CC BY
12УДК 51:37.091.214.18-027.556(076)
УПРАВЛЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ УЧАЩИХСЯ СТАРШЕЙ ШКОЛЫ НА ФАКУЛЬТАТИВЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
Гончарова Ирина Владимировна кандидат педагог. наук, доцент ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г. Донецк
Пустовая Юлия Валериевна
ассистент e-mail: Julia-Pustovaa@mail. ru ГОУ ВПО «Донецкий национальный технический университет»
Goncharova Irina
The candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor
Donetsk National University, Donetsk
Pustovay Julia Assistant
Donetsk National Technical University, Donetsk
j......-i
Занятия эвристического факультатива по математике способствуют раскрытию творческого потенциала учащихся, помогают развивать способность самостоятельно «добывать» знания, анализировать, делать выводы, мотивируют на различные исследования. Приобретенные эвристические умения будут полезны учащимся на протяжении всей их дальнейшей жизни. Поэтому важно организовать работу учащихся на занятиях и дома так, чтобы она была максимально продуктивной. Для решения этой задачи, предлагаем рабочую тетрадь как средство управления эвристической деятельностью обучаемых. В статье описаны особенности построения и использования рабочей тетради на занятиях эвристического факультатива по математике.
Ключевые слова: эвристическая деятельность, управление эвристической деятельностью, эвристический факультатив, рабочая тетрадь.
].......{
Постановка проблемы. Современность характеризуется изменением темпа жизни человека, является следствием ускорения научно-технического прогресса, социальных, политических и культурных изменений, а также повышенными требованиями к образованию и образованности нового поколения.
Общепринятое понимание образования предполагает потребность личности обучающегося в самореализации. Учителю необходимо так организовать обучение, чтобы учащийся смог быть гибким, мобильным, критически мыслить; генери-
ровать новые идеи, принимать нестандартные решения и отвечать за них; уметь находить, анализировать информацию, применять ее для индивидуального развития и самосовершенствования. Последнее во многом зависит от умения учителя целенаправленно организовывать эвристическую деятельность учащихся и управлять ею.
Математика - тот предмет, который способствует умственному развитию обучающихся. В процессе обучения математике у учащихся формируются способности к воспроизведению знаний, умения
®
изучить математику самостоятельно и творчески, а, следовательно, создаются предпосылки к активному применению математических знаний в дальнейшем. При этом главной целью обучения математике, по словам Г.В. Дорофеева [1], является не изучение основ математической науки как таковой, а общеинтеллектуальное развитие - формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном мире, для динамической адаптации человека в обществе.
В старшей профильной школе наиболее эффективно для этих целей подходит эвристический факультатив по математике. И в связи с этим исследование вопросов управления эвристической деятельностью учащихся старшей школы на факультативных занятиях по математике является важным направлением методики обучения математике.
Анализ актуальных исследований. Вопросы, затрагивающие применение эвристик нашли свое отражение в исследованиях В.И. Андреева, С.С. Бакулевской, ВН. Введенского, И.П. Волкова, С.А. Днеп-рова, М.Н. Ерохиной, Ю.Н. Кулюткина, Н.Д. Никандрова, В.С. Прач, Н. Ротанёвой, Е.И. Скафы, В.Н. Соколова, A.B. Хуторского и др.
Следует отметить, что большинство исследований посвящены организации учебной деятельности по математике в 5-6 классах, на факультативных занятиях в основной школе и старших гуманитарных классах, в процессе обучения геометрии, разработкам курсов «Техническое творчество», «Основы изобретательства» и пр. Вместе с тем, вопрос об управлении эвристической деятельностью учащихся старшей школы на эвристическом факультативе по математике на сегодня недостаточно исследован.
Цель статьи - раскрыть особенности управления эвристической деятельностью обучаемых на факультативе по математике посредством тетради на печатной основе.
Изложение основного материала. В наше время обществу нужны всесторонне развитые, творческие личности. Матема-
тические знания, представления о роли математики в современном мире стали необходимыми компонентами общей культуры человека, и немалую роль в ее развитии играют занятия эвристического факультатива по математике.
Эвристический факультатив - это форма факультативных занятий, ориентирующая школьника на поиск и «открытие» новых знаний, умений и способов деятельности путем целенаправленного овладения конкретными эвристическими приемами [6].
Цель эвристического факультатива -ознакомить учащихся с некоторыми эвристическими приемами поиска решения задач, такими как аналогия, введение вспомогательной переменной, выражение одной переменной через другую, переформулированные задачи и т. п. На этой основе построено содержание занятий эвристического факультатива по математике.
Разработанный нами эвристический факультатив предназначен для учащихся 11 класса профильного уровня, рассчитан на 48 часов, содержит 12 занятий. В табл.1 приведено тематическое планирование занятий факультатива. Учебные занятия сопоставлены с пятью технологическими блоками для конструирования системы занятий эвристического факультатива: вводная часть, основная часть, тренинг, контроль, рефлексия [2].
На занятиях факультатива учащиеся будут изучать такие эвристические приемы: введение вспомогательной неизвестной, введение вспомогательного элемента, проверка на частных случаях, построение контпримеров, проверка по размерности, проверка на симметрию, переформулированные (переход к равносильной задаче), аналогия, индукция, прогнозирование, прием «малых шевелений», использование непрерывности.
Факультативные занятия рекомендуется проводить один раз в две недели в течение трех академических часов (с сентября по апрель). Учитель может по своему усмотрению в соответствии с тематическим планированием основного курса увеличить или уменьшить количество часов на то или иное занятие, изменить порядок изучения тем.
Таблица 1 - Планирование занятий эвристического факультатива по математике
Название техноло- Номер Название занятия Кол-во
гического блока занятия часов
Вступительная часть 1 «Будем знакомы, эвристики» 3
Основная часть 2 Искусство обозначения 3
3 Идея вспомогательного элемента 3
4 Взгляд на задачу глазами физика 6
5 Испытания на правдоподобие 3
6 Тоже самое, но иначе 6
7 Размышления по аналогии 3
8 Поиск закономерностей. Прогнозирование 3
9 Пошевелим точку 3
10 Непрерывное изменение 3
Тренинг 11 Эвристический тренажер 9
Контроль Рефлексия 12 Подведение итогов. Зачет 3
В помощь учителю для управления эвристической деятельностью одиннадцатиклассников на занятиях эвристического факультатива мы предлагаем рабочую тетрадь на печатной основе [3]. Она преследует следующие дидактические цели: ознакомить учащихся с эвристическими приемами поиска решения математических задач; продемонстрировать использование эвристик на конкретных примерах; осуществить контроль и рефлексию учебной деятельности учащихся при изучении определенного эвристического приема.
Материал в рабочей тетради излагается последовательно, с сохранением логических связей между отдельными разделами. Представление фактов, решение задач сопровождается определенными комментариями и условными обозначениями.
Рассмотрим подробнее структуру и технологию работы с данным учебным пособием.
Рабочая тетрадь состоит из двенадцати занятий. Почти в каждом занятии (кроме двух последних) выделены следующие разделы:
- «Знакомимся с эвристикой»;
- «Интересуемся нематематическим применением эвристики»;
- «Применяем эвристику»;
- «Оцениваем себя»;
- «Осознаём своё эвристическое приобретение».
В разделе «Знакомимся с эвристикой» (занятия 2-10) рабочей тетради предлагается теоретическое описание эвристического приема и конкретные примеры применения его на практике при поиске решения различных математических задач (рис. 1).
В разделе «Интересуемся нематематическим применением эвристики»
приводятся примеры применения изучаемой эвристики в жизни. На наш взгляд, примеры, приводимые в этой части пособия, помогут осознать необходимость изучения эвристических приемов, то, что изучаемый материал на занятиях эвристического факультатива сможет найти применение в реальной жизни.
Например, в третьем занятии для эвристического приема «введение вспомогательного элемента» приводится такой факт: «Вспомогательные вещества - это дополнительные вещества, необходимые, например, для приготовления лекарственного препарата. Эти вещества могут в значительной степени влиять на фармакологическую активность лекарственных веществ: усиливать действие лекарственных веществ или снижать их активность, изменять характер действия под влиянием разных причин, а именно комплексообразо-вания, молекулярных реакций, интерференции и др.».
®
ЗНАКОМИМСЯ С ЭВРИСТИКОЙ
Решение.
Введем вспомогательную неизвестную у = sin' х. Тогда 1 у cos2 х.
В результате уравнение приобретает вид + 2 У =Ъ. А это уравнение уже является стандартным.
В зависимости от того, как меняется число переменных в исходном выражении при таких подстановках, выделяют три типа замены переменных:
1) подстановки, ведущие к сокращению числа переменных;
2) подстановки, сохраняющие число переменных;
3) подстановки, увеличивающие число переменных.
Рисунок 1 - Фрагмент рабочей тетради второго занятия по теме «Искусство обозначения» (раздел «знакомимся с эвристикой»)
Раздел «Применяем эвристику» позволит учащимся освоить изучаемый эвристический прием на практике при поиске решения различных математических задач (задачи подобраны из разных разделов математики (алгебры, геометрии) и разных учебных тем). Для примера на рис. 2 приведен фрагмент рабочей тетради третьего занятия эвристического факультатива по теме «Идея вспомогательного элемента».
Раздел «Оцениваем себя» даст возможность осознать каждому слушателю эвристического факультатива индивидуальность и уникальность. На этом этапе проводится самооценка и рефлексия.
Пример 1. «Рефлексивные весы». На чаше весов «Я сумел» (рис. 3) учащимся
предлагается написать всё, что у каждого получилось на занятии, каких успехов он достиг. На чаше весов «У меня не вышло» - написать, с чем возникли трудности, что не получилось на занятии. После предлагается показать стрелочкой, какая чаша весов перевесила.
Пример 2. «Дробь настроения». Учащимся предлагается оценить своё настроение в начале и конце занятия факультатива по 10-балльной шкале (распределить 10 баллов меду числителем и знаменателем обыкновенной дроби (рис. 4, а)): в числителе дроби- настроение в конце занятия, в знаменателе - настроение в начале занятия. Затем перевести обыкновенную дробь в десятичную (рис. 4, б). Если полученное число будет: 1) от 0,1 до 0,5, то
настроение ученика ухудшилось; 2) от 0,5 до 1,5, то настроение не изменилось; 3) от 2,3 до 9, то настроение улучшилось.
В разделе «Осознаём своё эвристическое приобретение» учащимся предлагается описать то, что из данного занятия он возьмёт в свою эвристическую копилку, и как сможет применить изученный эвристический прием в своей жизни.
В конце каждого занятия эвристического факультатива учащиеся описанные свои эвристические приобретения (какие знания приобрели; с какими эвристическими приемами ознакомились; с какими проблемами при решении задач столкнулись; как их преодолели; чему научились; что запомнилось; что удивило; как были использованы эвристики и т.д.) отмечают в «Эвристической диаграмме» (рис. 5). Каждое свое приобретение школьники пишут отдельным пунктом. Далее количество пунктов заносится в эвристическую диаграмму (рис. 5, а). На последнем занятии каждый слушатель факультатива соединяет все свои пункты и заштриховывает полученную область (рис. 5, б). В результате можно увидеть, какие занятия были более продуктивными, а какие менее, и насколько хорошо каждый усвоил материал факультатива. Т. е. учащиеся смогут увидеть прирост своих эвристических умений.
Осталось рассмотреть первое и два последних занятия, которые отличаются от вышерассмотренных.
Поскольку первое занятие эвристического факультатива является вводным, поэтому соответствующая часть рабочей тетради предназначена для мотивации эвристической деятельности учащихся. Здесь содержится вводная беседа, история об эвристике, алгоритм решения математической задачи, разделы «Повторяем эвристики», «Применяем эвристики», «Диагностируем себя», «Оцениваем себя», «Осознаем свое эвристическое приобретение».
Раздел «Повторяем эвристики»
(рис. 6) предназначен для повторения эвристических приемов, изученных ранее в
основной школе на уроках математики [7] и занятиях эвристического факультатива [4]: выделение целой части дроби, выражение одной переменной через другую, инверсия, симметрия, метод малых изменений, разбиение «целого на части», реконструкция «целого по части», рассмотрение частных случаев, рассмотрение крайних случаев.
С помощью раздела «Диагностируем себя» учитель может провести диагностику уровня развития эвристических умений учащихся (начальная диагностика) (рис. 7). Технология выявления уровня сформированности эвристических умений описана была нами ранее [5].
В одиннадцатом занятии рабочей тетради под названием «Эвристический тренажер» учащимся предлагаются задачи для отработки изученных на предыдущих занятиях эвристических приемов двух видов:
1) изучить внимательно предложенные задачи с решениями и для каждой задачи указать эвристические приемы, которые, по мнению учеников, были использованы при ее решении (рис. 8);
2) решить предложенные задачи и указать эвристические приемы, которые учащиеся использовали для решения каждой задачи (рис. 9).
Последнее двенадцатое занятие факультатива предназначено для диагностики уровня сформированности эвристических умений учащихся (итоговая диагностика). В тетради содержится итоговая контрольная работа, содержащая задания указанных выше двух видов.
Выводы. Таким образом, разработанная нами рабочая тетрадь является эффективным средством для управления эвристической деятельностью учащихся старшей школы на эвристическом факультативе по математике. Её структура и наполнение способствует формированию эвристических умений учащихся, а ее использование значительно экономит время при выполнении учебных заданий.
©
Задача 12. В шар вписана пирамида, боковые ребра которой равны с. Основание ее - прямоугольник, стороны которого стягивают дуги а н Р радиан в сечениях шара плоскостями боковых гранен. Определите раднус описанного шара.
Решение {укажнш: вспомогательный элемент - площадь).
Ответ:
Задача 13. На окружности радиуса К даны две точки А н В, расстояние между которыми равно I. Какое наибольшее значение может принимать сумма АС'+ЗС1, если точка С также лежит на этой окружности?
Решение (¿/калние: вспомогательный элемент - \гол CAB).
Ответ:
Задача 14. Двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды равен араднус вписанного шара равен Д. Найдите полную поверхность пнрамнды.
Решение (ухалтие: вспомогательные элемент - либо сторона основания пирамиды, лнбо угол прн вершине пнрамнды в ее сеченин, проходящем через точки касания шара и двух противоположных боковых граней пирамиды).
Рисунок 2 - Фрагмент рабочей тетради третьего занятия по теме «Идея вспомогательного элемента» (раздел «Применяем эвристику»)
Рисунок 3 - Рефлексивные весы
а)
б)
Рисунок 4 - Дробь настроения
а) б)
Рисунок 5 - Эвристическая диаграмма
1. Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированное обучение математике: концептуальный аспект / Г.В. Дорофеев //Математика. 5-6 кл.: метод.материалы к учеб. Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон, М.А. Кубышева. - изд. 2-е, доп. и перераб. -М. : Изд-во «Ювента», 2006. - С. 8-23.
2. Гончарова 1.В. Методика формування евристичних умть учтв основног школи на фа-культативних заняттях з математики: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 /1. В. Гончарова. - Чер-каси, 2009. - 274 с.
3. Гончарова И.В. Эвристический факультатив по математике: Рабочая тетрадь для учащихся 11 кл. профильного уровня /Под ред. проф. Е.И. Скафы; И.В. Гончарова, Ю.В. Пусто-вая - Донецк: Изд-во «Ноул1дж» (Донецкое отделение), 2014. -184 с.
4. Гончарова 1.В. Актуал1зац1я евристичних ситуацш на заняттях математичного факультативу // Вжник Черкаського ун1верситету. - Вип. 191. Сер1я «Педагоггчш науки». ЧI. -Черкаси, 2010. - С.43-52.
5. Гончарова 1.В. Мотивацшно-д1агнос-тичний етап формування евристичних умть учшв на факультативних заняттях з математики // Педагоггчш науки: теор1я, ¡стор1я, тно-вацтш технологи - № 2(4). - Суми: СумДПУ ¡м. А.С. Макаренка, 2010. - С.18-27.
6. Скафа Е.И. Организация внеклассной работы учащихся в системе эвристического обучения математике /Е.И. Скафа //Проблеми математичног освгти: Матер1али доповгдей М1жнарод. наук-метод.конф. (ПМО - 2013) (Черкаси, ЧНУ, 2-3 квгтня 2013р.). - Черкаси: Вид-во ЧНУ ¡м. Б. Хмельницького, 2013. - С.16-17.
7. Скафа Е. Комплексный подход к развитию творческой личности через систему эвристических заданий по математике (на материале 7 класса): книга для учителя / Скафа Е., Вла-сенко Е., Гончарова И. - Донецк: Фирма ТЕАН, 2003. - 204 с.
(6Ö>
Abstract. Goncharova I., Pustovay J. The management of heuristic activity of the pupils at the senior school on the optional course in mathematics. The lessons of heuristic optional course in mathematics contribute of the disclosure of the creative potential of pupils, help to develop the ability to "produce" knowledge, analyze, draw conclusions, motivate on various studies. Heuristic skills acquired will be useful pupils throughout their lives. It is therefore very important to organize the work of pupils on the facultative lessons and at home so that it is as productive as possible. To solve this problem we provide the workbook to work at heuristic optional course in mathematics. This workbook contains theoretical information about heuristics, examples of problem solving, tasks for independent solving, and the heuristic simulator. Working with this workbook will contribute to a more successful formation of the heuristic skills of pupils. The workbook developed by the authors is an effective tool for managing the heuristic activity of high school students in the heuristic faculty of mathematics. Its structure and content contribute to the formation of students' heuristic skills, and its use saves considerable time in the performance of study assignments.
Key words: workbook, heuristic learning of mathematics, heuristic optional course.
Статья представлена професором Е.И. Скафой.
Поступила в редакцию 19.09.2016 г.
Опр. Выделение целой части дроби - эвристический прием отыскания конкретных способов решения целого ряда задач, условия которых содержат дробно-рациональные выражения.
Пример 1. Построите график функции у =
-2^ + 7^-3 х-3
Решение.
Если выделить целую часть дроби, то задача сводится к построению графика линейной функции у = -2х + 3 при х^З-
Опр. Выражение одной переменной через другую - эвристический прием, в котором одно из неизвестных в заданном выражении принимается в качестве параметра, а все последующие рассуждения проводятся относительно другого (других) неизвестного или параметра. Используется для решения многих алгебраических задач: решение диофантовых уравнений, нахождение наибольших н наименьших значений функций, решение уравнении с параметрами, решение систем уравнений, исследование функций и т. п.
Пример 2. Найдите значение дроби
Л =
(ЗЬ-а)(2а+5Ь)(За-4Ь) \a-7bvAa-b\[la-7b\
. если 2а2 +2b2 = 5ab, Ъ > а > 0.
Решение.
По условию 2Ь~ -5аЬ + 2а" = 0. Считая в этом уравнении а параметром, решим его как квадратное относительно Ъ, т. е. йыршн.м переменную Ь через переменную а. Получим Ь; = 2а, 62 = 0,5л.. Однако, учитывая, что Ь>а>0, окончательно получаем, что Ъ может быть равно только 2а. Следовательно, значение данной дроби равно -10.
Рисунок 6 - Фрагмент рабочей тетради первого занятия
(раздел «Повторяем эвристики»)
ДИАГНОСТИРУЕМ СЕБЯ
Решите предложенные задачи и для каждой укажите
эвристические приемы,, используемые для поиска их решения.
1 . Зная, что а + Ь 7, найдите значения выражения а2 Ь2
Ъ Ъ1
Решение.
Ответ:
Эвристический приём:
2. Решите систему уравнений | 3|г+1|ч х + 2у = -2 4 У~ -2 20,
Решение.
Ответ:_
Эвристический приём:_
3. Вычислите сумму наиболее рациональным способом I2 -З2 - 52 +99' +1011 -2- -43 -... -100:.
Решение.
Ответ:_
Эвристический приём:________
Рисунок 7 - Фрагмент рабочей тетради первого занятия (раздел «Диагностируем себя»)
2. Решите уравнение (sinx + y¡3 eosx)2 = 5+ cos(-^ + 4a).
3
Решение.
(sinx + >/3cos.t)2 =
( f 2
v v
1 .
— Sin A* H--COSA"
2 2
П
= 4sirr(x + — )<4. 3
ж
Но 5 + со8(—+ 4х)>4. Значит, корни исходного уравнения
— это
решения системы
,71
cos(—+ 4л") = -1, 3
Ж.
cos(x + —) = 0
я жк х = — +—,
6 2
П 1 7
х = — + жп, n.keZ. 6
Ответ: х = — + жп, neZ. 6
Эвристики:
Рисунок 8 - Фрагмент рабочей тетради предпоследнего занятия (эвристическое задание первого вида)
Решение.
Ответ:
Эвристики:
Рисунок 9 - Фрагмент рабочей тетради предпоследнего занятия (эвристическое задания первого вида)
