Управление линейными системами по критерию расхода Текст научной статьи по специальности «Математика»

124

Общетехнические задачи и пути их решения

^ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЯ

УДК 531.01

Л. К. Бабаджанянц, И. Ю. Потоцкая, Ю. Ю. Пупышева

Санкт-Петербургский государственный университет

УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ПО КРИТЕРИЮ РАСХОДА

Предлагаются методы нахождения оптимального управления в виде явной функции времени в постановках, где требуется погасить одну или несколько частотных компонент решения автономной линейной системы. В качестве минимизируемого функционала рассматривается «расход топлива» на классе кусочно-постоянных управлений с конечным фиксированным числом импульсов. Сформулированные в статье теоремы позволяют найти точки переключения упомянутых управлений либо в явной форме, либо с помощью численных методов.

управление линейными системами, оптимальное по расходу управление, кусочно-постоянное управление.

Введение

Оптимизация «по расходу» естественна в тех задачах, где требуется удерживать механическую или иную систему в окрестности положения равновесия в течение длительного времени. Возмущающие факторы время от времени отклоняют эту систему недопустимо далеко от положения равновесия и каждый раз требуется гасить эти отклонения, расходуя на это топливо или другие ограниченные ресурсы. Пока отклонения от положения равновесия малы, её управляемое движение можно моделировать автономными линейными дифференциальными уравнениями с управлением.

1 Постановка задачи оптимального

управления по расходу

Предлагаемые в настоящей работе постановка и методы получены как обобщение на линейный случай произвольной размерности

результатов Л. К. Бабаджанянца, Н. И. Голубевой и В. С. Новосёлова [1, 2] для задачи о гашении колебаний около центра масс спутника с быстрозакрученным маховиком.

Рассмотрим механическую или иную модель с управлением, описываемую уравнением

dx

— = Ax + U(t) (1.1)

dt

относительно вектор-функции x(t) = (x1,..., xn) e Rn аргумента t при начальном условии

x(0) = X0, (1.2)

где x0 = ^v..^xn0) e Rn; U(t) = Ц-.-un)

e Rn ; А - постоянная матрица размерности (nxn).

Компоненты и. управления U (t) предполагаются кусочно-постоянными функциями времени с конечным числом точек переключения, последняя из которых обозначается

2014/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

125

символом T, и рассматриваются далее в следующем представлении:

2rk

щ (t)=Z (-1)'+1 (t -t;)+

'= (1.3)

2qk v '

+Z (-1)'^i'*Ha -if).

'=1

Здесь управление разбито на положительные ступени, направленные вверх, и отрицательные, направленные вниз. rk - число положительных, qk - отрицательных ступеней компоненты ик управления U, а tк и tk - моменты времени, соответствующие переключениям этих ступеней, причем все они лежат на промежутке [0, T]; h', hk - постоянные, причем hк = hk+1, hk = hk+1 при i = 1, 3, 5...; H (t) -функция Хевисайда единичного скачка:

н (t - tk)=

о,

t - tk=о, t - tf < о.

При таком управлении решение задачи (1.1) будет суммой нескольких слагаемых, отвечающим тем или иным собственным значениям матрицы A. Слагаемое, отвечающее собственному значению к, будем называть частотной компонентой решения, отвечающей этому к.

В качестве минимизируемого функционала рассматривается величина

J = ZjO 1 uk (t)l dt, (1-4)

к=1

которая называется функционалом типа «расход топлива», или просто функционалом расхода. Допустимым считается управление U вида (1.3), которое в конечный момент T обращает в ноль одну или несколько избранных частотных компонент решения. Обозначая сумму избранных компонент символом x (t), запишем это условие: x

x (T) = 0. (1.5)

Ради краткости о выполнении условия (1.5) мы будем говорить также как о гашении избранных частотных компонент решения, или просто как о гашении избранных частот.

Постановка задачи следующая: при заданном числе импульсов допустимого управления найти точки переключения этого управления (включая точку T), удовлетворяющие необходимым условиям экстремума функционала расхода (1.4).

Такую постановку нельзя считать традиционной, поэтому стоит остановиться на мотивировках, которые оправдывают её естественность и необходимость в каких-то случаях.

Задача о гашении только одной или нескольких частотных компонент может возникнуть по самому существу прикладной проблемы или в связи со сложностью гасить сразу колебания с сильно различающимися по величине частотами и т. д. В целом она является более общей задачей, чем гашение всех компонент сразу. С другой стороны, оптимальное «по расходу» управление в различных других постановках, предполагающее гашение сразу всех компонент в некоторый фиксированный момент, существует отнюдь не всегда (см., например, [3]).

Кусочно-постоянные управления в конкретных практических задачах могут быть единственно приемлемым дешевым вариантом управления. Кроме того, такие управления оказываются оптимальными при решении многих задач в различных других постановках (см., например, [3, 4]).

Для решения рассматриваемой задачи мы предлагаем несколько теорем, которые в зависимости от собственных значений матрицы A позволяют находить оптимальное по расходу топлива управление U (t) либо в явной форме, либо с помощью численных методов.

Если матрица A имеет несколько различных пар чисто мнимых или комплексных собственных значений, то соответствующие этим парам частоты можно гасить либо последовательно, либо вместе, используя для этого различные алгоритмы.

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/3

126

Общетехнические задачи и пути их решения

2 Теоремы

Представим полученные результаты в форме теорем.

Теорема 1

Пусть управляемое движение определяется задачей (1.1) и среди собственных значений матрицы A есть 2т комплексно-сопряженных некратных чисел k. = l. ± i„. , j = 1, 3, 5..., 2m - 1, (2m < n). Тогда если допустимое управление вида (1.3) обращает в нуль величину x (T) = (x(lj ± i„ j, T)) , то его точки переключения tk , tk , соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (1.4), определяются совместным решением системы граничных условий

Kj = yjo + 12 ,„2 E(lJcJk + „jcjk)F*j + 0 l + „ k=1

+ (ljCjk - „jCjk)F2j = 0;

K.+1=y* + 7-Ч ejJ -„ jcjk) F1kj -

0 l +„ k=1

1

(2.1)

(ljCjk + „ jCjk )F2 j 0

где

2rk k

Fk =Е(-1)г+1 hkH(t - tk)e~ljti cos „jtk +

i=1

2qk , ~k

+E (-1)ihkH(t - tk )e~j cos j;

i=1

2r*.

(2.2)

F2k = E(-1)г+1 hkH(t - tk )e~ljti sin „/f +

i=1

2qk , -k

+ E (-1)ih-ikH(t - ~-k )e-ljti sin „ .tk

i=1

j i ’

и необходимых условий оптимальности

E jcjk + ^j+1cjk) cos „jtk ]e Ji +

j=1

2m-1 r -a tk

+ E [(^jcjk- ^j+1cjk) sin „jtki ]e j i_ = -1;

j=1

E [(^jcjk +^j+1cjk)cos „j-k ]e a/i +

(2.3)

j=1 2 m-1

+ E [(^Jcjk-^j+1cJk)sin „j-k ]e

a -t-

Ji =1.

j=1

Теорема 2

Пусть управляемое движение определяется задачей (1.1), а k12 = l ± i„ - пара коплексно-сопряженных некратных собственных значений матрицы A. Тогда если допустимое управление вида (1.3) обращает в нуль величину x(T) = (x(l + i„, T), x(l - i„, T)), то его точки переключения tk, tk, соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (1.4), определяются следующими формулами:

A = „tk+9k; тk =„-k+9k; (2-4)

k i “~k j

Bk = e~vl‘ sin Tk; - Bk = e~vl‘ sin тk; (2.5)

sin 9k = ±(< k + mcj,k )q_1 |c1, J 1;

- ,-1 (2-6)

FBk = Sk; Sk = +e Vkq |cl,k j ’

K1 = У10 ± („ - ml )(l 2 + „2 )-1 q-1 x

n , , (2.7)

xEeV<PkQk c1,k =0,

k=1

где v = l / „; q = V 1 + m2 ; m = (yj0„ - y10l) x

x (yj,0l+y1,0 „);

2k k

Qkk =E(-1)i+1 hkH(T-Tk)e~VTi x

i=1

2qk k

x cos Tk + E (-1)' hkH(т-тk )e”v-i cos тk.

i =1

Из уравнений (2.5) и (2.7) мы можем численно найти B, и все значения tk, tk и, зная их, по формулам (2.4) и (2.6) получить искомые значения tk, -k и множители Лагранжа

V

Теорема 3

Пусть управляемое движение определяется задачей (1.1), а k = l - вещественное собственное значение матрицы A. Допустимое управление вида (1.3), обращающее в нуль величину x(T) = (x(l, T)) и удовлетворяющее необходимым условиям экстремума функционала (1.4), состоит не более чем из одной ступени - либо

2014/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

127

положительной, либо отрицательной. Моментом включения этой ступени является момент t = 0, а момент выключения переключения t2 (либо t2) определяется формулами

7 = - 1ln (У01 [% zI=ih п

^2 = - yln f - У01 [ % Z П=1 h П

(2.8)

Теорема 4

Пусть управляемое движение определяется задачей (1.1), а k12 = l ± гц — пара мнимых некратных собственных значений матрицы А. Тогда если допустимое управление вида (1.3) обращает в нуль величину x(T) = (х(гц, T), х(-гц, T)), то его точки переключения tk, tk, соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (1.4), определяются следующими формулами:

tk = t k ± ц 1п±2ц 1nl;

-1.

ti = t+2 ± 2ц 1п± 2ц 1nl;

-1

(2.9)

t1 tk Ak; t2 tk + Ak;

, -1 t (y1,0c1,k - y1,0c1,k) ,

tk = ц arctg ,’ ,’---------+ nmk;

(J1,0c1,k + A0cu )

(2.10)

Замечание

Величина 2Ak - это ширина ступени управления uk, а tk - ее средний момент. Из уравнения (2.12) можно найти множитель Лагранжа X и, воспользовавшись формулами (2.10), (2.11) при каждом k, вычислить точки переключения t1k , t2k , что дает возможность найти все остальные точки переключения управления при этом k по формулам (2.9).

Теоремы не содержат условий существования точек переключения управлений, определяемых этими формулами и/или уравнениями. Такие вопросы должны прорабатываться при написании соответствующих вычислительных алгоритмов и программ.

3 Алгоритмы гашения

Для доказательства представленных теорем приведем алгоритмы гашения различных частот в зависимости от типа собственных значений матрицы A. Будем рассматривать случай гашения одной избранной частотной составляющей решения системы (1.1).

3.1 Случай комплексных собственных значений

A k = ц 1 arcsin х

(y120 + y*02 )(4 + %)- y120

1X1 ^(у10 + yi02 )(c12k + cik)

+ 2nl;

(2.11)

(y120 + yl02)X1 =

2 n m f rk , qk ~ ,Л

= --Z°mk zk+Zhk

ц k=1 ^ i=1 i=1 j

,2 i2 ,2 i2 2 ,2

Xj(У10 + У10 )(c1k + c1k)X 1 - У10

(2.12)

где ^7 =(-1)mk sign Cy1,0ci*,k- ;l e z;

mk = 0, 1, ...

Сначала рассмотрим наиболее общий из трех возможных случай, доказывающий теорему 2. Пусть среди собственных значений матрицы A системы (1.1) есть пара комплексно-сопряженных k12 = l ± цг, причем соответствующая этой паре подматрица жордановой формы диагональна.

Поставленную в п. 1 задачу решим в несколько шагов.

ШАГ 1. Разделим задачу (1.1), (1.2) на две задачи Коши, чтобы далее можно было ограничиться рассмотрением только одной из них. Для этого в задаче Коши (1.1), (1.2) произведем линейную замену:

x = Bt, (3.1)

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/3

128

Общетехнические задачи и пути их решения

где B - неособая матрица, а £, = (y,z) = (y1, У 2, Zi,..., z„-2) = (£lv..,£ n ). Постоянную матрицу B можно подобрать так, чтобы

B_1 AB =

( Y V 0

( l + /ц

V0

0 л

l - /ц)

а Z - некоторая (n - 2)x(n - 2) матрица. Тогда уравнение (1.1) и условия (1.2) перейдут в следующие:

У = Yy + V; У (0) = У0; (3.2)

Z = Zz + W; z(0) = Zn (3.3)

где y0 = Cx0; Z0 = CzX0 = (Z10,..., Zn-20)’

V = CU = (V1, V2);

W = CzU = ^..^ Wn-20);

(V ,W) = B ~lU;

( c cn C 3 1n ; Cz = C31 c 3 3n

V c2n •• C2n ) V Cn1 • * • Cnn )

Далее достаточно ограничиться решением задачи (3.2).

ШАГ 2. Выпишем решение задачи (3.2) с учетом структуры управления (1.3).

Согласно структуре матрицы Y, система (3.2) состоит из двух линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

у =(l+/Ц) У1+v1(t); У2 = (l - /ц)У2 + V2(');

где v1(') = Z c1kuk(t); V2(') = Z c2kuk(t)

k=1 k=1

с начальными условиями

У1(0) = У10 = Z c1kxk0; У2(0) = у20 = Zc:

2 k^k.

k=1

k=1

0

По формуле Коши решение этой системы имеет вид

y = yh ev>' + ev+'ц>' J0 v1(x)e_<l +'ц)1 d т;

У = У, e"-""' + e-/ц >' Ю v2(T)e-«l-^>TdT.

Используя показательную форму комплексного числа, перепишем это решение следующим образом:

У1 = (У10 + J0V1 (т)е т (cos ц т - i sin ц T)dт) х xel' (cos ц' + i sin ц');

y2 = (У2й + j0V2 (т)е_ т (cos ц т + i sin ц T)d т) х xel' (cos ц' - i sin ц').

Далее, учитывая при вычислении интегралов структуру управления (1.3) и то, что H(' -'k) = 0, H(' -t.k) = 0 при ' < 'k , ' < t.k , получим решение задачи (3.2) в виде

I l -ц/

У1= 1 У10 +-^—2

. ,2 + 2 Z C1k F1l - ^

l +ц k=1

х e cos ц' + . l -ц/

l +ц k=1

l - ц/

+ 1iy10 + Z c1k

F1k - iF2k

(3.4)

х e"sin ц' - . г~ 2 Z c1kuk;

l +ц k=1

I l + ц/ n

У2= 1 У20 +-^-2-Z C2k

0 ;2 2

l +ц k=1

l'

F1k + iF2k

iy20 +.

x e cos ц' -l + ц/ ^ ^ k

j2 . 2

l +ц k=

Z F1‘ + F

l^ ^ l + ц/

xe sinц'--2----2Zc21kuk,

7 2 i 2

l +ц k=1

2014/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

129

где

2rk

F = Z(-1 Г1 hkH (t - tk )в~‘4 х

i=1

х cos p.tk +

Mk _k

+Z (-1У hkH(t - tik )e~u‘ cos ^tik;

i=1 2 (3-5)

2rk

F2k = Z(-1 )i+1 hkH(t - tk )e~Itk х

i=1

х sin ^tk +

24k k

+ Z (-1 yhfH(t - tk )e~Ui sin yjk.

i =1

ШАГ 3. Запишем граничные условия (1.5) и функционал (1.4) явно через точки переключения.

Чтобы решить поставленную задачу гашения колебания частоты ц (т. е. чтобы выполнялось условие (1.5) х(Т) = 0), мы должны потребовать, чтобы все выражения в фигурных скобках в формулах (3.4) были равны нулю после того, как отработают все двигатели, т. е.

для t > t2rk , t > t2qk ■

собой пару комплексно-сопряженных чисел, и чтобы они были равны нулю, достаточно, чтобы в ноль обращались их действительные и мнимые части. Таким образом, из формул (3.6) вытекают следующие граничные условия:

1 ”. *

K1 = y10 + 72 2 Z (1c1 k + ) F1k +

I + ц k=1

+ (ic1k - M-C1k )F2 = 0;

K2 = У*0 + ,2 1 2 Z(/4 - ЦС1 k)Fl -

i + Ц k=1

- (ic1 k + )F2 = 0

(3.8)

С учетом структуры управления (1.3) запишем функционал (1.4):

П

J = z

k=1

2rk 2qk

Z (-1)'hftf +z ww

i=1 i=1

(3.9)

Будем решать задачу минимизации функционала (3.9) при выполнении граничных условий (3.8).

ШАГ 4. Вводя множители Лагранжа А и А2, переходим к задаче на безусловный минимум относительно функционала R:

I y +1___2С

Г1" + i2 +ц2 2 %

[ i + ц А

У2о + -0—2 2 C1k [ i +Ц k=1

F1k - iF2k F1k + iF2k

= 0,

(3.6)

= 0.

Разделим начальные данные y1 , y2 и ко-

10 20

эффициенты матрицы C на действительные и мнимые части:

Д = Д> + ^

У20 = ^ + %0; c1k = c1k + c1k;

С2k = c2k + С2k.

(3.7)

После подстановки формул (3.7) в выражения (3.6) видно, что последние представляют

R = J + Х1К1 + Х2 K2. (3.10)

Функционал R - функция числовых параметров А^, А2 - множителей Лагранжа и tk , tk - точек переключения управления, поэтому можно выписать необходимые условия оптимальности управления:

22=0,22=0, =0,22=0.

dtk dtk дх, дх2

(3.11)

Из первых двух равенств

(Х1С1 k +Х2C1k )c0s +

+ (Х1% -х2c1 k)sin Fti = -еЧ;

(Х1С1 k +Х2C*k )c0s +

+ (Х1С*k -Х 2С1 k )sin = eH .

(3.12)

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/3

130

Общетехнические задачи и пути их решения

Формулы (3.12) можно переписать в следующем виде:

где

±у] (А,;2 + X2)(% + %) х

k

х sin(pi + ф,) = -e 1 ;

±V (Xi2 + x 2 )(cik + cik)х

х ^(p-^ + 9k) = e

lit

2rh

Qk = EH) hkH (T-Tk )е1 X

l=1

, 2qk . * , -v=k ,

х cos Tk + E (-1)1 hkH(t — Tk )e l cos Tk;

=1

(3.13)

i+1 лk^/ _k\ -vTk., (3.19)

Pf = EH) hkH (т-Tk )e l х

i =1

2qk -k

х sin Tk + E (-1)1 hkH (t - Tk )e VTl sin Tk.

где cos ф,

sin Ф,

X1C1k X 2C1k

(3.14)

X1C1k + X 2C:

1k

Из формул (3.17) следует, что

-г» -VTk k -VTk

Bk = e l sin t, ; - Bk = e l sin т,.

(3.20)

±V (x2+x 2)(c12k+%)

Примем следующие обозначения:

Tk = o6k+ф,;Tk = +ф,;V =l/ 7; (3.15)

Учитывая выражения (3.20), граничные условия (3.18) перепишем в виде

1

K = Л„ ±^ Z^Q

„-V*k

Bf = +

V(x2+X 2)(c1k+c1k?)

. (3.16)

Теперь уравнения (3.13) можно представить так:

sinTk = Bkev%i ; sinTk = -Bkev%i . (3.17)

Граничные условия (3.8) в обозначениях (3.15), (3.16) в зависимости от знака Bf будут следующими:

10 “ l2 + p2 f=1 (lc1 k + Pc*k )cos Ф, -

- (lc1k - Pc1 k )sin Ф,. 1

= 0;

K2 = Т* ±-^ E^Qk х (3.21)

0 l2 + p2 k=1

(lc*k - Pc1 k )cos Ф, + + (lc1 k + P% )sin Ф,

= 0.

K1 = 4 ± Ee

l + 7 k=1

VФk

+

^^(lc1 k + Oc1*k )(Qk cos Ф, + Pk sin Ф,)

+(lc*k- oc1 k)(Pkcos Ф,- Qksin Ф,) ] = 0; 1

Чтобы представить граничные условия (3.21) как функции от Tk, Tk, А^, А2, используем выражения (3.14) для cos9f и этф,:

к у1 ±---V~X 2l х

1 10 (l2 + р2)^ X2 +X2

(3.18)

х]EeVфkQn/C;k7C*Г = 0;

K2 = Л) ± 72+72 Ee

l +р f=1

^k

k=1

х[(14 -7c1 k)(Qk cosФ, + Pk sinФ,)-

- (lc1 k + 7c*k)(p cos Ф, - Qk sin Ф,)] = °>

к = ± X1l + X2Q х

K 2 Ai ± 2 2 П-----2 х

0 (l2+p2)^x2+x22

(3.22)

= 0.

k=1

2r

х

х

2014/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

131

Отсюда следует, что

X2= лЛ,; m = У‘,°Ц У!%1. (3.23)

Ч1 + У, ^

Для нахождения угла ф» подставим полученное соотношение (3.23) в выражение для sin9k (3.14):

' *

. c,k + mcik ,Л Л..

sin Ф» =—Г^===Г • (3-24) W(1 + m )(c,2k + %2)

Таким образом, угол ф можно найти из начальных данных задачи. Зависимость В» от выражается следующим образом:

3.2 Случай вещественных собственных значений

Для доказательства теоремы 3 предположим, что среди собственных чисел матрицы A есть вещественное /, причем это значение не является кратным. Поставленную в п. 1 задачу для этого случая решим, следуя изложенному выше алгоритму, в несколько шагов.

ШАГ 1. Делая линейную замену (3.1) и разделяя задачу (1.1), (1.2) на две задачи Коши, получаем необходимую к решению задачу (3.2) в виде

y = Yy + v y(0) = Уo, Y = (/X y0 = Cxo, v = CU, C = (cn ...c^). ( . 7)

Bk~ k-

= AL. о = x

Л ; ок +

-Уфк

X1 V(1+m 2)(c1k+42)

(3.25)

e

ШАГИ 2, 3. Граничное условие (3.8) в данном случае имеет вид

Принимая во внимание формулу (3.23), можно увидеть, что достаточно потребовать выполнения всего лишь одного из граничных условий (3.22), которое с учетом (3.23) будет выглядеть так: где У0 = Zc1A0;

K = У0 +-Ъ^к =0;

(3.28)

K = y + v-ml

1 10 (/2+ц2>я7m?

+<k=0.

k=1

(3.26)

Fk

2rk

X(-1)'+1 h»H (t -1» )e

-itf

i=1

+

4k -k

+ Z (-1) hkH(t - ~-k )e~lti .

i =1

(3.29)

Из уравнений (3.17) и (3.26) мы можем численно найти В, и все значения т», т» и, зная их, по формулам (3.15), (3.25) и (3.23) получить искомые значения tk , tk и множители Лагранжа.

Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 1 следует из формул (3.5), (3.8) и (3.12) приведенного алгоритма.

Ниже приводятся два частных варианта рассмотренного выше случая, доказывающие теоремы 3, 4 и позволяющие получить явные формулы для точек переключения искомого управления.

Формула (3.9) описывает функционал качества J как явную функцию точек переключения. Далее будем решать задачу минимизации функционала (3.9) при выполнении граничного условия (3.28).

ШАГ 4. Переходя к задаче на безусловный минимум, из первых двух необходимых условий оптимальности управления (2.11) для функционала R получаем:

1 + Xc1ke~ltk =0, 1 -Xc1ke"l-k =0. (3.30)

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/3

132

Общетехнические задачи и пути их решения

Отсюда следует, что

e~ut = -1/Xclk; e~lik = 1/Xclk. (3.31)

Очевидно, что оба равенства (3.31) не могут выполняться одновременно. Из этого можно сделать вывод, что включаются либо только положительные импульсы, либо только отрицательные.

Рассмотрим первый вариант, т. е. предположим, что включаются только положительные импульсы. В этом случае выполняется первое из равенств (3.31). Подставляя его в граничное условие (3.28), мы видим, что существует только одна точка переключения, которая, очевидно, является точкой выключения импульса управления. Точкой же включения управления является момент времени t = 0. Тогда из (3.28) следует, что

ь = -(У0)-1E h,

k=1

а с учетом этого из (3.31) получаем формулу (2.8) для нахождения t2k.

Аналогично для случая, когда включаются только отрицательные импульсы, получим для множителя Лагранжа то же выражение. Учитывая это, находим из (3.31) точку выключения отрицательного импульса.

(Vi*k -Ь2c1 k )sin +

+ (V1 k +Ь2 c*k)cos ptk =-1;

(V1k -Ь 2c1 k)sin +

+ (V1 k + Ь2% )cos 1

(3.32)

Отсюда следует, что

tk = tk ±n / p± 2nl / p;

tki = t,k_2 ± 2n / p ± 2nl / p; l e Z.

(3.33)

Учитывая это, последние два равенства

(3.11)

, 1 n

K1 = л, +~Thk (rk+qk) x

0 p k=1

x [c*k (cos ptf - cos pt2) --c1 k (sin pt1k - sin pt2) = 0;

* 1 n

K2 = a, —Eh (rk + qk) x

0 p k=1

X [c1 k (cos ptf - cos ptk ) + + c* (sin pt1k - sin ptk ) = 0.

(3.34)

Здесь t1k - момент первого включения компоненты управления для k-й координаты, t2; -момент её первого выключения. Введем обозначения: 2Ak - ширина ступени управления uk; tk - ее средний момент, т. е.

3.3 Случай чисто мнимых собственных значений

Теперь для доказательства теоремы 4 предположим, что вещественная часть комплексносопряженных собственных чисел k матрицы A, рассмотренных в п. 3.1, равна нулю, т. е. l = 0. Тогда k12 = ±ip - чисто мнимые собственные значения. Этой паре соответствует колебание частоты p. Для оптимального по «расходу» гашения этой частоты приведенный алгоритм позволяет найти точки переключения управления U (t) в явном виде.

Проделав, согласно предложенному в п. 3.1 алгоритму, шаги 1-3, на шаге 4 получаем формулы (3.12) в следующем виде:

t1 tk Ak; t2 tk + Ak• (3.35)

Тогда из (3.9) и (3.34) получаем функционал и граничные условия:

n f rk , qk M = 22 Ehk + »*

k=1 ^ i=1 n

Ak; (3.36)

L1 = A + “E

p k=1

i=1

\

k qk

Ehk+Ehk

i=1

i=1

x (c1ksin ptk+c1 kcos ptk) sin pa k =0;

n f ru qu \

L2 = y* --E

p k=1

rk qk

Ehk +Eh

i=1

i=1

j

(3.37)

x (c1 k sin ptk - c*k cos ptk) sin pak = 0

2014/3

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

133

Величины M, L , L2 - функции числовых параметров tk и А , поэтому исходная задача оптимизации свелась к задаче безусловной минимизации функции S = M + AL + A2L2 по всем переменным tk, Ak, А^, А2.

Приравнивая нулю производные S по tk и Ак, получим:

[(X1C1k -X2C1k)sin №k + (X1C1k + X2C1k) X

X cos цtk ] cos цА k = -1; (3 38)

[(X1C1k + X2C1k ) Sin M'tk — (X1C1k — X2C1k ) X

x cos ^k ] sin цА k = 0.

Таким образом, величины tk, Ak и Ар А2 должны быть найдены из уравнений (3.37), (3.38).

ШАГ 5. Представим cos^k, cosцАk, sin^k, sinцАk как функции от Ар А2. Для этого перепишем уравнения (3.38) в виде:

(bksin ц^ + akcos ц^) cos цАk = -1; (3 39) (aksin ц^- bkcos ц^) sin цА k = °;

где

ak = X1C1k + X2C1k» bk = X1C1k - X2C1k • (3-40)

Возможны два варианта решения системы (3.39):

1) sinцАk = 0 ^ cosцАk = ±1. Это означает либо отсутствие управления (Ak = 0), либо, в силу (3.33), его непрерывность (Ak = п/ц), т. е. отсутствие переключений. Тогда формулы для определения sin^k и cosцtk атедующие:

sin Цtk

cos Цtk

+bk+ak\Iak+bl -1.

<+к

+ak ± bk\jak + bk 1 .

(3.41)

a2k + b2k

2) s^Ak Ф 0, тогда cosцАk = ak Ф 0, а sinцtk и cos^k представляются формулами

sin

cos Цtk

-bk .

ak (ak + bk ) -ak .

a k (ak+bk2)’

(3.42)

sin цА k = >A -a k =

cos цА k = a k =

ak+bk-1. a2 + bk ’

1

2 . u 2 ■ ak + bk

(3.43)

ШАГ 6. При подстановке формул (3.42), (3.43) в граничные условия (3.37) мы находим соотношения для А и А2:

X 2

*

Уи

(3.44)

Из второго уравнения (3.39) в зависимости от промежутка начала управления однозначно определяется величина tk:

Цtk = bk / ak ^

b

^ tk = ц-1агС^ — + %mk; mk е Z.

ak

Тогда

sin Цtk

; cos ц^

Знак перед корнем зависит от выбора момента начала управления, т. е. от значения mk: если mk четное, то s^Ak > 0, иначе s^Ak < 0.

Принимая во внимание соотношение (3.44) и (3.38), получаем

tg Цtk

(y1,0C1,k y1,0C1,k ) .

(y1,0C1,k + y*,0c*,k У

sinцtk

У10 C1k

■У10 C1k

a

' \J( y120 + yi02)(C12k + C1k)

(3.45)

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/3

134

Общетехнические задачи и пути их решения

cos цtk

Д, cik + Д %

а

yj( yi20 + yi02)(ci2k + c1k)

где ъткк = (-1)mk sign(Д,дk - До<k) ; mk = 0 1,...

Из первого уравнения (3.39) cosцЛk = = -1/ (bk sinц^ + ak cos|utk). Согласно (3.33), 2pAk < п, следовательно, cospAk > 0, sinpAk > 0. С учетом (3.43) и (3.44) запишем:

cos ЦЛ k

mk

акУ1

0

\ к 1^/( д+*№+%2)

sin цЛ k

(3.46)

7К12 ( у10 + Д2 )(c12k + c*2) - y10

\ К1 \ д/(y120 + д2 )(c1k + c1Jt)

Подставляя (3.45), (3.46) в граничные условия (3.37), получаем уравнение для нахождения А,1 (2.12).

Таким образом, управление колебательным движением системы n-го порядка с помощью ступенчатой управляющей функции представляет собой периодический процесс, где для каждой из составляющих управления ык через половину периода колебаний рассматриваемой частоты чередуются положительные и отрицательные ступени, длительность которых определяется формулами (3.46), а моменты включений управления - формулами (3.35) и (3.45). Количество этих ступеней (rk + qk) зависит от времени, отведенного для решения задачи гашения. При увеличении времени гашения t возрастает число ступеней управления ((rk + qk) ^ да), уменьшается ширина ступени (Ak ^ 0), что влечет за собой уменьшение функционала M, т. е. теоретически оптимальным по расходу топлива без ограничения времени оказывается импульсный режим. Реальный режим будет тем ближе к идеальному теоретическому, чем меньше величина ступени управления 2Ak.

Заключение

Сформулированные в статье теоремы позволяют найти оптимальное по «расходу» управление в виде явной функции времени в постановках, где требуется погасить одну или несколько частотных компонент решений линейной системы с постоянными коэффициентами. Предлагаемые здесь результаты, основанные на работах [5, 6], могут теперь применяться не только в механике управляемого движения, но и в любой задаче, которую можно описать автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с управлением.

Библиографический список

1. Оптимальное демпфирование быстрых линейных колебаний стационарного ИСЗ с маховиком / Л. К. Бабаджанянц, Н. И. Голубева, В. С. Новосёлов // Проблемы механики управляемого движения. - Вып. 3. - Пермь. - 1973. - С. 18-25.

2. Энергетически оптимальное демпфирование свободных боковых колебаний стационарного ИСЗ с маховиком / Л. К. Бабаджанянц, Н. И. Голубева, В. С. Новосёлов // Проблемы механики управляемого движения. - Вып. 3. - Пермь. - 1973. - С. 2632.

3. Оптимальное управление / М. Атанс, П. Фалб. - Москва : Машиностроение, 1968. -764 с.

4. Математическая теория оптимальных про цес сов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. - Москва : Наука ; Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1983. - 392 с.

5. Управление по критерию расхода в механических системах / Л. К. Бабаджанянц, И. Ю. Потоцкая. - Санкт-Петербург : СПбГУ, 2003. - 137 с. -[Электронный ресурс]. - URL : http://www.apmath. spbu.ru/ru/staff/babadzhanyants/publ/publ2.pdf.

6. Управление вращением спутника по критерию расхода / Л. К. Бабаджанянц, И. Ю. Потоцкая, Ю. Ю. Пупышева // Устойчивость и процессы управления : сб. тр. междунар. конф. - Т. 2. -Санкт-Петербург : СПбГУ ; НИИ ВМ и ПУ ; ВВМ, 2005.-C. 554-567.

2014/3

Proceedings of Petersburg Transport University