УКРУПНЕННАЯ ПОЛУМАРКОВСКАЯ И СКРЫТАЯ МАРКОВСКАЯ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ СИГНАЛОВ ОТ ПОДСИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

DOI 10.54398/20741707_2023_1_120 УДК 519.87

УКРУПНЕННАЯ ПОЛУМАРКОВСКАЯ И СКРЫТАЯ МАРКОВСКАЯ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ СИГНАЛОВ ОТ ПОДСИСТЕМ1

Статья поступила в редакцию 16.12.2022, в окончательном варианте - 19.12.2022.

Обжерин Юрий Евгеньевич, Севастопольский государственный университет, 299053, Российская Федерация, г. Севастополь, ул. Университетская, 33,

доктор технических наук, профессор, ORCID: 0000-0003-1180-1084, e-mail: objsev@mail.ru Сидоров Станислав Михайлович, Севастопольский государственный университет, 299053, Российская Федерация, г. Севастополь, ул. Университетская, 33,

кандидат технических наук, ORCID: 0000-0002-9785-9182, e-mail: xaevec@mail.ru Никитин Михаил Михайлович, Севастопольский государственный университет, 299053, Российская Федерация, г. Севастополь, ул. Университетская, 33,

старший преподаватель, ORCID: 0000-0001-7411-0737, e-mail: m.nikitin.1979@gmail.com Федоренко Сергей Николаевич, Севастопольский государственный университет, 299053, Российская Федерация, г. Севастополь, ул. Университетская, 33,

старший преподаватель, ORCID: 0000-0003-3080-7668, e-mail: sergey.fedor@mail.ru

Современные технические системы характеризуются большим числом элементов и сложностью функционирования. Зачастую во время функционирования таких систем отсутствует возможность получения полной информации о смене состояний конкретного элемента в отдельности. Следует отметить, что группы элементов, объединенные в подсистемы, наблюдать значительно легче. В данном исследовании предлагается к рассмотрению скрытая марковская модель суперпозиции независимых процессов восстановления, разработанная на основе сигналов, получаемых от группы элементов (подсистемы) построенной укрупненной полумарковской модели. В этом случае состояния укрупненной полумарковской модели считаются скрытыми (ненаблюдаемыми). Решение задачи выполнено с использованием методов математического моделирования, теории полумарковских процессов и скрытых марковских моделей. Элементом научной новизны является сама разработанная скрытая марковская модель на основе укрупненной модели суперпозиции независимых процессов восстановления, расширяющая возможности математического моделирования технических систем. Разработанная модель объединяет в себе преимущества теории полумарковских процессов с фазовым пространством состояний общего вида и теории скрытых марковских моделей для оценки функционирования технических систем. Сначала в работе, применяя стационарное фазовое укрупнение, строится укрупненная полумарковская модель суперпозиции независимых процессов восстановления. Затем, используя полученные результаты, определяются параметры скрытой марковской модели. По заданному вектору сигналов от подсистем определяются наиболее вероятные состояния, соответствующие ему, прогнозируются последующие состояния элементов моделируемой системы и сигналы от подсистем. Представленное решение рассматриваемых задач программно реализовано в Maple 19 и может быть использовано для моделирования технических систем различного назначения.

Ключевые слова: техническая система, полумарковская модель, подсистема элементов, скрытая марковская модель, суперпозиция процессов восстановления, укрупненная полумарковская модель, вектор сигналов, анализ динамики, прогнозирование

MERGED SEMI-MARKOV AND HIDDEN MARKOV MODELS OF A TECHNICAL SYSTEM BASED ON SIGNALS FROM SUBSYSTEMS

The article was received by the editorial board on 16.12.2022, in the final version — 19.12.2022.

Obzherin YuriyE., Sevastopol State University, 33 Universitetskaya St., Sevastopol, 299053, Russian Federation,

Doct. Sci. (Engineering), Professor, ORCID: 0000-0003-1180-1084, e-mail: objsev@mail.ru Sidorov Stanislav M., Sevastopol State University, 33 Universitetskaya St., Sevastopol, 299053, Russian Federation,

Cand. Sci. (Engineering), ORCID: 0000-0002-9785-9182, e-mail: xaevec@mail.ru Nikitin Mikhail M., Sevastopol State University, 33 Universitetskaya St., Sevastopol, 299053, Russian Federation,

Senior Lecturer, ORCID: 0000-0001-7411-0737, e-mail: m.nikitin.1979@gmail.com Fedorenko Sergey N., Sevastopol State University, 33 Universitetskaya St., Sevastopol, 299053, Russian Federation,

Senior Lecturer, ORCID: 0000-0003-3080-7668, e-mail: sergey.fedor@mail.ru

'Исследование выполнено в рамках гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук № МК-329.2022.4.

A large number of elements and complexity of functioning are characteristics of modern technical systems. Often, during the operation of such systems, it is not possible to obtain complete information about the change of states of a particular element separately. It should be noted that groups of elements combined into subsystems are much easier to observe. Consequently, obtaining a signal (information) in which of the subsystems of the unified system a state change has occurred is an urgent task. In this study, a hidden Markov model of the superposition of independent recovery processes is proposed for consideration, developed on the basis of signals received from a group of elements (subsystem) of the constructed enlarged semi-Markov model. In this case, the states of the enlarged semi-Markov model are hidden (unobservable). The problem solved, using mathematical modeling methods of theory of semi-Markov processes and hidden Markov models. The developed hidden Markov model based on the enlarged independent recovery processes superposition model, which expands the possibilities of mathematical modeling of technical systems, is an element of scientific novelty. The developed model combines the advantages of the theory of semi-Markov processes with a phase space of general states and the theory of hidden Markov models for evaluating the functioning of technical systems. First in this work, using stationary phase enlargement, it constructed an enlarged semi-Markov model of the superposition of independent recovery processes. Then, using the obtained results, we determine the parameters of the hidden Markov model. According to a given vector of signals from subsystems, it determined the most probable states corresponding to it, the subsequent states of the elements of the simulated system and signals from subsystems are predicted. The presented solution of the problems under consideration implemented programmatically in Maple 19 and can be used for modeling technical systems for various purposes.

Keywords: technical system, semi-Markov model, subsystem of elements, hidden Markov model, superposition of recovery processes, merged semi-Markov model, vector of signals, dynamics analysis, forecasting

Graphical annotation (Графическая аннотация)

Введение. Несмотря на уровень современного развития технологий, вопросам моделирования технических систем все еще уделяется огромное внимание. Качество математического описания сложных систем растет. Однако до сих пор остаются нерешенными задачи уточнения параметров математической модели технической системы и прогнозирования ее динамики на основе получаемых от нее сигналов. Такие задачи актуальны, например, для систем, управляемых дистанционно. В них оператор получает информацию о функционировании системы через сигналы, которые могут быть ошибочны, при этом не наблюдая саму систему.

Полумарковские модели хорошо зарекомендовали себя как мощный инструмент математического описания и моделирования работы технических систем [1-7]. Они позволяют уйти от ряда ограничений марковских моделей, тем самым повышая степень адекватности моделирования.

Зачастую на практике мы заинтересованы в адекватном описании и моделировании наблюдаемых явлений, при этом ненаблюдаемые факторы нас интересуют в меньшей степени. Однако в большинстве случаев включение в модель этих ненаблюдаемых факторов позволяет получать результаты, более точно отражающие статистические свойства наблюдаемых явлений. Такими моделями являются скрытые марковские [8-10, 16, 17] и скрытые полумарковские модели [11-12, 18], получившие особую популярность в последние десятилетия.

Выделение подсистем

Selection of subsystems

Оценка и прогнозирование

состояний технической системы на основе сигналов от подсистем

Technical system states estimation and prediction based on signals from subsystems

Применение теории скрытых марковских моделей (СММ) к различным системам, для которых построены полумарковские модели [13-15], позволило:

• уточнить параметры модели в процессе функционирования системы (обучить модель);

• спрогнозировать состояния системы и сигналы на основе полученного в процессе функционирования вектора сигналов.

В монографиях [1, 2] приведена суперпозиция независимых процессов восстановления. В данной работе разрабатывается СММ суперпозиции независимых процессов восстановления на основе сигналов от подсистем. Для этого с помощью алгоритма стационарного фазового укрупнения (АФУ) [1, 2] дискретизируется пространство фазовых состояний модели. Затем на основе сигналов, получаемых от подсистем укрупненной полумарковской модели (ПММ), строится СММ. Полученная СММ технической системы на основе сигналов от подсистем решает задачи анализа динамики системы и прогнозирования ее состояний.

Модель исходной системы. Рассмотрим суперпозицию N независимых процессов восстановления (ПВ), построенную в [1, 2]. Система 8 состоит из N элементов Э1-Э^ функционирование каждого элемента описывается ПВ [1, 2]. Время восстановления Э1 - случайная величина а с функцией распределения К (г) и плотностью распределения/(:), г = 1, N. Предположим, что а независимы в совокупности и имеют конечные Ма .

В работах [1, 2] для построения ПММ системы ^ используется полумарковский процесс ¡¡(г) с общим фазовым пространством состояний (ФПС):

Е = { Ш: х = (х,X,•••,хк,•••,хы), хк - 0, k = 1,Щ, (1)

где I - номер элемента, который восстановился; хк - время, оставшееся до восстановления к-го элемента; х = 0.

Выпишем возможные переходы вложенной цепи Маркова (ВЦМ) процесса ^(1) [1, 2]:

а) х ^]у,■ Ф г при условиях х,= х = л х1, уг = г , 0 < г <ж, У1 = Х1 — X , I ф ¿, ■

■ IФ1

с плотностью вероятности перехода:

рХ = (х+г), (2)

б) ¿х ^ гу при условиях х,= х = л х, , у,■ = г , 0 < г < х, , у1 = х1 — х + г , I ф г, j

j lфi ^

с плотностью вероятности перехода:

рУ = (х—г), (3)

где л - знак минимума.

В [1, 2] показано, что стационарное распределение ВЦМ суперпозиции ПВ имеет вид:

р(х) = Р П F (**), i = 1N, F (x) =1 - F (x),

(4)

к=1, к Ф1

где р0 - нормирующая константа.

Построение укрупненной ПММ. С целью упрощения модели системы 5", построим ее укрупненную полумарковскую модель, используя АФУ. Фазовое пространство Е исходной модели разобьем на N классов:

Е1 = { IX : х = (х1,х2,...,Хк,•••,XN) }, / = 1,N,

каждый из которых «склеивается» в одно состояние / укрупненной модели. ФПС Е укрупненной модели имеет вид:

Е = {!, 1, 2,..., N }• (5)

Состояния (5) имеют следующий физический смысл:

• 1 - все элементы восстановлены, начальное состояние;

• I - восстановился элемент с номером I, г = 1, N.

Определим вероятности перехода рь между состояниями укрупнённой модели, используя формулы [1, 2]:

Pr =-

Jp(de)P(e, Er)

k, r = 1, N,

(6)

где p(de) - стационарное распределение ВЦМ; P(e, Er) - вероятности перехода ВЦМ укрупняемой модели.

Найдем знаменатель (6), используя (4). Следовательно,

» Í N N

P(Ek) = p0 J...J ПF(x)dx(k) =PoПMai.

0 0 i=1, i ф k

N -1

i=1, i ф k

(7)

1. Вероятности pT , r = 1, N имеют вид

, , ■» N _

PPT r = P (üak >a' ) = jn Fk (t) fr (t) dt .

0 k=1 k фг

(8)

2. Используя формулы (2)-(4), (7), определим вероятности pkr в случае k = 1, N , k = 1, N.

r ф k:

Í Í Í Í

JdXr J ...J jnF(x)fk(X + t)dx(k)dt {Fk(xr)Fr (X)

Pkr ='

В случае r = k

. O i=1,

N

П1F (Xi )dXi

i=1,

dX

( \

N

П Ma,

П Mat

i=1, i фk

Í Fk (t )Fr (t)

N Í _

ПJ F (Xi )dXi

i=1, t

dt

П Mat

i=1, i фk

= 1 -Z Pr, k = 1, N .

r =1,

r ф k

(9)

(10)

Рассмотрим случай, когда все случайные величины а , г = 1, N имеют экспоненциальное распределение : К (Г) = 1 - в-А',Ё (О = еЛ.

Используя формулы (8)-(10), получаем, что в этом случае

К

P1 r =■

r = 1, N,

Z к

(11)

„ Xr Ma —

Pkr == ~——, k, r = 1, N.

N N л

£ Л- т—

£ ' т Ма,

Найденные значения будут использоваться при построении СММ.

СММ укрупненной ПММ на основе сигналов от подсистем. Предположим, что вероятности переходов ВЦМ укрупненной модели определяются формулами (11). Пусть в момент времени 1 = 0 укрупненная модель находится в состоянии 1 . Предполагается, что состояния (5) разделены на непересекающиеся подсистемы.

о

о

i =1

1

При функционировании системы 5 скрытыми являются состояния ВЦМ укрупненной модели. Наблюдается номер подсистемы, в котором произошло восстановление элемента.

Для определенности предположим, что N = 6 и состояния разделены на две подсистемы а и Ь:

а = {1, 2, 3},Ь = {4, 5, 6}. Следовательно, множество сигналов имеет вид:

J = {н, а, Ь},

где н - сигнал, поступающий на первом шаге; а - сигнал, поступающий при восстановлении элемента из подсистемы а; Ь - сигнал, поступающий при восстановлении элемента из подсистемы Ь. Функция связи ^(51 х) между состояниями ВЦМ укрупненной модели и сигналами [8, 10]:

Д(5 | х) = Р(8п = 5 | X = х), х е Е, 5 е J, £Я(5 I х) = 1, (12)

sеJ

где - п-й сигнал.

Отметим, что ^(51 х) можно задавать различным образом, например учитывая ошибку получения сигнала и т.п. В данной работе для простоты изложения сигналы выбраны без ошибок, и функция ^(51 х) представлена в таблице 1.

Таблица 1 - Функция ^(51 х)

" "——^^^Состояние, x Сигнал, s ——^^ 1 1 2 3 4 5 6

s = н 1 0 0 0 0 0 0

s = a 0 1 1 1 0 0 0

s = b 0 0 0 0 1 1 1

Прогноз и оценка состояний укрупненной ПММ на основе сигналов от подсистем. Пусть Sn = (S, S2, •••, S„ ) - случайный вектор первых n сигналов. Требуется оценить характеристики ВЦМ укрупненной (скрытой) модели на основе полученного вектора сигналов sn = (s, s2 ,•••, sb ), для которого Jk = (s, s2 ,•••, sk ), k < n . Пусть в момент времени t = 0 модель находится в 1 . Будем использовать рекуррентные формулы для функций F (О , B (О [8, 10] :

Fk(i) = R(sk | i)XFk_i (j)Pj , F (О = R(Si I ikPt, (13)

j

Bk(i) = XR(Sk+1 | j)Bk+l(J)Plj, Bn_l(i) = XP/R(Sn | j)., (14)

j j

где Pj - вероятности перехода ВЦМ укрупненной модели, определенные формулами (11); ( Pi ) - распределение начального состояния ВЦМ.

Перейдем к анализу динамики укрупненной ПММ на основе построенной СММ. В качестве иллюстративного примера рассмотрим систему S: Ма1 = 15,0 ч, Ма2 = 2,0 ч, Маз = 14,0 ч, Mo4 = 19,0 ч, Mas = 23,0 ч, Mas = 12,0 ч.

Предположим, что в результате функционирования системы S получен следующий вектор сигналов:

s30 = (н, а, а, б, б, б, а, б, а, а, б, а, б, б, а, а, а, б, б, а, б, а, б, б, а, а, а, б, б, а), n = 30. Найдем с учетом введенных параметров оценки характеристик состояний СММ:

1. В момент испускания 30-го сигнала требуется определить вероятности состояний скрытой модели.

На 30-м шаге укрупненная модель с вероятностью 0,10448 находилась в состоянии 1, с вероятностью 0,78358 - в состоянии 2, с вероятностью 0,11194 - в состоянии 3.

2. Найдем вероятности перехода в состояния на следующем шаге. Вероятности перехода скрытой модели на 31-м шаге:

в состояние 1 - 0,08155; в состояние 2 - 0,61159; в состояние 3 - 0,08737; в состояние 4 - 0,06438; в состояние 5 - 0,05318; в состояние 6 - 0,10193.

3. Определим вероятности появления сигналов на следующем шаге.

На 31-м шаге испускается сигнал a с вероятностью 0,78051, сигнал b - 0,21949.

4. Требуется определить вероятность полученного вектора сигналов S30. Вероятность появления !30 равна 1,4639 10-11.

5. Для д30 необходимо найти наиболее вероятные состояния СММ на переходах. В таблице 2 представлены наиболее вероятные состояния СММ на переходах.

Таблица 2- Наиболее вероятные состояния скрытой модели на переходах

Переход 1 7 11 17 22 26 29

Состояние 1 2 6 2 2 2 6

Вероятность 1,000 0,784 0,464 0,784 0,784 0,784 0,464

Отметим, что расчет характеристик СММ выполнялся в написанной авторами программе в Maple 19.

Заключение. В данной статье построена СММ на основе укрупненной суперпозиции независимых ПВ. Продемонстрированы возможности применения СММ для оценки характеристик и прогнозирования состояний технических систем на основе сигналов, получаемых от подсистем. Средства теории СММ позволили для рассматриваемой системы (случай неполной или недостаточной информации о функционировании системы) прогнозировать состояния и последующие сигналы, на основе полученного в результате функционирования вектора сигналов определять наиболее вероятные последовательности состояний, соответствующие наблюдаемым сигналам.

В дальнейшем предполагается построение СММ и анализ функционирования многокомпонентных систем на основе сигналов с учетом различных факторов: восстановления, контроля, технического обслуживания, наличия резерва времени.

Библиографический список

1. Королюк, В. С. Процессы марковского восстановления в задачах надёжности систем / В. С. Королюк, А. Ф. Турбин. - Киев : Наук. думка, 1982. - 236 с.

2. Korolyuk, V. S. Stochastic Models of Systems / V. S. Korolyuk, V. V. Korolyk. - Dordrecht : Springer Science+Business Media, 1999. - 185 p.

3. Obzherin, Yu. E. Semi-Markov Models: Control of Restorable Systems with Latent Failures / Yu. E. Ob-zherin, E. G. Boyko. - London : Elsevier Academic Press, 2015. - 212 p.

4. Grabski, F. Semi-Markov Processes: Applications in System Reliability and Maintenance / F. Grabski. - Amsterdam : Elsevier Science, 2014. - 270 p.

5. Песчанский, А. И. Полумарковские модели профилактики ненадежной одноканальной системы обслуживания с потерями / А. И. Песчанский. - Москва : ИНФРА-М, 2022. - 267 с.

6. Obzherin, Yu. E. Semi-Markov model and phase-merging scheme of a multi-component system with the group instantly replenished time reserve / Yu. E. Obzherin, S. M. Sidorov // Int. J. Reliab. Quality Safety Eng. - 2019. -Vol. 26, № 3. - Article ID 1950014.

7. Obzherin, Y. E. Reliability of the information system with intermediate storage devices / Y. E. Obzherin, S. M., Sidorov, M. M. Nikitin // CCIS. - 2018. - Vol. 919. - P. 432-444.

8. Rabiner, L. R. A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition // Proc. of the IEEE. - 1989. - Vol. 77, № 2. - P. 257-286.

9. Cappe', O. Inference in Hidden Markov Models / O. Cappe', E. Moulines, T. Ryde'n. - New York : Springer Science+Business Media, 2005. - 670 p.

10. Ross, S. M. Introduction to Probability Models. Ninth Edition / S. M. Ross. - USA : Elsevier Academic Press, 2006. - 800 p.

11. Van der Hoek, J. Introduction to Hidden Semi-Markov Models / J. Van der Hoek, R. Elliott. - Cambridge : Cambridge University Press, 2018. - 184 p.

12. Yu, S.-Z. Hidden Semi-Markov Models: Theory, Algorithms and Applications / S.-Z. Yu. - Elsevier Science, 2015. - 208 p.

13. Obzherin, Y. E. Hidden Markov model of information system with component-wise storage devices / Y. E. Obzherin, S. M., Sidorov, M. M. Nikitin. // Lect. Notes Comput. Sci. - 2019. - Vol. 11965. - P. 354-364.

14. Obzherin, Y. E. A Hidden Markov Model Based on Superposition of Two Restoration Processes / Y E. Obzherin, S. M., Sidorov, M. M. Nikitin, S. G. Glech. // Automation and Remote Control. - 2021. - Vol. 82. - P. 995-1012.

15. Sidorov, S. M. Hidden Markov Model of Two-Component System with Group Instantly Replenished Time Reserve / S. M. Sidorov // Information Technologies. - 2021. - Vol. 27, № 2. - P. 64-71.

16. Gamiz, M. L. Hidden Markov Models in Reliability and Maintenance / M. L. Gamiz, N. Limnios, M. C. Segovia-Garcia // European Journal of Operational Research. - 2022. - Vol. 304, iss. 3. - P. 1242-1255.

17. Morteza, Soleimani. Integration of Hidden Markov Modelling and Bayesian Network for fault detection and prediction of complex engineered systems / Morteza Soleimani, Felician Campean, Daniel Neagu // Reliability Engineering & System Safety. - 2021. - Vol. 215. - Article ID 107808.

18. Yang, W. Machine condition recognition via hidden semi-Markov model / Wenhui Yang, Lu Chen // Computers & Industrial Engineering. - 2021. - Vol. 158. - Article ID 107430.

References

1. Korolyuk, V. S., Turbin, A. F. Protsessy markovskogo vosstanovlenija v zadachah nadjozhnosti system [Markov Recovery Processes in Systems Reliability Problems]. Kiev, Nauk. Dumka Publ., 1982. 236 p.

2. Korolyuk, V. S., Korolyuk, V. V. Stochastic Models of Systems. Dordrecht, Springer Science+Business Media, 1999. 185 p.

3. Obzherin, Yu. E., Boyko, E. G. Semi-Markov Models: Control of Restorable Systems with Latent Failures. London, Elsevier Academic Press, 2015. 212 p.

4. Grabski, F. Semi-Markov Processes: Applications in System Reliability and Maintenance. Amsterdam: Elsevier Science, 2014. 270 p.

5. Peschanskiy, A.I. Polumarkovskie modeli profilaktiki nenadezhnoy odnokanalnoy sistemy obsluzhivaniya spoteryami [Semi-Markov prevention models for an unreliable single-channel queuing system with losses]. Moscow, INFRA-M Publ., 2022. 267 p.

6. Obzherin, Yu. E. Sidorov, S. M. Semi-Markov model and phase-merging scheme of a multi-component system with the group instantly replenished time reserve. Int. J. Reliab. Quality Safety Eng, 2019, vol. 26, no. 3, article ID 1950014.

7. Obzherin, Y. E., Sidorov, S. M., Nikitin, M. M. Reliability of the information system with intermediate storage devices. CCIS, 2018, vol. 919, pp. 432-444.

8. Rabiner, L. R. A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition. Proc. of the IEEE, 1989, vol. 77, no. 2, pp. 257-286.

9. Cappe', O., Moulines, E., Ryde'n, T. Inference in Hidden Markov Models. New York, Springer Science+Busi-ness Media, 2005. 670 p.

10. Ross, S. M. Introduction to Probability Models. Ninth Edition. USA, Elsevier Academic Press, 2006. 800 p.

11. Van der Hoek, J., Elliott, R. Introduction to Hidden Semi-Markov Models. Cambridge, Cambridge University Press, 2018. 184 p.

12. Yu, S.-Z. Hidden Semi-Markov Models: Theory, Algorithms and Applications. Elsevier Science, 2015. 208 p.

13. Obzherin, Y. E., Sidorov, S. M., Nikitin, M. M. Hidden Markov model of information system with component-wise storage devices. Lect. Notes Comput. Sci, 2019, vol. 11965, pp. 354-364.

14. Obzherin, Y. E., Sidorov, S. M., Nikitin, M. M., Glech S. G. A Hidden Markov Model Based on Superposition of Two Restoration Processes. Automation and Remote Control, 2021, vol. 82, pp. 995-1012.

15. Sidorov, S. M. Hidden Markov Model of Two-Component System with Group Instantly Replenished Time Reserve. Information Technologies, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 64-71.

16. Gámiz, M. L., Limnios, N., Segovia-García, M. C. Hidden Markov models in reliability and maintenance. European Journal of Operational Research, 2022, vol. 304, iss. 3, pp. 1242-1255.

17. Morteza Soleimani, Felician Campean, Daniel Neagu, Integration of Hidden Markov Modelling and Bayes-ian Network for fault detection and prediction of complex engineered systems. Reliability Engineering & System Safety, 2021, vol. 215, article ID 107808.

18. Yang, W. Chen, L. Machine condition recognition via hidden semi-Markov model. Computers & Industrial Engineering, 2021, vol. 158, article ID 107430.