] dt
+ y(t) = K0 •[x(t -T) - z(t)] , (17)
где Т0 , К0, т - средние арифметические значения Т0, К0 и т, рассчитанные на интервалах идентификации НДО (см. табл.1).
Для разработки робастных систем управления процессами восстановления и вакуумной сепарации губчатого титана используется интервальная модель НДО, которая имеет следующий вид [10, 11]:
Т0ШП . 4X0] + у({) = кц™ . [х({ - т - г({)], (18) А
т т/п ¡у тах тах
где Т0 , К0 , т - соответственно минимальная величина постоянной времени, максимальные вели-
чины коэффициента усиления и времени запаздывания НДО, найденные по результатам параметрической идентификации из диапазона изменения динамических параметров НДО (табл. 1).
Следует заметить, что разработка названных систем управления выполнена применением ретроспективной параметрической идентификации модели НДО, т.е. сначала найдены неизвестные коэффициенты моделей (17) и (18), а затем полученные результаты использованы для разработки систем управления.
Для разработки адаптивной системы управления НДО требуется проведение оперативной параметрической идентификации его модели. В этом случае используется модель (1), неизвестные коэффициенты которой Т0(/), К0(1), т(1), z(t) определяются на интервалах идентификации в реальном времени функционирования НДО. Система конечных уравнений (2)-(5) преобразована к следующему виду [12]:
Ау(+) = К0 • ( х-г)
1-ехр| --
+ Ау0 • ехр(-Т-] ; (19)
АУ -) = К о
• z •
1-ехр| -
+ Ау • ехр| — I; (20)
г + То • 1п
Тоя = г+ То •1п
Ко •х-(Ко •г-АУо >ехр|"уГ^ Ко •( х- г)-АУо К о •х-[ К о < х-г )-АУо ]ехр||-|
(21)
К о • г-Ауо
. (22)
Предполагается, что параметры автоколебаний Дум, Ду(-), Топ, То№ могут быть измерены на интервалах идентификации НДО (табл. 2). Тогда задача оперативной параметрической идентификации модели НДО сводится к определению неизвестных Т0, К0, т, г из системы уравнений (19) - (22), т. е. к решению системы четырех нелинейных уравнений с четырьмя неизвестными.
Алгоритм идентификации модели НДО реализован применением метода Ньютона для численного решения системы (19) - (22) с заданной точностью (13) - (16). За начальные приближения приняты значения Т0 = 736с, К0 = 2,5°С/кВт, т = 35с, z= бо кВт.
Структурная схема оперативной параметрической идентификации модели НДО приведена на рис.2.
МДР изменением регулирующего воздействия ф[у(0] - включением и выключением входной величины х поддерживает выходную величину у(/) на заданном уровне уз. УИПА в процессе функционирования НДО измеряет на его входе значения параметров автоколебаний Топ, То^, на выходе - значения параметров автоколебаний Ду(+), Ду(-). ИД по результатам измерений решением системы уравнений (19) - (22) вычисляет неизвестные величины Т0, К0, т, и г , которые используются в устройстве адаптации для коррекции (повышения точности) двухпозиционного регулирования в реальном времени функционирования НДО [12]. Результаты опе-
ративной параметрической идентификации модели НДО приведены в табл. 2.
Таблица 2 - Экспериментальные данные автоколебательных режимов многоканального двухпо-зиционного регулирования температуры и результаты оперативной параметрической идентификации модели зоны нагрева аппарата сепарации (МДР - микропроцессорный контроллер)
Номер интервала идентификации Значения параметров СМДР, измеренные в эксперименте Результаты параметрической идентификации модели
О 0 1 у # о о о т У о z, кВт
1 1Л 1Л 1Л 221.7 бо.2 647.2 2 39.8 Ю4.4
2 СП УЗ ^ 182.3 61.2 648.о со Н 1Л 00 3 сК 9
3 г- УЗ со 151.1 бо.8 648.3 со Н УЗ 3 9
4 о о 92.4 92.4 648.8 38.6 65.о
5 1Л ^г УЗ 152.8 648.9 ^ 36.9 35.6
6 00 1Л УЗ УЗ 2о3.1 7оо.5 1Л н 39.8 28.2
7 УЗ УЗ УЗ 1Л 1Л 5 22о.2 7оо.7 Н К 3 2
8 сл УЗ ^ 1Л со 1Л 5 251.2 7оо.8 УЗ 00 3 21.3
Рис. 2 - Структурная схема оперативной параметрической идентификации модели НДО (МДР - микропроцессорный контроллер)
В современных автоматизированных системах управления функции МДР и УИПА выполняет микропроцессорный контроллер, функции ИД - компь-
г
о
ютер. Такой подход позволяет автоматизировать процесс оперативной идентификации модели в режиме нормальной эксплуатации НДО [7].
Рассмотренные методы ретроспективной и оперативной параметрической идентификации модели НДО нашли практическое применение на разных этапах автоматизации технологических процессов производства губчатого титана [9,11]. Они могут быть применены для решения задач параметрической идентификации моделей неопределенных динамических в системах двухпозиционного регулирования в различных областях промышленности.
Литература
1. Кирин Ю. П., Тихонов В. А. Параметрическая идентификация моделей неопределенных динамических объектов в системах двухпозиционного регулирования // Вестник технологического университета. - 2017.- Т.20. -№5. - С.91 - 94.
2. Кирин Ю. П., Тихонов В. А. Методы параметрической идентификации моделей неопределенных динамических объектов в системах двухпозиционного регулирования. Часть 1 // Вестник технологического университета. -2017.- Т.20. - №13. - С.88 - 92.
3. Кулаков Ю. В., Шамкин В. Н. Расчет начального приближения при параметрической идентификации математических моделей статических режимов сложных технологических систем // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2004. - Вып. №1-1. - Т. 10. - С.58-69.
4. Кулаков Ю. В., Шамкин В. Н. Исследование роли начальных приближений в решении задачи параметрической идентификации одной математической модели статики сложной технологической системы // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2006. - Вып. №1. - Т. 12. - С.8-19.
5. Цыганов А. В., Булычов О. И., Цыганова Ю. В. Параллельные гибридные алгоритмы для задачи параметрической идентификации в стохастических линейных системах // Вектор науки ТГУ. - 2011. - №3. - С. 45 - 49.
6. Кирин Ю. П., Краев С. Л., Шуколюкова К. А. Идентификация объектов в позиционных системах регулирования с использованием МаШСАБ // Сборник «Наука в решении проблем Верхнекамского промышленного региона». - Березники: БФ ПГТУ, 2007. - Вып. 6. - С. 257 - 261.
7. Затонский А. В., Кирин Ю. П., Беккер В. Ф. и др. Применение методов оптимизации для идентификации объектов в позиционных системах регулирования // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18: Сб. тр. 18-ой Междунар. науч. конф. - Казань: КГТУ, 2005. - Т.10. - С. 67 - 70.
8. Затонский А. В., Кирин Ю. П., Беккер В. Ф. и др. Методы решения задач идентификации объектов в позиционных системах регулирования // Сборник «Наука в решении проблем Верхнекамского промышленного региона». - Березники: БФ ПГТУ, 2006. - Вып. 5. - С. 198
- 203.
9. Кирин Ю. П., Кирьянов В. В. Эволюция систем управления процессом вакуумной сепарации губчатого титана. 2 часть // Промышленные АСУ и контроллеры. -2016. - №12. - С.3 - 12.
10. Кирин Ю. П., Кирьянов В. В. Построение интервальной модели динамики процессов производства губчатого титана // Вестник Череповецкого государственного университета. - 2016. - №2. - С.7 - 10.
11. Кирин Ю. П., Кирьянов В. В. Робастное управление технологическими процессами производства губчатого титана // Проблемы управления. - 2016. - № 6.
- С. 71-79.
12. Кирин Ю. П., Затонский А. В., Беккер В. Ф. Построение адаптивной системы управления технологическими процессами в производстве губчатого титана // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2009. -№2. - С. 1 - 7.
© В. А. Тихонов - канд. техн. наук, доцент кафедры «Химическая технология и экология» Березниковского филиала Пермского национального исследовательского политехнического университета, vtihonov@bf.pstu.ac.ru; Ю. П. Кирин - канд. техн. наук, доцент кафедры «Химическая технология и экология» Березниковского филиала Пермского национального исследовательского политехнического университета, klu2010@mail.ru.
© V. A. Tikhonov - Associate Professor of the Department «Chemical Technology and Ecology» Berezniki branch of the Perm National Research Polytechnic University, vtihonov@bf.pstu.ac.ru; Yu. P. Kirin - Associate Professor of the Department «Chemical technology and ecology» Berezniki branch of the Perm National Research Polytechnic University, klu2010@mail.ru.
