Управление многозвенными кинематическими механизмами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРАВЛЕНИЕ МНОГОЗВЕННЫМИ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ

МЕХАНИЗМАМИ

И. В. Мирошник, С. А. Чепинский

Рассматривается задача управления траекторным движением простейших кинематических механизмов с двумя степенями свободы (двухзвенных роботов) с одним управляющим входом. С использованием дифференциально-геометрических методов нелинейной теории управления предложена методика анализа динамики таких систем и процедура синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих решение траекторной задачи как задачи стабилизации относительно гладкого отрезка предписанной траектории.

Введение

Новые задачи управления сложными кинематическими механизмами обусловлены появлением робототехнических систем нетривиальной конструкции, к которым относятся роботы избыточной структуры, шагающие и многоколесные механизмы, маятнико-подобные и гироскопические системы. Наряду с задачами управления избыточными роботами [1, 2, 4, 9], для которых число управляющих входов превышает степень свободы механизма, возникают проблемы стабилизации и управления пространственным движением механизмов, у которых количество входов меньше числа степеней свободы [3, 6], т.е. недостаточно для реализации обычных режимов работы робота - стабилизации, программного или траекторного управления. Тем не менее, несмотря на ограниченные функциональные возможности таких систем, они оказываются вполне пригодны для решения целого ряда специфических задач. К последним относятся задачи стабилизации положения неуправляемого конечного звена манипуляционного робота или робота нетривиальной конструкции (типа маятника на подвижной основе, например, маятника Фуруты), задачи стабилизации центра тяжести шагающего механизма, стабилизации положения многоканальной гироскопической системы, а также соответствующие задачи поддержания их колебательных движений или траекторного управления. При этом уменьшение числа входов и, следовательно, исполнительных устройств (приводов) положительно сказывается на энергетических, массогабаритных и стоимостных показателях. С точки зрения теории управления рассматриваемый класс механических объектов может быть отнесен к не полностью управляемым многоканальным объектам, а соответствующие задачи управления - к задачам частичной стабилизации [3, 5, 8].

В статье рассматривается задача управления траекторным движением простейших кинематических механизмов с двумя степенями свободы (двухзвенных роботов) с одним управляющим входом. С использованием дифференциально-геометрических методов нелинейной теории управления [5, 7, 8] предложена методика анализа динамики таких систем и процедура синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих решение траекторной задачи как задачи стабилизации относительно гладкого отрезка предписанной траектории.

1. Модели роботов и постановка задачи

Рассмотрим двухзвенный кинематический механизм (робот), описываемый в пространстве Я2 (плоскости) обобщенных координат уравнением типа Лагранжа

и

0

где q = (q1,^2) и ш = (ш1,ш2)- векторы обобщенных координат и их скоростей, и -обобщенный момент, представляющий собою управляющее воздействие. В декартовом пространстве Я2 положение последнего (2-го) звена характеризуется вектором декартовых координат у = (у1,у2) и определяется уравнением

q=ш, А( q)cb + Ь( q, ш) + с=

(1)

у = Кч),

(выражение характеризует прямую кинематику робота [1, 10]).

Рис. 1. Двухзвенные кинематические механизмы

Уравнения (1)-(2) описывают манипулятор как многосвязный нелинейный объект управления с выходными переменными у1, переменными состояния , ши

управляющим воздействием и.

Рассмотрим движение конечного звена двухзвенного механизма. Пусть желаемая траектория £ (гладкая кривая, см. рис. 2-3) определяется выражением

Ф( у) = 0, (3)

а длина пути (продольное перемещение) находится как

^ = у(у) . (4)

Предполагается, что функции ф и у гладкие и выбраны таким образом, что при у е £ матрица Якоби

т *

ду / ду

12 дф / ду

(5)

ортогональна ( Т е £02 ). Матрица т* определяет связанный с траекторией подвижный базис, в котором т1 является касательным вектором, а т2 - ортогональным вектором.

Основная задача управления траекторным движением механизма формулируется с помощью голономных соотношений (условий координации) декартовых координат конечного звена у^, которые должны выполнятся в процессе его движения и вводятся уравнением (3).

Следуя обычной методике анализа траекторного движения, введем в рассмотрение задачно-ориентированные координаты, представленные продольной переменной ^ (см. уравнение (4)) и ортогональным отклонением конечной точки от кривой (3):

е = Ф(у). (6)

Тогда задача управления сводится к стабилизации установившегося движения робота, при котором выполняется

е - 0. (7)

При этом возможность управления продольным движением отсутствует, что и определяет основные особенности данной задачи.

2. Анализ динамики и синтез управления

В предыдущем разделе введены отображения

М^Л

задающие преобразования координат обобщенного пространства и декартового

пространств. Дифференцируя по времени уравнение (2), можно отыскать связи декартовых и обобщенных скоростей в виде

V = И (д)ш, (8)

где V = у, Ич (д) = дк / дд. Продолжив дифференцирование, с учетом ш = И —1 (д^ после подстановки (8) найдем модель механизма в декартовом пространстве:

и

+ Р (д, V) (9)

у = V, mV = тИ (д)

0

гдеР = НИ— -ИЛ1(Ъ + с).

Рассмотрим преобразование к задачно-ориентированным координатам (4), (6). Дифференцируя (4), (6), находим уравнение

^ = Т V . (10)

е

Для у е £ матрица Якоби Т* удовлетворяет уравнению типа Френе [5]

Т *= ¿ЪЕТ *, (11)

где Ъ - кривизна кривой (3), Е = е so2. Если матрица Т* задана в форме (5), то

— 1 0

матричное уравнение (11) может быть записано в простой форме

а = ¿Ъ (11а)

Продолжив дифференцирование, с учетом (11) после подстановки (10) найдем

5 5

— 5ЪЕ

е& е

= Т *V.

(12)

Наконец, подставив (9) в (12), получим искомую модель механизма в задачно-

ориенти

рованном пространстве:

5 5 и

— 5ЪЕ = Т *{И (д) 0

е& е

Вводим в рассмот

и„

= Т *{И (д)

+—Р (у, д)}. т

зение задачно-ориентированные входные переменные

+ — Р (у, д)}, т

(13)

где - обобщенное продольное возмущение и ие - управление относительным

движением, и получаем слабосвязанные модели продольного движения и траекторных ошибок:

5 5 1

— 5ЪЕ =

е ё ие

или раздельно:

5 — ¿е = I, (14)

е + 52Ъ = ие. (15)

Для того чтобы стабилизировать решение (7), управление ие вырабатывается регулятором

Р : ие = (5)2Ъ — К,хё — Ке2е . (16)

Адекватный выбор коэффициентов усиления Ке1, Ке2 осуществляется из условия асимптотической устойчивости модели (15), что обеспечивает абсолютную точность и желаемые динамические показатели траекторного движения.

Для нахождения управляющего воздействия и и уточнения модели продольного движения из уравнения (13) найдем

T

*T

fs u

= H (q) 0

ue

+ — F(y, q), m

или

Л + Т2 ие = ^ (ч)и + — Р(У, ч) • т

Последнее выражение перепишем в виде двух скалярных уравнений:

I = (ТУ (Мч)и + -(тУПУ, ч)), (17)

т

Т * Т * Т 1 Т

\ (ч)т11 + К (ч)т2 ие = К (ч)И1(ч)и+—К (ч)рС^ ч). (18)

т

Подставляя (17) в (18), находим

1 Т 1 *

и = - КТ (ч)( МР (У, ч) - Т2 и), (19)

а т

d(ч) = (и/т*)2 - И^И, , М = I -т*(т*}Т • Тогда уравнение (17) принимает вид

I, = -(т*)Т (I+1И (ч)ИТ (ч)МР (У, ч)) - ^(т*)Т К (ч)И:Т (чКЧ (20)

т а а

Таким образом, алгоритм управления рассматриваемым механизмом включает

преобразование (19) и регулятор отклонения (16), типичный для траекторных задач

[2, 5, 9].

Уравнение продольного движения в установившемся режиме получается подстановкой (20) в (14) и при е=0 принимает вид

где

-(т*)т (I + -h (q)h (q)MF(y, q)) - - (т*)T h1 (q)h? (q)x*i2a m a d

Выражение

d(q) = (h1Tт*)2 - h1Th1 = 0 определяет границы области управляемости полученной системы.

3. Результаты моделирования

Рассмотрим задачу управления перевернутым маятником на подвижном основании (тележке, рис. 1). Уравнения такого механизма имеют вид:

1 . , 1

q =—sin q2 Л +—u,

m1 m1

1 1 sin q2 ,2 1 sin q2 ,

q2 = 7-q1 +—-q2 ---/2,

l cos q2 cos q2 lm2 cos q2

где

. , sin q2 . , .2 1

f2 = lm2 -- q2 + lm2 q2 - m2g-

cos q2 cos q2

q1 - линейное перемещение тележки (путь), q2 - угол отклонения маятника, ш1- масса тележки, ш2 - масса маятника, g - ускорение свободного падения, l - длина маятника, а положение маятника (декартовы координаты) определяется выражениями

yi = qi - sin q2l, y2 = cos q2l

Синтезирована система управления механизмом при движение маятника по прямой (рис. 2)

S : cos а у1 + sin а у2 + у0 = 0,

где а = 0.25, у/0 = -0.6 .

Рис. 2. Прямолинейное движение маятника

Регулятор отклонения (16) принимает вид: P : u = -K ,ё - K 2e,

e e 1 e 2 >

а преобразование (19) -

cos а . cos а u = qm - g~.-m2 - f2g—

m2

m,

sin а

sin a

cos q2 + . 2 kxé +--— k2e;

sin а

sin а

где

e = - sin ау1 + cos ау2 + ф0; e = - sin ау1 + cos ау2 Обобщенное продольное возмущение находится по формуле

f, =(-I - ?2

sin а

1 4

■+ 4

sin 42 f2 sin 42

I cos q2 cos q2 lm2 cos q2

Результаты моделирования системы для различных начальных положений маятника приведены на рис. 2 и показывают хорошую сходимость траекторий движения к заданной прямой, т.е. асимптотическую устойчивость траекторного движения.

Рис. 3. Круговое движение маятника

Синтезирована система управления механизмом при движении маятника по отрезку окружности (рис. 3):

S : R2 - Ду2-Лу22 = 0,

где Ayi = yi - yi , Áy2 = y2 - y2, y , y2 - координаты центра окружности, R = 2.6. Регулятор отклонения (16) принимает вид P : и = £(i)2 - K i¿ - Ke2e ,

где кривизна S определяется как £ = —;

R

e=2r-2 - Ayi2 - АУ22); e=-R(- Ayiyi- АУ2У2);

* = R (-Ay2 yi -Ayi y2 );

преобразование (i9) -

, . ,л mi .. .2 • , Ayi

и = f2 sin q2(i - —L) + qimi + q sin 42lmi--^ ue.

m2 R

Обобщенное продольное возмущение находится по формуле: R / , . / qi & 2 sin q2 f2 sin q2 Л

f = SÍn 4 )

■ + 42

Ay ^ l cos q2 cos q2 lm2 cos q2

Результаты моделирования системы для различных начальных положений маятника, приведенные на рис. 3, показывают хорошую сходимость траекторий к отрезку окружности и асимптотическую устойчивость системы.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант 99-01-00761) и Комплексной программы 19 Президиума РАН (2001, раздел 1.4)

Литература

1. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

2. Бурдаков С.Ф., Мирошник И.В., Стельмаков Р.Э. Системы управления движением колесных роботов. СПб: Наука, 2001.

3. Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследования, результаты, особенности // Автоматика и телемеханика. 1993. № 3.

4. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Шиегин В.В. Управление движением кинематически избыточных манипуляционных роботов // Изв. РАН: Теория и системы управления. 2001. №1.

5. Мирошник И.В., Фрадков А.Л., Никифоров В.О. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.

6. Espiau B., Canudas de Wit C., Urrea C. Orbital Stabilization of underactuated mechanical systems, 15 IFAC World Congress. Barselona, 2002

7. Isidori A. Nonlinear control systems. 3d edition. NY: Springer-Verlag, 1995.

8. Miroshnik I.V. Attractors and partial stability of nonlinear dynamical systems. // 5th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (N0LC0S'01). Preprints. Vol. 3. St. Petersburg, 2001, pp. 848-853.

9. Miroshnik I.V. and V.O. Nikiforov. Trajectory motion control and coordination of multilink robots. Prepr. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, vol.A, pp.361-366. (1996).

10. Murray R.M., Zexiang I.L. and Sastry S.S.A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. Boca Raton: CRC Press, 1993.