CC BY
108
УДК 621.86
УНИВЕРСАЛЬНАЯ МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ КРАНОВ-МАНИПУЛЯТОРОВ
В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
В работе представлен алгоритм определения напряжений в стержневых элементах конструкций гидравлических кранов-манипуляторов. Изложены методики вычисления геометрических и инерциальных характеристик поперечных сечений и участков стержней произвольной формы. Уделено внимание переходу от решения задачи динамики к постановке задачи определения напряжений. Выполнен динамико-прочностной анализ рукояти крана-манипулятора АСТ-4-А.
Ключевые слова: кран-манипулятор, напряжение, стержень, поперечное сечение, динамика.
На сегодняшний день можно выделить три основных алгоритма для решения задач динамики манипуляторов [1]:
• Ньютона-Эйлера (RNEA - Recursive Newton-Euler Algorithm);
• составного твердого тела (CRBA - Composite Rigid Body Algorithm);
• шарнирно-сочлененного тела (ABA - Articulated Body Algorithm).
В них манипулятор рассматривается как система абсолютно твердых тел (звеньев), соединенных шарнирами (рис. 1). В качестве звеньев в гидравлических кранах-манипуляторах выступают, как правило, тонкостенные стержни.
Рис. 1. Кран-манипулятор на гусеничном шасси и его кинематическая схема: а - кран-манипулятор; б - кинематическая схема
Вышеперечисленные алгоритмы используют одинаковый набор из четырех обобщенных параметров:
• qi - обобщенные координаты, в качестве которых выступают перемещения в призматических и повороты в петлевых шарнирах конструкции;
• ( i - обобщенные скорости;
• ¿1 - обобщенные ускорения;
• Т1 - усилия, развиваемые приводами манипулятора в сочленениях.
В прямой задаче динамики неизвестными являются обобщенные ускорения (¿1, в обратной -
усилия Т1 . В результате решения задачи динамики все обобщенные параметры становятся известными.
Прежде чем перейти непосредственно к вычислению значений напряжений в стержневых элементах конструкции, необходимо определить скорости и ускорения звеньев манипулятора, а также реактивные усилия, возникающие в его сочленениях. Для этого на первом этапе используется методика, аналогичная прямому ходу в алгоритме Ньютона-Эйлера: двигаясь от закрепленного основания крана-манипулятора к грузозахватному устройству, определяются скорости и ускорения
звеньев на основе известных значений ¿1 , (/ , . На втором этапе используется методика,
аналогичная обратной рекурсии в алгоритме Ньютона-Эйлера: двигаясь от захвата манипулятора к основанию, определяются силы инерции, действующие на звенья; а также усилия, передаваемые через шарниры.
А. В. Лагерев, И. А. Лагерев, А. А. Мильто
а)
б)
В задаче динамики абсолютно твердого тела разрешается переносить точку приложения момента; а также силы вдоль линии ее действия, либо вне этой линии, добавляя при этом компенсирующий момент. Однако при определении напряжений это недопустимо. Следовательно,
требуется перейти от приведенных к сочленениям усилий Т , развиваемых приводами крана-
манипулятора, к реальным усилиям, действующим на штоки и корпуса гидроцилиндров (рис. 2).
а)
б)
Рис. 2. Усилия, развиваемые гидравлическим приводом: а - приведенные к сочленению; б - действующие на корпус гидроцилиндра и шток
Кроме того, реактивную силу и момент в призматическом шарнире телескопической стрелы следует распределить между двумя областями, где через скользящие пластины происходит контакт внешней и внутренней балки (рис. 3).
Рис. 3. Стержни телескопической стрелы взаимодействуют в областях А и В
В большинстве случаев стержневые элементы конструкций гидравлических кранов-манипуляторов имеют тонкостенный замкнутый профиль с одной осью симметрии. Существуют специальные теории для расчета напряжений в тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профиля. Однако поскольку поперечные сечения тонкостенных стержней замкнутого профиля подвержены значительно меньшим депланациям, чем сечения аналогичных стержней открытого профиля при одинаковой нагрузке, допускается для определения в них напряжений использовать обычную теорию кручения и изгиба стержней [2, с. 345]. При этом нормальные напряжения определяются по формуле, которая в главных центральных осях сечения имеет вид:
N Мх М
сг7 = — + —-у---
2 АЛЛ
х,
1)
где (Г2 - нормальное напряжение в точке сечения с координатами х, у; N, Мх, Му -
внутренние силовые факторы: продольная сила и изгибающие моменты; А, Лх, Л у - характеристики
сечения: площадь и осевые моменты инерции.
Так как поперечное сечение балки гидравлического крана-манипулятора зачастую имеет одну ось симметрии, то одна из главных осей совпадает с ней, а вторая - расположена ортогонально ей; то есть задача об определении главных осей сечения имеет тривиальное решение. В случае отсутствия у поперечного сечения балки осей симметрии, используется формула для нормальных напряжений, записанная в центральных осях:
N + МЛ+МЛ
= — +--^^ у
2 А Л Л - Л2
х у
ху
МуЛх + МхЛхУ
Л Л - Л2
х у ху
х,
2)
где Л - центробежный момент инерции сечения.
Касательными напряжениями от поперечных сил ввиду их относительной малости допустимо
пренебречь [3, с. 256, 263]. Так как не существует универсальной методики определения касательных напряжений от крутящего момента (аналитические зависимости получены для ограниченного набора сечений, а в общем случае они определяются с помощью численных методов), их вклад в напряженное состояние также не учитывается. Таким образом, расчет прочности ведется только по нормальным напряжениям.
В начале расчета стержень разбивается поперечными сечениями на участки (рис. 4).
К М К М К М К М
и
и
и
и
(Л СУ СУ в
Рис. 4. Расчетная схема для определения внутренних усилий и напряжений в сечениях стержня
Для каждого участка определяются его инерциальные характеристики (масса, центр тяжести, тензор инерции). На их основе вычисляются сила тяжести G, действующая на данный участок, а также инерциальные сила Fи и момент Ми. Действие на балку соединенных с ней шарниров заменяют эквивалентными силами Fш и моментами Мш. Другие силовые факторы (ветровая нагрузка, вес груза и т.д.) при их наличии прикладываются к соответствующим участкам стержня. Внутренние усилия в сечениях определяются поочередно, двигаясь от одного из концов балки к другому. Для определения напряжений по формулам (1-2) необходимо предварительно вычислить геометрические характеристики сечений (площадь, положение центра тяжести, осевые моменты инерции, центробежный момент инерции).
Поперечное сечение стержня произвольной формы может быть описано конечным набором отрезков с определенной степенью точности. Аналогично трехмерная модель участка балки может быть задана конечным набором треугольников (рис. 5).
-о
а)
б)
Рис. 5. Описание геометрии сложного тела: а - плоское тело, ограниченное отрезками; б - объемное тело, заданное набором треугольников
Если для отрезков, описывающих профиль стержня, заданы внешние нормали, то площадь поперечного сечения может быть найдена как сумма ориентированных (знаковых) площадей треугольников, образованных произвольно взятой точкой О и отрезками контура сечения. Площадь ^ го треугольника принимает положительное значение, если вектор из точки О до г'-го отрезка направлен в ту же сторону, что и нормаль этого отрезка (рис. 6).
о
+
о
Рис. 6. Определение площади плоской фигуры, ограниченной набором отрезков с заданными
внешними нормалями
Аналогичным образом объем произвольного тела, заданного набором треугольников, может быть найден как сумма знаковых объемов тетраэдров, образованных этими треугольниками и произвольно выбранной точкой. Данная методика была предложена в работе [4]. Она позволяет определять и другие характеристики, описываемые интегральной функцией по площади или объему, в том числе моменты инерции плоских фигур и объемных тел.
Формулы для определения площади и центра тяжести треугольника, а также объема и центра тяжести тетраэдра по координатам вершин имеют вид:
А
2 D
Vъо =
1
1
(п - X (У2 - V0)L С
2 *
1 (V
-^0 + V + V
),
М, С
3D
1 (V
3)
-V + V + ^2 +
4
/|2D 2D т тзи 3D
где А , С - площадь и центр тяжести треугольника; V , С - объем и центр тяжести тетраэдра; V0..У3 - координаты вершин.
Поскольку положение точки О выбирается произвольно, для упрощения вычислений целесообразно расположить ее в начале координат. Тогда зависимости (3) примут вид:
А2* = 2к XУ2|, С2- = 3(V, + V2),
1 _ . _ 1 , 4)
V
3*
1 (VI
— IV, + v2 + v3
).
v2, v3), СВ общем виде выражения для определения моментов инерции треугольника и тетраэдра имеют вид:
J2x* = Л У2с1хс1у, J2y* = Л х2с1хсу, J2XD> = Л xydxdy,
J
3*
р|Ц (У2 + 22)dxdydz
J
3*
xy
р|Ц xydxdydz
J
5)
= р xz dxdydz,
V
^ = ^ , JlD = рШ (x2 + 22) dxdydz, J)Dz = рЩ у2 dxdydz,
V V
J3D=JlD, J3D=JУD, ^ =рЩ (x2+у 2) dxdydz,
V
где J2 *, J3Ь - моменты инерции плоского и объемного тела; р - плотность.
Для упрощения выражений (5) были предложены различные подходы. В работе [5] для вычисления инерциальных характеристик объемного тела, ограниченного набором плоских многоугольников использована теорема Гаусса-Остроградского для перехода от объемных интегралов к плоским и теорема Грина для перехода от интегралов по площади к криволинейным
xx
интегралам. Идеи данного метода получили дальнейшее развитие в исследовании [6], где был упрощен ряд вычислений для частного случая, когда геометрия тела задана набором треугольников. Иной подход к определению компонентов тензора инерции произвольного тетраэдра, основанный на использовании матрицы ковариаций, предложен в статье [7]. В явном виде формулы для зависимостей моментов инерции тетраэдра от координат его вершин впервые были получены в работе [8]. Однако, наиболее простое решение предложено в исследовании [9] - осевые и центробежные моменты инерции треугольника и тетраэдра могут быть рассчитаны по формулам:
V
Л " = (/ ^ + 7 ( у2) + 7 ( у3) + 1V + ^ + ) ,
А2В , 6)
л 2в = — (/ ( Vi) + / (у2) + / (Vi + у2) ),
где /(V) - подынтегральная функция из формулы (5) для соответствующего момента инерции.
Выражения (5-6) справедливы только для случая, когда плотность - величина постоянная по всему объему. При этом масса и объем тела связаны линейной зависимостью:
т = pV 7)
По формулам (4-7) могут быть найдены площади, центры тяжести и моменты инерции отдельно взятых треугольников, построенных на контуре поперечного сечения; а также массы, центры тяжести и тензоры инерции отдельно взятых тетраэдров, образующих участки стержня. В совокупности с приведенной выше методикой из работы [4], это позволяет определить все геометрические и инерциальные характеристики сечений и участков балки, необходимые для определения внутренних усилий и напряжений. При этом центр тяжести составной плоской или объемной фигуры вычисляется по формулам:
г2„ ес,'в с 1В ЕС>.3д
- Е А2В ~ Е т3В
Для переноса тензора инерции из начала координат в центр тяжести используется теорема Штейнера.
Таким образом алгоритм определения напряжений в стержневых элементах конструкции гидравлических кранов-манипуляторов состоит из следующих этапов:
1. Создание стержневых элементов: задание геометрии поперечных сечений с помощью конечного набора отрезков, построение на их основе полигональных моделей участков стержня, вычисление геометрических и инерциальных характеристик сечений, участков балок и балок как единого твердого тела.
2. Соединение стержневых элементов шарнирами, приложение внешней нагрузки.
3. Решение задачи динамики.
4. Определение скоростей и ускорений звеньев манипулятора, а также усилий, передаваемых
через шарниры. Переход от приведенных усилий в сочленениях Тi к истинным усилиям на штоке и
корпусе гидроцилиндра. Перераспределение усилия, передаваемого призматическим шарниром телескопической стрелы.
5. Вычисление силовых факторов, действующих на участки стержневых элементов. Определение внутренних усилий и напряжений в сечениях балок.
В рамках исследования разработан программный комплекс, реализующий данную методику. С его помощью выполнен анализ напряженного состояния рукояти крана-манипулятора машины для сварки трубопроводов АСТ-4-А (рис. 7).
РУКОЯТЬ
ПОВОРОТНАЯ КОЛОННА
б)
Рис. 7. Кран-манипулятор машины для сварки трубопроводов АСТ-4-А: а - кран-манипулятор; б - расчетная схема
Смоделирован подъем груза рукоятью крана-манипулятора при фиксированном положении стрелы q1 = 141° и поворотной колонны. Расчет выполнен для трех начальных положений рукояти:
q2 ° = 90° , q2 ° = 129° и qt2 ° = 145° . Учтено ограничение скорости движения штока
гидроцилиндра, связанное с максимальной подачей насоса. В результате расчета получены зависимости обобщенной координаты и скорости, усилия, развиваемого гидроцилиндром и максимальных напряжений в рукояти от времени (рис. 8). 160 146
а)
1 1,5
время, с
б)
1 1,5 2
время, с
в)
1 1,5
время, с
*=0 ПА'
о 2 = 90
г)
1 1,5 2
время, с
аТ° = 145
-Я. 2 - 129
Рис. 8. Поворот рукояти: а - угол поворота; б - угловая скорость; в - усилие, развиваемое гидроцилиндром;
г - максимальное напряжение
Во всех расчетных случаях движение начинается с большим ускорением, так как в начальный момент времени шток находится в состоянии покоя и гидроцилиндр развивает максимальное усилие; что приводит к возникновению в рукояти значительных по величине сил инерции и напряжений. При этом максимальные напряжения наблюдаются в области шарнира, соединяющего рукоять со стрелой.
Для случая начала движения целесообразно провести более точный расчет напряженно-деформированного состояния с использованием метода конечных элементов (МКЭ), приняв
начальное положение рукояти q2 =152° , при котором сила от гидроцилиндра действует на максимальном плече.
В процессе движения шток достигает максимальной скорости, обеспечиваемой подачей
насоса; при этом усилие, развиваемое гидроцилиндром уменьшается.
В момент, когда рукоять принимает горизонтальное положение, она работает преимущественно на изгиб и в области сочленения со стрелой также наблюдаются максимальные напряжения, величину которых следует уточнить в расчете с использованием МКЭ.
The algorithm for stress analysis of beam elements of knuckle-boom cranes is described. The methods for calculating geometrical properties of arbitrary cross sections and inertial properties of arbitrary beams are demonstrated. The attention is paid to formulation of the problem of stress definition based on solution of dynamics problem. The dynamic and stress analysis of articulated arm grip is performed. The key words: articulating crane, stress, beam, cross-section, dynamics.
Список литературы
1. Featherstone R. Robot dynamics / R. Featherstone // Scholarpedia. vol. 2. № 10. 2007. p. 3829. URL: http://dx.doi.org/10.4249/scholarpedia.3829. Дата обращения: 17.03.2013.
2. Биргер, И.А. Сопротивление материалов: Учебное пособие / И.А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 560 с.
3. Макаров, Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad / Е.Г. Макаров. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 512 с.
4. Lien S. A symbolic method for calculating the integral properties of arbitrary nonconvex polyhedra / S. Lien, J.T. Kajiya // IEEE Computer Graphics and Applications. vol. 4. № 10. 1984. pp. 35-42
5. Mirtich B. Fast and Accurate Computation of Polyhedral Mass Properties / B. Mirtich // Journal of Graphics Tools. vol. 1. № 2. 1996. pp. 31-50.
6. Eberly D. Polyhedral Mass Properties (Revisited) / D. Eberly // Technical Report, Magic Software, January 25, 2003. pp. 1-7.
7. Blow J. How to find the inertia tensor (or other mass properties) of a 3D solid body represented by a triangle mesh / J. Blow, A.J. Binstock. - URL: http://www.number-none.com/blow/inertia/bb_inertia.doc. Дата обращения: 6.10.2013.
8. Tonon F. Explicit Exact Formulas for the 3-D Tetrahedron Inertia Tensor in Terms of its Vertex Coordinates / F. Tonon // Journal of Mathematics and Statistics. vol. 1. № 1. 2005. pp. 8-11.
9. Kallay M. Computing the Moment of Inertia of a Solid Defined by a Triangle Mesh / M. Kallay // Journal of Graphics, GPU, and Game Tools. vol. 11. № 2. 2006. - pp. 51-57.
Об авторах
Лагерев А. В. - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Подъемно-транспортные машины и оборудование» Брянского государственного технического университета, avl-bstu@yandex.ru.
Лагерев И. А. - кандидат технических наук, зам. начальника Учебно-методического управления Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, lagerev-bgu@yandex.ru.
Мильто А. А. - аспирант кафедры «Подъемно-транспортные машины и оборудование» Брянского государственного технического университета, miltoandrey@ya.ru.
UNIVERSAL TECHNIQUE FOR STRESS ANALYSIS OF BEAM ELEMENTS OF ARTICULATING CRANES IN CASE OF DYNAMIC LOAD
Lagerev A.V., Lagerev I.A., Milto A. A.
