Управление поперечными колебаниями на малой области прямоугольной пластины Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 539.3

УПРАВЛЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ НА МАЛОЙ ОБЛАСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ А.В. Воропай, доцент, к.т.н., ХНАДУ

Аннотация. Управление осуществляется при помощи приложения к пластине системы дополнительных управляющих нагрузок. Закон изменения во времени управляющих воздействий определяется на основе решения обратной некорректной задачи.

Ключевые слова: прямоугольная пластина, нестационарное нагружение, управление колебаниями, обратная задача, регуляризация, интегральные уравнения.

КЕРУВАННЯ ПОПЕРЕЧНИМИ КОЛИВАННЯМИ НА НЕВЕЛИК1Й ОБЛАСТ1 ПРЯМОКУТНО1 ПЛАСТИНИ О.В. Воропай, к.т.н., доцент, ХНАДУ

Анотаця. Керування здтснюеться за допомогою прикладення до пластини системи додаткових керуючих навантажень. Закон змти у час керуючих сил визначаеться на основi ршення оберненог некоректног задачi.

Ключовi слова: прямокутна пластина, нестащонарне навантаження, керування коливаннями, обернена задача, регуляризащя, ттегральт рiвняння.

CONTROL OF TRANSVERSAL VIBRATIONS ON SMALL AREA OF RECTANGULAR PLATE A. Voropay, Candidate of Technical Science, Associate Professor, KhNAHU

Abstract. The control is executed with the help of applying of additional system of controlling forces to the plate. The controlling forces variations vs. time are defined by inverse ill-posed problems solution.

Key words: rectangular plate, non-stationary load, vibration control, inverse problem, regularization, integral equation.

Введение

В настоящее время активно развиваются исследования по управлению напряженно-деформированным состоянием элементов конструкций. Одним из основных факторов, способствующих развитию этой тематики, является создание современных компактных и эффективных устройств по управлению колебаниями. Например, пьезодатчик / пьезопривод (piezosensor / actuator); магнитореологические (MR) датчики; слои вязкоупругого материала, помещенные между магнитными

(электромагнитными) слоями; элементы конструкций в целом, созданные из так называемых усовершенствованных материалов (smart materials) и т.д.

Отдельный интерес вызывает управление при нестационарном нагружении.

Анализ публикаций

Зачастую большинство задач управления параметрами напряженно деформированного состояния или нестационарными колебания-

ми посвящено «гашению» колебаний. Существует несколько подходов активной и пассивной виброзащиты. В работе [1] для управления колебаниями использованы пьезоэлектрические актуаторы (приводы). Использование активных гасителей колебаний пластины рассматривается, например, в [2].

Настоящая работа является логическим продолжением статьи [3], в которой осуществлялось управление колебаниями в некоторой точке пластины при помощи введения одной дополнительной управляющей силы.

Цель и постановка задачи

Рассматривается возможность управления на существенно меньшей по сравнению с размерами пластины прямоугольной площадке. Пластина - упругая, изотропная, прямоугольная, средней толщины (рис. 1). Габариты пластины /хт, а толщина h. Схема закрепления пластины соответствует шарнирному опиранию. Предположим, что на пластину воздействует система нескольких независимых поперечных нагрузок, приложенных в точках (xoi,joi). Требуется управлять колебаниями (например, обеспечить необходимый закон изменения во времени прогиба пластины или, наоборот, уменьшить величины прогибов или деформаций пластины) на небольшой прямоугольной области пластины. Управление осуществляется с помощью системы, состоящей из четырех независимых управляющих воздействий (сил) (рис. 1).

Рис. 1. Схема управления колебаниями

Уравнения нестационарных колебаний прямоугольной пластины под действием системы поперечных нагрузок (управляющих и возмущающих) по аналогии с [3] можно записать в следующем виде

М ^. 7 /г 2 Ч J п G h(C w0 + y xy) = p h—2° -п 3t

п N Nc

п - е P(x,y,t) + е pc(x,y,t);

П 1 1

нDC 2y xy - G'h(y xy + C 2Wo) _ p 47-

(1)

п D й(1 -n )C 2j xy + (1 + V )C l2y x

п

п 2 3 2j x

п - G'h(j xy + С 2Wo) _p 47^

где

D=

Eh3

12(1 - v2)’

G'=k' G; I=h3/12;

y __hx + . („ _iii JjLl .

x 3 x 3y ’ x 3 x 3y ’

C 2 _H +Ц . C 2 _H Ц

C Л 2 Л 2; C 1 Л 2 т 2.

В этих соотношениях w0 - прогиб пластины, yx и yy - углы поворота нормали; h - толщина пластины.

N

Укажем, что е P (x, y, t) - система возмуща-

i_ 1

ющих нагрузок (в качестве примера для конкретного расчета в настоящей работе - две сосредоточенные нагрузки P( x, y, t) и P2( x, y, t), приложенные в двух различных

Nc c

точках, причем P(t) № P2(t)); а е рс(У,t) -

i_ 1

система управляющих нагрузок (в данном случае Nc=4).

Система (1) решается аналитически при помощи разложения искомых функций перемещения в двойные ряды Фурье по тригонометрическим функциям с использованием интегрального преобразования Лапласа для коэффициентов разложения, зависящих от времени. В результате для прогиба и углов поворота (для краткости не приведены) решение прямой задачи получается в виде суммы интегралов Дюамеля (свёрток)

N t

w (x, y, t)_ е T P, (t) KW (x, y, t -t)<

i_ 1 0

Nc t

-е тPi (t)KW(x,y,t-t)dt;

i_ 1 0

(2)

где KW ( x, y, t) - соответствующие ядра интегралов Дюамеля вида

Результаты расчетов

Г Г 2

kw (x, y,t) = е е е W p!(x, y) 4sin w pkn(t).

k = 1 n= 1 p=1

Определение управляющих воздействий

Предположим, что требуется погасить колебания (по возможности максимально уменьшить амплитуды колебаний прогиба пластины) на небольшой по сравнению с размерами пластины прямоугольной области. Так как критерием управления является уменьшение амплитуд прогиба, тогда справедливы следующие выражения

W ( Xsj, У* ,t) = 0

(3)

где (xs,,y„) - четыре точки, ограничивающие прямоугольную область «гашения».

Используя вид решения прямой задачи для прогибов (2) и критерии управления (3), можно получить систему четырех интегральных уравнений Вольтерра I рода

Nc t

е tPc(t)K(x,j,У,,t-t)fi

i= 1 0 Nt

= е тPi(t)kW(xsl,ysl,t-1)1

(4)

i= 1 0

Система интегральных уравнений в матричном виде

Далее представлены результаты вычислений. Численные расчеты производились при таких значениях: р=7890 кг/м3; E=2,07-1011 Па; v=0,3; h=0,04 м; /=1,0 м, m=0,8 м. Координаты точек приложения возмущающих нагрузок: x01=0,1 м, y01=0,15 м, x02=0,55 м, Уо2=0,55 м. Координаты приложения системы управляющих нагрузок совпадают с координатами области, в которой осуществляется управление: хс1=0,78 м, ус1=0,48 м, хс2=0,78 м, ус2=0,52 м, хс3=0,82 м, ус3=0,52 м, хс4=0,82 м, ус4=0,48 м.

На рис. 2 показаны изменения во времени прогибов пластины в области управления колебаниями. Кривые 1 на этом рисунке соответствуют случаю, когда отсутствуют управляющие воздействия, а кривые 2 - когда осуществляется управление (гашение) -приложено четыре управляющих воздействия, закон изменения во времени которых найден в результате решения обратной

задачи.

Время t,с

Й A11 A12 A1

A22 A2

A32 A

A42 A

K A кA21 KK A31 ! A41

йе A0b. p. щ

A14 ЩЙ Pc1 Щ K i= Ъ

A ъкp ъ Ке A 2i ri.

т I/ 1 l\ i-1 D

33

43

14ъкpc1 ъ ке A02iPiъ

^24ъ кPc2ъ - к>-1 ъ (5)

A34ъкPc3ъ ке A03ip.ъ. ()

л ъ^ ъ \= 1

A44 ЫЛ Pc4 Ы * Д0 р ъ

ке А04.ргЪ

л .■=1 ы

Решение подобных систем уравнений относительно искомых функций PcJ(t) описано в [4]. Специально разработанный метод для решения системы (5) базируется на использовании обобщенного алгоритма Крамера (ОАК) для блочной матрицы A и регуляризирующе-го алгоритма академика А. Н. Тихо-нова [5] (РА Тихонова) при обращении матриц.

Рис. 2. Изменение прогибов в области управления

На рис. 3 показаны изменения во времени двух внешних возмущающих сил, изменяющихся как «полуволна синусоиды» и «прямоугольная ступенька конечной продолжительности», а также четырех управляющих воздействий (тонкие кривые). Изменения во времени управляющих воздействий найдены на основе решения обратной задачи (см. систему уравнений (5)). На этом рисунке кривые отдельно не помечены.

Рис. 4 демонстрирует распределение прогибов в срединной плоскости пластины в момент времени t=3.52-10 3с. Рис. 4, а соответствует случаю, когда отсутствует управле-