Траекторное управление кинематическими механизмами нетривиальной конструкции Текст научной статьи по специальности «Математика»

1

УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

ТРАЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ МЕХАНИЗМАМИ НЕТРИВИАЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ

И. В. Мирошник, С. А. Чепинский

Рассматривается задача управления траекторным движением простейших кинематических механизмов с двумя степенями свободы (двухзвенных роботов) с одним управляющим входом. С использованием дифференциально-геометрических методов нелинейной теории управления предложена методика анализа динамики таких систем и процедура синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих решение траек-торной задачи как задачи стабилизации относительно гладкого отрезка предписанной траектории.

Введение

Новые задачи управления сложными кинематическими механизмами обусловлены появлением робототехнических систем нетривиальной конструкции, к которым относятся роботы избыточной структуры, шагающие и многоколесные механизмы, маят-нико-подобные и гироскопические системы. Наряду с задачами управления избыточными роботами [1-2, 4, 9], для которых число управляющих входов превышает степень свободы механизма, возникают проблемы стабилизации и управления пространственным движением механизмов, у которых количество входов меньше числа степеней свободы [3, 6], т.е. недостаточно для реализации обычных режимов работы робота - стабилизации, программного или траекторного управления. Тем не менее, несмотря на ограниченные функциональные возможности таких систем, они оказываются вполне пригодными для решения целого ряда специфических задач. К последним относятся задачи стабилизации положения неуправляемого конечного звена манипуляционного робота или робота нетривиальной конструкции (типа маятника на подвижной основе, например, маятника Фуруты), задачи стабилизации центра тяжести шагающего механизма, стабилизации положения многоканальной гироскопической системы, а также соответствующие задачи поддержания их колебательных движений или траекторного управления. При этом уменьшение числа входов и, следовательно, исполнительных устройств (приводов) положительно сказывается на энергетических, массогабаритных и стоимостных показателях. С точки зрения теории управления рассматриваемый класс механических объектов может быть отнесен к не полностью управляемым многоканальным объектам, а соответствующие задачи управления - к задачам частичной стабилизации [3, 5, 8].

В статье рассматривается задача управления траекторным движением простейших кинематических механизмов с двумя степенями свободы (двухзвенных роботов) с одним управляющим входом. С использованием дифференциально-геометрических методов нелинейной теории управления [5, 7, 8] предложена методика анализа динамики таких систем и процедура синтеза алгоритмов управления, обеспечивающих решение траекторной задачи как задачи стабилизации относительно гладкого отрезка предписанной траектории.

1. Модели роботов и постановка задачи

Рассмотрим 2х-звенный кинематический механизм (робот), описываемый в пространстве Я2 (плоскости) обобщенных координат уравнением типа Лагранжа

д=а, Л(д)а + Ь( д, а) + с( д) =

(1)

где д = (¿1, ¿2) и а = (01,02)- векторы обобщенных координат и их скоростей, и -обобщенный момент. В декартовом пространстве Я положение последнего (2-го) звена характеризуется вектором декартовых координат у = (У1, у2 ) и определяется уравнением

У = Л( д), (2)

(выражение характеризуют прямую кинематику робота [1, 10]).

Рис. 1. Двухзвенный маятник

Уравнения (1)-(2) описывают манипулятор как многосвязный нелинейный объект управления с выходными переменными у(, переменными состояния ¿^, аи управляющим воздействием и .

Рассмотрим движение конечного звена двухзвенного механизма. Пусть желаемая траектория £ (гладкая кривая, см. рис.2-3) определяется выражением

Р( У) = 0, (3)

а длина пути (продольное перемещение) находится как

^ = у) . (4)

Предполагается, что функции р и у гладкие и выбраны таким образом, что при у е £ матрица Якоби

ду / ду др/ ду

(5)

ортогональна ( Т е £02 ). Матрица Т* определяет связанный с траекторией подвижный базис, в котором т1 является касательным вектором, а т2, ортогональным вектором.

Основная задача управления траекторным движением механизма формулируется с помощью голономных соотношений (условий координации) декартовых координат конечного звена у1, которые должны выполнятся в процессе его движения и вводится уравнением (3).

Следуя обычной методике анализа траекторного движения, введем в рассмотрение задачно-ориентированные координаты, представленные продольной переменной ^ (см. уравнение (4)) и ортогональным отклонением конечной точки от кривой (3):

Г

е = (р{у). (6)

Тогда задача управления сводится к стабилизации установившегося движения робота, при котором выполняется

е - 0. (7)

При этом возможность управления продольным движением отсутствует, что и определяет основные особенности данной задачи.

2. Анализ динамики и синтез управления

В предыдущем разделе введены отображения

задающие преобразования координат обобщенного пространства и декартового пространств. Дифференцируя по времени уравнение (2), можно отыскать связи декартовых и обобщенных скоростей в виде

V = Нч (ч)©, (8)

где V = у, НЧ (ч) = дк /дЧ Продолжив дифференцирование, с учетом © = НЧ после подстановки (8), найдем модель механизма в декартовом пространстве:

и

+ Р (ч, V) (9)

у = V, mV = тН (ч)

0

где Р = НН - - НА _1(Ъ + с).

Рассмотрим преобразование к задачно-ориентированным координатам (4), (6). Дифференцируя (4), (6), находим уравнение

^ = ТУ . (10)

е

Для у е £ матрица Якоби Т* удовлетворяет уравнению типа Френе [5]

Т *= &£ЕТ *, (11)

" о Г -1 о

матричное уравнение (11) может быть записано в простой форме

ос* = (11а)

Продолжив дифференцирование, с учетом (11) после подстановки (10) найдем

(12)

где кривизна кривой (3), Е =

е so2 . Если матрица Т* задана в форме (5), то

& - & = Т * V

е& е

Наконец, подставив (9) в

ориенти рованном пространстве:

& & и

- = Т *{Н (Ч) 0

е& е

+ — Р (у, ч)}. т

Вводим в рассмотрение задачно-ориентированные входные переменные

Л

ие

= Т *{Н(Ч)

+—Р (у, Ч)}, т

(13)

где /& - обобщенное продольное возмущение и ие - управление относительным движением, и получаем слабосвязанные модели продольного движения и траекторных ошибок:

s s fs

- sÇE =

è è ue

или раздельно:

- = Л, (14)

ё + = ие . (15)

Чтобы стабилизировать решение (7), управление ие вырабатываются регулятором

Р : ие = С&)2£-Ке 1ё - Ке2ё . (16)

Адекватный выбор коэффициентов усиления Ке1, Ке2 осуществляется из условия

асимптотической устойчивости модели (15), что обеспечивает абсолютную точность и желаемые динамические показатели траекторного движения.

Для нахождения управляющего воздействия и и уточнения модели продольного равнения (13) найдем

движения из у

T *

fs

uè

= H ( q)

или

+ — F ( y, q) ; m

1

т fs + T2 ue = hi( q)u+—F ( y, q) •

m

Последнее выражение перепишем в виде двух скалярных уравнений:

fs = (ТУ (hi(q)u +—(r*)TF ( y, q)), m

T * T * T 1 t

hi (q)Ti fs + hi (q)T2 ue = hi (q)hi(q)u+—hi (q)F(y, q) •

m

Подставляя (i7) в (i8), находим i t i *

u = — hi (q)(—MF(y, q) -T2 ue),

a m

(17)

(18)

(19)

где

d(q) = (h/Y*)2 - h1Th1

M = I -тЧтУ.

Тогда уравнение (17) принимает вид

Л = - (т*)т (/ +1/ (д)И1Т (д)МР (у, д)) -1 (т*)Т /»1 (дЩТ (д)тЯ (20)

та а

Таким образом, алгоритм управления рассматриваемым механизмом включает преобразование (19) и регулятор отклонения (16), типичный для траекторных задач [2, 5, 9].

Уравнения продольного движения в установившемся режиме получается подстановкой (20) в (14) и при е=0 принимает вид

, = - (т*)Т (/ +1 /1 (д)Н1 (дМ(у, д)) - ^(т* )Т /1 (д)/1Т (д)т*,2а т а а

Выражение

а(д) = (Ъ\ т* )2 - Ъ^ = 0 определяет границы области управляемости полученной системы.

2. Результаты моделирования

Рассмотрим задачу управления двухзвенным маятником (рис. 1). Синтезировано управление механизмом при движении маятника по прямой (рис. 2) S: - sin a y1 + cosa y2 +р0 = 0.

Ошибка отклонения от заданной траектории e = - sin + cosoy2 + , пройденный путь находится как

^ = cosoy1 + sinoy2 + ,

а матрица Якоби

coso sino - sino coso

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 6

Рис. 2. Прямолинейное движение маятника

г

Регулятор отклонения принимает вид

P : ue = -Ке 1е - Ke2е ,

где е = - Бтау! + соБоу 2.

Результаты моделирования системы для различных начальных положений маятника приведены на (рис. 2) и показывают хорошую сходимость траекторий движения к заданной прямой, т.е. асимптотическую устойчивость траекторного движения.

Синтезировано управление механизмом при движении неуправляемого звена маятника по отрезку окружности (рис. 3):

£: R2 -Лу2-Лу22 = 0, где Лу1 = у1 - у°, Лу2 = у2 - у0, у°, у 2 - координаты центра окружности, Я - радиус.

Рис. 3. Круговое движение маятника

Ошибка отклонения от заданной траектории

e = 2R(2 ^ ^2)'

пройденный путь

s = - R arctan Ay1

ЛУ2

Матрица Якоби определяется как

= 1 -Ay 2 АУ1

тТ = R -4У1 -Ay 2

Регулятор отклонения принимает вид

1

P : ue = £(s)2 - Ke ie - Kele,

где кривизна S определяется как £ = ,

R

e = R (-Ayi у1 -Ay2 У2 ^ S = RR (-Ay2 -Ау1У 2

Результаты моделирования системы для различных начальных положений маятника, приведенные на рис. 3, показывают хорошую сходимость траекторий к отрезку

окружности и асимптотическую устойчивость системы.

Литература

1. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуля-ционными роботами. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

2. Бурдаков С.Ф., Мирошник И.В., Стельмаков Р.Э. Системы управления движением колесных роботов. СПб: Наука, 2001.

3. Воротников В. И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследования, результаты, особенности // Автоматика и телемеханика, 1993, № 3.

4. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Шиегин В.В. Управление движением кинематически избыточных манипуляционных роботов // Изв. РАН: Теория и системы управления. 2001. №1

5. Мирошник И.В., Фрадков А.Л., Никифоров В.О. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.

6. Espiau B., Canudas de Wit C., Urrea C. Orbital Stabilization of underactuated mechanical systems // 15 IFAC World Congress. Barselona, 2002

7. Isidori A. Nonlinear control systems. 3d edition. NY: Springer-Verlag, 1995.

8. Miroshnik I.V. Attractors and partial stability of nonlinear dynamical systems. // 5th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (N0LC0S'01). Preprints. vol. 3. St. Petersburg, 2001, pp. 848-853.\\

9. Miroshnik I.V. and V.O. Nikiforov. Trajectory motion control and coordination of multilink robots. // Prepr. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, vol.A, pp.361-366. (1996).

10. Murray R.M., Zexiang I.L. and Sastry S.S.A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. Boca Raton: CRC Press, 1993.