CC BY
16
SOME ASPECTS OF THE DEVELOPMENT AND IMPLEMENTA TION OF ALGORITHMS TO DETERMINE THE RELATIONSHIP OF THE SHAV-ROLLER GEOMETRIC PARAMETERS AND THE SPUR GEAR WITH CIRCULAR TOOTH
A.A. Malikov, A. V. Sidorkin, S.L. Rakhmetov
The article describes the algorithms of calculation and synthesis of machine gearing shav-roller with the spur gear with circular tooth to determine the rational diameter of the tool in respect to the machining gear diameter. The areas of effective existence of over - and pre-pole engagement are revealed.
Key words: shav-roller, gear treatment, arc teeth, spur gear, the diameter of the vertices, the radius of tooth curvature, out-polar gearing.
Malikov Andrey Andreevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, andrej-malikov@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Sidorkin Andrey Victrovich, candidate of technical sciences, docent, alan-a@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Rakhmetov Stanislav Lvovich, postgraduate, rakhmetov_s@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 681.5.011
УПРАВЛЕНИЕ КАСКАДНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ВИРТУАЛЬНЫМ НАСТРАИВАЕМЫМ СКОЛЬЗЯЩИМ РЕЖИМОМ
Ю.И. Мышляев, Нгуен Ти Тхань, А.В. Финошин
Рассматривается методика адаптивного управления каскадными системами на основе метода скоростного биградиента и интегрального виртуального управления. С целью повышения качества управления предлагается расширение размерности выходного каскада за счет добавления интегратора. Вводится желаемая динамика достижения цели управления и формируется виртуальное управление по отклонению от желаемого многообразия. Приводятся пример и результаты компьютерного моделирования.
Ключевые слова: интегральное виртуальное управление, метод скоростного биградиента, линейная каскадная система, адаптивное управление, функция Ляпунова.
В работе рассматривается методика адаптивного управления двух-каскадными системами. Целью управления является обеспечение ограниченности траекторий замкнутой системы и обеспечение желаемой динамики конечного каскада в условиях параметрической неопределённости. Предлагаемый подход представляет собой модификацию метода скоростного биградиента (МСБГ) [1, 2] путём расширения размерности выходного
57
каскада за счёт добавления интегратора для расширенного выходного каскада. Вводится информационный выход, который можно трактовать как способ задания желаемой динамики ошибки слежения. Синтез виртуального настраиваемого управления, обеспечивающего стремление информационного выхода к нулю, близок по идеям к адаптивному управлению с неявной эталонной моделью А.Л. Фрадкова [3]. Однако в данной работе предлагается расширение размерности выходного каскада и применяется каскадный синтез.
Идея расширения размерности динамики системы за счёт интегратора с целью обеспечения гладкости релейного управления лежит в основе методики скользящих режимов высших порядков. В отличие от работ Мишакова В.В., Мышляева Ю.И. [4] и A. Levant [5, 6], предлагается расширение размерности не входного, а выходного каскада. Использование скользящих режимов позволяет обеспечить робастные свойства и достижение обобщенной динамикой ошибки нуля за конечное время. Из-за введения интегратора виртуальное управление остается гладким.
Методика синтеза управления состоит из четырёх этапов. На первом этапе проводится расширение размерности выходного каскада путём добавления интегратора, формируется информационный выход в виде линейной комбинации ошибки слежения и её производных таким образом, чтобы из стремления к нулю информационного выхода следовало достижение цели управления. Из выражения для информационного выхода выражается «идеальное» желаемое виртуальное управление выходным каскадом, при котором информационный выход равен нулю, в предположении, что параметры объекта известны. Показывается, что информационный выход может быть представлен в форме невязки между виртуальным управлением выходным каскадом и желаемым виртуальным управлением. На втором этапе синтезируется контур адаптации неизвестных параметров желаемого виртуального управления. На третьем этапе синтезируется вход расширенного выходного каскада, обеспечивающий стремление к нулю информационного выхода за конечное время. На четвертом этапе синтезируется управление замкнутой системой, обеспечивающей стремление невязки между выходом входного каскада и виртуальным управлением выходным каскадом.
Постановка задачи
Рассмотрим линейный каскадный объект управления (ОУ):
S1: X1 = A11 (%)Х1 + а12 (%)^ (!) S2 : X2 = aL (% ) X1 + a22 (% ) X2 + b (% ) U, (2)
где x1 =(x11 ••• x1n) e Rn - вектор состояния выходного каскада S1, x2 e R1 - фазовая координата входного каскада S2, u e R1 - управление,
( 0 T ^ T
An (%) = И-1 , a12 (%) = (0 ^ о an ) , ал (%) - вектор (1x n),
V an1 L ann )
a22 (£), b (£) - скаляры, известны signb(£), signап (£), £ е S - множество
неизвестных вариантов параметров ОУ. Предполагается управляемость ОУ (1), (2) при е S.
Целью управления (ЦУ) является ограниченность всех траекторий замкнутой системы и достижение предельного соотношения:
e ® 0 при t ® ¥, (3)
где e = ( e1 ••• )T = x1 - x* - вектор ошибки слежения,
xi = (Хл ^ х*) е Rn - желаемая траектория для выходного каскада, заданная эталонной моделью по состоянию конечного каскада (ЭМ) в форме Фробениуса
• * _ А * К
x i — + b*r,
или в форме «вход-выход»
g (p) Х1*1 = gor , (4)
где r - гладкая, ограниченная вместе со своей производной функция,
' о in-11
- гурвицевая матрица с заданным расположением
"g0 " ' — gn-1)
собственных чисел, b* — (0 ••• g0) , p — d/dt - оператор дифференцирования, g (p) — pn + gn—1 pn—1 +-----+ g0 - гурвицевый многочлен.
Методика синтеза
Введем виртуальное управление X2virt конечным каскадом и отклонение реального входа конечного каскада x2 от виртуального управления
^^^ —
х2у1й
а = х2 - х2У1Г1 • (5)
Этап 1. Синтез «идеального» желаемого виртуального управления. Синтезируем «идеальное» желаемое виртуальное управление выходным каскадом в предположении, что все параметры известны и система находится в многообразии а° 0.
Добавим к выходному каскаду интегратор, обеспечивая повышение астатизма и гладкость виртуального управления. Расширенный выходной каскад (1) примет вид
х 1 = А11Й )х1 + а12 Й )(х2У1Г1 + (6)
Х2У1Г1 = V (7)
где V - новый синтезируемый вход для расширенного конечного каскада.
Относительная степень р подсистемы (6), (7) от нового входа V к х11 равна р = п +1. Рассмотрим задачу синтеза нового входа V. Введём новый информационный выход уы в виде комбинации ошибки слежения е1 и её производных
Ум = Я (Р) ^ (8)
*
где e -xn xn .
Очевидно, что из yinf ® 0 при t ® ¥ и гурвицевости многочлена g (p) следует достижение ЦУ (3). Из (8) с учётом (4) получаем
Ум - g(Р)(xii -)- g(P)xii - g0r - (9)
— (n) + (n i) + + _
— xii + gn_iXii + + g0 Xii g0r.
Представим равенство (9) в форме
Ум - gTxi _ gor + an X2virt, (i0)
где g -(go + ani gi + an2 ... gn_i + ann )T.
Рассмотрим многообразие yinf ° 0 и определим действующее на нём «идеальное» желаемое виртуальное управление
X*virt (^0* ) - _an-igTXi + a_lg0Г - _(öl )T Xi + Cir - _0Tf, (i i)
* / * * \T // *чТ * \
где 0* -(ö* ... ön) , 0* -((0*) ön+i ) - вектор «идеальных» парамет-
^ 1 / \ jjj / \ T
ров ретулягор^ ö* - an (g._i + ani), i -1, n, qn+i - < go, f - (_r ) .
С другой стороны, из уравнения (i0) выразим *2virt - a_ (yinf _ gTxi + g0r). Вычислим невязку
—* _i / T \ / _i T _i \ _i
X2virt _ X2virt - an (Ум _ g Xi + g0r) _ (_an g Xi + an g0r) - an Ущ£ .
Таким образом, yinf представимо в виде
yinf - an ( x2virt _ X2virt ) . (i2)
Замечание i. Из выражения (i2) видно, что сходимость информационного выхода y зависит от сходимости невязки (x2virt _ x2*virt), поэтому, в дальнейшем рассмотрим информационный выход в форме
Уinf - x2virt _ X2virt . (i3)
Этап 2. Синтез алгоритма адаптации.
Заменим в (ii) и (i3) неизвестные параметры 0* настраиваемыми 0 -(0T ön+i )T так, что
Xzvirt -_0TXi + ön+iT - _0Tf. (i4)
Уinf - x2virt _ x2virt . (i5)
Возможны два подхода к синтезу алгоритма адаптации параметров 0. Первый подход - непрямое адаптивное управление - включает в себя введение настраиваемой модели выходного каскада с адаптацией парамет-
60
ров каскада ап1 и ап. Вторичные параметры 0 вычисляются на основе оценок параметров выходного каскада и коэффициентов g0,..., gn_1. Второй подход - прямое адаптивное управление.
Рассмотрим второй подход. В качестве целевой функции (ЦФ) выберем квадратичную форму от ошибки слежения.
0>е (е) = 0,5етНе, где Н = Нт > 0. (16)
Найдем производную по времени ЦФ (16) в силу системы, состоящей из подсистемы (6) с входом х2у1г1 (14) (на многообразии о ° 0, уы ° 0) и ЭМ (4)
й = ет не = ет Н (ЛПХ1 _ Х *) + ет На12 ^ =
(17)
= етН (Л11х1 _ х *)_ 20Т{,
где z = eTHa12 = an £ eihin , H
i=\
h
ii
v hn1
hnл
h
- решение уравнения Ляпу-
nn J
нова
HA* + AT H = -G, G = GT > 0.
(18)
Из (17) видно, что при известных параметрах 0* ЦУ (3) достигается
и
й (е) = етН (ЛПХ1 + а12х*^ _ Л*х* _ Ь*г) = етНЛ*е £ _р,£е (е), (19)
где ре = 1т1п (G )/1тах (Н) > 0 - минимальное и максимальное собственные
числа матриц G и Н соответственно.
Выберем алгоритм настройки неизвестных параметров в форме скоростного градиента [7, 8]
0 = -TeV06e (e) = £ehnГef ^
i=1
01 = £ eihin Г 1eX1' i=1
(20)
0
n+1
-£ e h g
i in e
i=1
(n+1)'
где re = diag{Уel,...,ge(n+1)} > 0, gei = ОД
Замечание 2. В алгоритм адаптации (20) входит неизвестный параметр an (£). Для реализации алгоритма достаточно знать sign (an (£)).
Этап 3. Синтез входа расширенного выходного каскада v (на многообразии о° 0).
Синтезируем вход расширенного выходного каскада, гарантирующий достижение ЦУ Jinf ® 0 при t ® ¥, например, в форме
v =-у- sign( Jinf ) + !• sgn(s) , (21)
где g, t > 0 - конструктивные параметры.
Очевидно, что при о ° 0, выражение (22) примет вид
V = -g- sign (ymf). (22)
Рассмотрим систему (6), (7), (14), (15), (22). Докажем, что yinf ® 0 при t ® ¥, методом функций Ляпунова.
Выберем в качестве кандидатуры на роль функции Ляпунова
Qy (yinf ) = 0,5y2nf. (23)
Производная по времени функции (23) в силу системы (6), (7), (14), (15) с входом (22)
Qy ( yinf )= ymfymf = yinf (-gSign yinf - ^virt )=-УМ - ^УшГ (24) Выберем коэффициент g, удовлетворяющий неравенству
g> |^2virt| + go,
где g0 > 0.
"^2virt = -(A )T X1 - 9lT ( A11X1 + a12x2 ) - zYl(n+1)r2 + ^П+1Г , (25) - локально ограниченная функция по своим аргументам. Тогда из (24) следует
Qy ( yinf )£-g0^Qy ( yinf ) .
Следовательно, yinf (t) ® 0 при t ® ¥ и ЦУ (3) достигается.
Этап 4. Синтез управления замкнутой системой.
Введем дополнительную цель управления в виде неравенства
R(s(t))° 0 при t > t\ (26)
где
R (о) = 0,5о2.
Алгоритм управления системой, обеспечивающий достижение (26), синтезируем в виде
u = -g-sign (yXnf). (27)
Определение [7]. Матричная функция Ф (t) - интегрально невырожденная на [0, ¥), если она измерима и ограничена на [0, ¥) и существуют константы k > 0, L > 0, при которых выполняется неравенство:
t+L
J Фт (s)Ф (s)ds > kI Vt> 0, где I - единичная матрица.
t
Теорема. Пусть для ОУ (1), (2) алгоритм управление имеет вид (27) с учётом равенств (5), (7), (14), (15), (22), а алгоритм адаптации - в форме (20). Тогда при любых ограниченных начальных условиях существуют Y* > 0 , т* > 0 такие, что при у > у*, т > т* все траектории замкнутой системы ограниченны и достигаются ЦУ (3), (26) так, что e ® 0 при t ® ¥.
62
Существуют моменты времени и, {, такие, что бу (ум (t))° 0 (ум (t)° 0) Я(а(t))° 0 (а(t)° 0) соответственно при t > t* и t > t*. Для замкнутой системы существует функция Ляпунова вида
1 т
V (е, ум, о,9) = (ум) + Яс(а)+ б (е) + - (в - 9*) Г-1 (в - 9*). (28)
Пусть дополнительно выполнено условие интегральной не вырожденности вектор-функции Я = (хт -г ) . Тогда 9 ® 9* при t ® ¥.
Доказательство.
Найдем производные по времени от каждого слагаемого функции (28) в силу системы (2), (5), (6), (14), (15), (20), (21), (27). Для простоты опустим аргументы, где это возможно.
С учётом (5), (6), (14), (15)
й = етне = етН (А11X1 + аи^ - X*) = = еТ н (Апх1 + а12 (а + ум + Х^)- х *) = = еТ н (АПх1 + а12 ^ - х *) + + гум =
е Н (АПх1 ±ет Н (А11х1 + а
х + а12 Х2у1г! х ' ±
12 х2уи1
■х *)
х* ) + + =
= етНА*е + г ( х2у1г1 - х2у1г1 ) + -а + ZУlnf =
= етНА*е - г (9 - 9* )т Я + -а + гум. Из алгоритма адаптации (20)
^ 0,5 (9 - 9* )т Г-1 (9 - 9* ) = ( 9 - 9* )т Г-19 = г (9 - 9* )т Я.
Из (6), (15)
( г
б у уМ уМ ylnf
х2у1г1 + (
■ X
2уи!
ЧЧ х2
= У1пг (ат1х1 + а22Х2 + Ьи - х2ум ) .
Из выражения (5)
Я = аа = а(ат'1х1 + а22х2 + Ьи - V).
(29)
(30)
(31)
(32)
Объединяя слагаемые (29) - (32) с учётом (19), (21) и (27) получаем
63
V = ум (а21Х1 + а22Х2 + Ьи _ Х^т)+ о(а21Х1 + а22Х2 + Ьи _ V)+ + етНЛ*е _ г(0 _ 0* )т f + ю + гу-^ + г(0 _ 0*) f =
= уМ (а21Х1 + а22х2 _ ^п + г + Ьи)+ (33)
+ о(а21Х1 + а22 Х2 + Ьи + г _ V)+ ет НЛ*е = = УМ Л у (•) _ У Ь\\ум | + оло (•) _ х|о| + ет НЛ*е.
где
Ло (•) = ат1х1 + а22 Х2 + У(1 _ И) • (Утг) + 2,
Лу (0 = а21Х1 + а22Х2 _ Х2У1Й + 2 .
В (33) выбираем коэффициенты
л (•)
у>у* + у0, где у* = у . 1, у0 >0.
X > X* + Х0 , х* — Тогда (33) примет вид
И
Ло(-)|, Х0 >0.
V <_У0^0~у _ Х0^ _ Ребе (е) £ 0. (34)
Из (34) следует, что V < 0, следовательно, все слагаемые функции Ляпунова (28) ограничены. Из квадратичных форм, слагаемых функции Ляпунова, следует ограниченность ум, о, е, 0 .
Из ограниченности е и х1* следует ограниченность х1 . Из (14) и ограниченности х1, 0, г следует ограниченность Х2у1г1. Из (15), ограниченности Х2у1г1 и ум следует ограниченность х2у1г1 . Из (6) и ограниченности
*
х2у1г1 , х1, о следует ограниченность х1. Из ограниченности х1 и х1 следует ограниченность модели ошибки е. Из (5), ограниченности о и х2у1г1 следует, что х2 ограничена. Из (22) следует ограниченность V. Из (7) и ограниченности V следует ограниченность Х2у1г1 . Ограниченность и следует из (27) и ограниченности у1п{. Следовательно, все траектории систем (1), (2) ограниченны. Из выражения о = а21х1 + а22х2 + Ь2и _ Х2у1г1 и ограниченности х1, х2 , и, Х2л,м следует ограниченность о. Из выражения (25) и ограниченности х1, 0, х2 , г и г следует ограниченность Х2у1г1 . Ограниченность у1пГ следует из выражения ум = о + Х2у,м _ х2уШ и ограниченности каждой переменной на правой части. Из (34) и ограниченности о, у1пГ, е следует ограниченность V. Из ограниченности V следует равномерная непрерывность функции V. Тогда по лемме Барбалата [7] V ® 0, г ®¥. Следовательно, у1п{ ® 0, е® 0 и о® 0 при г ® ¥.
От выражения (32) можно получить более точную оценку сходимости к многообразию а ° 0
Я (а) = а(л0(-)--)-х|а|. (35)
В (35) выбирая х в виде х > х* + х0, х* = (•) - - , х0 > 0, получаем
Я(а)<-х(П/ЯИ . (36)
Интегрируя (36), получаем
^ЯИО) <7Я(а(0)) -0,5хot. Так как Я(а(t))> 0, то существует момент времени такой, что
Я(а(t)) = 0 при t > t*, следовательно, а(t) ° 0 при t > {.
Аналогично, из выражения (31) можно получить уточнённую оценку сходимости к многообразию ум (t)° 0. Поставляя управления (27) в (31) получаем
Qy = ymf (aT1X1 + a22x2 + bu - X2virt ) = ymf (hy (•) - z) - g|b|ymf I- (37)
Ihy(•)-z /
В (37) выбирая g в виде g > g* + g0, где g* =1 y /,i , g0 > 0 по-
лУчаем (2y (ум (t)) < -go<jQy (yinf (I)), интегрируя, получаем
yjQy (yinf (t)) <VQy (yinf (0)) - 0,5got. Так как Qy (yinf (t))> 0, то существует момент времени t*, такой, что Qy (yinf (t*)) = 0. Следовательно, yinf (t) ° 0 при "t > t*,
t*=2g^Torn.
Таким образом, при достаточно больших коэффициентах t, g
*
устойчивый скользящий режим достигается за конечное время t , t* и справедлива оценка t* < 2tR(о(0)), t* = 2g-1 ^Qy (0) соответственно.
Рассмотрим уравнение (20). Так как в правые части (20) входит переменная z = e Ha12, которая стремится к нулю, т.к. e ® 0 при t ® ¥, то существуют конечные пределы
lim 01 = lim zr1gX1 = 0, lim 0и+1 = lim zge{^r = 0 .
t®¥ t ®¥ t ®¥ t ®¥ V '
Следовательно, 0¥ = lim 0 (t) - постоянный вектор.
t®¥
Рассмотрим траектории, вдоль которых V ° 0, или е ° 0, а ° 0, ум ° 0, и динамику ошибки
т
е = А*е - а12 (9 - 9*) Я + аиа + аиyinf. (38)
при t ® ¥. Из (38) следует тождество
65
(е«-е*)Т {° о. (39)
Если вектор-функция { - интегрально не вырожденная, т.е. ее компоненты линейно-независимые функции, то уравнение (39) имеет только тривиальное решение е« — е*. Таким образом, алгоритм адаптации обладает идентифицирующими свойствами и е (г) ® е* при г ® «.
Применим предложенную методику в задаче слежения линейного каскадного объекта третьего порядка.
Пусть двухкаскадная система описывается системой линейных уравнений
ОУ:
Х1 = а11Х1 + а12 Х2,
Г 0 1 1 Г 01
где а11 — , а12 —
V а21 а22 У V а2 У
Х2 — а 21X1 I ^22 х I Ъ^и,
а21 - вектор (1х 2), а22, Ъ2 - параметры
Т
ОУ, Ъ2 > 0 . Начальные условия х1 (0) — (2 2) , х2 (0) — 3.
Цель управления: е ® 0 при г ® « и ограниченность х2, и, где
*
е — х1 - х1.
Желаемое виртуальное управление в соответствии с (14) имеет вид
х
2уи! 1
(Х1, е) —-01ХП -02Х12 +0зГ ,
где 0* — , е2 —, 03 — «о, Контур
адаптации в соответствии с
(20)
01 — У,1 ( еЛ2 + е2И22 ) ХШ
Х1
2,96 0,1 " 0,1 0,36
02 — Уе2 ( еЛ2 + е2И22 )
X
12
- решение уравнения Ляпунова
21
03 —-Уе3 ( ^12 + в2И22 ) Г , Н
(18) с матрицей С
V1 2 У
Управление для выходного каскада примет вид (21) с у —130, т — 40 , управление ОУ имеет вид (28). Информационный выход вида
Ум — Х2 - Х2У1Й .
На рис. 1-6 приведены результаты моделирования при начальных условиях 01 (0) — 3, 02 (0) — 2, 03 (0) — 5, параметрах объекта управления
а22 — 3, Ъ2 — 1, задающем воздействии
а
21
^ а22 —-2, а2 — 3, а21 —(2 3) ,
Бт (г) + ооб (4г), параметрах ЭМ А* —
22 2 г 0 1 1 Г0Л
V -10 -3 У
Ь* —
V10 У
параметрах
адаптера уе1 — 3, уе 2 — 5, уе3 —10, параметрах регулятора — 3, «0 —10.
г
2 1 0 -1 -2
лУ
;.■;« ¡>1
! :: :: ; Г ч
?
0 5 10 15 г, [с] Рис. 1. Ошибка слежения
и
50 0 -50 -100
0,13 0,14 г, [с] Рис. 3. Управление и
6
4
2
0 -2
02
VI 1
V
0*7 •■■ ■
0 5 10 15 г, [с]
Х2 0
-10
-20
15 г, [с]
Рис. 2. Выход входного каскада х0
7
6 5 4 3
01
0*
0 5 10 15 г, [с] Рис. 4. Настройка параметра 01
8 6
4 2
-03
Х03 - г
0 5 10 15 г, [с]
Рис. 5. Настройка параметра 02 Рис. 6. Настройка параметра 03
Из рис. 1 видно, что ЦУ (3) достигается, из рис. 1 - 6, - что все траектории системы (1), (2) ограничены. Из рис. 4 - 6 видно, что идентифицирующее свойство выполняется. Оценки параметров сходятся к идеальным значениям, т.к. условие идентифицируемости выполняется для сигнала г (г) с двумя гармониками.
Заключение. В работе представлен один из подходов к синтезу адаптивного управления линейными каскадными системами с интегральным виртуальным управлением. Сформулирована и доказана теорема, под-
67
тверждающая достижение цели управления каскадной системой. Предложенная методика применена для решения задачи слежения в условиях параметрической неопределённости. Представлено компьютерное моделирование системы управления, подтверждающее достижение заданной цели управления.
Список литературы
1. Yury I. Myshlyayev, Alexander V. Finoshin. The speed bi-gradient method for model reference adaptive control of affine cascade systems // 1st IFAC Conference on Modelling, Identification and Control of Nonlinear Systems (IFAC MICNON) 2015 — Saint Petersburg, Russia, 24-26 June 2015, IFAC-PapersOnLine: Volume 48, Issue 11, 2015. P. 489-495.
2. Мышляев Ю.И. Метод бискоростного градиента // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2011. Вып. 5. Ч. 1. С. 168-178.
3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Метод пассификации в задачах адаптивного управления, оценивания и синхронизации. Автоматика и телемеханика, 2006. Вып. 11, 3-37.
4. Мишаков В.В., Мышляев Ю.И. Векторное управление редуктор-ным электромеханическим усилителем момента при неизвестной нагрузке // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. Вып. 4. С. 32-40.
5. Levant A. Sliding order and sliding accuracy in sliding mode control — International Journal of Control, 1993. Vol. 58. No. 6. P. 1247-1263.
6. Levant A. Robust exact differentiation via sliding mode technique, Automatica, 1998. Vol. 34. No. 3. P. 379-384.
7. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2010.
8. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. СПб.: Наука, 2003. 208 с.
Мышляев Юрий Игоревич, канд. техн. наук, доцент, uimyshamail.ru, Россия, Калуга, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Калужский филиал,
Нгуен Ти Тхань, аспирант, nct1101@,gmail. com, Россия, Калуга, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Калужский филиал,
Финошин Александр Викторович, ассистент, earlovagmail.com, Россия, Калуга, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Калужский филиал
CASCADE SYSTEMS CONTROL WITH INTEGRAL VITUAL SLIDING MODE WITH
TUNED SURFACE
Y.I. Mushlyayev, Nguyen Chi Thanh, A. V. Finoshin
The adaptive control strategy for cascade systems based on integral virtual control, and speed-bigradient method is considered. Proposed control laws provide high control quality due to increasing the astaticism of output subsystem and robustness with respect to parameter variations and matching disturbances.
Key words: integral control, speed-bigradient method, linear cascade systems, adaptive control. Lyapunov function.
Myshlyayev Yury Igorevich, candidate of technical sciences, docent, uimyshamail.ru, Russia, Kaluga, Moscow Bauman State Technical University, Kaluga branch,
Nguyen Chi Thanh, postgraduate, nctl IQlagmail. com, Russia, Kaluga, Moscow Bauman State Technical University, Kaluga branch,
Finoshin Alexander Victorovich, candidate of technical sciences, assistant, earlovagmail.com, Russia, Kaluga, Moscow Bauman State Technical University, Kaluga branch
УДК 621.396
АДАПТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
СИГНАЛА
Н.С. Акиншин, А.В. Петешов, В. Л. Румянцев, К. А. Хомяков
Представлен анализ основных методов адаптивной фильтрации помеховых сигналов и сравнительный анализ алгоритмов адаптации. Показано что асимптотическая вычислительная сложность, с помощью которой описывают адаптивные алгоритмы подавления, оценивает порядок роста времени работы алгоритма при увеличении размера входных данных.
Ключевые слова: адаптивная фильтрация, ошибка предсказания, подавление
помехи.
Идея адаптивного подавления заключается в вычитании взвешенной копии прямого сигнала, принятого отдельной антенной, из сигнала канала наблюдения. Ниже рассмотрены различные методы (алгоритмы) подавления прямого сигнала, а также его копий, возникающих из-за многолучевого распространения или из-за отражения от близких к приёмной позиции (ПП) местных предметов и являющихся помехами для сигналов, отраженных от интересуемых целей.
