CC BY
9
Универсальные формулы для определения расчетной длины элементов
крестовой решетки
А.А. Лиманцев
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону Аннотация: Рассмотрен процесс нахождения расчетных длин элементов крестовой решетки с помощью метода перемещений в случае, когда оба стержня не прерываются и когда один из стержней прерывается и перекрывается фасонкой. Предложены новые формулы метода перемещений для нахождения опорных реакций элемента, имеющего пружинное закрепление на одном из концов. Предложена формула, позволяющая определить жесткость пружины, с помощью которой моделируется работа соединительной планки. Произведено сравнение двух вариантов расчета: с применением обычных формул метода перемещений и с применением предлагаемых новых формул. Расчет показал хорошую сходимость результатов при существенном упрощении процесса расчета во втором случае. Приведено сравнение полученных расчетных длин с указаниями действующих сводов правил. Отмечена возможность принять более экономичное сечение при определении расчетной длины по средствам метода перемещений.
Ключевые слова: Расчетная длина, крестовая решетка, устойчивость, критическая сила, стропильная ферма.
Проектировщикам известно множество различных способов определить расчётную длину сжатого стержня для последующей оценки его устойчивости. Наиболее распространённый вариант — воспользоваться таблицами коэффициентов расчетных длин, которые приведены в Сводах Правил (СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции» и СП 294.1325800.2017 «Конструкции стальные. правила проектирования»). Этого оказывается вполне достаточно для решения подавляющего большинства возникающих на практике случаев. При необходимости рассмотрения устойчивости какой-либо стержневой системы на выручку приходят программные комплексы, позволяющие рассмотреть абсолютно любой случай и найти приближающиеся к точным решения, как описано в [1, 2], а также в статьях [3, 4]. Ну и наконец, существуют способы ручного расчёта, среди которых наиболее удобным является метод деформаций, который подробно описан в [5-7]. В настоящее время ручной расчёт может показаться неактуальным, однако
для изучения какой-либо конструкции при различных сочетаниях жесткостей, длин и усилий, а также при использовании математического пакета программ для автоматизации процесса, такой способ оказывается удобным и максимально гибким [8]. Целью настоящей работы является попытка расширить возможности и удобство расчета на устойчивость стержневых систем методом деформаций.
Рис. 1. Два варианта выполнения крестовой решетки.
В качестве конструкции, на примере которой будут вестись дальнейшие рассуждения, рассмотрим систему из двух перекрестных стержней, нагруженных осевыми силами. Данный пример выбран по той причине, что в реальности такая система может состоять из двух неразрывных стержней (рис. 1, а), либо из одного целого стержня и второго, поделенного на две части, соединённые накладкой (рис. 1, б). В расчетной схеме каждый стержень делится на два точкой их взаимного пересечения. В случае непрерывных стержней схема будет состоять из четырех элементов с жестким сопряжением между собой и шарнирами на опертых концах (рис. 1, в). Когда один из стержней разорван, он представляется в виде двух элементов с шарнирами на обоих концах (рис. 1, г).
и
Рис. 2. Расчетная схема. На рис. 2 представлена общая схема первого случая рассматриваемой системы и возможные формы её потери устойчивости. Практическую ценность имеет третья форма, где происходит смещение точки пересечения стержней [7, 9].
Рис. 3. Расчетная схема единичных деформаций однопролетного стержня вида
«заделка+шарнир».
Для решения такой задачи, в случае, когда стержни в точке пересечения не прерываются, метод деформаций предоставляет формулы (1-4) для реакций от единичных перемещений (рис. 3).
и
Опорные реакции от единичных деформаций для двухшарнирного элемента (рис. 4) определяются по формулам (5-8).
Опорные реакции для расчетной схемы на рис. 2, а:
Мд = 0; (5)
Опорные реакции для расчетной схемы на рис. 2, б:
Мт = 0;
(7)
Расчетные схемы, представленные на рис. 3 и 4, можно заменить единой универсальной схемой, представленной на рис. 5.
М Инженерный вестник Дона, №5 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2021/6951
Рис. 4 Расчетная схема единичных деформаций однопролетного
двухшарнирного стержня.
Рис. 5. Расчетная схема единичных деформаций однопролетного стержня
вида «пружина+шарнир». Процесс вывода формул метода деформаций подробно описан в [7, 10]. Приведем здесь лишь основные моменты. Определение реакций основной системы основано на интегрировании дифференциального уравнения изгиба.
У = Сх + С2Х + С
1 — соз ах ах — зт ах
3 р "Г ь4 '
аг а
где
Чтобы найти все постоянные интегрирования, необходимо задать 4 граничных условия. Найдем граничные условия для схемы на рис. 5, а. Прогиб на обоих концах
стержня равен нулю, следовательно
. Изгибающий момент на правом конце также равен нулю, поэтому
Отыщем последнее граничное условие. Узел в точке X = 0 испытывает поворот Ф = 1. Одна часть угла поворота узла обуславливается изгибом самого стержня, а другая
у(0) = 0,у(О = 0
- деформацией пружины, при этом угол поворота пружины равен отношению изгибающего момента и её жесткости. Рассуждая таким образом, получаем следующее уравнение:
В результате опорные реакции для расчетной схемы на рис. 5, а получаются
следующими:
Найдем граничные условия для схемы на рис. 5, б. На левом конце стержня прогиб равен нулю, поэтому у(0) = 0. На правом конце прогиб равен единице, следовательно
у(0 — 1, а изгибающий момент равен нулю - у"(0 — 0. Для определения последнего
М Инженерный вестник Дона, №5 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2021/6951
граничного условия необходимо определить момент на левом конце стержня. Он может
быть найден двумя способами:
М(0) = £7у"(0); М(0) = ку'(0) .
Отсюда, приравнивая правые части уравнений, получаем условие: Е1у"(0)-ку'(0) = 0.
Нужно обратить внимание, что формула (12) состоит из двух слагаемых. Первая часть соответствует реакции в опоре, возникающей вследствие изгиба стержня. Вторая
часть представляет собой проекцию сжимающего усилия в стержне на вертикальную ось в точке опоры и определяется как N ■ 5т(<т) . В виду малости углов получаем
Универсальные выражения (9-12) при жесткости к —» оо преобразуются к виду (14), а при к —» 0 к формулам (5-8). В случае упругого защемления в расчет можно
включать конкретные значения жесткости пружины и получать более точные решения.
Как уже было описано выше, в рассматриваемой на рис. 1, б перекрестной решетке в качестве пружины выступает соединительная фасонка. Для того чтобы определить её жесткость, представим фасонку в виде консольного стержня (рис. 6).
Жесткость пружины к определяется как отношение момента к углу закручивания. Поэтому, если найти зависимость (X от Л'/0, то получим формулу для нахождения
жесткости пружины к. Важно отметить что длина рассмотренного элемента должна быть как минимум на порядок меньше длины основного стержня, что дает нам право с некоторым приближением, но достаточно точно для технических расчетов заменять данный стержень пружиной.
М Инженерный вестник Дона, №5 (2021) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n5y2021/6951
Рис. 6. К определению жесткости пружины. Определение деформаций сжато-изогнутого стержня подробно описано в [7].
Рис. 7. Расчетные схемы крестовой решетки Осталось выяснить, насколько большая погрешность получается при использовании формул (9-13). Для примера рассмотрим крестовую решетку стропильной
фермы высотой и длиной панели по 3 метра. В таком случае длина элементов в расчетной схеме составит / = 212 СМ. Момент инерции стержней условно принят / = 30 СМ4, что
примерно соответствует сечению L60х8. Длина и момент инерции накладки
соответственно — 4 СМ, — 1 СМ4, соответствуют пластине толщиной 10 мм и
шириной 120 мм. Расчет будем производить по двум расчетным схемам: по рис. 7, а -расчетная схема крестовой решетки из 4 элементов с применением формул (9-13), и по рис. 7, б - более подробная расчетная схема из 6 элементов.
Таблица № 1
№/N1 Критическая сила, кН (коэф. расчетной длины) Погрешность, %
По схеме рис. 7, а По схеме рис. 7, б
1 25.182 (2.321) 25.335 (2.314) -0.6 (+0.3)
0,5 32.657 (2.039) 32.889 (2.031) -0.71 (+0.355)
0 45.866 (1.72) 46.27 (1.713) -0.873 (+0.439)
-0,5 77.415 (1.324) 78.344 (1.316) -1.185 (+0.598)
Проверка точности решения задачи с применением формул (9-13) показала наличие погрешности, в большинстве случаев не превышающей 1,2%. Таким образом, найденные формулы существенно облегчают процесс расчета, не влияя сколько-либо существенно на его точность.
Таблица № 2
Коэф. расчетной длины
№/N1 По схеме рис. По схеме СП 16.13330. СП 294.1325800.
7, а рис. 7, б 2017 2017
1 2.321 2.314 2,8 2,698
0,5 2.039 2.031 2,8 2,375
0 1.72 1.713 2 2
-0,5 1.324 1.316 1,4 1.581
Для сравнения полученных результатов с нормами и документами, определим коэффициенты расчетных длин по действующим сводам правил и сравним их со значениями из таблицы 1. Результаты сведены в таблицу 2.
Данные таблиц 1 и 2 доказывают хорошую применимость найденных формул (913) для определения коэффициентов расчетных длин стержней крестовой решетки, так как упрощают процесс решения по сравнению с обычными формулами метода перемещений,
а также позволяют найти более точное и экономичное значение коэффициентов по сравнению со сводами правил.
Литература
1. Aghayere A., Vigil J. Structural steel design: a practice-oriented approach. Prentice Hall, 2009. P. 692.
2. Sukhvarsh J. Structural stability theory and practice: buckling of columns, beams, plates, and shells. Hoboken: Wiley, 2021. P. 642.
3. Бузало Н.А., Гайджуров П.П., Кожихов А.Г. Исследования сжатых перфорированных стоек и совершенствование их конструктивной формы // Инженерный вестник Дона. 2009, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2009/129
4. Скачков С.В., Шуцкий С.В. Расчет стенки водонапорной башни в виде цилиндрического резервуара на прочность и устойчивость // Инженерный вестник Дона. 2017, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4538
5. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.
6. Грудев И.Д. Устойчивость стержневых элементов в составе стальных конструкций. М.: МИК, 2005. 320 с.
7. Лейтес С.Д. Устойчивость сжатых стальных стержней. М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1954. 308 с.
8. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И., Языева С.Б., Торлина Е.А. Расчет на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при различных вариантах закрепления // Инженерный вестник Дона. 2011, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2011/415
9. Смирнов А.Ф. и др. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. 415 с.
10. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 544 с.
References
1. Aghayere A., Vigil J. Structural steel design: a practice-oriented approach. Prentice Hall, 2009. P. 692.
2. Sukhvarsh J. Structural stability theory and practice: buckling of columns, beams, plates, and shells. Hoboken: Wiley, 2021. P. 642.
3. Buzalo N.A., Gajdzhurov P.P., Kozhihov A.G. Inzhenernyj vestnik Dona, 2009, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2009/129
4. Skachkov S.V., SHuckij S.V. Inzhenernyj vestnik Dona, 2017, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4538
5. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustojchivost' uprugih sistem [Basics of calculating the stability of elastic systems]. M.: Mashinostroenie, 1978. 312 p.
6. Grudev I.D. Ustojchivost' sterzhnevyh elementov v sostave stal'nyh konstrukcij [Stability of bar elements in steel structures]. M.: MIK, 2005. 320 p.
7. Lejtes S.D. Ustojchivost' szhatyh stal'nyh sterzhnej [Stability of compressed steel bars]. M.: Gosudarstvennoe izdatel'stvo literatury po stroitel'stvu i arhitekture, 1954. 308 p.
8. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I., YAzyeva S.B., Torlina E.A. Inzhenernyj vestnik Dona, 2011, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2011/415
9. Smirnov A.F. i dr. Stroitel'naya mekhanika. Dinamika i ustojchivost' sooruzhenij [Structural mechanics. Dynamics and stability of structures]. M.: Strojizdat, 1984. 415 p.
10. Blejh F. Ustojchivost' metallicheskih konstrukcij [Stability of metal structures]. M.: Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematicheskoj literatury, 1959. 544 p.
