Управление динамикой производственного предприятия для приведения в состояние эталонной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.31:62-56

И. А. Мухаметзянов, О. В. Матухина, О. И. Чекмарева

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

ДЛЯ ПРИВЕДЕНИЯ В СОСТОЯНИЕ ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛИ

Ключевые слова: динамические аналогии, самонастраиваемое управление, безударный, приведение в многообразие, конечное

время.

Построено аналитическое выражение вектора управления процессом распределения вновь поступающих основных производственных фондов между подразделениями для доведения общего объема выпускаемой продукции и общей мощности предприятия за конечный промежуток времени до показателей эталонной модели. Для решения задачи используются методы управления динамикой аналогов обобщенных механических систем при стабилизации программных многообразий за конечное время в условиях неопределенности.

Keywords: dynamic analogies, self-adapting control, non-impact, bringing to given manifold, finite time.

An analytical expression of the control vector of distribution process of the basic production assets between units to bring the total production and total capacity of the plant in a state of the reference model in a finite period of time was obtained. Methods of control of the dynamics of analogies of generalized mechanical systems in the stabilization of program manifolds in a finite time under conditions of uncertainty were used to solve the problem.

Введение

Область применения методов моделирования механических систем существенно расширяется вследствие динамических аналогий между системами различной физической природы. Одним из важных приложений такого подхода являются анализ и синтез управляемых процессов в экономических системах [1-9]. Использование методов управления динамикой системы с программными связями позволяет решать задачу управления мощностью предприятия, которое обеспечивает стабилизацию заданных соотношений между выпуском продукции и мощностями подразделений [10]. В данной работе этот подход получил дальнейшее развитие путем построения выражения вектора управления для одновременного достижения общего объема выпускаемой продукции и общей мощности предприятия за конечный гарантированный промежуток времени при наличии случайных внешних и внутренних факторов, влияющих на процесс производства. При этом целью управления является достижение предприятием экономического состояния привлекательно развивающейся эталонной модели.

Постановка задачи

Рассмотрим математическую модель управляемой экономики предприятия [10]:

п к

£тух, =£ь,8и81 ( = 1.2,-. п), а)

¡ = 1 Б = 1

где - количество подразделений предприятия, выпускающих п видов продукции, х^ - объем продукции ] -го подразделения, из - управляющие функции, Ь|з - коэффициенты распределения управлений по подразделениям, гГ1у(х, 1) - мгновенная фондоемкость -го подразделения, используемая для -го подразделения,

а^х, х, t) = ^rhyXj + Wj(x, х, t) - f^x, x, t), (2)

j=i

^ dm.

my =

I

■ „ 5X: 1 = 1 1

amy at

щ(х, X, 1) - выбывающие из производства устаревшие фонды, ^ (х, X, 1) - факторы, влияющие на изменение основных производственных фондов. Заметим, что управляющие фонды из являются поступающими в производство основными фондами, в качестве которых могут служить материалы, оборудование, финансы, рабочая сила и другие показатели.

Пусть цель развития экономики предприятия состоит в достижении за конечный промежуток времени совокупного объема выпуска продукции и общей мощности, равных показателям эталонной модели, при любых непрерывных и ограниченных значениях а,, зависящих, согласно (2), от случайных факторов и ^.

Построение алгоритма управления

Ясно, что достижение цели поставленной задачи заключается в одновременном обращении в нуль в конечный момент значений ю, и со., выражающихся в виде квазилинейных уравнений

аш

и) = £ту(х,^|-£му(у,I) , ы = —, (3)

¡=1 ¡=1 где т(т.,,т2,...,тп) и М(М.,,М2.....М^ - векторы-

строки, х(х.,,Х2,...,ХП) и У(,У2.....УП- векторы-

с1х • НУ

столбцы, х = — , У = — . Здесь У , М - текущие сИ сК

показатели эталонной модели, соответствующие и управляемой системы.

Представим (3) в векторной форме

ш =т(х,1)х-М(У,1)У, (4)

Зш . Зсх с1 ,,ч ...

сх =-х +---(М.У), (5)

Зх 3 сКу 7

где = о - вектор-строка с элементами Зы , то

Зх 3Х|

есть это матрица (1 х п).

Представим (5) в виде

Ох = сх

^(м.У)-3^ сИ 3

(6)

Определим решение одного уравнения (6) относительно х■ в количестве П в виде вектора

х = ЛОт , коллинеарного с вектором От , где А -скалярная величина.

Подставляя х = АО т в (6), получим

а(ют) = сх

I = сх

Отсюда

х

А = —2 + О2 О2

где О2 = 00т.

Итак, из (6) следует сх 1 С^+С^

сИ З

А^У)-3^

сИ 3

х =

-^-(м.у)-3^

сИ 3

О

(7)

(8)

У'

Представим (1) в векторной форме

А(х,1)х = Ви + а , где А - матрица (п х п) с элементами т В - матрица (п х к) с элементами Ьд , а - вектор с элементами - а,.

Считая матрицу А неособенной, уравнение (8) представим в виде

х = К + К', (9)

где Р = А1Ви, Р' = А"1 а.

Дифференцируя X = АОт по {, получим х = АОт + АОт , где

А = О" 2со + сх

. сЮ-

Зсх

"ЗТ

с11 с11 I си

Отсюда х = О-2Й0Т -Х(й,и),1) , где X - члены, не содержащие х).

Подставляя в (9), имеем О-2 схО т =Р + Р'+Х(сх,сх, 1). Умножая на О , получим

й =0Р + 0(1'+Х). (10)

Умножив это выражение на х , получим

(йй) = -2-^(й2 )= сх ((*) + ЙО 1'+Х). (11)

Теперь выберем (О К ) кусочно-постоянной: (ОК)=-№1дПЙ , где N ^(чх) . Тогда

х становится равной нулю за конечный промежуток времени [11]. Если ввести квазискорость й = сх + |лх , где ^ = СОГ^ > 0 , то, подставив сх = й - |лх в (10), получим

й = 0Р+0(Р'+Х) + ^сх. (12) Умножим (12) на сх :

2 т

При этом где

й2 ) = сх (ОР) + сх [о('+Х) + \л сх ].

(ОР) = -№1д пй,

N = сог^ > |0(('+Х) + \лсх|. (14)

Теперь из одного уравнения (01Ч) = -^¡дП сх с П искомыми элементами 14 д = 1,2,..., п) вектора К, получим К = АОт , где Л = -0-2Йз1дпс° . Отсюда Р = -От(р-2Йз1дпс°). Умножая Р на А , получим уравнение

В = -АОт (р^^дпй) (15) с искомыми элементами вектора управления .

Умножая (15) на , получим ВтВи = -ВтАОт(р-2М81дпй),

отсюда

и = -(вт в)"1Б тАОт(о-2№1дпй). (16)

Если нет уверенности назначения , удовлетворяющего (14), то значение N можно построить по «принципу обратной связи по квазиускорению» в виде положительной ступенчатой функции по известному алгоритму [12], заключающемуся в следующем.

Первый член (01Ч) в (12) ищем в виде (13), где Ы = М0+ДОш . Если при 1 = 0 имеет место (йй)> 0 , то для определения постоянной N° при = сообщаем в (12) управление

(0^ = - ¿>(0). (17)

При этом будет иметь место

О^' + X) + усх = -й(0). (18) Следовательно, правая часть (12) обратится в нуль. Теперь при 1 = А! > 0 сообщим управление

(СЖ)=[°>(0) + Д], Д = ^опэ1>0 . (19) При этом имеет место

'' (20)

(хсо)

,йй = -Д

сх

Измерение или вычисление о необходимо продолжить пока не наступит равенство

сх , (21)

(хсо)

,схсх = -6 г

где 5° = уД , 1 > у > 0 .

В момент времени ^ >0 наступления (21)

добавим к (19) дополнительно Д. Тогда (19) принимает вид

= -(й(0) + Д(1 + д), (22)

где \ = 1 соответствует первому моменту ^ > О наступления (21). При дальнейшем продолжении измерения или вычисления левой части (20) возможно наступление следующего момента времени \2 > О , при котором выполняется (21). Заметим, что момента времени, удовлетворяющего (21), может и не быть. Если же 12 существует, то значение \ в (22)

удваивается, т. е. становится равным 2. Таким образом, определение в (22)

(ПР) = -(й(())+Д(( + 0), (¡ = 1,2,...), (23)

продолжается до тех пор, пока со не обратится в

нуль. При (¿3(0 )й (0)) <-50|й (0)| значение ш (0) в

(23) следует выбрать равным нулю.

Таким образом, искомые значения 0 и

ДО в правой части (13) можно представить в виде

N0 =

¿> (0)| + д) sic

sign! [шт (0))ö(0) + ö0 й(О)

¿т(0)°>(0) + 50^(О)^, ДОш = Д1, (¡ = 1,2,...).

Необходимо отметить, что предложенный в данной работе способ самонастраиваемого управления представляет собой «принцип обратной связи по квазиускорению» в дискретные моменты времени ( = 1,2,...), соответствующие ¡ = 1,2,....

В некоторый конечный момент времени Д

изображающая точка (ш,й) окажется на линии разрыва [12]

со + |ло = 0, (24)

При этом знаки и)(~ ) и о)(~ ) будут противоположными. Это необходимо для обеспечения управления в «режиме торможения» [12], при котором обеспечивается одновременное обращение в нуль значений со и со в конечный момент времени

~ ~ 2|ш(

\ =*1 +1

ш

если управление (OR) выбрать в виде

(QR) = -Nsig nfo, (i = 1,2,...), (25) где N = Д (0) + Д ( + 1),

cöi = ü sign w2 + w2 sign(l - sign w2 ),

w2(т) = -w(t) + ((()т , T = t - tj. (26)

2co (( )

Заметим, что в (26) знаки ш(~ ) и w ), в силу (24), являются противоположными.

Теперь вектор управления и в исходной системе (8) с элементами us (s = 1,2,...,k) определяется в виде (16).

© О. В. Матухина - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информационных систем и технологий НХТИ ФГБОУ ВПО «КНИТУ», ovmatukhina@gmail.com; И. А. Мухаметзянов - д. физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической физики и механики РУДН, mukhia@mail.ru; О. И. Чекмарева - ст. преп. кафедры теоретической физики и механики РУДН, spacefrogling@mail.ru.

© 1 A. Mukhametzyanov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Department of Theoretical Physics and Mechanics, "People's Friendship University of Russia (PFUR)", mukhia@mail.ru; O. V. Matukhina - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Department of Information Systems and Technologies, "Kazan National Research Technological University", ovmatukhina@gmail.com; O. I. Chekmaryova - Department of Theoretical Physics and Mechanics, "People's Friendship University of Russia (PFUR)", spacefrogling@mail.ru.

Заключение

Применяя принцип обратной связи по квазиускорению, предложенный в [12] для безударного приведения состояния механических систем в заданное программное многообразие за конечное время в условиях неопределенности, построен алгоритм приведения экономики слаборазвитого производственного предприятия в состояние развитой модели за гарантированный промежуток времени при наличии случайных внутренних и внешних возмущающих факторов, негативно влияющих на производственный процесс.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 13-08-00535.

Литература

1. Н.В. Абрамов, Н.В. Мотовилов. Изв. Самарского на-учн. центра РАН. Спец. выпуск «Актуальные проблемы экономики и права». 74-80. (2005).

2. Л.В. Левченко, В.В. Максимов. Изв. Самарского научного центра РАН. Спец. выпуск «Актуальные проблемы экономики и права». 190-194. (2005).

3. Т.К. Сиразетдинов. Изв. ВУЗов, Авиационная техника. 4, 3-8. (1972).

4. Т. К. Сиразетдинов. Изв. ВУЗов, Авиационная техника. 1, 12-17. (1973).

5. В.С. Новоселов. Новоселов. Аналитическая механика систем с переменными массами. Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1969, 240 с.

6. Т.К. Сиразетдинов. Динамическое моделирование экономических объектов. Фэн, Казань, 1996, 223 с.

7. R.A. Layton. Differential-Algebraic Equations of Dynamical Systems. Springer, N.Y., 2001, 159 p.

8. Т.К. Сиразетдинов, В.В. Родионов, Р.Т. Сиразетди-нов. Динамические модели экономического региона. Фэн, Казань, 2005, 320 с.

9. Под ред. Т.К. Сиразетдинова. Проблемы инновационной экономики и информационных технологий. Академия наук риска, Москва, Казань, 2005, 412 с.

10. И.В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Гостехиздат, Москва-Ленинград, , 1952, 280 с.

11. Е.С. Пятницкий. Доклады АН СССР. 300, 2, 300-303. (1988).

12. И.А. Мухаметзянов. Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 3, 105-112. (2013).

13. Р.Г. Мухарлямов, О.В. Матухина. Вестник Казан. технол. ун-та. 15, 12, 220-224. (2012).

14. О.В. Матухина. Вестник Казан. технол. ун-та. 16, 2, 191-193. (2013).

+