CC BY
432
УДК 00.4.94
1 2 2 3
A. А. Туз , Виллиам Браун-Аквеи , Форгор Лемпого , А.Г. Кулаков ,
B. Н. Богатиков4
Институт информатики и математического моделирования технологических процессов Кольского НЦ РАН, АО «Ковдорский ГОК»
2 Г анский университет технологии, Аккра
3
АО «Апатит»
4 Тверской государственный технический университет (ТвГТУ)
УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРУЮЩИМИ МОДЕЛЯМИ Аннотация
В статье рассматривается управление с прогнозирующими моделями процессом измельчения бадделеит-апатит-магнетитовых руд. Приводится комбинированная модель измельчения в шаровой барабанной мельнице. Уточнение коэффициентов модели выполняется на основе нейро-фаззи сетей. Прогнозное управление строится на основе импульсного отклика процесса измельчения. Использование данного подхода позволяет повысить эффективность управления процессом.
Ключевые слова:
управление с прогнозирующими моделями, компьютерное моделирование, кинетика, смешение, измельчение, классификация, месторождения многокомпонентных руд, бадделеит-апатит-магнетитовые руды, оценка состояния, нейросети.
A.A. Tuz, William Brown-Acquaye, Forgor Lempogo,
A.G. Kulakov, V.N. Bogatikov
MODEL PREDICTIVE CONTROL
Abstract
The article discusses the predictive control models by process of grinding the baddeleyite-apatite-magnetite ores. Presents a combined model of the grinding process in ball drum mill. Correction of model coefficients is based on neuro-fuzzy networks. Predictive control based on the impulse response of the grinding process. Using this approach allows to improve the management process.
Keywords:
model predictive control, computer modeling, kinetics, mixing, grinding, classification, multicomponent ore deposits, baddeleyite-apatite-magnetite ores, assessment, neural networks.
Введение
Управление с прогнозирующими моделями (УПМ) является перспективным методом управления технологическими процессами, который используется в обрабатывающей промышленности, например, на горных, химических и нефтеперерабатывающих предприятиях. УПМ использует модели для прогнозирования будущего поведения управляемых переменных. На основе прогноза контроллер рассчитывает управляющие воздействия, решая задачи оптимизации в масштабе реального времени. В этом случае контроллер пытается минимизировать ошибку между предсказанным и фактическим значением по горизонту управления, т.е. реализуется первое управляющее действие. В основе работы контроллеров УПМ лежат динамические модели
151
процесса, чаще всего линейные эмпирические модели, полученные путем идентификации системы [1].
Поведение системы УПМ может быть весьма сложным, поскольку управляющее воздействие определяется как результат решения задачи оптимизации в масштабе реального времени. Задача управления построена на основе модели и измерений параметров процесса. Измерения параметров процесса создают обратные связи в структуре УПМ. На рис. 1 изображена структура типичной системы УПМ [2]. Как правило, различные виды УПМ предлагают различные подходы к решению следующих задач:
- модели «ввода - вывода»;
- прогнозирования неисправностей;
- целевой функции;
- измерения;
- ограничений;
- периода дискретизации (как часто решается задача оптимизации).
Независимо от конкретного выбора вышеуказанных элементов, их
объединяет задача оптимизации в режиме реального времени.
Рис. 1. Схема УПМ
152
Элементы УПМ
Все алгоритмы УПМ имеют общие элементы, и для каждого элемента можно выбрать различные варианты, что дает основание для применения различных алгоритмов. Такими элементами являются [3-5]:
- модель прогнозирования;
- целевая функция;
- закон управления.
При этом модель прогнозирования является наиболее важной частью УПМ. Полный проект должен включать необходимые механизмы для получения оптимальной модели, которая должна быть достаточно полной, чтобы охватить все динамические характеристики процесса и рассчитать прогнозы, и одновременно интуитивно понятной, чтобы провести теоретический анализ. Использование модели процесса определяется необходимостью расчета прогнозируемого выхода в будущие моменты времени.
Наиболее распространенными в практике промышленных предприятий являются модели импульсной характеристики конечной длительности КИХ или переходной характеристики. Это непараметрические модели, которые широко используются в промышленности. Преимущество таких моделей в том, что они показывают постоянную времени, опережения и запаздывания управляющего воздействия непосредственно на графиках процесса.
Обзор принципов настройки УПМ
Далее представлен обзор принципов настройки УПМ с точки зрения теории и практики. Обсуждаются основные шаги повышения производительности контроллеров. Настроечные параметры контроллеров обсуждаются исходя из формулировки закона управления. Существуют методы настройки вывода строки, в которой каждый параметр настраивается индивидуально, как указано ниже [6,7]:
- горизонт прогнозирования;
- горизонт управления;
- горизонт модели;
- взвешенные значения на выходах;
- взвешенные значения скорости изменения входов;
- взвешенные значения величины входов;
- параметры опорной траектории;
- ограничивающие параметры;
- ковариационная матрица и коэффициент усиления фильтра Калмана.
Первым шагом настройки является разработка точной модели процесса.
Во всех структурах УПМ разработка адекватной модели существенно облегчает процедуру настройки.
УПМ с жесткими ограничениями. Одним из преимуществ использования УПМ является то, что оно позволяет проводить операции близко к ограничениям по сравнению с обычными моделями управления, что ведет к более устойчивой работе. Часто эти ограничения связаны с прямыми затратами, нередко ценами на энергоносители. Например, на производственном
153
предприятии потребление энергии должно быть минимальным при том же уровне производства, что является ограничением производственного процесса. Ограничения могут присутствовать как на входе, так и на выходе. Часто входные ограничения на управляющие сигналы, т.е. переменные процесса или регулируемые переменные - это жесткие ограничения. Эти ограничения никогда не допускается нарушать.
Во многих задачах управления с ограничениями решение становится невозможным из-за проблем нарушения жестких ограничений, которые могут быть результатом различных факторов в реальном времени. Ограничения состояния и выходные ограничения могут привести к неосуществимости задачи оптимизации. Например, помехи на выходе могут вывести процесс из допустимой области так, что ни одна возможная траектория входа не сможет вернуть его обратно в ограниченную зону. В этом случае жесткие ограничения выхода больше не смогут выполняться. УПМ с мягкими ограничениями, как описано выше, в основном из-за помех в системе [8].
Системной стратегией борьбы с неосуществимостью является смягчение ограничений. Т.е. вместо того, чтобы рассматривать ограничения как жесткие границы, которые никогда нельзя пересекать, позволять их иногда пересекать, но только в случае необходимости. Обычно входные ограничения - это жесткие ограничения и нет никакого способа, которым их можно смягчить, кроме как ограничив привод. Авторы [9] предоставили подробное объяснение того, как использовать мягкие ограничения в задаче оптимизации. Возможное предложение - отказаться от выходных ограничений, которые являются причиной неосуществимости.
Описание модели измельчения
Технологический процесс сокращения крупности материала в шаровой барабанной мельнице может быть представлен моделью идеального перемешивания. Учесть различное время пребывания частиц удается, применив представление потока через мельницу в виде каскадных смесителей.
Причем в большинстве случаев достаточно трех смесителей (А, В, С) в каскаде, если принять время пребывания в каждом смесителе соответственно равным [10]:
тА = 0.15 -т,
тв = 0.15 -т, (1)
тс = 0.70 -т.
где т- общее время пребывания материала в мельнице.
На рис. 3 каскадом из трех смесителей (A, B, C) представлен процесс измельчения. Поток частиц /-ой фракции (класса) крупности исходного материала qF/ поступает на вход смесителя A. Поток разгружаемого из смесителя A материала является входным потоком qFb/ смесителя B, и, аналогично, поток разгружаемого из смесителя B материала является входным потоком qFc/ смесителя C. Каждый смеситель содержит запас (массу) материала m/am/b,m/c, который подвергается измельчению.
154
Рис. 3. Каскадное представление процесса измельчения
Как изложено выше кинетическое уравнение для трех смесителей запишется в виде системы уравнений:
г-1
dm'A = f - stmtA + £ bijSj.mjA - m
dt
j=1
г -1
A
m
dm,B = fB - stmB+у bySjmjB - m ,
dt
(2)
j=1 г -1
dmiC fiC X-* 7
—— = ±— - sm.r + У b..s.m.r -
i iC ij j jC
B
m
c C j=1 Cc
где m, miB, miC - масса /-ой фракции (класса) крупности, находящегося соответственно в смесителе A, B, C.
fiA, fiB, fic - масса i- ой фракции (класса) крупности на входе в соответственно в смесители A, B, C;
c А,c в,C с - время пребывания в данном смесителе;
b - функция разрушения, определяющая переход материала j-го класса в i-ый класс крупности;
S, s ■ - функция отбора, определяющая скорость разрушения соответственно i-го и j-го класса крупности.
После разбиения входного потока измельчаемого материала на n классов крупности, например, для смесителя A получим систему из n уравнений, при этом предполагается, что разрушение самого мелкого n-го класса крупности не происходит.
155
Лщл_Лл _ sm _ mA
S\m\A
dt
dm2A f2A и m2A
~7~ =— + b2\S\m\A_S2 m2 A - A
dt t
•( 3)
dm(n_\)A _ f(n_\)A
dt
+ b лЛЩл + ••• + Ь iV п\Щ n\A_S ,A ЛА
(n_\)\ \ \A (n_\)(n_2) (n_2) (n_2)A (n_\) (n_\)A
m
(n_\) A
t„
dmnA _ fnA
dt
= _HL + h vm + ... + b, ,,Si
n\ \ \A n(n_\) (n_\) (n_\)A
m
т
A
Для определения функций отбора sh Sj и разрушения by используется нейронная сеть. На рис. 2 она представлена блоком коррекции модели. На основе предсказаний выхода, корректируются соответствующие коэффициенты отбора и разрушения с использованием нейросети, после чего происходит переход к регулятору.
Прогнозирующее управление на основе импульсной характеристики конечной длительности
Состав системы управления с прогнозирующими моделями включает в себя оценочный модуль и регулятор, а также блок коррекции модели использующий нейросеть для определения коэффициентов отбора и разрушения, как показано на рис. 2.
Входными параметрами УПМ являются заданные значения г, выходы процесса z и измеренные выходы процесса у. Выходными параметрами УПМ будут являться регулируемые переменные и.
Рис. 2. Структура системы управления на основе УПМ
156
Технологическая установка и измерительные устройства
Предположим, что установка - это линейная система пространства состояний:
xk+i = 1 + Вик + Bddk + Glxk+i , (4)
zk = Cxk, (5)
где х- состояния процесса;
и- регулируемая переменная; d- неизмеряемые возмущения; w- шум стохастического процесса; z- управляемые переменные.
Измеренные выходы, у, являются регулируемыми выходами, z, с помехами при измерении, v.
Следовательно:
yk = zk +vk ■ (6)
Первоначальное состояние, шум процесса и помехи при измерении, предположительно, являются нормально распределенными стохастическими векторами:
Х0 * N (х0, P0 ), Wk * Niid (0,0), Vk * Niid (O, R) .
(7)
(8)
(O, R) . (9)
Измеренный выход у - это сигнал обратной связи, используемый оценочным модулем, и - сигнал системы управления, выполняемый на установке.
Регулятор
Ниже представлены устойчивые процессы в режиме КИХ:
П
zk = bk +zHUk-t, (10)
i=1
(Ыг}П=1 - коэффициенты импульсной характеристики (параметры Маркова), составляющие смещения оценочного модуля; Ък -объясняет расхождения между прогнозируемым и фактическим выходами.
Таким образом, с помощью модели КИХ ^2-регуляризованную задачу отслеживания выхода с входными ограничениями можно сформулировать следующим образом:
| N-1
тпФ=- Е zk+i- rk+i + II Auk ii,2, (11)
{z,u} 2 k=0
при котором:
П
zk = bk +ZHUk-i , k = 1,.,N,
i=1
157
и < и, < и k = 0 N— 1
AUmin <AU <AUmax , k = =....., N— 1 , (12)
Zk < Zmax ^^k, k = 1, N,
Zk - Zmin ~—lk, k = 1, N,
при этом Аик = Uk — ик_^ и Qz, S - это веса регуляризация, а
II zk+1 — ^k+1 IIq является общим представлением норм метода наименьших квадратов по весу.
Это воспринимается как:
11 zk+1— rk+1 llQz=1 zk+1—Г+1 W&W h+1—rk+111 т.
Горизонты контроля и прогнозирования идентичны. При желании можно включить горизонт прогнозирования длиннее горизонта управления. Однако предпочтем сделать горизонт управления такой длины, чтобы никакие граничные эффекты в конце горизонта не имели никакого влияния на решение в начале горизонта и могли бы быть преобразованы в ограниченную линейноквадратичную задачу оптимального управления.
Для решения таких задач с длинными горизонтами прогнозирования существуют эффективные алгоритмы, согласно Йоргенсен и др. (2004).
Постановка задачи квадратичного программирования расчёта регулятора КИХ
Векторы Z, R, U, определяются как:
Z =
z1 r1 U0
г2 R = Г2 u = и
ZN _ rN _ _ UN—1 _
(13)
Следовательно, прогнозы по модели импульсной характеристики можно выразить как:
Z=c+TU.
Для случая N = 6 и n = 3, Г собирается как:
0 0 0 0 0 '
H 2 H1 0 0 0 0
H H 0 0 0
Г = 3 2 1 (14)
0 H3 H2 H1 0 0
0 0 H3 H2 H1 0
0 0 0 H3 H2 H _ ,
158
и собирается как:
" c1" b + (H^U_^ + H^u 2)
C2 b2 + (H3U-2 )
C3 b3
C4 b4
C5 b5
_C6 _ 1 1
(15)
Для случая N = 6, определим матрицы Л и I0
Л =
1 0 0 0 0 i О 1 1
-I I 0 0 0 0 0
0 -I I 0 0 0 0
0 0 -I I 0 0 I0 = 0
0 0 0 -I I 0 0
1 О 0 0 0 -I I 0
и
1 01 1 ~S ■
Qz = Qz s = S
1 01 1 s
Далее целевую функцию в уравнении можно выразить как:
1 N-1
ф=т Ёк+i - rk+i\\2Qz +wAuk\\2s
2 k=0
= 1| \z - R \ \ Qz +1\ \ли -10u-i \\S
= 1\ \c + ru - R\Q +1\ \ли - IoU-i\ \ S
=1U '(r'Qz Г + Л'S Л)и (18)
+(Г 'Qz (c - R) -Л'SI0u_i) 'U
+(~\ \c - R\ \ QZ +—\ \Iou-i \ \ S)
=1U'HU + g U + p
(16)
(17)
159
где
H = T’QZ T+A’SA,
1
2
|2
QZ
(19)
— Л’ SI0 u_j, (20)
^11 — +2 И“—.12. (21)
Таким образом, задачу регулятора УПМ на основе КИХ в уравнении можно решить путем нахождения решения следующей задачи выпуклого квадратичного программирования:
min ш = — UHU + g'U . (22)
U2
Так, что:
Umin ^ U < Um
b1AU < bu,
где
(23)
(24)
Umin = u ■ min u ■ min Umax u max u max (25)
u L min J u _ max j
и
_A u min + u —1 _ _A u max + u —1 _
AWmm II AWmax (26)
Aumin _ Aumax _
*
В модели прогнозирующего контроллера только первый вектор, uo , из U* реализован в процессе:
U
*
(27)
Во время следующей выборки в связи с новым измерением повторяется оптимизация без обратной связи с новой информацией.
160
Литература
1. Bemporad, A. Robust model predictive control: A survey / A. Bemporad, M. Morari, In A. Garulli, A. Tesi, and A. Vicino (eds.) // Robustness in Identification and Control, volume of Lecture Notes in Control and Information Sciences Springer-Verlag. -1999. -P.207- 26.
2. Ben-Tal and Nemirovski. Lectures on modern convex optimization / Ben-Tal and Nemirovski. - Philadelphia, 2001. - 302 c.
3. Benzer, H. Modeling cement grinding circuits /H. Benzer, L. Ergun, A. Lynch, M. Oner, A. Gunlu, I. Celik, and N. Aydogan //N. Minerals Engineering. - 2001. -14(11). -P.1469-1482.
4. Berger, M. An introduction to probability and stochastic processes / M. Berger.
- New York Springer: Verlag New York, Inc., 1993. - 452 p.
5. Berthiaux, H. Analysis of grinding process by Markov chains / H. Berthiaux // ChemicalEngineering Science. - 2000. -Р.4117-4127.
6. Шарапов, Р.Р. Шаровые мельницы замкнутого цикла / Р.Р. Шарапов: Монография / Белгородский гос. технол. ун-т. - Белгород, 2008. - 299 с.
7. Андреев, Е.Е. Исследование процесса измельчения на математических моделях / Е.Е. Андреев, Н.В. Николаева // Обогащение руд. - 2007. - №2.
- С.3-5.
8. Bemporad, A. The explicit linear quadratic regulator for constrained systems / A. Bemporad, M. Morari, V. Dua, and E. N. Pistikopoulos // Automatica. -2002.
- №38. - P.3-20.
9. Bhatty, J. Innovations in Portland cement manufacturing [electronic resource] / J. Bhatty, F. Miller, S. Kosmatka. -2002. -301 p.
10. Гуревич, Л.С. Моделирование структуры потоков в барабанной мельнице Л.С. Гуревич, Е.Б. Кремер // Обогащение руд. - 1989. - №2 - С.34-37.
Сведения об авторах
Туз Андрей Александрович - электромеханик, аспирант, е-mail: andrew339@yandex.ru Andrey А. Tuz - post-graduate
Виллиам Браун-Аквей - к. т. н., преподаватель, Ганский университет технологии, Аккра,
е-mail: wbrownacquaye@hotmail.com
William Brown-Acquaye - Cand. of Sci (Tech), lecturer
Кулаков Андрей Геннадьевич - к.т.н., главный механик АНОФ-2 АО «Апатит»
Andrey G. Kulakov - Cand. of Sci (Tech)
Форгор Лемпого - к.т.н., преподаватель, Ганский университет технологии, Аккра
е-mail: forlempo@yahoo.co.nz
Forgor Lempogo - Cand. of Sci (Tech), lecturer
Богатиков Валерий Николаевич - д.т.н., профессор кафедры информационных систем (ИС) ТвГТУ, e-mail: VNB GTK@mail. ru Valery N. Bogatikov - Dr. of Sci (Tech), рrofessor
161
