УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ КОЛОННЫ МОБИЛЬНЫХ РОБОТОВ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 62-50

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-2-50-57

УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ КОЛОННЫ МОБИЛЬНЫХ РОБОТОВ

Е.В. Ларкин, Т.А. Акименко, Т.Р. Кузнецова, Е.В. Ахрамеева

Исследуются принципы цифрового управления мобильными роботами, построенными при движении в колонну, в которой головной робот задает темп движения, а остальные выдерживают заданное расстояние до головного. Построены структурная схема системы управления, математическая модель движения колонны в целом, как объекта управления, и цифровой ЭВМ, как регулятора движения. Показано, что принцип цифровой обработки данных, получаемых от сенсоров мобильного робота, порождает временные задержки в цепи обратной связи, что в свою очередь, ухудшает такие характеристики управления, как перерегулирование и время выхода на заданный режим движения. Теоретические результаты подтверждены моделированием управления движением колонны, состоящей из трех мобильных роботов.

Ключевые слова: цифровая система управления, колонна роботов, ведущий-ведомый, полумарковский процесс, задержка, качество переходного процесса.

1. Введение. Необитаемые транспортные средства, называемые мобильными роботами (МР), движущиеся по Земле, в воздухе, по воде и под водой в настоящее время достаточно широко применяются в различных областях человеческой деятельности, таких как транспорт, эко-лония, оборона, ликвидация последствий чрезвычайных ситуаций, и т.п.. [1, 2, 3]. В литературе отмечается [4], что групповое применение МР имеет значительные преимущества, по сравнению с применением одиночных роботов вследствие повышения надежности при решении целевых задач. Одним из возможных принципов организации группового движения является построение МР в колонну, по принципу ведущий/ведомый, при котором темп движения колонны задается головным роботом, а оставшиеся НТС выдерживают расстояние до предыдущего [5, 6, 7]. В то же время, сложность управления группами МР (ГМР) значительно выше, чем управления одиночными подвижными объектами за счет появления перекрестных связей между каналами, что в свою очередь, приводит к повышению порядка характеристического уравнения замкнутой системы, описывающей процесс управления [8, 9, 10]. Трудности проектирования системы управления возрастают при применении в качестве регулятора контроллеров Фон Неймановского типа, которые интерпретируют программы управления последовательно, причем на интерпретацию каждой команда тратится физическое время, определяемое типом команды и быстродействием контроллера [11, 12].

Методы оценки качества управления, которые учитывали бы как сложность структуры колонны МР, так и задержку распространения сигналов обратной связи, в инженерной практике развиты недостаточно, что и объясняет актуальность проведенного исследования.

Структурная схема управления колонной МР, построенной по принципу «ведущий/ведомый» показана на рис. 1 [13]. ГМР включает головную машину MVo, and К ведомых машин SVl, ..., , ..., SVк . каждая НТС включает собственно робота и встроенную систему управления (обозначены как ЕС&0, ..., , ..., ЕС$к.

ECSo

Wc,o(fo,Vc,oUc,o)=0

-т-

Uc,o

Ус,0

о"

о' —

cd

~ ^ Го '

Wo(Uo, Vo, Го)

Vo=Vo

.MYo.

! fi

WcM Uc,1, Vc,bXc,oi)=o

-T-

Ус ,

Uc,1

ECS1

Vc,1

I

"

о

^ I .] I

xo-=y-r /[ч#>*-(0ДО

Ал.

w-(u-, V-, Г-)

V-

SYi

Х-2=У2 p J[v-(i)-V2(i)]dt

хк--,к=Ук

fK

WcfVcKUcK, xCK-\K=o У

T

Uc,K

ECS

к

VcK

I "

i[VK--(0-VK(tpt

lJ

y£K\ g-t^iu-

M

i rK

WK(UK,VK,rK)

V1

I

SYK

Рис. 1. Структурная схема управления НТС, построенными в колонну

ГМР функционирует следующим образом. На этапе планирования движения в системе задается скорость движения ведущего робота и расстояние между МР в колонне. Программа движения вводится в контроллеры МР в виде сигналов f- (nx), ..., fk (nx), ..., fK (nx), где n -

дискретный аналог физического времени t; т - временной интервал между отсчетами при дискретизации. Для решения задачи управления движением в контроллер головного МР вводится текущая скорость Vo (t), а в ведомые МР - расстояние до предыдущего робота в колонне

Xfc_- k(() [6, 7]. В соответствии с полученной информацией контроллеры ECSo, -., ECSk, ..., ECSk рассчитывают цифровые управляющие сигналы Uc k (nx), которые через интерфейс, в виде аналоговых сигналов Uk ((), подаются на исполнительные органы МР, управляющие скоростью движения MYo, и SY-, ..., SVk, ..., SVk , Кроме управляющих воздействий на НТС подаются также возмущающие воздействия ro, например, в виде сопротивления окружающей

среды движению робота.

В общем, динамика МР описывается следующим дифференциальным уравнением1п:

iM (V,k V dm(U,k X.

wk

Vk,

dVk dt

dM (,k U

, M(U,k) , Г,

m(y,k ) dt1 drk

dmxv^Vk d™v>KV- dUk

m(V,k) ,rftM(v,O) ,Uk,

dm(r,k )rk d1^-'rk

dtm(r,k) , dtM(r,k)

dt M (r ,k )r

d v''"'Uk dtm(U,k) ,...,

= o,1 < k < K,

(1)

\и,к) - Ж

где м>к [...] - скалярные функции, в общем нелинейные; т(Э, к) - степень производной по параметру Э; Эе {т, и, г}; т(О,- максимальная степень производной в дифференциальном уравнении.

В функциях ^к [...] имеются нелинейности двух типов: представляемые гладкими, как

минимум, дважды дифференцируемыми функциями, и существенные нелинейности (например, описывающие сухое трений, люфт, гистерезис и т.п.), Первый тип нелинейностей может быть

51

линеаризован за счет разложения функции в ряд Тейлора [8, 9, 10], а второй - за счет подбора такой линейной функции, реакция которой на единичную функцию Хевисайда оптимально близка к реакции функции (1). В любом случае, после линеаризации (1) к ней может быть применено прямое преобразование Лапласа [14, 15], и уравнение (1) преобразуется в следующее выражение:

Vk () = ^ М • Uk (м) + Ф г, k (s % (s), (2)

где Vk(м) = L\yk()]; Uk(м) = ^)]; Rk(м) = ЬГ(/)]; Ь[...] - прямое преобразование

Bu,k (s) Ф ( ) Br,k (s) M (k) m(k) M (u, k)

Лапласа; s оператор дифференцирования; ф uk (s) = —^ , Ф rk (s) = —r, - переда-

Ak (s Г Г • ^ Ak (s )

M (u, k )

Bu,k = X b (k)=0 m(u,k)=0

точные функции• Ak (s) = X Mk)sm(k) • Вщk = X ¿m(u,k)sm(u,k)

m{k)=0 m

m(rk) ( k)

Brk = X bm(rk)smyr,k' - полиномы; am(k)• bm(u,k)• bm(r,k) - постоянные или мед-

m(r ,k )=0 ленно меняющиеся параметры.

Для простоты передаточные функции Фu k (s), и Фr k (s) упорядочиваются в матрицы Фu (s) = k I (s)J, Фг (s) = [Фr k I (s)J которые являются диагональными и имеют размер (К + 1)x(K + l). Для завершения описания ГМР связи между MVq, и SVj, ..., SVk• ..., SVk также могут быть представлены в виде (К + l)x (К + l) матрицы Фо (s) = [Фо k l (s)J, элементы которой имеют вид:

Г-1, when k = 0, l = 0; Ф ()=| -1/ s, when k = l, k Ф 0, l Ф 0; (3)

Ф0,k,l(s) = 11/s, whenl < k < К,, l = k-1; 0 in all other cases. Таким образом, матричные уравнения, описывающие колонну МР имеют вид

где V(s) = [[ (s),..., Vk (s),..., Vk (s)J9 - вектор скоростей;

U(s) = [[0 (s),..., Uk (s),..., Uk (s)J9 вектор управляющих воздействий;

R(s) = [[0 (s),.., Rk (s),.., Rk (s)J9 - вектор сил сопротивления движению; Y(s)= [- V0(s), Xq(s)-X^s),..., Xk-1 (s)-Xk(s),..., Xk-1(s)-Xk(s)J - вектор сигналов обратной связи; 9 - знак транспонирования.

Информация о скорости движения ведомых МР, SV[, ..., SVk, ..., SVk , может быть использована как дополнительная информации при расчете

U(s) = \UJо(s),..., Uk(s),..., Uk(s)J . В целом, для организации движения ГМР, как единого объекта управления, используется вектор Y (s). Отметим, что этот вектор описывает отрицательную обратную связь в локальных контурах управления.

Расчет управляющих воздействий в k-м МР сводится к решению следующего конечно-разностного уравнения [16]

wc,k\/kиfk[n+m(f^kя - fk[n+m(f^k)j uck[nJ•...• uck[n+uku - (5)

uck [n + M (c, u, k) yc,kyc,k [n + m(c, y, k) ..., yc,k [ + M (c, y, k)} = 0, 0 < k < К, где wc k { . .} - скалярная функция; n - текущий дискретный аргумент; m(u, k), m(y, k) m(f, k) - смещения дискретного аргумента для получения конечных разностей uc k (nx),

52

Ус к (ит) и fk (nx), cooTBeTcraeHHoarguments, correspondingly; M(и, к), M(у, к) M(f, к) -

максимальные степени конечных разностей.

Если конечно-разностные уравнения (5) линейны, временной интервал между отсчетами x —^ 0, и число отсчетов в единицу времени стремится к бесконечности, то (5) может быть преобразовано в обычное линейное дифференциальное уравнение

w

с,к

f f dm(fkfk dM(f% duc^ dm(,u,k\к f, dt dtm(f,к) dM(f,к) , с,к, dt dt^u*)

(6)

dM(с,и,кКк y dy,, dm(у,к\ dM(c,у,к< < „

— dM (с,и,к) , Ук, dt dtm(c, У,к) ^ dtM (с, у,к) Г-0,1 < к < K,

которое, в свою очередь, по методу, изложенному выше, преобразуется в уравнение

Uc,к (s ) - Ф f ,к (s )• Fк (s ) + Фс, у,к (s )Yc,к (s ) • (7)

Упорядочение (7) в матричное уравнение дает

Uc(s)-Фf (s)• F(s) + Фс,у(s> УЛ(s), (8)

где Uc(s)— [и/с о(s),•••, Uc ,(s),•••, Uc k(s)] - вектор воздействий, расчитываемый контроллеров; F(s) — [[(s),•••, Fк(s),•••, Fk(s)] - вектор желаемых параметров движения;

Yc (s) — [с,0 (s), • ••, Yc,к (s), •••, Yc,k (s)] - вектор обратных связей; Фf (s) - [Ф f,,,l (s)] и Фс у (s ) - [ф с у к I (s)] - диагональные матрицы, в которых Ф f , к (s) - Ф f к (s ), Фс у к к (s) - Фс у к (s), а остальные элементы равны нулю^

Контроллеры ECSo, •••, ECS,, •••, ECS к Фон Неймановского типа реализуют по-

линг-процедуру, разворачивающуюся в реальном времени, таким образом при расчете управляющих воздействий возникает задержка между вводом сигнала обратной связи и выводом сигнала управления, которая может быть описана диагональной матрицей N(s) - [N, l (s)]

[17, 18], элементы которой равны

Nkl(s- l; (9)

'' [0 in all other cases,

где x, задержка сигнала Uc , (s) относительно сигнала Yc , (s)•

Из матрицы (9) и матричных уравнений (4), (8) следуетуравнение замкнутой системы, которое описывает динамику поддержания параметров движения колонны

Y(s)-[ - Ф0(s)• Фи(s)Фс,у (s) N(s)]-1 • (10)

• Ф0 (s )• Фи (s )Ф f (s )• F (s) + Ф0 (s) • Фг (s) • R(s)

где E - единичная диагональная матрица^

Такие важные параметры движения, колонны, как перерегулирование и время регулирования зависят от характеристического уравнения, которое в данном случае принимает вид: для системы с учетом задержек -

E - Ф0(s)• Фи(s fa,у(s)• N(s) - 0, (11)

для системы, в которой задержки не учтены, или являются пренебрежимо малыми -

E - Ф0 (s)-Фи (s )Фс, у (s)-0 • (12)

Характеристические уравнения (11), (12) отличаются только наличием матрицы задержек, но это отличие является существенным, так как в нем появляется комплексная экспонента, которая уменьшает запас по фазе в контуре управления и следовательно увеличивает перерегулирование и время выхода на установившийся режим движения колонны [19, 20^

При практической реализации процесса управления в , для расчета Цс £ ) по

введенному ) организуется процедура полинга, которая может бюыть описана ка эргоди-ческий полумарковский процесс [21, 22], структура которого показана на рис. 2, а:

)=К, ] (' ] (' )]®1р/, ] (' )J, (13)

где к() - 2x2 полумарковская матрица; р^ ] ^) - вероятность прямого переключения из состояния 1 в состояние ]; ^ ] (() - время пребывания в состоянии 1, если априорно известно, что

следующим состоянием будет ]; ® - знак прямого произведения; 2 - количество состояний в полумарковском процессе, равное количеству операторов в алгоритме управления.

Рис. 2. Структура алгоритма управления (а), и полумарковского процесса для оценки времени задержки (Ь)

Временной интервал между вводом (^) (1 = Е) и выводом Цс £ (^) (] = определяется временем как прямого переключения, так и блуждания по полумарковскому процессу из Е в Для оценки времени задержки полумарковская матрица (13) должна быть преобразована к() — Ы(() = ] () • р\ ] J в матрицу, структура которой показана на рис. 2 Ь, и в которой Ей столбец и ^-я строка обнуляются, а вероятности р^ ^ во всех остальных строках и столбцах пересчитываются по зависимости

р1, ] =

р1, ]

(14)

1 - р/,л

После преобразования искомая плотность распределения рассчитывается по зависи-

мости

1я,Е •1

-1

>к

• I

С

(15)

)В

_к=1

где I^ е - вектор-строка размером 2, Е-й элемент которого равен единице, а остальные эде-менты равны нулю; 1с ^ Iц Е, - вектор-столбец размером 2, ^-й элемент которого равен единице, а остальные элементы равны нулю.

В соответствии с «правилом трех сигм» [23, 24] задержка в распространении сигнала обратной связи может быть оценена как

ч = ~ + , (16)

да го . . -

где ~ = | ; Як = Д(-Тк Г~е, п(()((). 0 0

Изложенный подход поясняется примером в котором исследуется управление колонной, состоящей из одного ведущего и двух ведомых МР, каждый изх которых описывается пе-

3

редаточной функцией первого порядка ^(^) =-, что соответствует описанию разгон-

4 ' 0,1^ + 1

ной характеристики, например, подвижного наземного объекта. интегратор обратной связи

имеет коэффициент передачи 6,67. желаемые значения параметров движения ГМР являются следующими: ((3, Л, /2) = (1, 0,5, 0,5), что необходимо для удобства восприятия графиков переходных процессов. Результаты моделирования приведены на рис. 3.

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 /

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

V, х г2

г0 г1

с) т0=0 s, т1=0,05 s, т2=0,05 s

Х12

х01

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 /

1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

V, х .... V! г2

У0

Х1 2

Х 01

d) т0=0 s, т1 =0,075 s, т2=0,075 s

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 /

1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

V, х г2

г0

Х01 Х12

е) т0=0 s, т1=0,1 s, т2=0,1 s

0 0,2 0,4 0,6 0.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 I

Рис. 3. Реакция ГМР на функцию Хевисайда для различных значений задержки сигнала управления относительно сигнала обратной связи

На всех графиках показан переходный процесс г^ (/), при Т0 = 0, как некоторый

опорный сигнал. После затухания переходного процесса скорости движения МР выравниваются, а расстояние между МР стремятся к желаемой величине. Как следует из примера, увеличение времени задержки повышает перерегулирование и общее время выхода на режим. Более того, при задержках, сопоставимых с постоянными времени роботов (ц, Т2) = (0.125, 0,125),

переходный процесс стремится к нестабильном, а нулевое значение расстояния между идущими в колонне МР означает их столкновение (рис. 3 £).

В результате построена модель управления колонной мобильных роботов, организованной по принципу «ведущий/ведомый» Показано, что определяющим фактором при управлении колонной является время задержки на «обдумывание» управленческого решения^ Задержка по времени в цепи обратной связи приводит к появлению значительного перерегулирования и увеличению времени выхода на планируемый режим движения колоньг Этот фактор должен учитываться при проектировании безэкипажных транспортных средств и систем управления ими

Дальнейшее исследование в этой области может быть направлено на разработку оптимальных поллинг-алгоритмов, обеспечивающих при минимальной вычислительной сложности качество управления не хуже заданного^

Список литературы

L Siciliano B^ Springer Handbook of Robotics^ Springer-Verlag Berlin Heidelberg^ 2008^

1611 p^

2^ Tzafestas SG Introduction to Mobile Robot Control Elsevier, 2014^ 750 p^ 3^ Godwin MF, Spry SC, Hedrick JK A Distributed System for Collaboration and Control of UAV Groups: Experiments and Analysis^ - Center for the Collaborative Control of Unmanned Vehicles University of California, Berkeley, 2007^ 224 p^

4^ Halimov NR, Mefedov A/V^ The distributed network-centric control system of an attacking unmanned aerial vehicles group^ Systems of Control, Communication and Security, 2019, noz 3, Pz 1-13,

5^ Chun Yan Yu, Ming Hui Wu, Xiao Sheng He^ Wehicle swarm motion coordination through independent local-reactive agents // Advanced Materials research Vol 108-11L Ed^ byYanween Wu^ 2010^ P^ 619 - 624^

6^ Morcom J^ Optical distance measurements US Patent No^ 6753950, June 22, 2004, US CI 356/4Ш, Int CI G01S 17/00; G01C 3/08^

7^ Laser ranging: a critical review of usual techniques for distance measurement // M^ Aman et al Optical Engineering, 2001, v40, №1 P•10-19•

8^ Landau ID, Zito G^ Digital Control Systems, Design, Identification and Implementation Springer, 2006^ 484 p^

9^ •Astrom J, Wittenmark B, Computer Controlled Systems: Theory and Design Tsinghua University Press^ Prentice Hall, 2002^ 557 p^

10^ Fadali M^, Visioli A^ Digital control engineering: Analysis and design - Elsevier Inc 2013^ P^ 239 - 272^

11 Arnold KA^ Timing analysis in embedded systems // In Embedded hardware by J^ Ganssler, K Arnold et all- MA 01803 USA^ Elsevier Inc 2008^ P^ 239 - 272^

12^ • Larkin E•V•, Ivutin AN Estimation of Latency in Embedded Real-Time Systems // 3-rd Meditteranean Conference on Embedded Computing (MEC0-2014) 2014^ P^ 236 - 239^

13^ Chen I-M, Yang G, and Huat S^ Automatic Modeling for Modular Reconfigurable Robotic System: Theory and Practice^ / Yeo Industrial Robotics: Theory, Modelling and Control Ed^ by S^ Cubero^ IntechOpen 2006^ P^ 43 - 82^

14^ Pavlov AV About the equality of the transform of Laplace to the transform of Fourier // Issues of Analysis^ 2016^ Vol•5(23)• К4(76) P^ 21 - 30^

15^ Li J, Farquharson C•G•, Hu X^ Three effective inverse Laplace transform algorithms for computing time -domain electromagnetic responses // Geophysics^ 2015^ Vol 8L N 2^ P^ E75 - E90^

16^ Yeh Y•-C•, Chu Y, Chiou CW^ Improving the sampling resolution of periodic signals by using controlled sampling interval method // Computers & Electrical Engineering, 2014^ Vol 40^ N 4^ P^ 1064 - 1071 •

17^ Li D, Chen G^ Impulses-induced p-exponential input-to-state stability for a class of stochastic delayed partial differential equations // International Journal of Control 2019^ Vol: 92, N 8, P^ 1805 - 1814^

18^ Fridman E^ Shaked U A descriptor system approach to H control of linear time-delay systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 2002^ Vol 47, N 2^ P^ 253 - 270,

19^ Zhang ХЖ, Min W•U•, Yong H•E•, Delay dependent robust control for linear systems with multiple time-varying delays and uncertainties // Control & Decision, 2004^ Vol 19^ N 5^ P^ 496 - 500^

20. Sanz R., Garcia P., Albertos P., Fridman E. Robust predictive extended state observer for a class of nonlinear systems with time-varying input delay. // International Journal of Control 2020. Vol 93. N 2 • P. 217 - 225.

21. Janssen J., Manca R. Applied Semi-Markov processes. Springer US, 2006. 310 p.

22. Jiang Q., Xi H.-S., Yin B•-Q• Event-driven semi-Markov switching state-space control processes // IET Control Theory & Applications, Vol 6, Iss. 12, 2012. P. 1861 - 1869.

23. Kobayashi H., Marl B•L•, Turin W. Probability, Random processes and statistical analysis: Cambridge University Press. 2012. 812 p.

24. Pukelsheim F. The Three Sigma Rule // American statistician. 1994. Vol 48. Iss. 2. P.

88 - 91

25. Larkin E•V•, Akimenko T•A• and Kuznetsova T.R., "Estimation of Embedded System Synchronized Soft Effectiveness, 10-th Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO 2021), 202L P. 1-5. DOI: 10.1109/MECO52532.2021.9460281.

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, профессор, е1агкт@,таИги, Россия, Тула, Тульский Государственный Университет,

Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доцент, tantan72@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Кузнецова Татьяна Рудольфовна, канд. техн. наук, доцент, гиЛк64@,таИги Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Ахрамеева Екатерина Владимировна, магистр, ahkatarina@mail. ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MOBILE ROBOT CONVOY MOVEMENT CONTROL E.V. Larkin, T.A. Akimenko, T.R. Kuznetsova, E.V. Akhrameeva

Principles of digital control Ьу mobile robots, organized in convoy structure< in which master robot defines velocity of movement, and slave robots define distance till previorn vehicle, is considered. Control system flowchart, mathematical models of convoy as object mder control and digital computer, as movement controller, are worked out. It is shown, that digital data processing principle, obtaining from robot sensors, born time delays in feedback contorns, that in Шт, deteriorate performance of system, srnh, as overshooting and time of steady state movement regime reaching. Theoretical resets are confirmed with example of control the three-robot convoy.

Key words: digital control system, convoy of robots, master-slave, semi-Markov process, delay, performance.

Larkin Eugene Vasilievich, doctor of technical science, professor, elarkin@mail.ra, Rnssia, T^a, T^a State University,

Akimenko Tatiana Alekseevna, candidate of technical sciences, docent, tantan72@mail.ru, Rnssia, T^a, T^a State University,

Krnnetsova Tatjana Rudolfowna, candidate of technical sciences, docent, rudik64@mail.ru, Rrnsia, T^a, T^a State University,

Akhrameeva Ekaterina Vladimirovna, magister, ahkatarina@mail.ru, Rrnsia, T^a, T^a State University