Уменьшение естественной ширины атомных уровней в наноструктурных системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.8

О. Н. Гадомский, К. К. Алтунин, А. А. Русин, О. В. Лебедев

УМЕНЬШЕНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ ШИРИНЫ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ В НАНОСТРУКТУРНЫХ СИСТЕМАХ

Аннотация. Показано, что при определенных расстояниях между атомами в атомном кластере обнаруживается эффект сужения естественной ширины атомных уровней благодаря запаздывающему взаимодействию в поле внешнего излучения. Межатомное взаимодействие приводит не только к смещению уровней атомов, но и к образованию точки перегиба, разделяющей области отрицательной и положительной дисперсии эффективной поляризуемости атомов кластера. Показано также, что локальное поле в условиях сужения естественной ширины атомных уровней значительно превосходит внешнее поле, что приводит к усилению оптического поля кластера в волновой зоне вдали от кластера. При изменении некоторых внутренних условий в кластере возможно мерцание дипольного излучения кластера. Обнаруженный эффект сужения имеет место в поле малоинтенсивного внешнего излучения без изменения инверсии квантовых переходов атомов.

Ключевые слова: естественная ширина атомных уровней, атомный нанокластер, запаздывающее межатомное взаимодействие, размерные резонансы, отрицательная дисперсия эффективной поляризуемости атомов, эффект мерцания атомного кластера, усиление дипольного излучения, отрицательная экс-тинкция.

Abstract. It is shown that given the certain distances between atoms, in atom cluster occurs the effect of narrowing of atom level natural width due to retarded interaction in the field of outer radiation. Interatomic interaction leads to both the displacement of atom levels and the occurrence of an inflection point separating the areas of negative and positive dispersion of atomic cluster effective polarizability. It is also shown that the local field, under conditions of atom level natural width narrowing, significantly exceed the outer field, which leads to strengthening of cluster’s optical field in the wave zone beyond the cluster. If one changes some internal conditions in the cluster, the cluster’s dipole radiation may flicker. The discovered effect of narrowing takes place in the field of low-intensity outer radiation without changing the inverse of atomic quantum transitions.

Key words: natural atomic level width narrowing in nanoscale systems, retarded interaction of atoms, sized resonances, effective polarizability of atoms, negative dispersion of effective polarizability of atoms, enhacement of the dipole radiation, the scintillation effect, negative extinction

Введение

Одним из основных принципов теории Бора атома водорода [1] является принцип стационарности атомных состояний. Как было постулировано в этой теории, атом, находящийся в определенном энергетическом состоянии, не излучает электромагнитные волны. С точки зрения последующей квантовой теории излучения Weisskopf-Vigner’s [2] это означает, что атом в определенном энергетическом состоянии может находиться как угодно долго, т.е. время жизни атома в возбужденном состоянии является бесконечным.

В квантовой теории излучения [2] идея Бора получила дальнейшее развитие и было доказано, что время жизни атомов в возбужденном состоянии

является конечным благодаря спонтанному излучению фотонов. Конечное время жизни атомов в возбужденных состояниях приводит к естественному уширению атомных уровней. Это свойство атомных ровней лежит в основе резонансной спектроскопии [3].

Хорошо известно, что межатомное взаимодействие приводит к уширению атомных уровней [4]. В системах с трансляционной симметрией, например в кристаллах, резонансное взаимодействие атомов приводит к образованию энергетических зон [5]. Однако в настоящей статье будет показано, что в наноструктурных системах, в которых возможно контролировать межатомное рассеяние, межатомное взаимодействие способно приводить к сужению спектральных линий атомов вплоть до полного уничтожения естественного уширения атомных уровней. Такая физическая система может быть реализована, например, с помощью современных методов оптической ближнеполь-ной микроскопии. С нашей точки зрения, эффект сужения естественной ширины линии может проявляться и в других физических ситуациях. Например, в сферических металлических наночастицах определенного радиуса, где этот эффект связан с формированием отрицательной дисперсии эффективной поляризуемости валентных электронов.

Нами проведены оптические и фотовольтаические эксперименты с новыми композитными материалами (РММА + Ag) со сферическими наночастицами серебра. Теоретический анализ этих экспериментов доказывает, что мы имеем дело с новыми оптическими материалами, обладающими квазинуле-вым показателем преломления. Так, в [6] показано, что для достижения ква-зинулевых значений показателя преломления необходимо достигать больших отрицательных значений показателя преломления системы наночастиц серебра, а это становится возможным при достижении отрицательной дисперсии эффективной поляризуемости валентных электронов в наночастицах серебра.

Целью данной статьи является теоретическое доказательство принципиальной возможности достижения отрицательной дисперсии в наноструктурных системах на примере двухатомного кластера.

В работах [7-10] были исследованы линейные и нелинейные оптические размерные резонансы в двухатомных системах, содержащих одинаковые или разные атомы. В этих работах было показано, что при учете диполь-дипольного взаимодействия атомов кластера в поле излучения необходимо использовать понятие эффективной поляризуемости атомов. Максимумы эффективной поляризуемости как функции частоты внешнего поля определяют значения частот оптических размерных резонансов.

В отличие от [7-10], в данной статье наряду с обнаружением оптических размерных резонансов в дипольном кластере будет обнаружен эффект сужения естественной ширины линии атомов кластера благодаря запаздывающему взаимодействию атомов в поле излучения. Будет показано также, что в двухатомном кластере формируются области положительной и отрицательной дисперсии эффективной поляризуемости атомов.

В работе [11] был рассмотрен случай малого атомного кластера в поле интенсивного излучения и было показано, что в этих условиях возможно гигантское усиление света. В данной статье мы рассмотрим поведение двухатомного кластера в поле непрерывного малоинтенсивного излучения, при котором инверсия атомов, т. е. разность вероятностей обнаружения атомов в основном и возбужденном состояниях, мало отличается от своего равновес-

ного значения м =— 1. Будет показано, что и при этих условиях облучения кластера возможно гигантское усиление света, а также мерцание дипольного излучения кластера.

1. Эффективная поляризуемость атомов в нанокластере

Рассмотрим двухатомный кластер с помощью системы координат, центр которой совпадает с центром одного из атомов, например атома 1. Ось К12 кластера направлена вдоль оси у, а волновой вектор к о внешней волны перпендикулярен оси К12 . В случае, когда энергетический вектор внешней волны направлен вдоль оси у, имеем случай у-поляризации, а при перпендикулярном расположении электрического вектора по отношению к оси К12 получим случай х-, .г-поляризации.

Оптические свойства двухатомного кластера опишем с помощью следующего уравнения:

2 р ; (t — Я,/С )

Е(г, г) = Е/ (г:0 + У ------- ----------------------, (1)

/=1 Я/

где Е(г, ^) - напряженность электрического поля в точках наблюдения г внутри и вне кластера; Е/ (г, ^) - напряженность электрического поля внешней волны; Я/ = |г — г/ , г/ - радиус-векторы центров 1-го и 2-го атомов;

с - скорость света в вакууме; дифференцирование в уравнении (1) проводится по координатам точки наблюдения; р / - индуцированные дипольные моменты атомов в кластере.

Вывод уравнения (1) проводится в [12, 13] на основе квантовоэлектродинамического и классического подходов. Уравнение (1) должно быть дополнено соответствующими уравнениями для атомных переменных [6]. Будем предполагать, что в атомах реализуются электрические дипольные квантовые переходы с выполнением правил отбора А! = ±1, Ат = 0, ±1, где I -орбитальное квантовое число; т - магнитное квантовое число [15]. Представим индуцированные дипольные моменты атомов в следующем виде:

р / = X/ ехр(—/Ш), (2)

где ю (частота внешней волны) и величина X/ подчиняются уравнениям [6]: йХ / 2/ | |2 X /

—=—х/(юо—ю)—Т«/к,| Ео/——,

йМ!; / / * ч М!; — М0

1 - V Г \ 1 0

* - -п (Е0 ( - ХЕ0 у )-) (3)

где Юо - частота квантового перехода в спектре атома кластера; |^| - ди-польный момент перехода; м>^ - инверсия атомов; Еоj - локальные поля без множителя ехр(-/Ю); 7^ 7 - времена фазовой и энергетической релакса-

ции [3].

' Р 0 0"

С = 0 С 0

V 0 0 Р,

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Локальные поля Е01 и Е02 в местах расположения атомов определим из системы уравнений

Е01 = Е0 / + Сх2,

Е02 = Е0/ ехр(/к0^12 ) + СХ1 (4)

где Е0/ - амплитуда внешней волны; С - диагональный тензор,

(5)

С в соответствии с уравнением (1) имеет следующие компоненты:

С 2 . 2^0 Р к‘0 1 С ю

С = Р = —----------------к0 =—. (6)

Я132 Я12 Я12 2 С

Найдем стационарное решение уравнений (3) при выполнении условий стационарности:

М/ = 0, X/ = 0. (7)

Эти условия реализуются в поле непрерывного излучения, когда время воздействия значительно превосходит время релаксации.

Тогда из уравнений (3), (4) получим следующие соотношения:

х / = аЕ0 / = %■Е 0 /, (8)

где квантовая поляризуемость равна

а = М_^, (9)

Я ю0 —ю— /т2'

- эффективная поляризуемость.

Предположим, что атомы в кластере являются тождественными. Это означает, что индекс/, нумерующий атомы, может быть опущен. Для атомного кластера, чьи линейные размеры значительно меньше длины волны внешнего излучения, справедливо условие

ехр(/к 0г) = 1, (10)

где г - радиус-вектор произвольной точки наблюдения внутри кластера.

Условие (10) известно как условие электрического дипольного приближения в квантовой системе [14], которое позволяет рассматривать квантовую систему как точечную. Когда условие (10) выполняется, реализуются однофотонные электрические дипольные квантовые переходы с учетом диполь-дипольного взаимодействия атомов в поле излучения. Это взаимодействие представляет собой, как показано в [12, 13], эффект 3-го порядка квантовой

электродинамики. В условиях непрерывного облучения кластера при выполнении условия (к0^12) = 0 временное запаздывание в локальных полях Е01 и отсутствует. Это означает, что в уравнениях (4) отброшен множитель

ехр(/&0 %) .

При облучении кластера малоинтенсивным излучением инверсия атомов м = —1. Это возможно реализовать, если выполнено условие 22

2 а0 Г/Ят1т2' Е << 1. В случае ^-поляризации в соответствии с решением (8) получим следующие равенства:

=аЕ'0' =0?^, (11)

где эффективная поляризуемость атомов в кластере имеет вид

<((=—а—Г' (12)

1 — 2а(К\2 — /к0Щ~2 )

2. Отрицательная дисперсия эффективной поляризуемости атома в атомном кластере

Анализируя формулу (12), найдем систему уравнений

®0 — 4 М2-3—ю = 0, (13а)

ТТ -4^= 0, (136)

Т2 Я сЩ2

при выполнении которых ауе^ стремится к бесконечности. Объединяя уравнения (13), получим следующее уравнение:

1 _4|. |2 1 ■^ = 71а0| _72

Т2 Я С^12

(14)

из которого можно найти те расстояния, при которых эффективная поляризуемость достигает максимальных значений. Уравнение (13а) определяет частоту размерного резонанса, а уравнение (136) определяет точку перегиба, разделяющую области положительной и отрицательной дисперсии эффективной поляризуемости (12).

Аналогичным образом рассмотрим случай х-, г-поляризации, когда электрический вектор внешней волны перпендикулярен оси . В этом случае вместо элемента тензора С в формуле для эффективной поляризуемости следует использовать элемент тензора Р. Это изменение показывает, что в случае х-, г-поляризации формирование отрицательной дисперсии невозможно.

Рассмотрим численный пример Ка-Ка димера, в котором атом натрия содержит резонансный квантовый переход на длине волны ^0 =589 нм (желтая линия атома натрия). Естественная ширина этого квантового перехода

І I —18

равна 10 МГц, дипольный момент перехода = 5,1049 • 10 ед. СГСЕ. Для

-7

димера согласно условию малоинтенсивного поля при 7] = 72' = 10 с получаем, что локальное поле Еу должно быть порядка 10-3 ед. СГСЕ.

Полная вероятность в единицу времени спонтанного распада возбужденного состояния атома имеет следующий вид [15]:

№ =-1 = іМ^3. (15)

,р 72' 3 Пс3

Подставим это выражение в уравнение (136). Тогда при Ю = Ю() найдем

межатомное расстояние л]0 = , при котором обнаруживается точка

перегиба в дисперсионной зависимости эффективной поляризуемости. При этом расстоянии частота размерного резонанса ю,, вычисленная с помощью уравнения (13а), отличается от Юд на малую величину:

(со,/ю0 ) = 1 - 0,7222-10-8. (16)

Подставляя эту частоту ю, в уравнение (136), найдем новое значение

^12, которое отличается от л]0 на величину 0,5 10-6 нм. Таким образом,

мы решили систему уравнений (13) при Л]2 = л]0 и нашли точки перегиба = о ~ о, . Область частот ю > соответствует отрицательной дисперсии, а область частот ю < - положительной дисперсии.

3. Эффект сужения естественной ширины резонанса атома в атомном кластере

Представим квантовую поляризуемость (9) помощью относительных длин волн х = ^/^0 . Тогда вместо (9) получим

а = ------Х-----_. °7)

Т^(х-‘)-^х

Л0 7 2

Ширина резонанса изолированного атома определяется по формуле

1та = %Г------------(18)

й ( 2псх -1 Г + (_1_ ^2

X х ) \Г,

Ширина этого резонанса равна ^2 . Для определения ширины резонанса атома в двухатомном кластере используем формулу

1т =

2

( і А

72

(

2псх -1 1 1

^0 1 ТІУІ3

+ | 1 —

X

2 f 1 Г

(19)

V Т2 ,

где учтено, что Я\2 = я}0 = Хол/з/2л.

Из этой формулы видно, что при х ^ 1 ширина резонанса атома в кластере значительно меньше ширины резонанса изолированного атома. При этом в окрестности точки х = 1 образуются области отрицательной и положительной дисперсии (рис. 1).

Рис. 1. Эффект сужения естественной ширины резонанса атома № в №-№ димере

Квантовая поляризуемость изолированного атома а = Яе а +, 1т а равна при х = 1 следующим численным значениям: 1та = (3/2)(о/2я) . Эффективная поляризуемость атома в кластере а^ = Яе а^ + , 1т а^- при х = 1 имеет

1 3

следующие численные значения: 1та^ = 0, Яе а^ = —— ((3) (0/2л)3. Эти численные значения позволяют определить отношение локального и внешнего полей используя соотношение (11). В результате мы получим,

(Ч/Ч, ) = 1.73>' ■ т.е. локальное поле значительно больше внешнего по-

что

2

Й

ля. При этом, как видно из рис. 1, при небольшом смещении длины волны это отношение принимает значение в несколько порядков, что соответствует эффекту гигантского усиления (enhancement) локального поля.

В принципе, на основе численного решения уравнения (14) можно определить более точные значения межатомного расстояния R12, при которых af ^ ^ . Однако необходимо помнить об указанном выше отражении на

величину локального поля, при котором справедливо решение уравнений движения (3). Решая численным методом уравнение (14) как уравнение пятой степени относительно 1/R12 , получим два вещественных корня R12 = 162,366 нм и R12 = 0,314 нм. Первый из этих корней с высокой степенью точности сов-

падает с найденным выше значением л]0 = л/3^^2л, а второй корень указывает на то, проведенное нами рассмотрение оптических свойств атомного кластера справедливо и для субнаноструктурных систем.

4. Оптическое поле атомного нанокластера в волновой зоне

Вычислим оптическое поле изолированного нанокластера в волновой зоне, помещая точку наблюдения в уравнение (1) на расстояние г >> X . Для этого представим внешнее поле без фактора ехр(-/Ш) следующим образом:

Еі = еехр(/£0П0г),

Н і = Ь ехр(/'^0П0Г), (20)

где е, Ь являются вещественными векторами в случае линейной поляризации внешнего поля; е - вектор электрического поля; Ь - вектор магнитного поля; п0 - направление распространения внешней волны.

На большом расстоянии г >>Х , как следует из уравнения (1), рассеянная волна может быть представлена как сферическая волна:

Е, = а<п)ЄЙМ, Н, = Ь(п)5ХР<4!Г), (21)

г г

где векторы а(п) и Ь(п) определяют амплитуды полей в направлении рассеяния п.

Сечение рассеяния в направлении п0 в пределах телесного угла АП имеет вид [16]

Q = W^-., W = —Re

КМ Sn

Es x Hs

noAS, (22)

где символ (...^ означает усреднение по времени; AS - элемент поверхности сферы большого радиуса r в пределах телесного угла АП, |(Sj)| = (с/8л)е2 .

Определим векторы а и b с помощью эффективной поляризуемости af атомов кластера следующим образом:

a(n) = -2 ((en )n-е )k , b (n ) = 2[n x e]k Oaf-. (23)

Если учесть, что п || по, е ^По, то формула для сечения рассеяния приобретает вид

При этом Q = Qs + Qa, где Qa - сечение поглощения в атомном нанокластере. Как видно из формулы (25), экстинкция может быть как положи-

перегиба, разделяющей области положительной и отрицательной дисперсии эффективной поляризуемости атома в атомном кластере. В точке перегиба

1т = 0 , поэтому Q = 0 . Следовательно, Qa = —)3, где Qs > 0 согласно

формуле (24). Таким образом, в точке перегиба атомный кластер не излучает электромагнитные волны при облучении внешней электромагнитной волной. Рассеяние электромагнитной волны компенсируется отрицательным поглощением из-за увеличения локального поля в кластере.

В области отрицательной дисперсии экстинкция Q < 0, поэтому при

Qs > 0 имеем Qa < 0 , при этом Qs < Qa . Отрицательное поглощение соответствует усилению внешней электромагнитной волны атомным кластером, в котором инверсия квантового перехода (разность вероятностей обнаружения атомов в основном и возбужденном состояниях) равна ее равновесному значению ^0 =—1.

В области положительной дисперсии Q > 0 , поэтому при Qs > 0 имеем Qa > 0, т.е. атомный кластер является поглощающей системой.

К указанным свойствам эффекта сужения естественной ширины атомных уровней можно также отнести мерцание атомного кластера, когда при определенных условиях атомный кластер не излучает электромагнитные волны, а при изменении этих условий дипольное излучение кластера появляется.

Например, при межатомном расстоянии = \/зХ 0 /2я и частоте внешнего

перехода ю=а>0 экстинкция Q = 0 соответствует отсутствию дипольного излучения кластера в поле внешней электромагнитной волны. Однако при изменении межатомного расстояния, например за счет колебаний атомов в кластере, это излучение появляется. Свойство мерцания атомного кластера может быть обнаружено также при повороте атомного кластера по отношению к

направлению падения внешней волны к0, когда электрический вектор направлен вдоль внешней оси х (х-поляризация).

Данная статья содержит фундаментальное доказательство того, что в наноструктурных системах естественная ширина резонанса в спектре атома может быть значительно уменьшена при контролировании определенных

(24)

Следуя [16], запишем сечение экстинкции как

(25)

тельной, так и отрицательной в зависимости от знака 1т а^ вблизи точки

Выводы

условий, а именно: контроль определенного расстояния между атомами в кластере, контроль ориентации оси кластера по отношению к волновому вектору и электрическому вектору падающей волны. При контролировании этих условий благодаря запаздывающему взаимодействию атомов в поле излучения эффективная поляризуемость атомов кластера содержит области положительной и отрицательной дисперсии, а также точку перегиба, когда ширина резонанса полностью исчезает. При этом области положительной и отрицательной дисперсии значительно меньше естественной ширины изолированного атома. Это означает, что интенсивность дипольного излучения кластера значительно больше интенсивности излучения изолированного атома, что соответствует эффекту гигантского усиления света атомных кластеров без изменения инверсии атомов. При этом закон сохранения энергии не нарушается. Если в обычных условиях часть энергии расходуется на релаксацию и безвозвратно теряется, то в наноструктурных системах при контролировании соответствующих параметров (межатомное расстояние, ориентация кластера) эта часть энергии добавляется к энергии дипольного излучения.

Обратим внимание на еще одно важное свойство эффекта сужения естественной ширины резонанса. В области отрицательной дисперсии эффективная поляризуемость атома в атомном кластере порядка 10-23 см3. Это означает, что для экспериментального наблюдения отрицательной дисперсии необходимы системы с высокой концентрацией, либо протяженные оптические среды, в которых эффект усиления будет определяться величиной NoQd [17], где No - концентрация кластеров в оптической среде; Q - сечение экстинкции (Q < 0); d - протяженность оптической среды. Системами с высокой концентрацией могут быть металлические наночастицы, в которых валентные электроны участвуют в электрических дипольных квантовых переходах. Как показано нами в работе [6], в сферических наночастицах серебра малого радиуса действительно формируется область отрицательной дисперсии, что объясняет квазинулевые значения показателя преломления композитного материала.

Список литературы

1. Bohr, N. On the Constitution of Atoms and Molecules / N. Bohr // Philosophical Magazine. - 1913. - V. 26, № 1. - Р. 875.

2. Weisskopf, V. The theory of spontaneous emission / V. Weisskopf. E. Wigner // Physics. - 1930. - V. 63, № 18. - Р. 54.

3. Allen, L. Optical resonance and two-level atoms / L. Allen, J. H. Eberly // Wiley-Interscience Publication, 1975.

4. Tsao, C. J. Line-widths of Pressure-broadened Spectral Lines / C. J. Tsao, B. Cur-nutte // Quantitative Spectroscopy Radiative Transfer. - 1962. - V. 2, № 41.

5. Kittel, C. Itroduction to Solid State physics / C. Kittel. - NY : John Willey, 1956.

6. Gadomsky, O. N. High-negative Refractive Index of Silver Nanoparticle System in Nanocomposite Films / O. N. Gadomsky, K. K. Altunin. // Optics Communications. -2012. - V. 285. - Р. 816.

7. Gadomsky, O. N. The near-field effect in a quantum computer / O. N. Gadomsky, Yn. Yn. Voronov // JETP Letters. - 1999. - V. 69. - Р. 804.

8. Gadomsky, O. N. Optical Size Resonances in Nanostructures / N. Gadomsky, Т. T. Idiatullov // JETP. - 2001. - V. 92. - Р. 1060.

9. Gadomsky, O. N. Lineral Nonstationary Optical Dimesional Resonances in Atomic Nanostrucrures / O. N. Gadomsky, Y. V. Abramov // Optics and Spectroscopy. -2002. - V. 93. - Р. 61.

10. Gadomsky, O. N. Nonlineral resonances in the neat-fielf interaction between atoms I

0. N. Gadomsky. A. G. Glukhov II JETP. - 200б. - V. 103. - Р. 23.

11. Gadomsky, O. N. Gigant light enhancement in atomic clusters I O. N. Gadomsky,

1. V. Gadomskaya, К. K. Altunin II JETP Letters. - 2009. - V. 90. - Р. 244.

12. Born, M. Principles of optics I M. Born, E. Wolf. - - 7th edition. - Cambridge : Cambridge University Press, 1999.

13. Gadomsky, O. N. Two electron problem and the nonlocal equation of electrodynamics I O. N. Gadomsky II Physics-Uspekhi. - 2000. - V. 43. - Р. 1071.

14. Gadomsky, O. N. Giant enhancement of light in atomic clusters I O. N. Gadomsky, К. K. Altunin II JETP. - 199S. - V. S7. - Р. S42.

15. Davydov, A. S. Quantum Mechanics I A. S. Davydov. - Moscow : Nauka, 196s.

16. Berestetski, V. B. Relativistic Quantum Theory, part. 1 IV. B. Berestetski, E. M. Lifshitc, L. P. Pitaevskii. - Moscow : Nauka, 196s.

17. Stepanov, A. L. Optical properties of polymethylmethacrilate with implanted silver nanoparticles I A. L. Stepanov, V. N. Porok, L B. Khaibullin, U. Kreibig II Nuclear Instrumentation and Methods in Physics Research, B. - 2002. - V. 191. - Р. 473.

Гадомский Олег Николаевич доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиофизики и электроники, Ульяновский государственный университет

E-mail: gadomsky@mail.ru

Алтунин Константин Константинович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физики, Ульяновский государственный педагогический университет

E-mail: gadomsky@mail.ru

Русин Александр Александрович аспирант, Ульяновский государственный университет

E-mail: al.an.rusin@gmail.com

Лебедев Олег Владимирович аспирант, Ульяновский государственный университет

E-mail: w12345673@yandex.ru

Gadomsky Oleg Nikolaevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of radio physics and electronics, Ulyanovsk State University

Altunin Konstantin Konstantinovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of physics, Ulyanovsk State Pedagogical University

Rusin Alexander Alexandrovich

Postgraduate student,

Ulyanovsk State University

Lebedev Oleg Vladimirovich

Postgraduate student, Ulyanovsk State University

УДК 535.8 Гадомский, О. Н.

Уменьшение естественной ширины атомных уровней в наноструктурных системах / О. Н. Гадомский, К. К. Алтунин, А. А. Русин, О. В. Лебедев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2012. - № 3 (23). - С. 153-163.