Управление механическими системами в динамической внешней среде Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ В ДИНАМИЧЕСКОЙ ВНЕШНЕЙ СРЕДЕ К.А. Сергеев

В работе рассматриваются аспекты управления траекторным движением механических систем относительно движущихся внешних объектов. Предложен алгоритм управления, обеспечивающий стабилизацию робота относительно динамической траектории, заданной в системе координат внешнего объекта.

Введение

Современные задачи траекторного управления движением механических систем связаны со стабилизацией динамической системы относительно кривой или поверхности. Такие задачи решаются с помощью нелинейных алгоритмов управления, основанных на дифференциально-геометрических методах теории многосвязных систем. Большинство работ, посвященных траекторному управлению, решаются в стационарных условиях, т.е. осуществляется стабилизация относительно стационарной кривой (поверхности) [1-3].

В настоящее время перед разработчиками систем управления механическими системами, таких как мобильные и манипуляционные роботы различной конструкции, возникают более сложные задачи, связанные с учетом внешней среды [3-5]. Эта среда имеет различную природу и характер. Внешняя среда может иметь стационарный и динамический характер. Характерным примером стационарной внешней среды могут служить неподвижные объекты или механизмы, которые накладывают ограничение на движение управляемой системы, например, движение манипуляционного робота в ограниченном пространстве. Динамической среде свойственно наличие двигающихся механических объектов или людей. Такие задачи возникают, например, при организации движения автомобилей по трассе в потоке автотранспорта [6].

В работе рассматривается задача управления траекторным движением механических систем, представленных в виде твердых тел, в условиях, когда траектория задана в системе координат внешнего объекта, и предложена довольно простая стратегия управления, представленная ПИД-регуляторами. Для демонстрации работоспособности предложенного алгоритма управления приведен пример с результатами моделирования, иллюстрирующий возможности синтезируемой системы.

Рис. 1. Механическая система и внешний объект

Модели механической системы и внешнего объекта

Рассмотрим механическую систему и внешний объект в виде твердых тел. Положение этих объектов описывается в абсолютной декартовой системе парами у,Т(а) и у°,Т(а°), где у е Я2,у° е Я2 - вектора декартовых координат основной точки механической системы С (центр масс) и внешнего объекта С° (см. рис. 1); а, а° - ориентация механической системы и движущегося внешнего объекта в абсолютной системе координат, соответственно; Т (а), Т (а°) - ортогональные матрицы (матрицы вращения).

Матрицы Т (а), Т (а°) имеют следующий вид

Т (а) =

соБ(а) 8т(а) - 8т(а) соБ(а)

Т (а°) =

соБ(а°) 8т(а°) - 8т(а°) соБ(а°)

Движение механической системы и внешнего объекта можно описать уравнениями у = V, тТ = ТТ (а)и , а = ш, /о = иа, (1)

у ° = V °, тТ ° = 0, а° = й° , / ° <&° = 0, (2)

где т, /; т°, /° - массо-инерционные параметры объекта управления и движущегося внешнего объекта соответственно.

Относительное положение механической системы, которое описывается в подвижной системе координат г = Т(а°)(у - у °) (см. рис. 1), выражается в следующем

виде:

где Е =

г = Т(а°)(у-у°), г = Т(а°)(у -у°).

Соответствующие скоростные переменные определяются как г = ш°Ег + Т(а°)(у - у°),

г = Т(а°)(у - у °), 01

(3)

(4)

-1 0

Требуемое поведение механической системы определяется границей внешнего объекта (отрезками гладких кривых). Описание траектории движения робота в подвижной системе координат выражается в виде

Ф (г) = 0, (5)

и соответствующая локальная координата (длина пути) имеет вид

^г =У (г), (6)

где ф (г), у (г) - гладкие функции. Тогда в малой окрестности г е £ (см. рис. 1) матрица Якоби соответствует подвижному базису Френе и описывается следующим образом:

Т (аг) =

дф/д г

Ориентация платформы в относительной системе координат определяется соотношением

г = Т(а°)(у -у°),

где г = Т(а ° )(у - у ° ) - требуемая ориентация механической системы относительно движущегося внешнего объекта.

Введем в рассмотрение ортогональную и угловую ошибки, которые определяются выражениями

е =Ф( г), (7)

г = Т(а°)(у - у °).

(8)

Таким образом, можно сформулировать задачу управления траекторным движением. Необходимо найти такие управляющие воздействия иу, иа, которые

обеспечивают:

1. стабилизацию движения механической системы относительно движущегося внешнего объекта, т.е. устранение ортогонального отклонения;

2. стабилизацию желаемой ориентации управляемого твердого тела по отношению к границе внешнего объекта, т.е. устранение угловой ошибки;

3. поддержание желаемого режима продольного движения ^ = 5*) или устранения скоростной ошибки ^ = 5* (/) .

Синтез алгоритма управления

Процедура синтеза состоит из следующих этапов: переход от основной к задачно-ориентированой модели, нахождение локальных регуляторов и переход к сило-моментным управляющим воздействиям.

Прежде всего найдем скоростные соотношения. Продифференцируем выражения (6), (7) и найдем

ду/д; дф/д;

z = TT (а; ) z .

(9)

Учитывая уравнение (3), получаем

= TT (а; )(и°Ez + T(;o )(V - Vo)).

(10) (11)

Таким же образом, дифференцируя выражение (8), получим 5 = шг - р5 = ш - ш" - р5 , где 5 = ш г - р5 = ш - ш" - р5 - кривизна кривой.

Для того, чтобы найти задачно-ориентированную модель, необходимо продифференцировать по времени уравнения (10), (11). Принимая во внимание соотношения (1), (2) и (9), получим

5

- (12)

- (ps + 2ш°) E

5 + p5z2 + psz = us

s u

z = s

e u

z e

(13)

где

1

1

= T(aZ)(ш°) z +--T(Á;)uv, u5 =— u; - задачно-ориентированные управления.

m J

Следовательно, для решения задач 1), 2) выбираем регуляторы вида и = К, А 5,,

Ue = Ke1e + Ke2é + Ke3 { e dt , Ue = Ke1e + Ke2 é + Ke3 j e dt ,

(14)

(15)

(16)

где К5, Ке1, Ке2, Ке3 ищутся из условия устранения скоростной ошибки и

асимптотического выполнения уравнения (5), К51, К52, К53 выбираются из условия

устойчивости системы (13).

Тогда сило-моментные воздействия находятся в виде

u = mTT (A a)

Ua = J U5 .

f u

s

u

V e

Л

- T (az )(и° )2 z

(17)

(18)

z

z

z

z

z

u

i

u

e

Таким образом, основной алгоритм управления выражается уравнениями (17), (18) и локальными регуляторами (14)—(16). Для реализации данной стратегии управления необходимо использовать результаты измерений скоростной, ортогональной и угловой ошибок.

Пример

Рассмотрим задачу управления плоским движением механической системы относительно поступательного движения окружности с нулевой относительной ориентацией ( А а = 0). Движение механической системы и внешнего объекта описываются

уравнениями (1), (2), где а° = 0. Желаемое поведение механической системы описывается отрезком окружности, заданной в подвижной системе координат, в виде 1

у (z) = — (R1 -А z2-А z22),

2R

ф( z) = Rarctg А Zz

А z,

где А Z1 = Z1 А Z2 = Z2

Тогда задачно-ориентированная модель системы принимает вид

-1 i £ R

& 1 ••

5 +— i = u5

R z 5

Локальные алгоритмы управления выбираются в виде

Щ = КА Ь , Щ = Ке!в + Ке2е + К е3 { е Ж ,

щ = Ки5 + К52 5 + К53 |б Ж.

Тогда сило-моментные воздействия находятся в виде и„

uy = m

ur

Ua = JU5 •

0

l>

i N. •

/ \ ^^fch. t 1 - 1

//// J Pf/ v \ у

0 2 4 б S Ц

Рис. 2. Движение механической системы относительно окружности и переходные процессы

На рис. 2 представлены результаты моделирования механической системы с коэффициентами Ks = 20, Ke1 = 400, Ke2 = 40, Ke3 = 0.05, K51 = 100, K52 = 20

иK53 = 0.01. Внешний объект представлен окружностью радиуса R = 0.4 м. и движется со скоростью V° (0) = (1.3,0) м/с. На рис. 2, а показаны траектории движения механической системы с эталонной скоростью i* = (1.5,0) м/с и нулевой относительной ориентацией А a = 0. Движение из начальных положений позволяет оценить

u

z

z

i

u

z

z

e

динамические показатели качества. Переходные процессы ортогональной и угловой ошибок e (t), 5(t) и продольной скорости s (t) для движения механической системы из точки (-0.5,-0.3) представлены на рис. 2, б. Результаты моделирования показывают сходимость траекторий движения управляемого твердого тела к заданной кривой и устойчивое движение по ней, а также асимптотическое устранение ортогональной и угловой ошибок и апериодический характер переходного процесса продольной скорости.

Заключение

В работе была предложена стратегия управления движением механических систем с заданной ориентацией в динамической внешней среде. Было показано, каким образом привести модель механической системы к относительной системе координат, затем преобразовать к задачно-ориентированной (траекторной) модели и решить задачи сило-моментного управления. При синтезе сило-моментных воздействий были применены дифференциально-геометрические методы нелинейной теории управления. Приведенный пример и результаты моделирования иллюстрируют работоспособность синтезированных управляющих воздействий и достижение заданных целей управления.

Литература

1. Мирошник И.В., Фрадков А.Л., Никифоров В.О. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

2. Тертычный В.Ю. Синтез управляемых механических систем. СПб.: Политехника, 1993.

3. Бурдаков С.Ф., Мирошник И.В.Стельмаков Р.Э. Системы управления движением колесных роботов. СПб.: Наука, 2001.

4. Miroshnik I.V. and Sergeev K.A. Nonlinear control of robot spatial motion in dynamic environments // Int. IEEE conf. on Advanced Intel. Mechatronics (AIM'01). Como, 2001, Vol. 2. P. 1303-1306.

5. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами. М.: Наука, 19В5.

6. Sergeev K.A. Vehicle Planar Motion Control In Mobile Environment // Pre-prints of 8th International of Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), St-Petersburg, 2000. P.90-93.