Управление безопасностью объектов повышенного риска Текст научной статьи по специальности «Математика»

Данилов А.М., Голованов О.А., И Гарькина.А, Лапшин Э.В. УПРАВЛЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТЬЮ ОБЪЕКТОВ ПОВЫШЕННОГО РИСКА

Рассматривается управление безопасностью объектов повышенного риска. Дается иллюстрация на примере объекта хранения и уничтожения химического оружия.

В работе осуществляется определение риска от деятельности объектов повышенной опасности (атомных электростанций, объектов хранения и уничтожения химического оружия, баз и арсеналов хранения боеприпасов и др.) с использованием теорий случайных ветвящихся процессов и принципов оптимального управления.

Стохастические ветвящиеся процессы являются частным случаем марковских процессов со счетным множеством состояний и определяются на основе изучения организации деятельности объекта, расчленения его на группы функционирующих блоков с установлением их взаимосвязей.

Пусть число элементов (блоков), находящихся в момент времени t в состояниях S , равно , S2

- m , — , S ~ m , — , Sy - m ,■■■, Sj - m . Переход объекта из состояния в момент времени t в состояние, соответствующее моменту времени t + At :

(ml5m2,...,mt,...,mj,...,mn) ^(m1;m2,...,mt +1,...,mj -1,...,mn) (1)

осуществляется с вероятностью

p =aijmpjAt + 0(At) ; i,j = 1,2,...,n (2)

или

(m, m,..., m,..., m,..., mn) ^(m, m,..., m _ 1,..., m,..., mn) - (3)

с вероятностью

P = ßimi At + 0 (At) ; i = 1,2,..., n . (4)

Состояние ветвящегося процесса описывается случайным вектором (l(/) = (/4 (/),.. ;H„ (/)) ,

M&(t), k = 1,n (в момент времени t число элементов, находящихся в состоянии Sk , равно

Mk(t) = mk )-

Для полученной математической модели (1)-(4) производящая функция [1-3] имеет вид F(t;x1,x2,...,x„)= M[xM(t)хМ2(,)...хП(t)] ; (5)

математическое ожидание M удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

n n

OF

dl -TT*,

0t i=1 j=1

( , 02F OF ^

«,(xi -xix,+ ßi(1 -xi)тт '

OXjOx j OXj

11 при i Ф j,

где °j= 1 n ■ ■

[ 0 при i = j.

Подстановка (5) в (6) приводит к линейной нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

dp nn

Чг = ZZ3/ (aij (mi - 1)( mj + 1) Pq + Pi (mi + 1) Pr - (^imimj - fiimi) PS ) ; (7)

d i=1 j=1

s соответствует случаю, когда числа элементов объекта, находящихся в состояниях S-i,,..,Si,...,Sj,...,Sn , соответственно равны mi YHj тп} аналогично q -

m,...,m -1,.,m+1,"',m ;

r - тъ...,mi +1,...,mj,...,mn .

В общем случае a=a(t) , P=P(t) • Естественным образом возникает задача оптимального управления ветвящимся марковским процессом: определить траекторию вероятностей P (t) и управление

и (t) , доставляющее минимум функционалу T

J (P, U) = J С (t, P, U) dt (8)

t0

при дифференциальных связях

dp = f(t,P,U) , (9)

dt

граничных условиях

P (to )= Po , (10) P(T) = PT (11)

и ограничениях на управление

UeQ , (12)

где P = (p,P2,...,Ps,...,Pm) , U = (au,a12,...,aij,...,arm,P,P2,...,Pi,...,Д,) - векторы фазовых вероятностей и

управлений, f = f f2,..., f^ fm) - вектор правых частей дифференциальных уравнений (7), Q - за-

мкнутое множество (l = n2 +n ) -мерного пространства.

По принципу максимума Понтрягина оптимальное управление U(t) при каждом t доставляет абсолютный максимум Гамильтона функции

Я (и) = шах і1/(и) = шах

' } иєб 4 у иє£>

Хъ/, (', Р, и)-с (і, р, и)

. і=1 .

і = 1,2,..., т (14)

у — (ф\ ,У2 ,-,^5 ,---,Фт) определяется из системы уравнений

dyi дИ

dt др 5

Оптимальное управление и (t, Р, у) определится как решение краевой задачи (9), (13), (14) при

граничных условиях (10), (11) (системы 2т дифференциальных уравнений с 2т граничными условия-

ми).

Что касается прямых методов, то наибольшее распространение получили методы, использующие идеи спуска в пространстве управлений. Часто в задачах оптимального управления ищется минимум функционала

3 = Р (Р (Т)) (15)

при условиях (9), (10) и (12) - задача со свободным правым концом. Так, например, при оценке

риска от деятельности объектов повышенной опасности используется математическое ожидание количества блоков, находящихся в момент времени Т в аварийном состоянии:

п

3 — Xт0 - М [>* (Т)] .

к = 1

В методах спуска в пространстве управлений последовательно получаются управления ~Ик е 0 вида

Ик+1 ^) = Ик^) + ЗИк^) , (16)

где 5Ик (/) - вариация, которой соответствует монотонно убывающая последовательность значений

функционала. Для уменьшения значения функционала (15) на каждой итерации следует выбирать значение 8Ик ^) из условия

г)Н

8ик(ґ) = л—, л<0

(следует из (9); ^ (Т ) = -

8Н

8Р (Р (Т ))

ар

і = 1,2,.

,т ; 83 = -\8Н5Ис1г 1 ЯТІ

Производная

р аи

достаточно малой

определяется при управлении

зеличины

и к),

аи

соответствующей траектории

Р (ґ) . Выбор

Л допускает линеаризацию и возможность уменьшения функционала

3 = Р (р (Т)). Процесс спуска (16) начинается с некоторого И (ґ) и заканчивается, когда на некоторой итерации |8У| становится меньше некоторого заданного є .

Ниже приводится иллюстрация указанного выше на примере оценки риска от деятельности объекта по хранению и уничтожению химического оружия (блок-схема приводится на рис.1, структура вероятностных переходов - на рис.2). На рисунках Л (ґ) , Л () и Лз (ґ) - соответственно число единиц химических боеприпасов, находящихся на объекте хранения в момент времени ґ ; подготовленных для уничтожения и уничтоженных химических боеприпасов ( л(ґ )э Л(ґ )э Л(ґ) - случайные величины). Управление

безопасностью объекта состоит в определении значений «12, «21, «23, «32, «із,«1, А, Аз как функций времени. Их минимальные и максимальные значения (табл. 1) используются в качестве ограничений на управление и (ґ).

«із

Т

Рис. 1. Блок-схема функционирования объекта хранения и уничтожения химического оружия Соответствующая блок-схеме структура вероятностных переходов (1) и (3) приводится на рис.2.

В качестве подынтегральной функции в функционале (8) используется математическое ожидание числа химических боеприпасов, находящихся в аварийном состоянии (разлив отравляющего вещества на объекте подготовки к уничтожению - Р2 или при уничтожении - Р ):

3

С (^ Р,И) = Х т0 - М Л ^)]

к=1

: иинэьгарсШЛ ионсЗрнои'прлэ ndn 0=ою ‘0=ош ‘0ÇZ=y -Н - (/)£í/s_0I ‘-L - (j)zS?g-ОТ

і9 - (/)I£»£_oi -s - (/)£і»£-0і -f - (/)кда£-0і -є - (/)к»-_оі •- - (/)'"»£-0і -і - (/)"'»--0І

: ((•') У‘ІА У‘(A lîx}‘{t) £І»‘(/) г£»‘(/) £г»‘(/) lzx>‘(i)п») = (/)п :0MH0irapduA эоняьгриилuq * £oh¿[

ї=/

• (о< V £ (1,j-{ï),j),r,Z+({ï)j)d= г ігеноиГтанЛф яіьєаоєяігои

^ ш

-ои (çi) олээиа ^deiAiHduPH 'ииаоыэЛ XHaeed^î эинэньгоинаэн es Еф^лт еинеїїеаа) иолэинжоггоЛ ончьгэл -игієнє lAtibMdoдігє иннчіг0іьиітоиріна Oib ' ( (8Т) ’иэ) эГшоя i/roapdu єн и иоіьаєїїєє ииаоїгоЛ энаэ^я иітод

• t7_0I>{0 = (0)£”,£0 = (0)"”,£0SS = (0)1”' |о£z*(f)íri + (l)Zri + (l)lrl}d

'SZ0‘0 = (S ‘z)D = {t)^D

HHH0iraeduA

ілюнчігєіліИіьио Mdn *MHH0irapduA i/\[OHdEHOH,nEibO0H ndu илэонэеиоеэд эинэжино иоіьеєїїаігдєн іeoHdeHontiEibo - 17<l ndu '9OHdPHOM,nPibO0H - иол^эя^до 0HH0iraeduA \?>l ndn *є;яоЛио зНошего a эинэжиьгд^и эоняьгеьен

мєя иоіьаХєяігоиои 'PHHjndibHon єиЛиио ярілі puntiHndu эяоноо єн энннэьЛьгои 1 нинэыя^иЛ НіЬЄіЬяігЛє

-0d *(^*e*OMd єн KOibHïïoaHdu Р|Ъ;яэя,до BHHBaodHHon'njîH^ єїїод ojohïïo эинэьэл а 'ииннолэоэ ілюни^еяе а иохиїпиїїохєн 'aoopuMdueog хшюэьииих pitohr иинєїїижо оаояээьилеиэлеи hhhsrehs ojeHïïedo єілі/йліиниїлі иияоігоЛ єи ииГтееииилио HibPibairAsed) єїїод эинэьэл я ЄіЬ^ї9я,до HHHEaodHHon'n^îH^ ялооноеиоеэд аЛнжоиєоя

оняьгеииэяри ялБяиьэиоэдо онжігоїї ((/) £f/‘(/) £І»‘(/) г£»‘(/) к»‘(/) zlX)) = (/)д 0HH0iTHPdux

•lAnAædiiodu XHHibdeïïHEibo ілюинЕяоєяігоиои о stïedo я

Щи- о'«3| J = (íl'd)/

єігєноиґі^їнАф

]Д[©ИНЄЯОЄЯІГОиОИ О PHHiIHdiliHOH ЄИЛИИО ЯРІЛІ EUHtlHMdU ЭЯОНОО ЄН И0іЬ9ИІГЯіЬ0 9ЇПЛ00 HHH0LfHEdUÁ tí ИҐІЕ Є ИІЛІИіЬ UO

aotïoxedeu XHHibooHibHod0H edAib^îAdibo *2 *эи<з

• (нн0ЖОіЬРіИнЛ Hopundu0og эияээьииих 4u+hu+ku ээа — £ = i HiAieda єє) Еляэя^до эиннолэоэ эон

— Fi9HO^î ib0HIT0ÏÏ0dUO (RT) 0ИЯОІГОЛ 0OH0Pd^î ‘ ( £Ш - НН0ЖОіЬРіИНА J Ziu - аИН0ЖОіЬРіИНЛ !Я HH0iraOibOJÏÏOU 'aoo

\ и u / \ 0 0

-euMdueog хияээьииих HOibHHPdx) ^^^©я^до ©иниолооо эончьгрьрн ibenireïïeduo ( ц ) эиаоьгэЛ 9oa0Pd>î

í £/«+ ¿iu + ¿íM‘0‘0) *■ ndn o

(8T) ' l \ , ^ [ = (i)cí

\o,u+ ою +ою О‘0) = (£|tu‘4u‘liu) ndn л

( hu‘lju‘ huІ ф(гіи‘1ш‘1ш) ndn o Ul) ¡ У° ° ° ; V \ = (°i)j

qUí = £ш‘^ш= гш‘отш= тш ndn n

:їїиа лаэии оннэалолэалооо (ц) * (ОТ) киаоїгоЛ 0Ha9ed>î

s_oi-o1 9_0І0І E-OI-S’O E_OI ■ 9‘0 e_0I-8‘0 --OI-S’O Е-0І-0І г-0І0І ХЕШ

9_0I ' 6 ¿0 9-01-6‘0 f-OI-S’O £-01 ro e-OI-г'o ,_oi-ro £-01 ro г_0ІГ0 U TUI

V V IE» ua CE» EC» lza zla

!{/ ‘ f!v ИИН9РіЄНЄ ЭНН ЧІГРІЛІИО^Ї єілі и еннчігєиинии • t EtiHLfgej,

«12 = «12 (12), «21 = «21 (12), «23 = «23 (12), «32 = «32 (12),

«10 = «13 (12), 4 = «31 (12), ß = ß2 (12), ß = ß3 (12)

С(2,5) = 0,135 (при оптимальном управлении - 0,0245 ).

Рис. 4. Безопасность функционирования объекта по хранению

и уничтожению химического оружия: кривая 1 - M (t)] ; 2 - M [^2 (t)] ;

3 - M [^(t)] ; 4 - 10~4С (t).

ЛИТЕРАТУРА

1. Севостьянов Б.А. Ветвящиеся процессы, М.: Наука, 1971.

2. Данилов А.М., Гарькина И.А., Голованов О.А., Еремкин А.И., Прошин А.П. Теория катастроф в решении задач безопасности объектов хранения и уничтожения химического оружия. /Вестник Волжского регионального отделения РААСН, вып. 4, Н-Новгород, 2 0 0 0.

3. Данилов А.М., Гарькина И.А., Голованов О.А., Еремкин А.И., Прошин А.П. Вероятностная оценка тяжелых аварий на объектах хранения и уничтожения химического оружия. /Новое в экологии и безопасности жизнедеятельности. Т. 2, С-Петербург, 2 0 0 0.