Принцип обратной связи по квазиускорению при безударной стабилизации за конечное время заданных многообразий механических и обобщённых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теоретическая механика

УДК 531.31:62-56

Принцип обратной связи по квазиускорению при безударной стабилизации за конечное время заданных многообразий механических и обобщённых систем

И. А. Мухаметзянов

Кафедра теоретической физики и механики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Описана процедура применения «принципа обратной связи по квазиускорению» при построении самонастраиваемого управляющего вектора для приведения состояния механических и обобщённых систем без удара в заданное многообразие фазового состояния систем за конечный промежуток времени в условиях полной или частичной неопределённости массо-инерционных параметров системы и действующих на неё возмущений. Процесс такого управления назван безударной стабилизацией системы за конечное время. Многообразия состояния систем задаются совокупностью голономных и неголоном-ных программных связей. Получено множество векторов управления, обеспечивающих решение этой задачи. Затем из этого множества выделяются векторы управления минимальной размерности и минимальной евклидовой нормы. Указаны примеры применения полученных результатов для решения задач прикладного значения, таких как управление безударной стыковкой надводных, подводных и космических аппаратов, безударной посадкой спускаемых аппаратов на подвижные платформы, а также захвата подвижных объектов, в том числе «космического мусора».

В отличие от предыдущих работ автора, посвящённых проблемам управления механическими системами, здесь, наряду с ними, рассматриваются также более общие системы, включающие в себя системы другой физической природы, такие как системы Гельмголь-ца, и широкий класс систем с переменными массами, зависящими, кроме обобщённых координат, ещё и от обобщённых скоростей. Кроме того, к таким системам можно отнести также экономические системы при их рассмотрении в качестве динамических аналогов механических и обобщённых систем. Следует отметить, что при вышеуказанном расширении класса исследуемых систем приходится считаться с тем, что обобщённая матрица квадратичной формы массо-инерционных характеристик системы может не являться определённо положительной, в отличие от механических систем, а лишь быть неособенной. Это обстоятельство не позволяет построить управление без использования элементов этой матрицы, что было возможно в случае механических систем. Вместе с тем в работе удалось построить универсальный вектор, не зависящий от этих элементов, для любых обобщённых систем, умножением которого на эту обобщённую матрицу, определяется закон управления любой данной обобщённой системой. Таким образом, результаты работы можно рассматривать в качестве существенного вклада в теорию самонастраиваемого управления механическими и обобщёнными системами и их динамическими аналогами, когда целью управления является безударное приведение состояния системы в многообразие, образованное программными связями при неполной информации о действующих на систему неуправляющих силах и возмущениях.

Ключевые слова: принцип обратной связи по квазиускорению, самонастраиваемое управление, безударное приведение в многообразие, конечное время, механические и обобщённые системы.

1. Введение

Работа посвящена развитию идей, заложенных в «принципе декомпозиции» [1] и развитых в работах [2-4].

Статья поступила в редакцию 25 июня 2014 г.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 13-08-00535-а.

В данной работе предлагается «принцип обратной связи по квазиускорению», с помощью которого строятся универсальные алгоритмы безударной стабилизации за конечное время фазового состояния механических и обобщённых систем, заданного голономными и неголономными программными связями. В отличие от «принципа декомпозиции» [1] решение задачи возможно и при размерности вектора управления, меньшей числа степеней свободы системы. При этом предполагается, что массо-инерционные параметры системы и возмущающие силы известны неточно. Полученные результаты позволяют решать задачи прикладного характера, подобные рассмотренным в [5-7], более экономно, благодаря применению предложенного «принципа обратной связи по квазиускорению».

2. Управление механическими системами

Рассматривается механическая система, динамика которой описывается уравнениями Лагранжа второго рода

d (дТ \ дТ ^ .

лЫ)- дТ, = Q + Q, (1)

Т = ^9ТА(д, t)i, + qT b(q, t) + T0(q, t), (2)

где А — определённо положительная матрица, b — вектор, Т0 — скаляр, q, q £ Rn — векторы обобщённых координат и скоростей. Элементы А, векторов Q',Ь и То предполагаются непрерывными и ограниченными.

Пусть многообразие невозмущённого состояния механической системы задано с помощью непрерывных функций в виде

(q, t)=0, A(q, t)q + 02 (q, t) = 0, (3)

где U1 — ^-мерный, а a2 — ^-мерный вектор, А — (k2 х п) матрица.

Предположим, что det || ППТ || = 0, П =|| du1/dq, А || — матрица размера k хп, k = k1 + k2. Задача заключается в построении Q для обеспечения безударного приведения за конечное время фазового состояния механической системы (1) в многообразие (3) при любых q0, q0, b(q, t), Т0(сq, t), Q'. Такой процесс назовём безударной стабилизацией системы за конечное время.

Для решения задачи переходим от координат qw к другим координатам и1,и2,..., Шкг — элементам ш1, и квазикоординатам Uj (j = k1 + 1,k1 + 2,... ,k), где k = k1 + k2, а также координатам p1,p2,...,pn-k, ортогональным и (г =

1,2,...,k) [7].

Введём вместо U1 квазискорости

U1 = U1 + IJW1, (4)

где ^и1 — вектор с элементами , = const > 0 (v = 1, 2,...,k1). Присоединяя к (4) UJ2 = Aq + a2, получим k-мерный вектор и = (U ьй). Выражая Т в виде Т = Тй + ТР + То, где ТЪ = итАшса/2 + ить<ъ, то = То + Т°, Ъ^ = Ъш - Аша, Та?2 = штАш(а/2, получим уравнение (1) в квазикоодинатах [7]:

d f дТЛ дТъ , + дТ дТъ

dt {"Ж) - ~oa=Q + Q + ди - . (5)

Систему (5) представим в виде Ашш = Qw + Q'ш. Вектор Qw квазиобобщённых управляющих сил ищем в виде:

= -(sign ¿)(Q° + AQ^), (6)

где signш — диагональная матрица (к х к) с элементами signшv(v = 1,2,... ,к).

При t = 0 если штш ^ 0, то для определения постоянной составляющей , не используя информацию об элементах матрицы Аш (а следовательно и матрицы А), сообщаем системе (6) при t = 0 управление

Q„ = -(sign 'uo)(\t), (7)

где sign w — диагональная матрица, Л — вектор с достаточно большими положительными элементами.

Момент времени обращения ш в нуль обозначим через to. Заметим, что при t = to имеет место

Q 'ш = [sign ¿(0)](Aio). (8)

Теперь потребуем, чтобы при t = to + At, At > 0, имело место

штш = -5, 5 = const > 0. (9)

Для этого при t = to сообщим системе управление

Qu = -(sign ¿o)(Xto + A), (10)

где A — вектор с элементами A „ > 0, при которых соблюдается неравенство в (9). В противном случае необходимо увеличивать A v.

Измерение или вычисление ш продолжим до тех пор, пока не наступит равенство

шт w = -So, (11)

где 60 = ^5, 1 > j > 0.

В момент времени t\ > to наступления (11) добавим к (10) дополнительно A. Тогда (10) принимает вид

Яш = -(sign ¿)[Aio + A(1 + г)], (12)

где 1 + % соответствует моменту времени №1 наступления равенства (11).

При продолжении измерения или вычисления левой части (9) возможно наступление следующего момента времени ¿2, при котором имеет место (11). Заметим, что момента времени ¿2, удовлетворяющего (11), может и не быть. Если ¿2 существует, то % в (12) удваивается, т.е. заменяется на % = 2. Таким образом, процедура определения г в

Qu = -(sign ¿)[Aio + A(« + 1)] (i = 1, 2,...), (13)

продолжается до тех пор, пока не наступит время обращения ш в нуль.

Необходимо отметить, что при шт (0)ш(0) < - So значения А следует выбрать равным нулю.

Следовательно, искомые векторы Qt¿, AQt в правой части (7) можно представить в виде

= (Xto + A) sign [(¿т(0Н(0) + So) + |шт(0)^(0) + So\], AQ^ = Ai (i = 1, 2,...).

Заметим, что предложенный выше способ самонастраиваемого управления представляет собой «принцип обратной связи по квазиускорению» в дискретные моменты времени tu (v = 1,2,...), соответствующие % = 1,2,....

Как показано в [7], в некоторый конечный момент времени ¿1 изображающие точки (ши ,Со,), согласно (4), окажутся на линиях разрыва

Со, + = 0 (v = 1,2,...,ki) (14)

и при этом знаки ш,(¿i) и Со,(¿1) будут противоположными, что необходимо для обеспечения управления системой в «режиме торможения» [7], обеспечивающего достижение одновременного обращения в нуль значений ш, и Со, в конечные моменты времени

¿2, = ¿1 + (- = 1, 2,...,fci), , (¿1)|

если элементы вектора управления Qш выбрать в виде [7]:

Qvv = -(signcb o, )[\v to + A, (г + 1)] (г = 1, 2,...), (15)

где

Соo, = Со,sign со2 + Соз,sign(1 - sign со(16) Со, — элементы вектора СоТ = (Со 1,Со2),

¿> (т) = -ш, (г) + Со, (¿1) + Г (и = 1, 2,...,h), т = t- ¿1. (17)

2 и, (t 1)

Заметим, что в (17) знаки ш,1) и Со,1) в силу (14) являются противоположными.

Теперь управление исходной системой (1) с минимальной евклидовой нормой определяется в виде [8]:

и = Пт (ППт , (18)

где П = Пт(ППт)-1.

Если Q задавать в виде Q = М0и, где М0(д, д, ¿) — матрица (п х г), и — -мерный вектор управления, то из (18) следует

(ППт )-1ПМ0и = ЯШ. (19)

При условии П = Пт(ППт) 1ПМ0, || ППт || = 0 решения уравнения (19) относительно и можно представить в виде [8]

и = Пт (ППт )-1Яш + иг, (20)

где иг — г-мерный вектор, удовлетворяющий условию Пиг = 0, который можно представить в виде [8]:

иг = [Е - Пт(ППт)-1П]и,

где Е — единичная матрица, и — произвольно задаваемый вектор.

Заметим, что при г = к матрица П является квадратной. Следовательно, иг = 0, так как при этом Пт (ППт )-1 П = Е. Отсюда следует, что минимальная размерность вектора управления и в случае к ^ г может быть равна размерности к вектора ш, что является меньше числа степеней свободы системы (1). Следует отметить, что при г > к, полагая иг = 0 в (20), получим управление и с минимальной евклидовой нормой.

3. Управление обобщёнными системами

В случае механических систем матрица А в (2) является определённо положительной по с[. При этом матрица АШ в (6) тоже является положительно определённо. Для того, чтобы убедиться в этом, определим выражение АШ через А следующим образом. Определим д через Со, дифференцируя ш1 по £ и присоединяя к ней второе равенство в (3). Получим

дш1 . дш1 . ~ . _

Я = —+ о 1, А(д, Ь)д = -а2(д, Ь) + ш2.

Учитывая предположение

|| ППТ ||=0, П=\\дш1/дд,А ||, получим решение (21) через Со ,С02 в виде [8]:

д=ПТ (ППТ)

Т 1

01 -дш1/д1 0 2 -а2

(21)

(22)

(23)

Подставляя (23) в Т2 = Ад, получим т'2 = СоТ[ПТ(ППТ)-1]ТАПТ(ППТ)-1ш,

Со = С1 . Отсюда следует, что АШ = [0,Т)-1 ]ТАО,Т)-1 является опреем 2

делённо положительной, если А — определённо положительная матрица. Если А не является определённо положительной, а лишь является неособенной и может зависеть кроме ш, £ ещё и от д, что имеет место в случае обобщённых систем [9], то матрица АШ не будет определённо положительной.

Следует отметить, что к обобщённым системам относятся системы Гельмголь-ца [9] и широкий класс систем с переменными массами, зависящими кроме обобщённых координат и времени ещё и от обобщённых скоростей [10]. Заметим, что методы, разработанные здесь для обобщённых систем, применимы и к механическим системам, т.к. они являются частным случаем обобщённых систем.

В случае, когда АШ в (6) является определённо положительной, в п. 2 удалось построить вектор ( обобщённых сил в (1) без информации об элементах матрицы А. В данном случае не удаётся этого добиться, но оказывается возможным представить ( в виде ( = АК(ш,Со, ¿), где К — вектор, определяемый без использования информации об элементах матрицы А.

Следовательно, для всех обобщённых систем с неособенной матрицей А, К является универсальным вектором, зависящим лишь от функций ш,Со, определяющих многообразие (3) заданного фазового состояния обобщённой системы.

Для определения К систему (1) умножим на А-1, после чего она становится аналогом механической системы с единичной матрицей А и вектором обобщённых сил (, равным К = А-1(. Тогда система (6) представляется в виде

Аш0 = Кш + К', (24)

где АШ — матрица вида

аШ = [ПТ (ППТ )-1}ТЕПТ (ППТ )-1, (25)

Е — единичная матрица.

Умножая (24) на А-1, получим Са = Кш + А—1 К'ш, К Ш - А— КШ .

Далее, повторяя рассуждения п. 2, из (15) после замены Ьо на |АШ(0)оа( соответствующее начальному моменту времени = 0, получим вектор КШ с элементами

Д^ = -(вщдСо* )[А (0)СС(0)| + А, (г + 1)] (г = 1, 2,...), (26)

где сСо, имеет вид (16). При этом отсчёт моментов времени наступления равенства (11) ведётся непосредственно после момента = 0.

После этого определим Дш = АШКШ, а из (18)

Д = йт (ййт )-1АшДш , йт = Пт (ППт )-1. (27)

Наконец, умножая Д на А, получим обобщённый вектор управления системой (1):

Я = А йт (ййт )-1АшД^, (28)

Аш,дш, й, П имеют выражения (25), (26), (27), (22).

Заметим, что вектор носит ступенчатый характер, так как Дш теряет свою непрерывность или гладкость в моменты времени ¿о, ^( V = 1, 2,.. .),^1, предшествующие концу процесса управления, и в моменты времени ¿2 = тах достижения системой состояния ш(^2) = 0, сС(£2) = 0 без удара.

В заключение отметим, что в качестве примеров применения вышеизложенных результатов к решению задач прикладного значения могут служить задачи, рассмотренные в [5-7,9,10], и задачи управления экономическими процессами [11].

Литература

1. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Доклады АН СССР. — 1988. — Т. 300, № 2. — С. 300-303.

2. Матюхин В. И. Универсальные законы управления механическими системами. — Москва: МАКС Пресс, 2001. — 249 с.

3. Матюхин В. И. Безударный контакт твёрдых тел // ДАН. — 2009. — Т. 427, № 1. — С. 44-47.

4. Ананьевский И. М. Синтез непрерывного управления механической системой с неизвестной матрицей инерции // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006. — № 3. — С. 24-35.

5. Мухаметзянов И. А., Чекмарёва О. И. Безударная посадка тела на подвижную платформу // Труды X Международной Четаевской конференции. — Т. 3. — 2012. — С. 197-204.

6. Мухаметзянов И. А, Чекмарёва О. И. Самонастраиваемое управление процессом безударной стыковки двух подвижных объектов // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2013. — № 4. — С. 154-160.

7. Мухаметзянов И. А. Самонастраиваемое управление процессом безударного приведения состояния механических систем в заданное многообразие // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2013. — № 3. — С. 105-112.

8. Мухаметзянов И. А. Построение уравнений программных движений // Автоматика и телемеханика. — 1972. — № 10. — С. 16-23.

9. Аналитическая динамика систем Гельмгольца, Биркгофа, Намбу / А. С. Га-лиуллин, Г. Г. Гафаров, Р. П. Малайшка, А. М. Хван. — Москва: Успехи физических наук, 1997. — 324 с.

10. Новоселов В. С. Аналитическая механика систем с переменными массами. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1969. — 240 с.

11. Мухарлямов Р. Г. Моделирование динамики простейших экономических объектов как систем с программными связями // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2007. — № 3-4. — С. 25-34.

UDC h?A.?A:62-h6

The Principle of Feedback on the Quasi-Accelerations for Unstressed Stabilization in Finite Time of Given Manifolds of Mechanical and Generalized Systems

I. A. Mukhametzyanov

Department of Theoretical Physics and Mechanics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russian Federation, 117198

The procedure is described of application of the "principle of feedback on the quasi-accelerations" in the construction of auto-adjustment control vector for bringing the condition of mechanical and generalized systems without impact to a given manifold of phase state of systems in finite time, in full or partial uncertainty mass-inertial parameters of the system and disturbances acting on it. This process is called unstressed stabilization of system in a finite time. Varieties of the condition of systems are given by set of holonomic and nonholonomic soft links. A set of control vectors that provide a solution to this problem is obtained. Then from this set of vectors control vectors of minimal dimension and minimum Euclidean norm are allocated. The examples are shown of applying these results to solve problems of practical importance, such as process of control of unstressed docking of surface and underwater and spacecrafts objects, unstressed landing of landers to the moving platforms, and capture of fast moving objects, including "space debris".

In contrast to previous works of the author on the problems of control of mechanical systems, here, along with them, more general systems are also considered, including systems of other physical nature, such as the Helmholtz system, and a wide class of systems with variable masses, depending not only on generalized coordinates, but also on the generalized velocities. In addition, such systems may also include economic systems when considered as dynamic analogs of mechanical and generalized systems. It should be noted that in the above extension of the class of systems under study one have to reckon with the fact that the generalized matrix of quadratic form of the mass-inertial characteristics of the system may not be positive definite, unlike mechanical systems, but only to be nonsingular. This fact does not allow building a control without the use of elements of this matrix, it was possible in the case of mechanical systems. However, in the work a universal vestor could be built that does not depend on these elements, for any generalized systems, Multiplying that vector by this generalized matrix, the law of control of any given generalized system is determined. Thus, the results can be regarded as a significant contribution to the theory of auto-adjustment control of mechanical and generalized systems and their dynamic counterparts, when the goal of control is unstressed bringing of condition of system to given manifold, formed by program constraints, with incomplete information about the non-control forces and disturbances acting on system.

Key words and phrases: The principle of feedback on the quasi-accelerations, auto-adjustment control, unstressed bringing to manifold, finite time, mechanical and generalized systems.

References

1. E. S. Pyatnitsky, Principle of Decomposition in the Management of Mechanical Systems, DAN SSSR 300 (2) (1988) 300-303, in Russian.

2. V. I. Matyukhin, Universal Laws of Control of Mechanical Systems, MAKS Press, Moscow, 2001, in Russian.

3. V. I. Matyukhin, Unstressed Contact of Solids, DAN 427 (1) (2009) 44-47, in Russian.

4. I. M. Ananjevsky, Synthesis of Continuous Control of Mechanical Systems with Unknown Inertia Matrix, Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Theory and Control Systems (3) (2006) 24-35, in Russian.

5. I. A. Mukhametzyanov, O. I. Chekmaryova, A Nonimpacting Landing of the Body to the Mobile Plate, in: Proceedings of the 10th International Chetaev Conference, Vol. 3, 2012, pp. 197-204, in Russian.

6. I. A. Mukhametzyanov, O. I. Chekmaryova, Self-Adjusting Control of Non-Impact Docking of Two Moving Objects, PFUR Bulletin. "Mathematics. Information Sciences. Physics" (4) (2013) 154-160, in Russian.

7. I. A. Mukhametzyanov, Process Self-Adjusting Control of Non-Impact Bringing of the Condition of Mechanics Systems to Given Set, PFUR Bulletin. "Mathematics. Information Sciences. Physics" (3) (2013) 105-112, in Russian.

8. I. A. Mukhametzyanov, Construction of Equations of Program Motions, Automation and Remote Control (10) (1972) 16-23, in Russian.

9. A. S. Galliulin, G. G. Gafarov, R. P. Malayshka, A. M. Hvan, Analytical Dynamics of Systems of Helmholtz, Birkhoff, Nambu, Advances in Physical Sciences, Moscow, 1997, in Russian.

10. V. S. Novoselov, Analytical Mechanics of Systems with Variable Masses, Publishing house of the Leningrad University, L., 1969, in Russian.

11. R. G. Mukharlyamov, Modeling of Dynamics of the Elementary Economic Objects as Systems with Program Constraints, PFUR Bulletin. "Mathematics. Information Sciences. Physics" (3-4) (2007) 25-34, in Russian.