Управление и возмущение в задаче Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

2023 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 19. Вып. 2

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977 MSC 34Н05

Управление и возмущение в задаче Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью*

О. В. Басков, Д. К. Потапов

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7^9

Для цитирования: Басков О. В., Потапов Д. К, Управление и возмущение в задаче Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2023. Т. 19. Вып. 2. С. 275-282. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2023.212

Рассматривается задача Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью, управлением и возмущением. Полученные ранее результаты для уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором применяются к исследуемой задаче. Вариационным методом устанавливаются теоремы о существовании решений задачи Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью и задачи оптимального управления, топологических свойствах множества допустимых пар «управление—состояние». В качестве приложения приводится одномерный аналог модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости с управлением и возмущением.

Ключевые слова: задача Штурма^ Лиувилля, разрывная нелинейность, задачи управления, вариационный метод, модель Гольдштика.

1. Введение. Постановка задачи. Уравнения с разрывными правыми частями возникают при анализе многих задач оптимального управления, разрывных систем управления. Задачи управления системами со спектральным параметром и разрывными правыми частями рассматривались в работах [1-7] в общей постановке, а также для задач, порожденных эллиптическими операторами. В настоящей статье исследуются задачи управления для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Отметим работу [8], посвященную задачам оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.

* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00069, https: / / rscf.ru / project /23-21-00069/

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2023

Проблема существования решений задачи Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью изучалась в [9-15]. Данная статья является развитием этих исследований, поскольку в задачу дополнительно вводятся управление и возмущение. Кроме того, в отличие от работ других авторов, в ней ослаблены ограничения на множество точек разрыва нелинейности.

Пусть —то < a < b < На отрезке [a, b] рассматривается задача Штурма — Лиувилля с управлением и возмущением следующего вида:

Lu(x) = — (p(x)u'(x))' + q(x)u(x) = Ag(x, u(x)) + Bv(x) + Dw(x), x G (a, b), (1)

u(a) = u(b)=0. (2)

Здесь p G C\,a([a,b]), q G C0,a([a,b]) (0 < a ^ 1); А — положительный параметр; функция g : (a,b) x R ^ R суперпозиционно измерима, для почти всех x G (a, b) сечение g{x, •) имеет на R разрывы только первого рода, д(х,и) G [д-(х, и), д+(х, и)] для любого мб R, д_{х,и) = lim g{x,rj), д+{х,и) = lim g{x,rj) и \д{х,и)\ ^ ß(x) для

любого u G R, где ß G Lq((a,b)), q > 1; оператop B : U ^ Lq((a,b)) линейный и ограниченный, U — банахово пространство управлений, функция v(x) в уравнении (1) играет роль управления, управление v G Uad С U, Uad — множество всех допустимых управлений для системы (1), (2); оператор D : W ^ Lq((a, b)) линейный и ограниченный, W — банахово пространство возмущений, функция w(x) в уравнении (1) играет

w G W

Допускается, что для некоторых v G Uad, w G W у задачи (1), (2) либо пет решений, либо она имеет более одного решения, т. е. возможен сингулярный случай [16].

2. Теоретические результаты. Для дальнейших рассуждений потребуется следующее определение.

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1), (2) при фиксировано

пых управлении v и возмущении w называется функция u G W2((a,b))f^\ Wqj((a,b)), удовлетворяющая для почти всех x G (a, b) включению

Lu(x) — Bv(x) — Dw(x) G A[g—(x,u(x)),g+(x,u(x))].

Отметим, что определение обобщенного решения для уравнений с разрывными нелинейностями вполне адекватно для прикладных задач [17].

Пусть функциональное пространство X = H1((a, b)), а функционалы

b b b u(x)

J\{u) = — Jp(x)(u'(x))2dx + — J q(x)v?(x)dx, J^{u) = J dx J g(x,s)ds.

a a a 0

Применение общего результата из работы [4] к задаче (1), (2) дает теорему о существовании решений.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) существует 7 > 0, для которого Ji(u) > 7 \\u\\2 для любо го u G X;

2) для почти всех x G (a,b) справедливы соотношения g(x, 0) = 0 и \g(x,u)\ < ß(x) для любого u G Ж, где ß G Lq((a, b)), q > 1;

3) найдется u0 G X, для которого J2(u0) > 0;

4) оператор B : U ^ Lq((a,b)) линейный и ограниченный, пространство управлений U банахово, множество допустимых управлений Uad С U непуст,о;

5) оператор В : Ж ^ Ьч((а,Ь)) линейный и ограниченный, пространство возмущений Ж банахово.

Тогда для любых V е иаа, ш е Ж существует обобщенное решение рассматриваемой задачи (1), (2).

Доказательство. Теорема 1 доказывается вариационным методом. Оно сводится к проверке выполнения условий теоремы 1 из работы [4]. Выполнение условий 1), 2) теоремы 1 из [4] в задачах на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями установлено в работе [18]. Для задачи (1), (2) такие условия проверяются аналогично. Условия 5), 6) теоремы 1 из [4] идентичны условиям 4), 5) доказываемой теоремы. Тем самым выполнены условия 1), 2), 5), 6) теоремы 1 из [4]. Поэтому для любых управления V е иаа и возмущения ш е Ж существует обобщенное решение соответствующего операторного уравнения, а значит, и краевой задачи (1), (2). Теорема 1 доказана.

Далее положим ш(х) = 0, т. е. исключим возмущение ш из уравнения (1).

Определение 2. Упорядоченная пара (V, и) называется допустимой парой «управление — состояние» для системы (1), (2), если V е иаа, а и — обобщенное решение задачи (1), (2) при V = V.

В

мы (1), (2) определена функция стоимости

.1(0, и) = \\и - ио\\1г + 6\М\&, (3)

где ^ — функциональное банахово пространство, в которое пространство X непрерывно вложено; ио е I, 6, ¡л — положительные постоянные; \ \ • \ \у — норма в пространстве У. Ставится задача о нахождении пары (ш, г) е В такой, что

1 (т,г)=т£ 1 (V,и). (4)

Определение 3. Пара (ш,г) е В, удовлетворяющая (4), называется оптимальной.

Таким образом, рассматривается также вопрос о существовании решения задачи оптимального управления (4). Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно пространство управлений и рефлексивное, множество допустимых управлений иаа С и слабо замкнуто, пространство X непрерывно вкладывается в пространство Е из (3). Тогда для любого V е иаа существует обобщенное решение задачи (1), (2), множество В всех допустимых пар «управление — состояние» для системы (1), (2) непусто и слабо замкнуто, задача оптимального управления (4) имеет решение.

Доказательство. Теорема 2 доказывается также вариационным методом. Оно сводится к проверке выполнения условий теоремы 1 из работы [1]. Выполнение условий 1), 2) такой теоремы для соответствующих эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями установлено в работе [18]. Как отмечалось выше, для задачи (1), (2) эти условия проверяются аналогично. Условие 3) теоремы 1 из [1] идентично условиям теорем 1, 2 данной работы. Таким образом, все условия теоремы 1 из [1] выполнены, потому справедливо утверждение данной теоремы, а значит, и доказываемой теоремы. Теорема 2 доказана.

Для V е иаа обозначим через Vv множество обобщенных решений задачи (1), (2). Справедлива также следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и дополнительно последовательность К} С иаа слабо сходится к V в и. Тогда, если ип е Vvn, то из последо-

вательности {ип} можно выделить подпоследовательность {иПк}, которая сильно сходится к и е У у в Х1г где Х1 — некоторое вещественное банахово пространство, в которое пространство X компактно вложено. Если У у состоит из единственной функции и, то ип ^ и в Х\.

Доказательство. Ввиду идентичности условий теоремы 2 из работы [1] и доказываемой теоремы имеет место утверждение теоремы 2 из [1], а следовательно, и справедливо утверждение теоремы 3. Теорема 3 доказана.

3. Приложения. В качестве приложения установленных теорем рассмотрим одномерный аналог математической модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости (см. [19, 20]).

Одномерная задача Гольдштика имеет вид

—и" = шд(х,и(х)), х е (0, 1), (5)

и(0) = и(1) = 0, (6)

где параметр ш > 0 — завихренность, а нелинейность

, ч Г —1, если и < х — 1, д(х,и) = < _ .

у ' [ 0, если и > х — 1.

Аналитически задача (5), (6) была решена в [19].

Введем в данную задачу управление и возмущение. Имеем краевую задачу

—и" = шд(х,и(х)) + Ву(х) + Вчл(х), х е (0,1), (7)

и(0) = и(1) = 0,

где оператор В : и ^ ((0,1)) линейный и ограниченный, и — рефлексивное банахово пространство управлений, д > 1; управление у е иаа С и иаа — множество всех допустимых управлений для системы (7), (8) непусто и слабо замкнуто; пространство Н1((0,1)) непрерывно вложено в пространство Z из (3); последовательность {уп} С иаа слабо сходится к у в Щ оператор В : Ш ^ Ьч((0,1)) линейный и ограниченный, Ш — банахово пространство возмущений, возмущение и> е Ш.

Для задачи (7), (8) выполнены условия теорем 1-3 данной статьи. Поэтому утверждения доказанных теорем справедливы для одномерной задачи Гольдштика с управлением и возмущением.

Далее положим В = — В и равные тождественному оператору I, т. е. Ву = у, Вw = — ад. Оператор I линейный и ограниченный. В [19] установлено, что одним из решений задачи (5), (6) при ш ^ 8 является функция

ио(х) =

1 — х, если 0 < X < хо,

^ (х — жо + (х — 1), если жо ^ х ^ 1,

в которой хо = т; + т;— Поставим следующую задачу: при малом постоянном возмущении w > 0 найти такое постоянное управление у е [0^], чтобы решение краевой задачи (7), (8) при В = —В = I доставляло минимум функционалу 7(и, у) = 71 + ¿о72, где

1

= J(и(х) — ио(х))23,х, 72 = у1 , Зо ^ 0.

о

В этой задаче требования теорем были выполнены. Оптимальное управление существует для любого неотрицательного 6о. При каждом постоянном V е [0,ш] решение задачи (7), (8) с В = —В = I дается формулой

. — х\) + (1 — 1 ж, если 0 < х < х\,

и(х) = < / ^ \

+ если < ж < 1.

Здесь = I (1 + + 1^/(1 + - 1 0 < г* < 2.

На рисунке изображено множество возможных векторов (1,12), достижимых при различных допустимых управлениях V е [0,ш], построенное для и = 9 и ш = 0.125.

Рисунок. Достижимые значения функционалов

С точки зрения двухкритериальной задачи минимизации 12 каждый возможный вектор оптимален по Парето. Поскольку оба функционала выпуклые, то каждое парето-оптимальное управление можно найти при некотором 6о ^ 0 минимизацией линейной комбинации + 6012, которая и есть 1 (и, V).

Таким образом, полученные теоремы проиллюстрированы прикладной задачей.

Литература

1. Потапов Д. К. Управление спектральными задачами для уравнений с разрывными операторами // Труды Ин-та математики и механики Уральского отделения РАН. 2011. Т. 17. № 1. С. 190-200.

2. Потапов Д. К. О разрешимости задачи управления для одного класса уравнений с разрывными операторами и спектральным параметром // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информационные технологии. 2011. № 2. С. 36-39.

3. Потапов Д. К. Задачи управления системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром, внешним возмущением и разрывной нелинейностью // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 1. С. 55-57.

4. Потапов Д. К. Задачи управления для уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором при наличии возмущений // Журн. Сиб. федерального университета. Сер. Математика и физика. 2012. Т. 5. Вып. 2. С. 239-245.

5. Потапов Д. К. О существовании решения задачи управления с возмущением для одного класса уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информационные технологии. 2012. № 1. С. 12-15.

6. Потапов Д. К. О связи управления и состояния в спектральных задачах для уравнений с разрывными операторами // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. Т. 9. № 5-1. С. 104-105.

7. Потапов Д. К. Оптимальное управление распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Известия РАН. Теория и системы управления. 2013. № 2. С. 19-24.

8. Будак Б. М., Беркович Е. М. О задачах оптимального управления для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1971. Т. 11. № 1. С. 51-64.

9. Carl S., Heikkila S. On the existence of minimal and maximal solutions of discontinuous functional Sturm — Liouville boundary value problems //J. Inequal. Appl. 2005. N 4. P. 403-412.

10. Bonanno G., Bisci G. M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous nonlinearities // Bound. Value Probl. 2009. Art. ID 670675. 20 p.

11. Bonanno G., Buccellato S. M. Two point boundary value problems for the Sturm —Liouville equation with highly discontinuous nonlinearities // Taiwanese J. Math. 2010. Vol. 14. N 5. P. 2059-2072.

12. Потапов Д. К. Задача Штурма — Лиувилля с разрывной нелинейностью // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50. № 9. С. 1284-1286.

13. Потапов Д. К. Существование решений, оценки дифференциального оператора и «разделяющее» множество в краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка с разрывной нелинейностью // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 970-974.

14. Bonanno G., D'Agui G., Winkert P. Sturm — Liouville equations involving discontinuous nonlinearities // Minimax Theory Appl. 2016. Vol. 1. N 1. P. 125-143.

15. Павленко В. П., Постникова Е. Ю. Задача Штурма — Лиувилля для уравнения с разрывной нелинейностью // Челябинск, физ.-матем. журн. 2019. Т. 4. Вып. 2. С. 142-154.

16. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / пер. с франц. А. И. Штерна. М.: Наука, 1987. 368 с.

17. Chang К.-С. Free boundary problems and the set-valued mappings // Journal of Differential Equations. 1983. Vol. 49. N 1. P. 1-28.

18. Павленко В. П., Потапов Д. К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 4. С. 911-919.

19. Потапов Д. К. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Известия РАЕН. Сер. Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. 2004. Т. 8. № 3-4. С. 163-170.

20. Потапов Д. К. Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. Т. 14. № 3. С. 291— 296.

Статья поступила в редакцию 16 января 2023 г. Статья принята к печати 25 апреля 2023 г.

Контактная информация:

Басков Олег Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доц.; o.baskov@spbu.ru Потапов Дмитрий Константинович — канд. физ.-мат. наук, доц.; d.potapov@spbu.ru

Control and perturbation in Sturm — Liouville's problem with discontinuous nonlinearity*

О. V. Baskov, D. K. Potapov

St. Petersburg State University, 7-9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Baskov О. V., Potapov D. K. Control and perturbation in Sturm — Liouville's problem with discontinuous nonlinearity. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2023, vol. 19, iss. 2, pp. 275-282. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2023.212 (In Russian)

* This research was funded by Russian Science Foundation (project N 23-21-00069), https: / / rscf.ru/en / project /23-21-00069/

We consider the Sturm — Liouville problem with discontinuous nonlinearity, control and perturbation. Previously obtained results for equations with a spectral parameter and a discontinuous operator are applied to this problem. By the variational method, we have established theorems on the existence of solutions to the Sturm — Liouville problem with discontinuous nonlinearity and to the optimal control problem, as well as on topological properties of the set of the acceptable "control — state" pairs. A one-dimensional analog of the Gol'dshtik model for separated flows of an incompressible fluid with control and perturbation is given as an application.

Keywords: Sturm — Liouville's problem, discontinuous nonlinearity, control problems, variational method, Gol'dshtik's model.

References

1. Potapov D. K. Upravlenie spektral'nymi zadachami dlia uravnenii s razryvnymi operatorami [Control of spectral problems for equations with discontinuous operators]. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki Ural'skogo otdeleniia RAN [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Supplementary issues)}, 2011, vol. 17, no. 1, pp. 190-200. (In Russian)

2. Potapov D. K. O razreshimosti zadachi upravleniia dlia odnogo klassa uravnenii s razryvnymi operatorami i spektral'nym parametrom [On resolvability of a control problem for one class of equations with discontinuous operators and a spectral parameter]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia Sistemnyi analiz i informatsionnye tekhnologii [Proceedings of Voronezh State University. Series Systems Analysis and Information Technologies], 2011, no. 2, pp. 36-39. (In Russian)

3. Potapov D. K. Zadachi upravleniia sistemami ellipticheskogo tipa vysokogo poriadka so spektral'nym parametrom, vneshnim vozmushcheniem i razryvnoi nelineinost'iu [Control problems for higherorder systems of elliptic type with a spectral parameter, an external perturbation, and a discontinuous nonlinearity]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of Voronezh State Technical University], 2012, vol. 8, no. 1, pp. 55-57. (In Russian)

4. Potapov D. K. Zadachi upravleniia dlia uravnenii so spektral'nym parametrom i razryvnym operatorom pri nalichii vozmushchenii [Control problems for equations with a spectral parameter and a discontinuous operator under perturbations]. Zhurnal Sibirskogo federal'nogo universiteta. Seriia Matematika i fizika [Journal of Siberian Federal University. Series Mathematics and Physics], 2012, vol. 5, iss. 2, pp. 239-245. (In Russian)

5. Potapov D. K. O sushchestvovanii resheniia zadachi upravleniia s vozmushcheniem dlia odnogo klassa uravnenii so spektral'nym parametrom i razryvnym operatorom [Existence of solution to control problems with perturbations for a class of equations with spectral parameter and discontinuous operator]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia Sistemnyi analiz i inform,atsionnye tekhnologii [Proceedings of Voronezh State University. Series Systems Analysis and Information Technologies], 2012, no. 1, pp. 12-15. (In Russian)

6. Potapov D. K. O sviazi upravleniia i sostoianiia v spektral'nykh zadachakh dlia uravnenii s razryvnymi operatorami [On dependence between control and state in spectral problems for equations with discontinuous operators]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of Voronezh State Technical University], 2013, vol. 9, no. 5-1, pp. 104-105. (In Russian)

7. Potapov D. K. Optimal'noe upravlenie raspredelennymi sistemami ellipticheskogo tipa vysokogo poriadka so spektral'nym parametrom i razryvnoi nelineinost'iu [Optimal control of higher order elliptic distributed systems with a spectral parameter and discontinuous nonlinearity]. Izvestiia RAN. Teoriia i sistemy upravleniia [Journal of Computer and Systems Sciences International], 2013, no. 2, pp. 19-24. (In Russian)

8. Budak B. M., Berkovich E. M. O zadachakh optimal'nogo upravleniia dlia differentsial'nykh uravnenii s razryvnymi pravymi chastiami [Optimal control problems for differential equations with discontinuous right sides]. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki [USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics], 1971, vol. 11, no. 1, pp. 51-64. (In Russian)

9. Carl S., Heikkila S. On the existence of minimal and maximal solutions of discontinuous functional Sturm ^Liouville boundary value problems. J. Inequal. Appl, 2005, no. 4, pp. 403-412.

10. Bonanno G., Bisci G. M. Infinitely many solutions for a boundary value problem with discontinuous nonlinearities. Bound. Value Probl., 2009, Art. ID 670675, 20 p.

11. Bonanno G., Buccellato S. M. Two point boundary value problems for the Sturm ^Liouville equation with highly discontinuous nonlinearities. Taiwanese J. Math., 2010, vol. 14, no. 5, pp. 20592072.

12. Potapov D. K. Zadacha Shturma —Liuvillia s razryvnoi nelineinost'iu [Sturm—Liouville's

problem with discontinuous nonlinearity]. Differentsial'nie uravneniia [Differential Equations], 2014, vol. 50, no. 9, pp. 1284-1286. (In Russian)

13. Potapov D. K. Sushchestvovanie reshenii, otsenki differentsial'nogo operatora i "razdeliaiushchee" mnozhestvo v kraevoi zadache dlia differentsial'nogo uravneniia vtorogo poriadka s razryvnoi nelineinost'iu [Existence of solutions, estimates for the differential operator, and a "separating" set in a boundary value problem for a second-order differential equation with a discontinuous nonlinearity]. Differentsial'nie uravneniia [Differential Equations], 2015, vol. 51, no. 7, pp. 970-974. (In Russian)

14. Bonanno G., D'Agui G., Winkert P. Sturm ^Liouville equations involving discontinuous nonlinearities. Minimax Theory Appl, 2016, vol. 1, no. 1, pp. 125-143.

15. Pavlenko V. N., Postnikova E. Yu. Zadacha Shturma ^Liuvillia dlia uravneniia s razryvnoi nelineinost'iu [Sturm^Liouville problem for an equation with a discontinuous nonlinearity]. Cheliabinskii fiziko-matematicheskii zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2019, vol. 4, iss. 2, pp. 142-154. (In Russian)

16. Lions Zh.-L. Upravlenie singuliarnymi raspredelennymi sistemami [Control of distributed singular system]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 368 p. (In Russian)

17. Chang K.-C. Free boundary problems and the set-valued mappings. Journal of Differential Equations, 1983, vol. 49, no. 1, pp. 1-28.

18. Pavlenko V. N., Potapov D. K. O sushchestvovanii lucha sobstvennykh znachenii dlia uravnenii s razryvnymi operatorami [Existence of a ray of eigenvalue for equations with discontinuous operators]. Sibirskii matematicheskii zhurnal [Siberian Mathematical Journal], 2001, vol. 42, no. 4, pp. 911-919. (In Russian)

19. Potapov D. K. Matematicheskaia model' otryvnykh techenii neszhimaemoi zhidkosti [Mathematical model for separated flows of incompressible fluid]. Izvcstiia RAEN. Seriia Matematika. Matematiches-koe modelirovanie. Informatika i upravlenie [Proceedings of HANS. Series Mathematics. Mathematical Modeling. Informatics and Control], 2004, vol. 8, no. 3-4, pp. 163-170. (In Russian)

20. Potapov D. K. Nepreryvnaia approksimatsiia odnomernogo analoga modeli Gol'dshtika otryvnykh techenii neszhimaemoi zhidkosti [Continuous approximations for a ID analog of the Gol'dshtik model for separated flows of an incompressible fluid]. Sibirskii zhurnal vychislitel'noi matematiki [Numerical Analysis and Applications], 2011, vol. 14, no. 3, pp. 291-296. (In Russian)

Received: January 16, 2023.

Accepted: April 25, 2023.

Authors' information:

Oleg V. Baskov — PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor; o.baskov@spbu.ru

Dmitriy K. Potapov — PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor; d.potapov@spbu.ru