CC BY
0СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Л.: OHTIL 1936.
2. Ито К., Маккии Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1965.
3. Хаеьминекий Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.
4. Веитцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.
5. Сергеев И.Н. Определение и свойства мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы // Матем. заметки. 2023. 113, № 6. 895 904.
6. Сергеев И.Н. Определение мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 2023. 59, № 6. 851 852.
7. Сергеев И.Н. Свойства мер устойчивости и неустойчивости нулевого решения дифференциальной системы /'/' Дифференц. уравнения. 2023. 59, № 11. 1577 1579.
8. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Л.: ГИТТЛ, 1950.
9. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Неммцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.
10. Сергеев И.Н. Определение и некоторые свойства устойчивости по Перрону // Дифференц. уравнения. 2019. 55, № 5. 636 646.
11. Perron О. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichnngssystenie // Math. Z. 1930. 31, N 1. 748 766.
12. Изобов H.A. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск: БГУ, 2006.
13. Сергеев И.Н. Определение верхнепредельной устойчивости и ее связь с устойчивостью по Ляпунову и устойчивостью по Перрону // Дифференц. уравнения. 2020. 56, № 11. 1556 1557.
14. Сергеев И.Н. Массивные и почти массивные свойства устойчивости и неустойчивости дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2021. 57, № 11. 1576 1578.
15. Бондарев A.A., Сергеев И.Н. Примеры дифференциальных систем с контрастными сочетаниями ляпу-новских, перроиовских и верхнепредельных свойств // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2022. 506. 25 29.
16. Сергеев И.Н. Ляиуновские, перроновские и верхнепредельные свойства устойчивости автономных дифференциальных систем // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт, гос. ун-та. 2020. 56, № 2. 63 78.
17. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.
Поступила в редакцию 04.08.2023
УДК 519.21
УКРУПНЕНИЕ СОСТОЯНИЙ ВЕТВЯЩЕГОСЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ ПО МНОГОМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ
Г. А. Попов1, Е. Б. Яровая2
Рассматривается случайное блуждание по многомерной решетке с непрерывным временем, которое лежит в основе ветвящегося случайного блуждания с бесконечным числом фазовых состояний. Случайное блуждание со счетным числом состояний, по которым происходит блуждание, за счет их объединения может быть сведено к системе с конечным числом состояний. Изучается асимптотическое поведение времени пребывания преобразованной системы в каждом из конечных состояний в зависимости от размерности решетки
1 Попов Григорий Александрович асп. каф. теории вероятностей мох.-мат. ф-та МГУ: Матем. ип-т РАН. e-mail: grishaupOyaudex .ru.
Popov Grigorii Aleksandrovieh Postgraduate. Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory: St.eklov Mathematical Institute of RAS.
2Яровая Елена Борисовна доктор физ.-мат. паук, проф. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ: Матем. ип-т РАН, e-mail: yarovayaOmech.math.msu.su.
Yarovaya Elena Borisovna Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Probability Theory: St.eklov Mathematical Institute of RAS.
(о) Попов Г. Л., Яровая Е.В., "2024 (о) Popov G. Л., Yarovaya E.B., 2024
С-)]
в предположении конечной дисперсии и при условии, приводящем к бесконечной дисперсии скачков исходной системы. Показано, что укрупнение состояний в рамках описанного процесса вызывает потерю марковского свойства.
Ключевые слова: случайное блуждание, фазовое укрупнение, многомерная решетка, предельная теорема, бесконечная дисперсия скачков, немарковский процесс.
A time-continuous random walk on a multidimensional lattice which underlies the branching random walk with an infinite number of phase states is considered. The random walk with a countable number of states can be reduced to a system with a finite number of states by-aggregating them. The asymptotic behavior of the residence time of the transformed system in each of the states depending on the lattice dimension under the assumption of a finite variance and under the condition leading to an infinite variance of jumps of the original system is studied. It is shown that the aggregation of states in the terms of the described process leads to the loss of the Markov property.
Key words: random walk, phase states aggregation, multidimensional lattice, limit theorem, infinite variance of jumps. nori-Markoviari process.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-7
1. Введение. Стремление к возможно более точному описанию функционирования больших систем приводит к тому, что соответствующие математические модели становятся все более неудобными для вычисления различных характеристик процесса. Основная трудность при моделировании и анализе сложных систем проявляется в большом, а иногда и бесконечном числе возможных фазовых состояний, что порождает теоретическую и вычислительную сложность модели.
Проблема большого числа состояний может быть решена посредством "объединения" (агрегирования) их состояний в новые фазовые классы но определенным правилам, что является главной темой работ [1 3]. В этом случае образуется новая система с меньшим числом фазовых состояний, которая может оказаться более удобной для анализа. Напомним основные результаты в данном направлении.
Наиболее полное описание теории укрупнения приводится в книгах B.C. Королюка и А. Ф. Турбина [1] и [2|. Основными объектами изучения в их работах выступают нолумарковские процессы, которые позволяют описывать функционирование широкого класса сложных систем. Преимуществом теории укрупнения в данном случае является то, что в результате "склеивания" определенных состояний удается получить марковские модели с меньшим числом фазовых классов, которые полностью описывают функционирование исходного процесса и упрощают дальнейший анализ. Предпосылкой к укрупнению состояний служит то, что на фазовом пространстве описываемого процесса можно выделить конечное число возвратных классов состояний, переход между которыми осуществляется с некоторой малой (порядка е) вероятностью. Под возвратностью авторы [1, 2] понимают свойство класса состояний в процессе функционирования идеальной системы, при котором для процесса, на-
е
характеризует степень отклонения имеющейся системы от идеальной. Если не учитывать переходы сложной системы внутри отдельного класса, то при условии достаточно долгого пребывания системы в каждом из них исчезает зависимость переходов между множествами от эволюции системы внутри каждого представителя. В результате естественным образом происходит укрупнение состояний системы и последующий анализ производится в процессе работы с более компактной моделью, переходы между состояниями которой обладают марковским свойством.
В процессе укрупнения фазовых состояний могут возникнуть трудности, связанные с тем, что агрегированная система будет обладать уже совершенно другими свойствами. Одним из важных свойств выступает свойство марковости, или стохастической определенности, процесса, первые подходы к изучению которого были заложены А.Н. Колмогоровым в работе [4|. Однако при укрупнении состояний марковского процесса новая система, вообще говоря, может стать не марковской. Дж. Кемени и Дж. Снелл [5] специально определяли "укрупнение" состояний марковской цепи как преобразование одной марковской цепи в другую с меньшим числом состояний и сформулировали соответствующий критерий укрупнения системы.
Теме укрупнения как методу преодоления трудностей, связанных с моделированием систем большой размерности в прикладных задачах, посвящены статьи Б. П. Зеленцова [3, 6]. В них автор уделяет внимание преимущественно точности характеристик конечной системы в сравнении с исходной, делая акцент на том, что при укрупнении фазовых состояний необходимо следить за возможными отклонениями, полученными при расчете показателей системы с укрупненными класса-
ми. Позиция автора заключается в том, что процедура "склеивания" не должна приводить к потере точности выходных данных и любые отклонения должны сопровождаться оценкой погрешности. Однако в подавляющем большинстве ситуаций "укрупнение" приводит к потере свойства марковости. Цель настоящей работы как раз и заключается в том, чтобы попытаться разобрать одну из моделей такого рода.
2. Постановка задачи. Основное внимание в статье уделяется исследованию ситуации, когда укрупнение приводит к потере системой исходного марковского свойства. Данная тематика тесно связана с теорией ветвящихся случайных блужданий (ВСБ) с непрерывным временем но узлам целочисленной решетки Zd, d € N. Изучение эволюции во времени таких систем в зависимости от структуры фазового пространства и характера переходов процесса охватывает широкий спектр задач. Ввиду счетной структуры фазового пространства возникает естественная потребность в его упрощении с целью минимизации вычислительных затрат при анализе модели и в удобной интерпретации результатов. К сожалению, использование здесь теории укрупнения в точности так, как это было у упомянутых авторов, существенно ограничило бы нашу модель и не позволило достичь всех поставленных целей. В результате мы были вынуждены отойти от существующей теории, не забывая при этом об основных ее аспектах.
При доказательстве утверждений не использована явная конструкция случайного блуждания в виде суммы независимых случайных величин, как это сделано в большинстве упомянутых выше работ. Ключевое внимание уделяется анализу генератора процесса блуждания, который в операторной форме определяется через переходные интенсивности симметричного случайного блуждания a(x, y) = a(0,y — x) = a(x — y, 0), где символ ом 0 := (0, 0,..., 0) € Zd обозначается начало координат в Zd. По предложению А. Н. Ширяева, чтобы подчеркнуть данную особенность, для рассматриваемого процесса далее мы будем использовать термин стохастическое блуждание, ассоциируя его именно с инфинитезнмальной матрицей, описывающей интенсивности переходов исследуемого процесса за малое время.
Подход к укрупнению состояний системы основывается на стремлении выделить в качестве основных классов два состояния: одно, в котором помимо блуждания происходит размножение, и другое, в котором происходит только блуждание процесса. Полученный в итоге процесс будет иметь два состояния, которые далее мы будем обозначать So — класс точек ветвления и Si — класс точек блуждания. В настоящей работе мы ограничились рассмотрением простейшего случая, когда ветвление происходит только в одной точке, например в начале координат 0 := (0, 0,... , 0) € Zd. Как будет показано далее, "укрупнение" состояний уже приводит к потере марковского свойства.
Принимая во внимание тот факт, что укрупнение не всех да сохраняет свойство марковости, мы поставили перед собой задачу проверки данного свойства. С этой целью мы решили обратиться к проверке свойства "отсутствия памяти", наблюдать которое удобнее всего, оперируя независимыми случайными величинами то и ri, описывающими время пребывания процесса в соответствующем So Si
исходной системы, можно сразу отметить экспоненциальный характер распределения случайной величины то с параметр ом —a(0, 0), который связан с интенсивностью пребывания процесса в точке 0
—a(0) := —a(0, 0). Результатом анализа асимптотики "хвоста" распределения величины Ti явились предельные теоремы 1 и 2, которые доказываются далее в двух предположениях. Первое из них имеет вид
х&л
где || ■ || — норма в Zd, т.е. распределение скачков имеет конечную дисперсию. Второе предположение заключается в выполнении следующих) условия:
где а € (0, 2),х € Ъл и Н : Б^-1 ^ М, причем Н(х) = Н(—х), х € Б^-1, — непрерывная положительная функция, определенная на сфере Б^-1 размерности ^ — 1. Как показано в [7], условие (2) влечет бесконечность дисперсии скачков стохастического блуждания.
Отличительной особенностью настоящей работы является то, что исходная система имеет бесконечное число фазовых состояний (в нашем случае узлов многомерной решетки) и проводится укрупнение бесконечного числа состояний, в результате чего получается система с конечным числом состояний. Также отметим, что укрупнение состояний проводится по правилу принадлежности
(1)
(2)
состояний системы (узлов решетки) определенному классу (либо множеству источников ветвления, либо его дополнению), тогда как в упомянутых выше работах предпосылкой для укрупнения состояний являлась структура исходной матрицы переходных вероятностей (или генератора) случайного процесса, описывающего функционирование исходной системы.
В пункте 3 приводится формальное описание модели стохастического блуждания и процедуры укрупнения, в пункте 4 вспомогательные утверждения, необходимые для получения основных результатов, в пункте 5 теорема для случая конечной дисперсии скачков, а в пункте 6 для случая бесконечной дисперсии скачков.
3. Описание модели. Определим рассматриваемые стохастические блуждания с непрерывным временем на ^ € N. Предварительно потребуем, чтобы для переходных вероятностей процесса было выполнено условие однородности по времени, а именно Р (X = у | Х8 = ж) = Р (Х^-8 = у | Хо = ж) для любых ж, у € и любых Ь, в, Ь > в.
Определение 1 [8, 9]. Пусть V — вероятностная мера на Zd и матрица А = ||а(ж,у)||Х)Уе^ такова, что ее элементы обладают следующими свойствами:
1) а(ж, у) ^ 0 при ж = у и а(ж, ж) < 0 для любо го ж €
2) а(ж, у) = 0 для любого ж €
3) 8ирхе^ |а(ж,ж)| < то.
Тогда случайный процесс Х^ = {Х^, Ь ^ 0} с непрерывным временем, пространством состояний ^ начальным распределением V и генератором А называется стохастическим блужданием по
Существование такого процесса Х^ (стохастического блуждания) обеспечивает теорема 2 из [10, гл. III, §2]. Дополнительно потребуем, чтобы для Х^ выполнялись следующие условия:
4) стохастическое блуждание симметрично, т.е. а(ж,у) = а(у,ж);
5) стохастическое блуждание пространственно однородно, т.е. а(ж,у) = а(0,у — ж);
6) стохастическое блуждание неразложимо (неприводимо), т.е. для любых ж, у € найдется момент Ь > 0, такой, что Р (Х^ = у | Хо = ж) > 0. Другими словами, все точки решетки достижимы.
Стохастическое блуждание, удовлетворяющее условиям 1 6, является однородной марковской цепью с непрерывным временем и бесконечным числом состояний.
В рамках статьи через р(Ь, ж, у) обозначим переходную вероятность стохастического блуждания Р(Х^ = у | Хо = ж), т.е. вероятность того, что в момент времени Ь ^ 0 частица находится в точке у при условии, что в момент времени Ь = 0 она находилась в точке ж. Тогда, как показано в [10, гл. III, § 2, теорема 1], при Н \. 0 имеет место представление
. |а(ж,у)Н + о(Н) при ж = у, р(Н, ж, у) = <
I 1 + а(ж, ж)Н + о(Н) в противном случае.
Далее для удобства предполагаем, что в момент времени Ь = 0 процесс Х^ находится в начале координат, которое, напомним, обозначается символом 0 := (0, 0,..., 0) € ЪЛ.
Определение 2 [8]. Будем говорить, что стохастическое блуждание имеет конечную дисперсию скачков, если дополнительно к условиям определения 1 выполнено соотношение (1).
Если для интенеивноетей стохастическшх) блуждания выполнено условие (2), то, как показано в [7], оно влечет соотношение
^ ||ж||2а(0,ж) = то, (3)
Где || . || — некоторая порма в Zd.
Определение 3. Будем говорить, что стохастическое блуждание имеет бесконечную дисперсию скачков, если дополнительно к условиям определения 1 выполнено условие (3).
Теперь введем ключевое для дальнейших рассуждений определение.
Определение 4. Величину
СЛ(ж, у) = Иш / е Лир(и, ж,у)^и, где Л ^ 0, о
являющуюся предельным значением на бесконечности преобразования Лапласа переходной вероятности р(Ь,ж,у), будем называть функцией Грина, стохастического блуждания.
Функция Грина Сл(ж, у) имеет простой вероятностный смысл: в случае Л = 0 она представляет собой среднее время пребывания частицы в точке у € при Ь ^то при условии, что в начальный
момент времени £ = 0 частица находилась в точке х € Ъ4. Аналогично функция Грина может быть использована и для описания числа попаданий блуждания в начало координат в течение некоторого промежутка времени, как это показано в работе [11].
Для полноты описания модели ВСБ введем понятие ветвления, которое будет одинаковым как для блуждания с конечной дисперсией скачков в смысле определения 2, так и для блуждания с бесконечной дисперсией скачков в смысле определения 3. Будем считать, что механизм ветвления задается марковским процессом ветвления, определяемым инфинитезимальной производящей функцией /(и), как это описано, например, в [8]:
те
/(и) := Ьпип, 0 ^ и< 1,
п=0
где Ьп ^ 0 при п = 1, < 0 и Ьп = 0. Важной характеристикой процесса ветвления является интенсивность источника, которую далее будем обозначать следующим образом:
в := /'(1) = Е пЬп.
Всюду далее предполагаем, что в < ж, а также, что определены и конечны все высшие производные функции /(и) в точке и = 1, т.е. вг := /(г)(1) < ж. Отсюда следует, что число потомков имеет конечные факторнальные моменты всех порядков. Чтобы получить ветвящееся стохастическое блуждание с точкой ветвления в 0, совместим оба механизма. Будем считать, что эволюция частиц в системе
х
роятностью а(ж,у)Н + о(Н) в последующий промежуток времени Н \. 0 совершить переход в точку у = ж или, если ж является точкой ветвления, частица может с вероятностью ЬпН + о(Н) исчезнуть, оставив п = 1 потомков. В противном случае с вероятностью 1 + а(ж,ж)Н + ¿о(ж)&1 Н + о(Н), где ¿о (ж) обозначает символ Кронекера, частица остается в точке ж в течение всего промежутка времени [0,Н]. Каждая новая частица при этом эволюционирует по тому же закону независимо от остальных и от всей предыстории.
Определение 5. Для рассматриваемого случайного процесса число частиц в точке у € Ъ4 в момент времени £ будем обозначать через ^¿(у). Моменты данного процесса будем обозначать следующим образом: тп(£, ж, у) := Ех^?(у), гДе индекс математического ожидания указывает на точку, из которой "вышло блуждание" в момент времени £ = 0.
При изучении ВСБ с одним источником ветвления средние численности частиц могут быть найдены с помощью следующих) дифференциального уравнения, как это показано в [8, теорема 1.3.1]:
(£,ж,у)
-—-= Щгп1{г,х,у)
с начальным условием т1(0, -,у) = 5У(•), где Не = А + в^о- Определение и свойства этого оператора приведены, например, в [8]. Напомним, что на протяжении настоящей работы считаем, что ветвление 0
Определим процедуру укрупнения состояний исходного процесса блуждания X более формально.
Определение 6. Под укрупненными классами £о и $1 исходных состояний процесса X будем понимать следующие множества точек решетки Ъ4:
$0 = {0 € Ъ4}, $1 = {у € Ъ4 : у = 0}.
Таким образом, число элементов класса $ бесконечно.
Для описания блуждания по новым введенным классам будет удобно использовать случайные величины, характеризующие времена пребывания процесса в соответствующем состоянии до первого выхода из него.
Определение 7. Обозначим через то время пребывания процесса Х^ в состоянии $о ДО первого выхода из него с функцией распределения := Р(то < £), а терез Т1 время пребывания процесса Х^ в состоявии $1 до первого выхода из него с функцией распределения := Р (т1 < £).
Заметим, что независимость случайных величин то и Т1 вытекает из строго марковского свойства случайного блуждания.
4. Вспомогательные результаты. Для удобства введем следующие обозначения:
г* /о
р(£) := р(£, 0, 0), Р(£) := / р(в)
о
Напомним важное свойство рассматриваемого процесса, касающееся случайного времени т его первого выхода из некоторого состояния х € Ъл. Сформулируем в виде утверждения известный
т
т(
выхода из произвольного состояния х € Zd процесса случайного блуждания с заданной инфините-зимальной матрицей А) подчинена экспоненциальному закону распределения с параметром —а(0).
Приводимая далее лемма 1 (см. лемму 5.1.1 из [8]) будет использована для нахождения асимптотик функции Р(£) для обоих типов стохастического блуждания в зависимости от поведения функции р(£) при £ ^то. Везде далее выражение /(х) ~ #(х) означает, что /(х)/у(х) = 1.
Лемма 1. Пусть непрерывная функция ^ 0, £ ^ 0 имеет асимптотику^(Ь) ~ ^>0(1п при £ ^-то, причем /0°° = то т-е• / > — 1 и / произвольно либо / = — 1 и / ^ —1; тогда при
£ —>то имеет место представление
,г (щ^Г+НЫГ, (1 > -1;
Ф(*) := у0 - ^ ^¿г , » = -1, /* > -1;
[<£о 1п(1п£), / = —1,/ = —1.
По лемме 1 для функции Р(£) стохастического блуждания с конечной дисперсией скачков в смысле определения 2, используя асимптотику функции переходной вероятности р(£) ~ при
£ —>то согласно [8, теорема 2.1.1], можем получить следующий результат.
Следствие 1. При £ ^то верны следующие асимптотические равенства:
{2 71 лД прм с? = 1, 72 1п£ при й = 2, С^ прм й ^ 3,
г(9е С^ > 0 — некоторые константы, зависящие от размерности й решетки Zd.
По лемме 1 для функции Р(£) стохастического блуждания с бесконечной дисперсией скачков в смысле определения 3, используя асимптотику функции переходной вероятности р(£) ~ при £ ^ то, а € (0, 2), найденную в [12, теорема 2], можем получить следующий результат. Следствие 2. При £ ^то верны асимптотические равенства:
Р (£)
С* при й = 1 и 0 <а< 1,
Лад 1п(£) при й = 1 и а = 1,
Кл ¿тт "Р" ¿ = 1«1<а<2,
С* при й ^ ^ 0 < а < 2,
где С* > 0 — некоторые константы, зависящие от размерности й решет ки Zd.
Для проверки свойства марковости укрупненной модели нам понадобится следующая лемма о представлении переходной вероятности процесса в терминах введенных величин для описания блуждания по укрупненным состояниям.
Лемма 2. Для построенного случайного блуждания на Zd с укрупненными состояниями 50 и справедливо представление функции переходной вероятности
р(£) = 1 — ^о (£) + / — и)(*Ъ * ){йи}, (4)
■)о
где (^о (и) является функцией распределения случайной величины то+т1; а, символ * обозначает операцию свертки функций.
~ <
Доказательство. По определению р(£) = Р(Х4 = 0 | Х0 = 0). Воспользуемся формулой полной вероятности для описания случайного события {Х4 = 0 | Хо = 0}. В качестве разбиения вероятностного пространства рассмотрим события, которые соответствуют различным значениям времен выхода процесса из £0.
Очевидно, что при условии первого выхода процесса из $0 в момент времени, превышающий т.е. т0 > Ь, событие {Х4 = 0 | Х0 = 0} ревизуется с вероятностью 1. Таким образом, первое слагаемое выражения (4) получено:
Р({Х = 0 | Х0 = 0}| Т0 > *)Р(т0 > Ь) = 1 - *Ъ(Ь).
Предположим теперь, что первый выход процесса из $0 наблюдается в некоторый момент времени Т0 < Ь. В таком случае для того чтобы описать возвращение процесса в исходное состояние в момент нам необходимо воспользоваться дополнительно случайной величиной Т1 и рассматривать всевозможные события, при которых процесс Х4 за некоторое время тз + Т1 < Ь* < Ь возвращается в $0 и оставшееся время Ь — Ь* ^ 0 блуждает произвольным образом при условии, что начальным и конечным состоянием является $0- Условная вероятность одного из таких событий для фиксированного Ь* < Ь есть Р({Х4 = 0 | Х0 = 0} | Т0 + Т1 < ¿*) = — ¿*). Вероятность же наступления события Т0 + Т1 < Ь* < Ь согласно введенным определениям есть Р(Т0 + Т1 < ¿*) = (^0 * )(Ь*). Тогда, просуммировав выражение — Ь*)(^0 * )(Ь*) по всем возможным ¿*, получим второе слагаемое выражения (4):
^ Р({Х = 0 | Х0 = 0}|Т0 + Т1 <Ь*)Р(Т0 + Т1 <Ь*) = / р(Ь — и)(*Ъ * ^\){ди}.
Лемма 2 доказана.
5. Случай конечной дисперсии скачков. Для асимптотики хвоста функции распределения Т1
верна следующая теорема.
Теорема 1. Для, процесса, полученного посредством укрупнения состояний симметричного, неприводимого и однородного по пространству стохастического блуждания по Ъ4, д € N с конечной дисперсией скачков асимптотика хвоста распределения величины т1 при Ь ^ж будет иметь следующий вид:
--Ш-7т' а = 1>
—а(0)у1 пуЬ -0(0)^(0,0)'
Далее для неотрицательной функции / (Ь) и неотрицательной и неубывающей функции д(Ь) будем использовать следующие обозначения:
5(Л) := / е-Л^(Ь) и /(Л) := / е-Л/(Ь)дЬ 00
при условии, что данные интегралы существуют.
Доказательство. С учетом введенных обозначений применим преобразование Лапласа С к левой и правой части выражения (4):
С{р(Ь)}(Л) = С{1 — (Ь)}(Л) + С {^4р(Ь — и)(^0 * ^){ди}| (Л). (5)
Т0 Т1
выражение (5) следующим образом:
р(Л) = (Л) + р5(Л)^^1(Л)7^0 (Л).
Для удобства сделаем замену в ^0(Т) = 1 — еа(0)4, положив —к = а(0). Тогда после преобразования получим следующее выражение:
Г—рт 1 ~
В размерности (1 = 1 согласно [8, теорема 2.1.1] будем иметь р(1) ~ при £ —> оо. Тогда в
соответствии со следствием 1 для первообразной — несобственного распределения Р (Т) — выполнено Р(1) ~ 2\/?Т1 11РИ ^ —оо. Используя [13, т. 2, х'л. XIII, § 5, теорема 2], получим
Тогда
Ъу/к \ п р{л) ~ —-=- при А —>■ 0.
V А
1 - ^(А) ~ , ..,., ~-7= при А ->• 0.
Хр(Х)к А
Заметим, что функция 1 — (Т) монотонна, так как (Т) является функцией распределения случайной величины п, а значит, удовлетворяет условию тауберовой теоремы [13, т. 2, гл. XIII, § 5, теорема 4] в качестве производной некоторого распределения. Тогда, проводя обратную замену для к и используя тауберову теорему, получим
1 — ~-7= при £ —>■ оо.
—а(0)71 пут
Аналогично рассмотрим случай, когда ^ = 2. Согласно [8, теорема 2.1.1] имеем р(Т) ~ 72^-1 при Т — то. Тогда в соответствии со следствием 1 для первообразной Р (Т) выполнено асимптотическое равенство Р (Т) ~ 72 1п Т при Т — то.
Заметим, что 1п Т является медленно меняющейся на бесконечности функцией. Таким образом, возможно применение тауберовой теоремы [13, т. 2, гл. XIII, § 5, теорема 2] для нахождения асимптотики преобразования Лапласа несобственного распределения Р(¿):
р(А) ~ 721п — при А —> 0. А
В таком случае будет верно следующее асимптотическое равенство:
1 — ^(А) ~--г при А —> 0.
72/гА1п ±
к
получим
1 - ~-—-— при í оо.
—а(0)721пТ
В случае й ^ 3 согласно [8, теорема 2.1.1] имеем р(1) ~ 2 при £ —> оо. Для данной асимптотики тауберовы теоремы неприменимы, но заметим, что в такой ситуации функция Грина Сд(0, 0) будет существовать для А = 0 в силу того, что соответствующий интеграл будет сходиться (в меньших размерностях возникала особенность на бесконечности ввиду асимптотики функции р(Т), вследствие чего интеграл расходился). Таким образом, р(А) ~ Со(0,0) при А — 0. Для нахождения асимптотики искомого распределения используем [13, т. 2, гл. XIII, § 5, теорема 4] и, выполнив обратную к
1 — (£) ~-, , ^ ,-г при t оо.
Теорема доказана.
Замечание. Как отметил рецензент, утверждение теоремы 1 можно также получить с помощью леммы 1 из [9], где исследовалось асимптотическое поведение функции распределения ^ величины т = т0+т1. Для доказательства теоремы 1 следует воспользоваться формулами (20), (22) и (23) из [9],
выразить преобразование Лапласа функции 1—(£) через преобразования Лапласа функций 1—^(£) и 1 — а также дважды применить тауберову теорему (теорема 4 из [13, т. 2, гл. XIII, § 5]). При
этом в контексте настоящей работы рецензент считает целесообразным сохранить непосредственное доказательство.
6. Случай бесконечной дисперсии скачков. В случае асимптотики хвоста функции распределения величины п укрупненного процесса для случайного блуждания в смысле определения 3 справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнено условие (2). Для процесса, полученного посредством укрупнены я, состояний слшметричиого, неприводилюго и однородного по пространству стохастического блуждания по Zd; д € N асимптотика хвоста распределения величины г\ при £ ^-ж будет иметь следующий вид:
1 - --7т7-]—7' а = 1> а =
—а(0)Л,о, 11п £
п
1-Еф)__I_, ¿ = 1.^(0,1);
—а(0)Со(0,0) О2,ае(0,2).
Все обозначения предыдущей модели переносятся на данную без изменений.
Доказательство. Преобразуем доказательство теоремы 1 начиная с выражения (6). В новой модели в случае д = 1 функция переходной вероятности будет подчиняться следующему закону:
ж, у) ~ Л,адпри £ ^ ж Рассмотрим три случая.
Пусть а € (0,1). Тогда интеграл Со(0, 0) = р(£)д£ сходится и возможен предельный переход в Сд(0, 0) при Л ^ 0. Таким образом, так как Сд(0, 0) есть преобразование Лапласа функции р(£), имеем при Л ^ 0
(Д) ^ —I— ^-1-_
П ; Хр{Х)к ХС0{0,0)к
Используя [13, т. 2, гл. XIII, §5, теорема 4] и выполняя обратную замену для к, получаем при £ ^ ж утверждение теоремы:
\-Fxit) ~
—а(0)Со (0,0)"
Пусть а = 1. Для нахождения асимптотики функции р(Л) при Л ^ 0 воспользуемся тауберовой теоремой [13, т. 2, гл. XIII, § 5, теорема 2| аналогично случаю конечной дисперсии скачков и далее теоремой [13, т. 2, гл. XIII, § 5, теорема 4] для нахождения асимптотики 1 — при £ ^ ж.
В результате получаем при £ ^ж утверждение теоремы:
1-ЗД) 1
—а(0)Л,ад 1п
Пусть а € (1, 2). Для нахождения асимптотики функции р(Л) при Л ^ 0 воспользуемся [13, т. 2, гл. XIII, § 5, теорема 2]. Предварительно заметим, что для первообразной Р(£) функции р(£) согласно следствию 2 верно следующее асимптотическое равенство:
а-1
\ , 011— Г(1 - 1 /а)
где сомножитель с гамма-функциями Г(-) добавлен для того, чтобы привести вид асимптотики к условию теоремы [13, т. 2, гл. XIII, § 5, теорема 2|. На основании тауберовой теоремы получаем следующее асимптоти чеекое равенство:
Г(1 - 1 /а)1гаЛ И*)--- «Ри А ->• 0.
Учитывая полученную асимптотику для р(Л) в выражении (6), будем иметь
1 — (А) ~ -——;-—-ТГ при А —> 0.
Используем результат теоремы [13, т. 2, гл. XIII, §5, теорема 4| для нахождения асимптотики функции 1 — Fi(t) при t — го:
1 п
1 -Fi(i)~
—а(0)Г(1 — 1/а)Г(1/а)Ьа>1 Т1-1/а —а(0) в1п(п/а)Ьа>1 Т1-1/а'
где последнее равенство получено после применения формулы дополнения Эйлера для гамма-функции Г(1 — г)Г(г) = п/ 8т(пг).
В размерностях й ^ 2 для любого а € (0, 2) будет иметь место сходимость интеграла Со(0, 0) = ввиду характера асимптотики р(Т) при Т — го. Таким образом, возможен предельный переход в Сд(0,0) при А — 0. Выражение (6) в таком случае преобразуется в следующее асимптотическое выражение при Т — го:
~ ХкСо(0,0)'
Для нахождения асимптотики искомого распределения 1 — используем [13, т. 2, гл. XIII, § 5,
к
-а(0)С0(0,0) "Р"^00-
Теорема доказана.
7. Заключение. Неэкспоненциальный вид асимптотик хвоста функции 1 — (Т), полученный в теоремах 1 и 2, позволяет сделать вывод о том, что в результате преобразования процесса с бесконечным числом фазовых состояний в систему с двумя состояниями построенный процесс теряет марковское свойство. Таким образом, заключаем, что при добавлении механизма ветвления в итоге получается немарковский процесс ветвящегося случайного блуждания с двумя состояниями, только в одном из которых частица может производить потомство. Заметим, что приведенная простейшая модель может быть обобщена на случай, когда первое состояние представляет собой объединение конечного числа источников ветвления частиц, но основной вывод о потере марковского свойства при этом будет сохраняться.
Результаты полученных теорем согласуются со свойством возвратности лежащего в основе процесса случайного блуждания для соответствующих значений параметров й и а, как это показано в работах [11, 14]. Так, при й € {1, 2} в случае конечной дисперсии скачков и для й = 1 и а € [1, 2) при условии (2), приводящем к бесконечной дисперсии скачков, стохастическое блуждание является возвратным, что влечет стремление к 0 вероятности 1 — находиться в состоянии $1 бесконечно долгое время при Т — го. В случае, когда рассматриваемый процесс не является возвратным, получаем стремление вероятности 1 — к некоторому положительному числу при Т — го, которое изменяется в зависимости от размерности решетки й и параметра а.
Авторы приносят благодарность рецензенту за полезные замечания.
Работа выполнена при поддержке РНФ, проект № 23 11 00375, в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. Киев: Нау-кова думка. 1978.
2. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова думка. 1976.
3. Зеленцов Б.П. Укрупнение состояний сложных систем, моделируемых марковскими процессами // Вести. СибГУТИ. 2017. 39. № 3. 43 56.
4. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи матем. наук. 1938. № 5. 5 41.
5. К&мени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука. 1970.
6. Зеленцов Б.П. Матричные модели функционирования оборудования систем связи // Вести. СибГУТИ. 2015. 32. № 4. 62 73.
7. Yarovaya Е. Branching random walks with heavy tails // Coriiriiuris Statist. Theory and Methods. 2013. 42. N 6. 3001 3010.
8. Яровая Е.Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007.
9. Булинская Е.Вл. Времена достижения с запретом для случайного блуждания // Матем. тр. 2012. 15. № 1. 1 24.
10. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. II. М.: Наука. 1973.
11. Апарин А.А., Попов Г.А., Яровая Е.Б. О распределении времени пребывания случайного блуждания в точке многомерной решетки // Теор. вероятн. и ее иримен. 2021. 66. № 4. 657 675.
12. Рытова А.И., Яровая Е.Б. Многомерная лемма Ватсона и ее применение // Матем. заметки. 2016. 99. № 3. 395 403.
13. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. I. II. М.: Мир, 1984.
14. Rytova A., Yarovaya Е. Heavy-tailed branching random walks on multidimensional lattices. A moment approach // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sec. A: Mathematics. 2020. 151, N 3. 971 992.
Поступила в редакцию 11.12*2023
