CC BY
1
Управление гигантскими всплесками орбитального углового момента структурированных Лагерр-Гауссовых пучков в среде с общим астигматизмом
А.В. Воляр1, Е.Г. Абрамочкин 2, М.В. Брецько1, С.И. Халилов1, Я.Е. Акимова1 1КФУ им. В.И. Вернадского, Физико-технический институт, 295007, Россия, Республика Крым, г. Симферополь, проспект Академика Вернадского, д. 4;
2 Самарский филиал федерального государственного бюджетного учреждения науки
Физического института имени П.Н. Лебедева Российской академии наук (СФ ФИАН), 443011, Россия, г. Самара, ул. Ново-Садовая, д. 221
Аннотация
В статье теоретически и экспериментально рассмотрено влияние астигматического элемента (например, цилиндрической линзы) на структурированный пучок Лагерра-Гаусса, когда оси линзы ориентированы под произвольным углом к лабораторным координатным осям (общий астигматизм). Хотя структурно устойчивый Лагерр-Гауссов пучок содержит множество осесимметричных мод, согласованных между собой по фазам и амплитудам, их суперпозиция уже теряет исходную осевую симметрию, но приобретает новые свойства (например, быстрые осцилляции орбитального углового момента ), при этом орбитальный угловой момент пучка не может превышать азимутальное число t исходной ЛГ-моды. Потеря осевой симметрии возникает за счет внесения фазовых и амплитудных возмущений каждой моды структурированного пучка Лагерра-Гаусса, которые разрушают кольцевые дислокации. Поскольку вырожденные кольцевые дислокации образованы оптическими вихрями с противоположными топологическими зарядами, но равными весами, то их разрушение сопровождается появлением пар оптических вихрей в виде топологических диполей (их количество равно радиальному числу n). В результате расширяется спектр мод структурированного пучка Лагерра-Гаусса до величины + (2n +t). Астигматический элемент (цилиндрическая линза) нарушает равенство весов в диполях, что приводит к резкому возрастанию орбитального углового момента всего структурированного пучка Лагерра-Гаусса. Причем величиной орбитального углового момента можно управлять, меняя наклон осей цилиндрической линзы и управляющие параметры структурированного пучка Лагерра-Гаусса. Именно эти процессы подробно рассмотрены в статье как в теоретическом, так и экспериментальном аспектах. В результате мы показали, что при определенной ориентации осей цилиндрической линзы орбитальный угловой момент пучка может превышать суммы орбитального и азимутального числа (ОУМ > n +t). Кроме того, мы обнаружили, что картина интенсивности астигматического структурированного пучка Лагерра-Гаусса может следовать за поворотом осей астигматического элемента (эффект отслеживания структурой пучка оси вращения цилиндрической линзы) при определенных соотношениях между управляющими параметрами структурированного пучка Лагерра-Гаусса и астигматического элемента.
Ключевые слова: вихревые пучки, структурированный свет, орбитальный угловой момент.
Цитирование: Воляр, А.В. Управление гигантскими всплесками орбитального углового момента структурированных Лагерр-Гауссовых пучков в среде с общим астигматизмом / А.В. Воляр, Е.Г. Абрамочкин, М.В. Брецько, С.И. Халилов, Я.Е. Акимова // Компьютерная оптика. - 2024. - Т. 48, № 1. - С. 35-46. - DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1395.
Citation: Volyar AV, Abramochkin EG, Bretsko MV, Khalilov SI, Akimova YE. Control of giant orbital angular momentum bursts of structured Laguerre-Gaussian beams in a medium with general astigmatism. Computer Optics 2024; 48(1): 35-46. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1395.
Введение
Уникальность структурированных вихревых пучков [1 - 14], содержащих множество степеней свободы, заключается не только в их способности переносить огромные массивы данных [1 - 23], в управлении микророботами в оптических пинцетах [24] или в квантовом кодировании сообщений [25], но и в со-
противляемости к разрушению своей внутренней структуры при слабых возмущениях, в частности, в турбулентной атмосфере [19 - 29]. На наш взгляд, такая способность к частичному или полному самовосстановлению структурированных пучков заключается в парадоксальном процессе разрушения единичных пучков Лагерра-Гаусса (ЛГ) под действием несимметричных возмущений. Дело в том, что ЛГ-пучки
являются в принципе неустойчивыми структурами из-за их осевой симметрии. Даже слабые несимметричные возмущения способны их превратить в семейство мод Эрмита-Гаусса (ЭГ) [30], число которых равно удвоенному радиальному числу 2п плюс топологический заряд £, т.е. N = 2п +£+1. Такое Ж-кратное вырождение не разрушает структуру исходного ЛГ-пучка до тех пор, пока каждая ЭГ-мода не получает дополнительное независимое фазовое и амплитудное возмущение. Пучок теряет исходную осевую симметрию, но приобретает новые свойства, а именно, каждая ЭГ-мода может переносить независимую информацию, формируя двухпараметрический структурный ЛГ-пучок за счет модуляции амплитуд и фаз собственных ЭГ-мод, как это было показано в наших статьях [31 - 32]. Если в среде достаточно слабые внешние возмущения, не приводящие к возникновению новых мод, то небольшое перераспределение энергии внутри семейства собственных мод не приводит к критическому разрушению структуры сложного пучка.
Фактически формирование структурированного ЛГ-(сЛГ)-пучка из единичной ЛГ-моды связано с разрушением ее осевой симметрии, которое, в свою очередь, выявляет скрытые свойства единичного ЛГ-пучка. Действительно, ЛГ-пучок имеет топологический заряд (ТЗ), равный азимутальному числу £ ЛГ-моды, которое и определяет ее орбитальный угловой момент 4 (ОУМ) [33 - 35]. Кроме того, радиальное число п не связано с ОУМ и задает только число вырожденных кольцевых дислокаций (темных колец) ЛГ-пучка. Однако возмущение амплитуд и фаз собственных ЭГ-мод в структурированном пучке снимает вырождение по ТЗ в кольцевых дислокациях, которые распадаются на пары оптических вихрей, и изменяют ОУМ структурированного пучка [36 - 39]. Теперь общее ОУМ пучка формирует 2п +£+1 мода [40], а радиальное число п характеризует частоту быстрых осцилляций ОУМ, управляемых амплитудным е и фазовым 6 параметрами структурированного пучка [41]. Однако максимальная амплитуда ОУМ не может превышать величину азимутального числа £ < £ в исходном ЛГ-пучке в связи с тем, что новорожденные оптические вихри формируют топологические диполи с равными весами, но разными знаками ТЗ.
Ситуация радикально изменяется, когда структурированный ЛГ-пучок распространяется через среду с простым астигматизмом [42], когда оси астигматической среды ориентированы вдоль осей симметрии структурированного пучка. Симметрия топологических диполей нарушается. В пучке возникают супервсплески ОУМ, максимальная амплитуда которых приблизительно равна половине радиального числа £ и п / 2. Тем не менее, при простом астигматизме невозможно задать условия, при которых ОУМ пучка может достигать максимально возможного значения £тах _ 2п + £. Потенциальная возможность в расширении области управления как структурой пучка, так
и его ОУМ скрывается в еще одной степени свободы, который закладывает в пучок общий астигматизм среды за счет вращения его осей, что позволяет управлять соотношением весов новорожденных оптических вихрей. Таким образом, целью нашей статьи является разработка теории структурированных ЛГ-пучков, постановка эксперимента в средах с общим астигматизмом и выявление эволюции супервсплесков ОУМ с сохранением тонкой структуры сЛГ-пучков, вызванной нарушением их симметрии.
1. Структурные преобразования сЛГ-пучков при общем астигматизме
Задачей этого теоретического параграфа является расчет комплексной амплитуды многопараметрического сЛГ-пучка в среде с общим астигматизмом и анализ его структурных превращений в рамках унитарных преобразований. Начнем с того, что стандартный ЛГ-пучок в базисе ЭГ-мод записывается как
(_1)" 2п+£
^ (г) _ УН Г^^ (о) (г), (1)
где р(
п,т|(-) - многочлен Якоби,
LGИ)±£ (г) _ ехр(_г2)(х + iy)£ Ы (2г2), ИО„,т (г) _ ехр (_г2 )И„ ((х ) ((2у)
- комплексные амплитуды ЛГ-и ЭГ-пучков соответственно, г = (х, у) - безразмерные координаты, нормированные на перетяжку w0 Гауссова пучка. Ниже мы ограничимся случаем +£. Каждую ЭГ-моду в (1) можно рассматривать как независимую степень свободы. Чтобы сформировать структурированный пучок, внесем в каждую ЭГ-моду в (1) новую амплитуду е и фазу 6 в соответствии с правилом е( (е, 6) =1+ е ехр ^ ( 6), так что комплексная амплитуда (1) примет вид структурированного сЛГ-пучка
(_1)" 2п+£ (
sLG„+ £ (г, е, 6) _ — У (2i)( х
П ' 22п+3£/2п! £0У ' (2)
хР(£_(,п_() (о)е( (е,6)^2„+£_(( (г).
Такой пучок легко сформировать на эксперименте с помощью пространственного модулятора света (8ЬМ) [43 - 46]. Новое семейство параксиальных структурированных пучков обладает рядом необычных свойств, указанных выше, но что интересно: его комплексную амплитуду (3) можно привести к компактной форме путем длительных преобразований [40] в виде двух стандартных пучков Эрмита-Лагерра-Гаусса (ЭЛГ) [30] с различными управляющими параметрами
sLGn£t (г,^6) _ (г|V4) + (3)
+е(_)"+£ е^+£)0ИLG„n„+£ (н_^г|©)},
где © = 6 /2 - л /4 - управляющий параметр второго ЭЛГ-пучка,
R „
cos а - sin а
зт а соз а
а HLG„m (•) -комплексная амплитуда ЭЛГ-пучка [41]:
n+m
HLGnm (г |а) = ^ ik cosn-k а sinm-k ах
k=0
хр(п-к,т-к) (-cos2a))Gn+m-k,k (г).
(4)
Отсюда следует, что первый член в (3) соотносится с модами ЛГ-в соответствии с преобразованием
ИЬОп+1л (г |л/4) = (-1)" 2И+'п!Щм (г), I > 0. (5)
Обозначим через £ и л поперечные координаты пучка в среде с общим астигматизмом, оси которого ориентированы под углом р. Функцию астигматического преобразования среды запишем как
у (р,Р) = (^2 - ^)cos2Р + 2£n sin 2Р,
(6)
где р = (£, л). Для комплексной амплитуды (3), записанной в терминах ЭЛГ-пучков, удобно использовать общее астигматическое преобразование в форме Фурье-преобразования [30].
F [exp (iby (р, Р)) sLGnj (р, е, 0)] (г)
= (-1)П (-i )2
exp
iby(r, Р)
2n+' n! 2>/1 + b2
xasLGnl (г,е,0, Ь,Р), asLGnj (г, е, 0, Ь,Р) = е'<Р+ж4)
4 (1 + b2)
(7)
xHLG„_
R
-я/ 4-Рг
хе
'(2n+¿)©
2^1 + b2
?HLG„
ж
--ю-
4
R
х
í ,\n +e(-i)
Л
(8)
у-Р
2у!\ + Ь2
где Р [ / (р)](г Н1/2*)^ ((г, р))/(р)^р -
2Б Фурье-преобразование, ю^агСап Ь, где Ь - параметр астигматизма. Обозначения углов ср, (6 и у раскрыты в формулах А5-А7 в Приложении.
Геометрическая интерпретация ЭЛГ-пучков [30] позволяет представить состояние пучка точкой на сфере единичного радиуса в рамках унитарных преобразований так, что тройка углов (а, р, ю_) характеризует первый и второй члены в (3) и (8), а - задает начальный угол, а углы р и ю- задают свойства астигматической среды. При распространении через астигматическую среду положение пучка на сфере отслеживает тройка углов (66, ср, у) . Связь между ними позволяет записать комплексную амплитуду в виде выражения (8), а вывод соответствующих выражений
представлен в Приложении А. Возможная геометрическая интерпретация более сложного сЛГ-пучка будет представлена в следующем параграфе.
V а ф
X UvV,
п=2;£=0 п=2;1=2 п=4;£=3
Рис. 1. Компьютерное моделирование астигматических
сЛГ-пучков: (а) интенсивности (инверсия) и (б) фазы для различных квантовых чисел (п; £)
Как мы видим из выражения (8), сЛГ-пучок в астигматической системе характеризуется множеством управляющих параметров, но при проведении эксперимента удобно выбрать часть параметров в виде а = 0, Ь = 1, е = 1, изменяя величины квантовых чисел (п, I ) и фазовый параметр 6 и угол р наклона оси астигматизма. Характерные картины интенсивности и фазы представлены на рис. 1 для различных квантовых чисел и угла р = л /4, в то время как фазовый параметр 6=0,97 рад выбран в области всплеска ОУМ при простом астигматизме [42].
2. Геометрия астигматических преобразований сЛГ-пучка
Внутренняя симметрия гибридных ЭЛГ-пучков нашла естественное отображение в виде траекторий на поверхности единичной 2Б-сферы Пуанкаре в рамках унитарных преобразований [47, 48]. Фактически, такая геометрия подчеркивает внутреннее единство представлений спинового и орбитального углового момента. Эта аналогия находит свое продолжение в интерпретации ЭГ-, ЛГ- и ЭЛГ-мод в виде 2Б-осцилляторов в гамильтоновой динамике [49] и представлений в виде лучей на обобщенной сфере Майорана [50].
Однако астигматический сЛГ- (асЛГ)-пучок, содержащий две ЭЛГ-моды с двумя различными управляющими параметрами, теряет свою прежнюю симметрию, а его геометрическое отображение уже требует использования многомерной сферы и, следовательно, теряется простота геометрической интерпретации. С другой стороны, обычный ЭЛГ-пучок характеризуется последовательностью вращений на сфере между начальной и конечной точкой, а промежуточная геометрическая эволюция пучка описывается выражениями (А5)-(А7) для углов (6(б,р) и ср(6,р) , как
функций фазового параметра 0 и угла Р ориентации осей астигматической среды (цилиндрической линзы). Тогда эволюцию асЛГ-пучка также можно отобразить траекториями на 2Э-сфере, не забывая, что такое отображение теряет однозначность. Тем не менее, потеря однозначности восполнится появлением критических точек и траекторий, которые укажут на необходимость детального исследования этих областей. Тогда семейства траекторий для состояний астигматических сЛГ-пучков зададим как
X = sin 2(0 cos cp,
Y = sin 20 sin cp, (9)
Z =cos0,
так что X 2 +Y 2 +Z 2 = 1 для любых углов 0 и р.
На рис. 2 изображены два семейства траекторий, управляемых (а) фазовым параметром 0 при заданных значениях угла Р и (б) углом р при заданных значениях фазового параметра 0. Сразу заметим, что эти траектории не отражают эволюцию ОУМ, как это было сделано в статьях [47, 48], но отображают общие свойства астигматических пучков с различными радиальными n и азимутальными i числами, а также с различными знаками ОУМ. Отчетливо выделяются четыре квадранта, разделенные меридиональными плоскостями (а) XOZ и YOZ, (б) плоскостями, повернутыми на угол л /4 вокруг оси OZ относительно меридиональных плоскостей на рис. 2а. Все траектории на рис. 2а,б стягиваются к северному полюсу как для положительных, так и для отрицательных ОУМ при Р ^ 0 и 0 ^ 0. Когда Р ^ ±л /2, ± 3л /2 и 0 ^ ±л /2, ± 3 л /2, все траектории стремятся к экватору и к главным меридианам в противоположных квадрантах.
f(P=const,e) f(P,0=const)
Рис. 2. Теоретически рассчитанные траектории состояний асЛГ-пучка на полусфере единичного радиуса
в зависимости от: (а) фазового параметра 6)при постоянном угле астигматизма /; (б) угле астигматизма /при постоянном фазовом параметре д. На полусфере (а) черная кривая соответствует вращению цилиндрической линзы против часовой стрелки, а светлая кривая — по часовой стрелке. На полусфере (б) светлая кривая
соответствует изменению угла астигматизма (— ж< /< ж), а черные кривые соответствуют главным квадрантам полушарий
Стоит отметить, что вблизи экватора на рис. 2а траектории слабо зависят от угла /, который задает направление оси астигматизма при изменяющемся
фазовом параметре 6, но вблизи главных меридианов угол / меняет знак. Аналогичная ситуация возникает с изменением знака фазового параметра на рис. 2б. Это указывает на то, что в области этих значений управляющих параметров следует ожидать радикальных изменений в структуре пучков. На первый взгляд кажется, что свойства пучков в соседних квадрантах на рис. 2а, б должны периодически воспроизводиться.
Однако нарушение исходной симметрии гибридных ЭЛГ-мод может вызвать неожиданные эффекты при вращении астигматической системы по часовой стрелке и против неё как в вырожденной точке северного полюса, так и вблизи главных меридианов, о чем мы поговорим в следующих параграфах.
3. Управление всплесками ОУМ
Расчеты, приведенные в Приложении Б, показывают, что удельный ОУМ многопараметрического пучка после астигматического элемента запишем в виде отношения полного ОУМ к полной интенсивности пучка
£г [asLGnЛ (г,е,6,Ь,/)] _
£^т2а1 _е^т2а2) + 2Яе[с*с2 -V] (10)
_ 1 + е2 + 2Яе[с*с2 - V] ,
где
с1 _ еа(/+ж/4), с2 _е(_)п+£ е^+^е^ф;
(пь т1 )_(п + £, п ); (п2, т2 )_(п, п + £); (11)
а1 _ ж/4_га_;а2 _ 6,;со_ _ апСапЬ;у _ ж/4_у.
и _ £4п,п+£)(аь а2, у)п2а1 _
_{(п + £ +1) пГ^аь а 2, у) +
(12)
+ (п +1) (а1, а2, у)| ^2аь
V = ^пп,п+£)(а1, а2, у).
Выясним, какие скрытые свойства асЛГ-пучка с нарушенной симметрией в астигматической среде проявляются при вариации параметров пучка. Действительно, как мы отмечали выше, спектр мод симметричного структурированного пучка сЛГ содержит моды с ± (2п +£) ОУМ. Однако наличие такого широкого спектра мод приводит только к быстрым осцил-ляциям ОУМ при вариации фазового параметра 6, в то время как его максимальная величина не может превышать ОУМ £ = £ исходного ЛГ-пучка [41]. Ситуация резко изменяется, когда пучок проходит через среду с простым астигматизмом (/ = 0) и возникают всплески ОУМ, величина которых не превышает половины радиального числа исходной ЛГ-моды £ и п /2 [42], но при £ = 0 ОУМ исчезает (£ = 0).
Детальную картину эволюции ОУМ при вариации параметров 6 и / в асЛГ-пучке иллюстрируют рис. 3
и рис. 4. Нарушение симметрии пучка при общем астигматизме вызывает расщепление вырожденных кольцевых дислокаций и появление новых вихрей, что включает в процесс формирования ОУМ как радиальные, так и азимутальные числа. Результатом этого процесса является появление новых всплесков ОУМ. Мы обнаружили, что амплитуды таких всплесков могут превышать сумму радиального и азимутального числа I™" > |п +£1 при ориентации оси астигматизма р =+л /4. Также наблюдаются мощные всплески ОУМ в окрестности углов р и 0; л , при этом возникает конверсия знака ОУМ при повороте оси астигматизма на угол л /2 относительно исходных углов.
ГпГпТТп'
оЦПпИИЛИЯМ рШШПЦ ПШШШШИМШШИ рмпм ГОЩШЩ
о й í эй ¿ У S * йз к ¡й . 3¿i а?
0=0 i/6 a/i */3
Рис. 3. Кривые ОУМ £ (теория) асЛГ-пучка: (а) (n = 4; £=1) и (б) (n = 20; £=1) в зависимости от фазового параметра в для различных углов астигматизма Р. На выносках представлены распределения интенсивности (эксперимент) для (а) в&0,97жи (б) в^0,98ж
Тем не менее, нам пока не удалось найти условия, при которых ОУМ достигает своего потенциально возможного значения ™ ~ |2n + £|. Мы ожидаем, что более детальные исследования процесса формирования ОУМ на основе разделения чистого вклада от оптических вихрей и за счет разрушения симметрии пучка при астигматизме на основе метода моментов интенсивности [51] позволит приблизить решение этой проблемы. В этом аспекте интерес представляет вопрос возникновения острых всплесков ОУМ в пучках с почти прямоугольной формой картины интенсивности на рис. 4, свойственной безвихревым ЭГ-модам.
4. Эффект следования структуры пучка за осью астигматизма
Как мы отмечали ранее [35], асЛГ-пучки могут распространяться в среде с простым астигматизмом (Р = 0; ж /2) без изменения своей структуры при определенных соотношениях между параметрами пучка и астигматической среды. Однако наши предварительные теоретические и экспериментальные исследования показали отсутствие таких условий для среды с общим астигматизмом (Р Ф 0) - нарушение условия подобия масштабов вдоль осей х и y при фокусировке пучка всегда приводит к разрушению симметрии исходного пучка. Тем не менее, столь жесткое требование к разрушению исходной структуры пучка не распространяется на условия сохранения (или частично -
го сохранения) разрушенной структуры пучка при повороте оси астигматизма. Именно эту проблему мы и рассмотрим в этом параграфе. Предпосылки к проявлению такого эффекта следования уже заложены в форме траекторий на сфере на рис. 2. Так, траектории состояний пучка на рис. 2б разделены главными меридианами на четыре квадранта и различаются видом отклика структуры пучка на направление оси астигматизма р. При этом параметр (6 (б,р), ответственный за структуру пучка, почти не изменяется в окрестности фазовых параметров 6 = л /4, 3 л /4, 5л /4. На эксперименте мы обнаружили, что при определенных значениях параметра 6 наблюдается синхронное вращение картины интенсивности вслед за поворотом оси цилиндрической линзы в определенном интервале углов р. Но сразу бросается в глаза, что этот эффект по-разному проявляется при вращении угла р по часовой стрелке и против неё. Это экспериментальное наблюдение заставило нас более пристально вглядеться в физический механизм эффекта.
□ О
1, ,1
■ •f т
0 я/2 1С Зя/2 2ж
-ir -я/2 0 гс/2
в г
Рис. 4. Кривые ОУМ £ (теория) асЛГ-пучка: (а, в) в зависимости от фазового параметра 6; (б,г) в зависимости от параметра астигматизма р; (а, б) соответствует
(п = 20; £=2) и (в, г) (п = 20; £=10). Кривая £ф) соответствует основным максимумам ОУМ (сплошная кривая) 6=0,1 ли (пунктирная кривая) 6= л—0,1. На выносках представлены распределения интенсивности (эксперимент)
При изменении угла р (движение по экватору на рис. 2б) картина интенсивности поворачивается в целом на угол ф, который легко определить из соотношений (8), как
Ф = arctgY = arctg (tgp). X
(13)
Семейство кривых на рис. 5 соответствует зависимости (13), где угол ср (6,р) задан соотношением (А6) из Приложения А. Мы видим, что светлая кривая
для 6 = 0,51л имеет почти ступенчатую форму с широкими плато, где положение картины интенсивности не меняется, но затем следует резкий поворот оси картины интенсивности. По мере стремления фазового параметра к 6 ^ л ступенчатая кривая сглаживается (серая кривая), так что в окрестности 6 и л наблюдается прямо пропорциональная зависимость ф = - р для черной кривой. Однако зависимости ф (Р) на рис. 5 не отражают вида перестройки (или сохранения) структуры картины интенсивности при вращении оси астигматизма. На эксперименте и компьютерном моделировании этот процесс был исследован, а основные результаты представлены на рис. 6.
картины интенсивности на угол РР вращения цилиндрической линзы для фазового параметра в: (светлая кривая) - в= 0,51л; (серая кривая) - в= 0,6л; (черная кривая) - в= 0,98л
Наши измерения картины интенсивности и ее структурные перестройки при вращении цилиндрической линзы проводились на экспериментальной установке, подробно описанной в нашей статье [32] (см. рис. 7 в статье [32]). Цилиндрическая линза с фокусным расстоянием /су1 = 15 см крепилась в поворотном устройстве оптического столика, позволяющего устанавливать угол Р оси цилиндрической линзы с точностью до четверти углового градуса.
Структурированный ЛГ-пучок формировался на 8ЬМ, цифровое обеспечение которого позволяло управлять радиальным п и азимутальным / числами пучка, его амплитудным е и фазовым 6 параметрами. Картина интенсивности детектировалась в плоскости двойного фокуса г = 2/у цилиндрической линзы с последующей цифровой обработкой.
В верхней части рис. 6 изображены картины интенсивности асЛГ-пучка при заданном направлении р оси астигматизма. Градиент серого на полукруге отображает степень корреляции ^ структуры пучка относительно исходной картины.
В нижней части полукруга изображен геликоидальный волновой фронт пучка, падающего на ци-
линдрическую линзу. Направление закрутки геликоида соответствует знаку ТЗ исходного ЛГ-пучка. Мы обнаружили, что степень сохранения (степень корреляции) структуры пучка при вращении цилиндрической линзы зависит от соотношения между ТЗ пучка и направлением вращения цилиндрической линзы (знаком угла Р). Так, если знак угла р совпадает со знаком ТЗ пучка, то структура пучка слабо изменяется в процессе структурного отслеживания оси линзы. В противоположном случае структура пучка быстро разрушается.
Рис. 6. Моделирование структуры асЛГ-пучка после вращения цилиндрической линзы для (п = 4; / = + 1).
Картина интенсивности (инверсия) повторяет вращение оси цилиндрической линзы для />0, Р>0 и /<0, Р<0, в то время как при />0, Р<0 и /<0, Р >0 картина интенсивности быстро изменяется
Мы заинтересовались, как структура пучка будет изменяться при пересечении критической точки для фазового параметра 6 = 0, л /4, 3 л /4, где наблюдается резкий всплеск ОУМ, в то время как картина интенсивности имеет много общего с картиной интенсивности ЭГ-моды? Ответ на этот вопрос иллюстрирует рис. 7. Первая строка на рис. 7 демонстрирует картины интенсивности асЛГ-пучка для 6 = 0 и / = 0 при различных направлениях р вращения цилиндрической линзы.
При этом наблюдается четкое отслеживание направления вращения линзы и картины интенсивности без разрушения ее структуры.
Р=-М -!г/6 -!Г/Ю ж кПО те/6 Я/4
Рис. 7. Компьютерное моделирование интенсивности (инверсия) асЛГ-пучка для (а, б) (п = 15; /= 0); (в, г)
(п = 15; /= 1) при различных параметрах 6и Р
Однако для ненулевого ТЗ (/ = 1) возникает частичное разрушение исходной картины интенсивности для различных знаков ТЗ и р (вторая строка), хотя главные диагонали прямоугольников в картинах интенсивности строго следуют за поворотом цилиндрической линзы.
Ситуация резко изменяется при больших значениях фазового параметра 6 (третья и четвертая строка на рис. 7). Вращение линзы приводит к резкой перестройке картины интенсивности. Особенно ярко это проявляется при смене знака ТЗ пучка (четвертая строка рис. 7). Хотя структура пучка и разрушается при вращении линзы, наблюдается строгая корреляция между картинами при вращении линзы по и против часовой стрелки. В самом деле, сравнение картин интенсивности в третьей и четвертой строках рис. 7 показывает, что их тонкая структура совпадает, если направление вращения цилиндрической линзы изменяется одновременно с изменением знака ОУМ, т.е. произведение ОУМ на знак вращения линзы 4 -sign (Р) = const должно оставаться неизменным.
Для того чтобы подтвердить или опровергнуть полученные теоретические предсказания, требуется сравнить между собой картины интенсивности для различных фазовых параметров 6, углов вращения Р цилиндрической линзы и 4z ОУМ посредством степени корреляции л, измеренной на эксперименте и представленной на рис. 8.
Кривые для 6 = л на рис. 8 описывают степень корреляции л (Р) для пучков с нулевым ОУМ (4 = 0), они симметрично преобразуют интенсивность при вращении линзы по и против часовой стрелки с ошибкой измерения до 5 %. Симметрия кривой "Л (Р)нарушается для ненулевых значений ОУМ, когда знаки Р и 4 могут быть одинаковыми или различными. Важно отметить, что в интервале углов вращения линзы Ре(0, + л /8) наблюдается эффект следования структуры пучка за осью вращения цилиндрической линзы при выполнении условия 4z -sign (Р) = const. *т
_u
s 4
Y 14
i С
1.06х 1.04л 1,02л
в п=4;1=-1 г
Рис. 8. Кривые степени корреляции (теория) г/(Р) для картин интенсивности в зависимости от угла поворота цилиндрической линзы асЛГ-пучка с положительным и отрицательным ТЗ: (а,б) (п = 4; /= 1) и (в,г) (п = 4; /=-1). Каждая кривая на графике соответствует определённому значению фазового параметра 6, представленному на рисунке в виде градиента: слева для (а, в), справа для (б, г). Кружки соответствуют экспериментальным точкам
Выводы
Свойства структурированных ЛГ-пучков в астигматической среде являются ярким примером проявления скрытых свойств стандартных ЛГ- и ЭЛГ-пучков при нарушении их вращательной симметрии. Вращение этих пучков по и против часовой стрелки не изменяет их свойств. Стоит только сложить эти пучки, чтобы получить сЛГ-пучок [40], как свойство вращательной симметрии нарушается и возникают быстрые осцилляции ОУМ, частота которых задается радиальным n числом сЛГ-пучка, в то время как их амплитуда не превышает начального топологического заряда I (равного азимутальному числу исходной ЛГ-моды). Тем не менее, его спектр мод становится широким, содержащим ОУМ, равный + (2n + £) удвоенному радиальному числу, плюс азимутальное число с противоположными знаками ОУМ.
Мы показали, что в среде с общим астигматизмом ситуация кардинально меняется. Можно выделить две основные особенности. Первой из них является то, что экстремумы ОУМ возникают при угле астигматизма р = л /4 при любых значениях фазового параметра 6, но их экстремальное значение, превышающее |n + i\, возможно получить только при оптимальных значениях фазового параметра. Второе основное свойство-эффект следования структуры пучка за углом р поворота оси цилиндрической линзы, который проявляется при условии, что произведение ОУМ и знака угла поворота р остается неизменным.
Стоит отметить, что мы рассмотрели только часть из множества скрытых свойств структурированных пучков, утративших вращательную симметрию. Дальнейшие детальные теоретические и экспериментальные исследования заслуживают того, чтобы выявить условия, при которых появляется возможность получить экстремальное ОУМ + (2n + £) путем подавления нежелательных мод.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант 23-22-00314).
References
[1] Willner AE, Song H, Zou K, Zhou H, Su X. Orbital angular momentum beams for high-capacity communications. J Lightwave Technol 2023; 41(7): 19181933. DOI: 10.1109/JLT.2022.3230585.
[2] Rubinsztein-Dunlop H, Forbes A, Berry MV, Dennis MR, Andrews DL, Mansuripur M, Denz C, Alpmann C, Banzer P, Bauer T, Karimi E, Marrucci L, Padgett M, Ritsch-Marte M, Litchinitser NM, Bigelow NP, Rosales-Guzmán C, Belmonte A, Torres JP, Neely TW, Baker M, Gordon R, Stilgoe AB, Romero J, White AG, Fickler R, Willner AE, Xie G, McMorran B, Weiner AM. Roadmap on structured light. J Opt 2017; 19: 013001. DOI: 10.1088/20408978/19/1/013001.
[3] Shen Y, Yang X, Naidoo D, Fu X, Forbes A. Structured ray-wave vector vortex beams in multiple degrees of
freedom from a laser. Optica 2020; 7(7): 820-831. DOI: 10.1364/OPTICA.382994.
[4] Kotlyar VV, Kovalev AA, Porfirev AP. Vortex laser beams. Boca Raton: CRC Press; 2019. ISBN: 978-1-13854211-2.
[5] Wang Z, Shen Y, Naidoo D, Fu X, Forbes A. Astigmatic hybrid SU(2) vector vortex beams: towards versatile structures in longitudinally variant polarized optics. Opt Express 2021; 29(1): 315-329. DOI: 10.1364/OE.414674.
[6] He C, Shen Y, Forbes A. Towards higher-dimensional structured light. Light Sci Appl 2022; 11: 205. DOI: 10.1038/s41377-022-00897-3.
[7] Wan Z, Wang Z, Yang X, Shen Y, Fu X. Digitally tailoring arbitrary structured light of generalized ray-wave duality. Opt Express 2020; 28(21): 31043-31056. DOI: 10.1364/OE.400587.
[8] Singh K, Buono W, Forbes A, Dudley A. Accelerating polarization structures in vectorial fields. Opt Express 2021; 29(2): 2727-2737. DOI: 10.1364/OE.411029.
[9] Scholes S, Kara R, Pinnell J, Rodriguez-Fajardo V, Forbes A. Structured light with digital micro-mirror devices: a guide to best practice. Opt Eng 2019; 59(4): 041202. DOI: 10.1117/1.OE.59.4.041202.
[10] De Oliviera M, Nape I, Pinnell J, Tabebordbar N, Forbes A. Experimental high-dimensional quantum secret sharing with spin-orbit-structured photons. Phys Rev A 2020; 101(4): 042303. DOI: 10.1103/PhysRevA.101.042303.
[11] Forbes A. Sculpturing electric currents with structured light. Nat Photonics 2020; 14: 656-657. DOI: 10.1038/s41566-020-00705-7.
[12] Shen Y, Wan Z, Meng Y, Fu X, Gong M. Polygonal Vortex Beams. IEEE Photon J 2018; 10(4): 503016. DOI: 10.1109/JPHOT.2018.2858845.
[13] Lin Z, Hu J, Chen Y, Bres C-S, Yu S. Single-shot Kra-mers-Kronig complex orbital angular momentum spectrum retrieval. Adv Photonics 2023; 5(3): 036006. DOI: 10.1117/1.AP.5.3.036006.
[14] Shen Y, Zayats AV. Topology, skyrmions, and superoscillation of structured light. Proc SPIE 2023; PC12436: PC1243606. DOI: 10.1117/12.2653880.
[15] Shen Y, Wang X, Xie Z, Min C, Fu X, Liu Q, Gong M, Yuan X. Optical vortices 30 years on: OAM manipulation fromtopological charge to multiple singularities. Light Sci Appl 2019; 8: 90. DOI: 10.1038/s41377-019-0194-2.
[16] Forbes A, de Oliveira M, Dennis M. Structured light. Nat Photon 2021; 15: 253-262. DOI: 10.1038/s41566-021-00780-4.
[17] Izdebskaya Ya, Shvedov V, Volyar A. Symmetric array of off-axis singular beams: spiral beams and their critical points. J Opt Soc Am A 2008; 25(1): 171-181. DOI: 10.1364/JOSAA.25.000171.
[18] Volyar A, Shvedov V, Fadeyeva T, Desyatnikov AS, Neshev DN, Krolikowski W, Kivshar YuS. Generation of single-charge optical vortices with an uniaxial crystal. Opt Express 2006; 14: 3724-3729. DOI: 10.1364/OE.14.003724.
[19] Fadeyeva T, Alexeyev C, Rubass A, Volyar A. Vector erf-Gaussian beams: fractional optical vortices and asymmetric TE and TM modes. Opt Lett 2012; 37: 1397-1399. DOI: 10.1364/OL.37.001397.
[20] Gbur GJ. Singular optics. New York: CRC Press; 2017. DOI: 10.1201/ 9781315374260.
[21] Soifer VA, Golub MA. Laser beam mode selection by computer-generated holograms. Boca Raton: CRC Press; 1994. ISBN: 978-0-8493-2476-5.
[22] Porfirev AP, Kuchmizhak AA, Gurbatov SO, Juodkazis S, Khonina SN, Kulchin YuN. Phase singularities and optical vortices in photonics. Phys Usp 2022; 65(8): 789-811. DOI: 10.3367/UFNe.2021.07.039028.
[23] Daukantas P. Structured light without distortion. Optics and Photonics News. 2023. Source: <https://www.optica-opn.org/home/newsroom/2023/february/structured_light_w ithout_distortion/>.
[24] Palagi S, Mark AG, Reigh SY, Melde K, Qiu T, Zeng H, Parmeggiani C, Martella D, Sanchez-Castillo A, Kapernaum N, Giesselmann F, Wiersma DS, Lauga E, Fischer P. Structured light enables biomimetic swimming and versatile locomotion of photoresponsive soft microrobots. Nat Mater 2016; 15(6): 647-653. DOI: 10.1038/nmat4569.
[25] Wang X-L, Cai X-D, Su Z-E, Chen M-C, Wu D, Li L, Liu N-L, Lu C-Y, Pan J-W. Quantum teleportation of multiple degrees of freedom of a single photon. Nature 2015; 518: 516-519. DOI: 10.1038/nature14246.
[26] Lukin VP. Outer scale of turbulence and its influence on fluctuations of optical waves. Phys Usp 2021; 191(3): 292317. DOI: 10.3367/UFNe.2020.10.038849.
[27] Aksenov VP, Dudorov VV, Kolosov VV, Levitsky ME. Synthesized vortex beams in the turbulent atmosphere. Front Phys 2020; 143. DOI: 10.3389/fphy.2020.00143.
[28] Cox MA, Mphuthi N, Nape I, Mashaba N, Cheng L, Forbes A. Structured light in turbulence. IEEE J Sel Top Quantum Electron 2021; 27(2): 7500521. DOI: 10.1109/JSTQE.2020.3023790.
[29] Klug A, Peters C, Forbes A. Robust structured light in atmospheric turbulence. Adv Photonics 2023; 5: 016006. DOI: 10.1117/1.AP.5.1.016006.
[30] Abramochkin EG, Volostnikov VG. Modern Optics of Gaussian Beams [In Russian]. Moskow: "Fizmatlit" Publisher; 2010. ISBN: 978-5-9221-1216-1.
[31] Volyar AV, Bretsko MV, Akimova YaE, Egorov YuA. Beyond the light intensity or intensity moments and measurements of the vortex spectrum in complex light beams. Computer Optics 2018; 42(5): 736-743. DOI: 10.18287/2412-6179-2017-42-5-736-743.
[32] Volyar AV, Abramochkin EG, Akimova YE, Bretsko MV. Huge spikes and dips of the orbital angular momentum in structured Laguerre-Gaussian beams resistant to simple astigmatism. Computer Optics 2023; 47(3): 350-360. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1243.
[33] Allen L, Barnett SM, Padgett MJ. Optical angular momentum. Boca Raton: CRC Press; 2003. ISBN: 9780429174940.
[34] Torres JP, Torner L. Twisted photons: applications of light with orbital angular momentum. Bristol: Wiley-VCH; 2011. ISBN: 9783527635375.
[35] Kotlyar VV, Kovalev AA, Nalimov AG. Topological charge of optical vortices. Boca Raton: CRC Press; 2022. ISBN: 978-1-032-34553-6.
[36] Berry MV. Wave dislocation reactions in non-paraxial gaussian beams. J Mod Opt 1998; 45(9): 1845-1858. DOI: 10.1080/09500349808231706.
[37] Vasnetsov MV, Gorshkov VN, Marienko IG, Soskin MS. Wavefront motion in the vicinity of a phase dislocation: "optical vortex". Opt Spectrosc 2000; 88(2): 260-265. DOI: 10.1134/1.626789.
[38] Kreminskaya LV, Soskin MS, Khizhnyak AI. The Gaussian lenses give birth to optical vortices in laser beams. Opt Commun 1998; 145(1): 377-384. DOI: 10.1016/S0030-4018(97)00473-2.
[39] Soskin MS, Vasnetsov MV. Singular optics. Ch 4. Amsterdam: Elsevier; 2001: 219-276. DOI: 10.1016/S0079-6638(01)80018-4.
[40] Volyar AV, Abramochkin EG, Bretsko MV, Akimova YE, Egorov YA. Can the radial number of vortex modes control the orbital angular momentum? Computer Optics 2022; 46(6): 853-863. DOI: 10.18287/2412-6179-C0-1169.
[41] Volyar A, Abramochkin E, Akimova Y, Bretsko M. Control of the orbital angular momentum via radial numbers of structured Laguerre-Gaussian beams. Opt Lett 2022; 47(10): 2402-2405. DOI: 10.1364/OL.459404.
[42] Volyar A, Abramochkin E, Akimova Y, Bretsko M. Super bursts of the orbital angular momentum in astigmatic-invariant structured LG beams. Opt Lett 2022; 47(21): 5537-5540. DOI: 10.1364/OL.474385.
[43] Pinnell J, Nape I, Sephton B, Cox MA, Rodríguez-Fajardo V, Forbes A. Modal analysis of structured light with spatial lightmodulators: A practical tutorial. J Opt Soc Am A 2020; 37: C146-C160. DOI: 10.1364/josaa.398712.
[44] Wang J, Liang Y. Generation and detection of structured light: A review. Front Phys 2021; 9: 688284. DOI: 10.3389/fphy.2021.688284.
[45] Forbes A, Dudley A, McLaren M. Creation and detection of optical modes with spatial light modulators. Adv Opt Photon 2016; 8(2): 200-227. DOI: 10.1364/AOP.8.000200.
[46] Flamm D, Grossmann DG, Sailer M, Kaiser M, Zimmermann F, Chen K, Jenne M, Kleiner J, Hellstern J, Tillkorn C, Sutter DH, Kumkar M. Structured light for ultrafast laser micro- and nanoprocessing. Opt Eng 2021; 60(2): 025105. DOI: 10.1117/1.OE.60.2.025105.
[47] Dennis MR, Alonso MA. Swings and roundabouts: optical Poincare spheres for polarization and Gaussian beams. Phil TransR Soc A 2017; 375: 20150441. DOI: 10.1098/rsta.2015.0441.
[48] Shen Y, Wang Z, Fu X, Naidoo D, Forbes A. SU(2) Poincare sphere: A generalized representation for multidimensional structured light. Phys Rev A 2020; 102: 031501(R). DOI: 10.1103/PhysRevA.102.031501.
[49] Hsieh C-L, Wang C-H, Chung W-C, Liang H-C, Chen Y-F. Transition from eigenmodes to geometric modes characterized by the quantum SU(2) coupled oscillator model: a review. Opt Continuum 2023; 2(4): 738-750. DOI: 10.1364/OPTCON.484492.
[50] Gutierrez-Cuevas R, Wadood SA, Vamivakas AN, Alonso MA. Modal Majorana sphere and hidden symmetries ofstructured-Gaussian beams. Phys Rev Lett 2019; 125: 123903. DOI: 10.1103/PhysRevLett.125.123903.
[51] Fadeyeva TA, Rubass AF, Aleksandrov RV, Volyar AV. Does the optical angular momentum change smoothly in fractional-charged vortex beams? J Opt Soc Am B 2014; 31: 798-805. DOI: 10.1364/JOSAB.31.000798.
Приложение А. Астигматическое преобразование сЛГ-пучков
В этом параграфе мы получим общие астигматические преобразования сЛГ-пучков (см. (2) и (3)). Начнем с того, что астигматическое преобразование (АП) удобно записать в интегральной форме как [42]:
F
exp(ia|р|2 + iby(p,Py\HLG„m(р|a) (r) = — Jexp(-i(г,р) + iap2 + i%( р, P))HLGnm (р |a) 2Р: ^ ' J 2Л ^ 2
/ -\n+m ( -mí а\ Л (А1)
v ' v - + i (n -mH + i(n + m +1)co+ HLGnm (R-ySR-pr6),
exp
[ 4i
!2 y
где ст+ = 1 + i (a ± b), T (r, ß) = a (1 + a2 - b2) r2 + b (1 + b2 - a2) у (r, ß), ю± = (arg ст+ ± arg ст-) /2, Ra - матрица вращения,
Л/U I 0 Л _
- диагональная матрица, а параметры Э, у, ср являются решениями тригонометрической
S = I 2
N 0 0 VH-
i/
системы уравнений:
sin 26 = sin 2a cos 2ю_ + cos2a sin 2p sin 2ю_, (A2)
e2,í cos2(6 = cos2acos2p+/'(sin2asin2co_ -cos2asin2pcos2co_), (A3)
ei9±i6 = e^- ^cos y + sin y) (c^os a cos P + i sin a sin p) - e-™- (sin y + cos y) (c^os a sin P - i sin a cos p). (A4)
Все уравнения содержат только параметры (б, y, ср) с левосторонним вращением света на выходе астигматической системы, в то время как состояние пучка на входе астигматической системы задаются параметрами (a, b, a, P). Нам достаточно найти только одно решение этой системы уравнений, поскольку остальные решения будут задавать члены с правосторонним вращением. Фактически первые два уравнения (А2) и (А3) позволяют найти параметры 6 и y , тогда как третье уравнение (А4) обеспечит определение параметра ср . Решение системы уравнений имеет вид
66 = "~argjs-^(cos2acos2p)2 +(sin2asin2ro- -cos2asin2pcos2ro-)2 +
+ i (sin 2a cos2ro- + cos 2a sin 2p sin 2ю-) J, y = "2-argj5-(cos2acos2p + i(sin2asin2ro- -cos2asin2pcos2ro-))J, (A6)
ф = -0 + arg{eim- (cos y - sin y )(cos a cos p+ i sin a sin p)- eim- (sin y + cos y )(cos a sin p- i sin a cos p)J, ф = 0 + arg {eim- (cos y + sin y) (cos a cos p + isin a sin p) - e-im- (sin y - cos y) (cos a sin p - isin a cos p) J.
(A7)
Здесь 5 = +1 - новый параметр. Можно выбрать 5 = 1, хотя выбор 5 = -1 иногда приводит к более компактным выражениям. В частности, если a = a = 0, то ю- = arctgb. Полагая 5 = sign (cos 2Р), приходим к
(ё, у, ф ) = (Р,0, л/4 ).
Пусть параметр дефокусировки равен нулю a = 0, тогда ст± = 1 + ib, ю+ = arctg b, Т (r, Р) = b (1 + b2) у (r, Р), S превращается в единичную матрицу S = I /21 + b2 , а интеграл в (А1) становится равным
F[exp((р, p))sLGn/ (р|е, 0) (r) =
asLG„,t (r |е, 0, b, p) = eil(+*l4HLG„+t ,„
(-1)" (-iГ ex (-iby(r,p) 2n+ln\ U\ + b2 eXP[ 4(1 + b2)
• asLGn l (r |s, 0, b, p),
R
-я/ 4-pr
2y/\ + b2
--ra-
+ s(-i )"+l- ei(2 "+l)0e-il ф HLGn.
R-y-pr
2VÍ+62
(A8) (A9)
где параметры определяются из уравнений (А5)-(А7) и равны 6 = 6(©,р-^4,Ю-,8), у = у(©,р-л/4,,8), ср = ср (©, р - л/4, ю-, 8) .
Приложение Б. Орбитальный угловой момент асЛГ-пучка
Рассмотрим суперпозицию двух ЭЛГ-пучков с различными управляющими параметрами, поперечные поля которых повернуты на углы у\ и у2
Б (г ) = еНЬО^т г| а\) + С2 ИЬОП1,т1 ( г |а 2) (Б1)
и оценим ОУМ £z [Б] = Ь / Е, где
Е = | |^|2 = | (г )|2С 2г, Ь = 11т {Б* (г )5фБ (г )}сС2г.
Поскольку ОУМ не зависит от поворота координат, выберем переменную г ^ Я _у\г и используем параметры
Б (г) = сНЬОщт (г |а\) + С2 НЬО„2т2 (-у\г| а 2) = С\ЕЬОЩт, (г |а\) + с2 НЬО^т, (г |а 2), (Б2)
где у = у2 - у1. Сначала оценим Е:
С 2г = Е, + Е2 + Е3,
E = J cHLGnim (r|a\) + c2HLG^^ (Ryr^2) E\ = |ci|2|HLG4)m, (r|a\)2 = |c\|2 +mn\!mi!, E2 = ^flHLG^m (r|a2)2 = |c2|2 +m2n1\m1\ E3 = 2Rej c*c2 J HLG*im (r|a\")HLGr¡l¡mi (Ryr|a2)d2r I.
Если п, + т, Фп2 + т2, то Е3 = 0. Если же п, + т, = п2 + т2 = Ы, тогда п, = Ы-т,, то разложение ЭЛГ-пучка по ЭЛГ-модам с различными управляющими параметрами запишется в виде [30]:
n+m
HLGnm (Ryr|0) = (a,0,y)HLG„+m-k¿ (r|a),
k=0
X(n'm)(a, 0, y) = (-l)k {cos y cos (0-a) + i sin y sin (0+a)J {cos y sin (0-a)-i sin y cos (0 + a)J
xPk(-k'm-k' (sin2 y cos2 (0 +a) - cos2 y cos2 (0 - a)).
В результате находим спектр ЭЛГ-пучка с управляющим параметром a2:
(Б3) (Б4)
N
ИЬОм_тг,тг (г|а2) = ^я,(-т2,т2' ((Х1,а2,у)ИЬО„-кл (г|а1) =
к=0
= ^т^тг-тг)((Х1,а2,у)ИЬО„_щ,т (г() + ... . Ненулевой вклад в Е3 дает только член с к=т1, т.е. Ез = 2Яе т2,т2' (а„а 2,у)}•} ( " т)!!'т,!.
Теперь для ОУМ получаем три интеграла
Ь = 11т {Г (г )5фБ (г)} 2г = А + ¿2 + 1з,
Г 2
Ь = |с!|2 11т{иШ1щ (г|а!)дфИЬО„иЩ (г|)}(2г = ¡с^2 • /2 [ИШ^^ (г|а!ЩиЩ^ (гЦ) = |сж|2 •( - т1)п2а1 •-2-2И1+т1 п1!т1!,
Ь2 = Щ2 11т{иЬОп,2тт2 (г|а2)дфИЬО„2т (г|а2)}(2г =|• /г [ИЬО„2т (г|а2)]•!ИЬО„2т (г|а2 = |с2|2 •(п2 -т2)п2а2 •-2-2И2 +т2 п2!т2!,
Ьз = 1т<! с*с21 ИЬО'Щт„ (г|а1 )дфИЬО„2т (г|а2)(2г ^ + 1т^ сс* | ИЬО*2т2 (г|а2)дфИЬО^т (г|а1)(2
I «2
= 21т ! сс* | ИЬв'ъ
,тг (Иуг |а2 ) дфИЬ^'п1,т1
(г |а1 )(2
откуда
дф ИЬО„т (г |а) = {хд у - уд х }ИЬО„т (г |а) = i {-т со$.2аИЬО„+1т-1 (г |а)- п со^2аИЬО„-1т+1 (г |а) +(п -
. . (Б5)
(п -т)2аИЬО„т (г а)}.
Фактор мнимой единицы в правой части показывает, что Ь3 можно свести к сумме трех интегралов вида Е3, где пара индексов (п2, т2) остается неизменной, пока пара индексов (п1, т1) принимает значения (п1 + 1, т1 - 1),
(п1 - 1, т1 + 1) и (п1, т1). Как следствие, если п1 + т1 Фп2 + т2, тогда Ь3 = 0. Если п1 + т1 = п2 + т2 = Ы, тогда
Ь3 = {-т1ео82а1 • Е3 |т]^т1 -1 -п1 соБ2а1 • Е3 |т]^т]+1 +(п1 - т1 )п2а1 • Е3} =-2-2Ы • 211е{с*с2 х х(-т1со82а1 •(( - т1 + 1)!(т1 - 1))(Гт'2 )(хх1, а 2, у)-(Ы - т1 )со82а1 •( - т1 - 1)!(т1 + 1)!х х^ )(хх1, а2, у) + (Ы - 2т1 )п2а1 •( - т1 ^т^Ат-т2,т2 )((Хх, а2, у))} = ^2ы (Ы - т1 )!т1Х х2Ке{с*с2 (-(( - т1 + 1)соБ2а1 •Х(-1т2'т2 '(аьа 2,у)-(т1 + 1)соБ2а1 •Х(т2'т2 '(аьа 2,у) + +(Ы - 2т1 )ш2а1 •Х{тЫ-т2,т2 '(аь а 2, у))}. Таким образом, если п1 + т1 Ф п2 + т2, то
/ Гр1 с^2 • 2п +т п1!т1!(п1 - т1 )п2а1 + |с2|2 • 2"2 +т2 п2!т2!(п2 - т2 )п2а2 ^^^
\с1^ •2"1 +т1 п1 !т1!+ |с212 • 2"2 +т2 п2!т2! '
Если же п1 + т1 = п2 + т2 = Ы, то
IcJ2 -(N - 2m1 )sin2ai + |c2|2 • (( m2 )-m2' (N - 2m2 )sin2a2 + 2Re{c*c2 -UJ <■ [f]^^—:--- (>""■;---'--, (Б7)
I«!2 +i c2i2 TTN-m)!+2Re{{2-V J
где
U = (N - 2m )¿m-m2'm2' (a1,a2,у)sin2a1 - {(N -m1 +1) X^2'"2' (a1,a2,у) + (m1 +1) x
x^T^' (a1,a2, у)cos2a1, (Б8)
V = A(- m2m'(, a2, у).
Сведения об авторах
Воляр Александр Владимирович - доктор физико-математических наук (1992). С 1993 г. - профессор, с 1999 г. - заведующий кафедрой общей физики. Сфера научных интересов: оптика, лазерная физика. E-mail: [email protected]
Абрамочкин Евгений Григорьевич - доктор физико-математических наук (2006), ведущий научный сотрудник Самарского филиала Физического института им. П.Н. Лебедева РАН. Научные интересы связаны с комплексным анализом, теорией специальных функций и уравнениями математической физики. E-mail: [email protected]
Брецько Михаил Владимирович - кандидат физико-математических наук (2022), ассистент кафедры общей физики Физико-технического института Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского. Сфера научных интересов: компьютерное моделирование, сингулярная оптика. E-mail: [email protected]
Халилов Сервер Искандарович - ассистент кафедры бизнес-информатики и математического моделирования Физико-технического института Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского. Сфера научных интересов: сингулярная оптика, лазерная физика. E-mail: [email protected]
Акимова Яна Евгеньевна - кандидат физико-математических наук (2022), ассистент кафедры общей физики Физико-технического института Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского. Сфера научных интересов: сингулярная оптика, лазерная физика. E-mail: aklmova. [email protected]
ГРНТИ: 29.31.15
Поступила в редакцию 10 июля 2023 г. Окончательный вариант - 13 сентября 2023 г.
Control of giant orbital angular momentum bursts of structured Laguerre-Gaussian beams in a medium with general astigmatism
A.V. Volyar1, E.G. Abramochkin 2, M.V. Bretsko1, S.I. Khalilov1, Ya.E. Akimova1 1 Physics and Technology Institute of V.I. Vernadsky Crimean Federal University;
295007, Simferopol, Republic of Crimea, Russia, Academician Vernadsky 4, 2Lebedev Physical Institute, 443034, Samara, Russia, Novo-Sadovaya 221
Abstract
We examined theoretically and experimentally the influence of astigmatic elements (for example, a cylindrical lens) on a structured Laguerre-Gaussian beam (sLG) when the lens axes are directed at an arbitrary angle to the laboratory coordinate axes (a general astigmatism). Although a structurally stable Laguerre-Gaussian (LG) beam contains a great number of axisymmetric modes (in the LG basis) with matching phases and amplitudes, their superposition already loses its original axial symmetry, but acquires new properties (for example, fast oscillations of the orbital angular momentum (OAM)), while the beam OAM cannot exceed the azimuthal number £ of the original LG mode. The loss of axial symmetry occurs due to bringing phase and amplitude perturbations into each mode of the sLG beam, which destroy the ring dislocations. Since degenerate ring dislocations are formed by optical vortices with opposite topological charges, but with equal weights, their destruction is accompanied by appearing of vortex pairs in the form of topological dipoles (their number is equal to the radial number n). As a result, the mode spectrum of the sLG is extended to the value + (2n + £). The astigmatic element (cylindrical lens) violates the equality of vortex weights in the dipoles, which leads to a sharp growing the OAM of the sLG beam. Moreover, the OAM can be controlled by changing the rotation of the cylindrical lens axes and the control parameters of the sLG beam. It is these processes that are discussed in detail in our article, both in theoretical and experimental aspects. We show that with a certain orientation of the cylindrical lens axes, the beam OAM can exceed the sum of the orbital and azimuthal numbers (OAM> n + £). Besides, we reveal that the intensity pattern of the astigmatic sLG beam can follow the rotation of the astigmatic element axes (the effect of the beam structure following the cylindrical lens axes) at certain relations between control parameters of the sLG beam and the astigmatic element.
Keywords: vortex beams, structured light, orbital angular momentum.
Citation: Volyar AV, Abramochkin EG, Bretsko MV, Khalilov SI, Akimova YE. Control of giant orbital angular momentum bursts of structured Laguerre-Gaussian beams in a medium with general astigmatism. Computer Optics 2024; 48(1): 35-46. DOI: 10.18287/2412-6179-CO-1395.
Acknowledgements This work was financially supported by the Russian Science Foundation under grant No. 23-22-00314.
Authors' information
Alexander Vladimirovich Volyar (b. 1949) graduated from Simferopol State University (1972). After graduation he is its employee. Doctor of Physical and Mathematical Sciences (1992). Since 1993 he is a professor. Since 1999 he is a head of the General Physics department. His research spans various fields of optics and laser physics. E-mail: [email protected]
Eugeny Grigor'evich Abramochkin (b. 1962) graduated from Kuibyshev State University (1984), majoring in Mathematical Physics. He received his Doctor's Degree in Physics in 2006. He is a leading researcher of Samara Branch of Lebedev Physical Institute of Russian Academy of Sciences. He is a co-author of nearly 50 scientific papers. His research interests include complex analysis, special functions, and mathematical physics equations. E-mail: [email protected]
Mikhail Vladimirovich Bretsko (b. 1994) graduated from V.I. Vernadsky Crimean Federal University (2022), majoring in Physics and Astronomy. He received his Ph. D. in Physics in 2022. He is assistant of General Physics department in the Physical-Technical Institute of V.I. Vernadsky Crimean Federal University. Co-author of about 40 scientific papers. His research interests include computer modeling, singular optics. E-mail: [email protected]
Server Iskandarovich Khalilov - assistant of Business Informatics and Mathematical Modeling department of the Physical-Technical Institute of the Crimean Federal University named after. V.I. Vernadsky. Research interests: singular optics, laser physics. E-mail: [email protected]
Yana Evgenievna Akimova (b. 1994) graduated from V.I. Vernadsky Crimean Federal University (2022), majoring in Physics and Astronomy. She received her Ph. D. in Physics in 2022. She is assistant of General Physics department in the Physical-Technical Institute of V.I. Vernadsky Crimean Federal University. Co-author of about 40 scientific papers. Her research interests include diffractive and singular optics, laser physics. E-mail: akimova. [email protected]
Received July 10, 2023. The final version - September 13, 2023.
