РАСПРОСТРАНЕНИЕ ФРОНТА ВЕТВЯЩЕГОСЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ ВЕТВЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

16. Скворцов В.А. Интегрирование банаховсгагачных функций и ряды Хаара с банаховсгагачными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 1. 25 32.

17. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

18. Ульянов П.Л. Об А-интегралах Коши для контуров // Докл. АН СССР. 1957. 112, № 3. 383-385.

19. Панников Б.В. О взаимоотношении А- и Б-интегралов // Матем. сб. 1986. 129, № 3. 407-421.

20. Лукашенко Т.П. Интегрируемые по Боксу неизмеримые функции // Матем. заметки. 1975. 17, № 1. 49 56.

Поступила в редакцию

31.0512023

УДК 519

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ФРОНТА ВЕТВЯЩЕГОСЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ

С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ ВЕТВЛЕНИЯ

Е. Вл. Булинская1

Рассматривается модель ветвящегося случайного блуждания по целочисленной решетке Zd с периодическими источниками размножения и гибели частиц. Предполагается, что режим ветвления надкритический, а для распределения скачка блуждания выполнено условие Крамера. Установлена теорема о скорости распространения фронта популяции частиц по решетке при неограниченном росте времени. Доказательства основаны на фундаментальных результатах, относящихся к пространственному распространению общего ветвящегося случайного блуждания.

Ключевые слова: ветвящееся случайное блуждание, периодически расположенные источники размножения и гибели, распространение фронта популяции, условие Крамера, надкритический режим.

We consider the model of branching random walk on an integer lattice Zd with periodic sources of branching. It is supposed that the regime of branching is supercritical and, for a jump of the random walk, the Cramer condition is satisfied. The theorem established describes the rate of front propagation for particles population over the lattice as the time increases unboundedly. The proofs are based on fundamental results related to the spatial spread of general branching random walk.

Key words: catalytic branching random walk, sources of branching and death located periodically, front propagation of a population, the Cramer condition, supercritical regime.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-1-4

Исследование ветвящегося случайного блуждания (ВСБ) с периодическими источниками размножения и гибели частиц инициировано в статьях [1| и [2|, где установлено асимптотическое разложение для средних локальных численностей частиц в момент времени ¿при t ^ то. В настоящей работе впервые удалось показать, что с вероятностью единица должным образом преобразованное облако исследуемых частиц будет приближаться к определенному предельному множеству в метрике Хауедорфа, когда время стремится к бесконечности, а именно доказано, что популяция частиц в надкритическом ВСБ с периодически расположенными источниками размножения и гибели частиц распространяется асимптотически линейно в случае легких хвостов распределения скачка блуждания, т.е. когда выполнено условие Крамера. Следует подчеркнуть, что, в отличие от работ [1| и [2|, мы не предполагаем, что случайное блуждание симметрично, т.е. не исключаем, что оно, например, может иметь снос. Наши результаты получены как для одномерной постановки задачи (изучение максимума или минимума среди положений частиц па Z), так и для многомерной постановки (изучение распространения облака частиц в пространстве), т.е. для решетки Zd при d € N d > 1.

Предполагаем, что все рассматриваемые случайные величины определены на одном и том же полном вероятностном пространстве (Q, F, P), где пространство элементарных исходов Q состоит

1 Булинская Екатерина Владимировна канд. физ.-мат. паук, доцепт каф. математической статистики и случайных процессов мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail: buliiiskayaOmecli.matli.msu.su, buliuskayaOyaudex.ru.

Bulinskaya Ekaterina Vladimirovna Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Statistics and Stochastic Processes.

© Булинская Е.Вл.,2024 © Bulinskaya E. VI., 2024

из элементов ш. Исследуемая модель сочетает блуждание частиц по решетке Zd и их возможное размножение (и гибель) в множестве Г С Zd, имеющем определенную структуру. Вначале опишем процесс блуждания частицы по решетке Zd, d € N. Блуждание задается марковской цепью S = {S(t),t ^ 0} с непрерывным временем и инфинитезимальной матрицей A = (a(x,y))x,yezd (см., например, [3, гл. 8, разд. 2]). Здесь a(x, y) — интенсивность перехода марковской цепи S из состояния x в состояние у. Предполагаем, что матрица A консервативна, т.е. a(x, y) = 0 a(x, y) ^ 0 при

x = y и a(x, x) € (—ж, 0), а марковская цепь S пеприводима, т.е. случайное блуждание S с положительной вероятностью может перейти из любой вершины Zd в любую другую. Будем рассматривать

S

a(x,y) = a(x — y, 0) = a(0,y — x) и a := —a(0,0). (1)

Теперь опишем множество источников размножения и гибели частиц. Пусть gi, ... gd — набор линейно независимых (не обязательно ортогональных) векторов в Zd. Будем называть решеткой (бесконечное) множество

d

Г := { g € Zd : g = ^ n3g3, щ € Z, j = 1,...,d) , (2)

j=i

а множество {gj}d=i — базисом решетки Г. Заметим, что различные базисы могут порождать одну

Г

ков и затем мгновенно гибнуть. Механизм ветвления задается инфинитезимальной производящей функцией

те те

b(s) = ^2 bksk, s € [0,1], где bk ^ 0 при k = 1, b := —bl € (0, ж) и ^ bk = 0. (3) k=0 k=0

Это означает, что вероятность pk (t) превращения частицы в k частиц за время t есть

Pk(t)= bkt + o(t), k = 1^ pi(t) = 1 + bit + o(t), t ^ 0 + . (4)

t=0

x€Zd. Новые частицы эволюционируют согласно тем же вероятностным законам, что и родительская частица, независимо друг от друга и от предыстории процесса.

x

Г

цепи S до первого попадания в множество Г т-е- в некоторую точку y € Г В точке y частица может с заданными интенсивностями либо ее покинуть и продолжить совершать случайное блуждание до очередного попадания в Г либо оставить в точке y вместо себя k потомков, k = 0,1, 2,..., и мгновенно погибнуть. Новые частицы ведут себя таким же образом, независимо друг от друга и от родительской частицы.

Мы рассматриваем надкритический режим (см., например, [4, гл. 1, разд. 6]), т.е. популяция частиц выживает с положительной вероятностью, что в терминах производящей функции записывается в виде соотношения

те

в := b'(1)=^ kbk € (0, ж). (5)

k=i

Другие режимы не представляют интереса с точки зрения поставленной задачи, поскольку критическое и докритичеекое ВСБ вырождаются с вероятностью единица и в таких случаях изучаемая задача о "распространении" популяции теряет смысл. Обозначим через N(t) случайное множество частиц в ВСБ, существующих па решетке в момент t ^ 0, а терез Xv(t) = (t),...,Xd(t)) положение частицы v из множества N(t) в момент времени t. Введем событие S € F, на котором популяция частиц не вырождается. В силу условия (5) имеем P (S) € (0,1].

Будем считать, что скачки случайного блуждания имеют легкие хвосты. Это означает, что выполнено условие Крамера. Точнее говоря, пусть для всех в из некоторой окрестности точки 0 € Rd конечно следующее математическое ожидание:

EeSe'Y> < ж, (6)

ГДС

где вектор Y = (Yi,...,Yi) описывает скачок случайного блуждания S, а (•,•) обозначает евклидово скалярное произведение в Rd. Введем функцию

(в + b) Ее^'Ч^Ь*(0)>-ФтГ

т{9> Ф) := -(оз(т«Л\ Фт(7)

ф + а + b - (ф + а)Ее \/-фТг

для тех значений в € Rd и ф € R, для которых она корректно определена и неотрицательна, т.е. конечны математические ожидания, фигурирующие в формуле (7), и

(ф + а)Ее-(<ф + а + b, ф > -а, (8)

где а и b определены соответственно в формулах (1) и (3). Здесь т(0) — время первого достижения

множества Г частицей, совершающей случайное блуждание S, а т(1) — время ее первого возвращения в Г. В лемме 2, приведенной ниже, устанавливается, что область определения неотрицательной функции m(-, •) отлична от пустого множества.

Пусть Pt := {Xv(t)/t : v € N(t)} С Rd — случайное множество нормированных положений всех частиц, существующих в ВСБ в момент времени t. Положим

P := {z € Rd : ©i(z) D ©2(z)} , (9)

©i(z) := {в € Rd : т(в, - (z, в)) ^ l} ,

©2(z) := jв € Rd : (а - (z, в)) Ee-(< а + b - (z,e), а - (z,e) > 0 j .

Нетрудно видеть, что согласно формуле (8) множество ©2(z) — это область возможных значений переменной в, при которых неотрицательная функция т(в, - (z, в)) определена для фиксированной z

P

ставляющее собой асимптотическую форму рассматриваемого нами ВСБ. Напомним, что, согласно статье [5], асимптотическая форлш ВСБ это выпуклое множество, к которому в смысле метрики

t

множителем t, при t ^ ж. Хорошо известно, что для множеств D, F С Rd расстояние Хаусдорфа между ними задается формулой

А (D, F) := inf {е ^ 0 : D С F£,F С D£},

где D£ := UxSD {z € Rd : \\x - z\\ ^ е}, а || • || — евклидова порма в Rd. Естественно назвать границу P Rd

P

и справедливо соотношение

A(Pt, P) ^ 0 п.п. па событ,ии S при t (10)

Из этой теоремы вытекает важное следствие при размерности решетки d = 1. В таком случае

t

t

максимума, который определяется как Mt := max{Xv(t) : v € N(t)}, t ^ 0.

Следствие. Если при d = 1 имеют место соотношения (1), (5) и (6), то

Mt

—--> г п. п.. на событии о при t —> ж,

где конечен предел r := sup {z € R : ©i(z) D ©2(z)}.

Таким образом, для ВСБ с периодическими источниками ветвления нами установлена теорема, являющаяся аналогом основных результатов статей [6 8], демонстрирующих асимптотически линейное распространение популяции частиц в надкритическом ВСБ с конечным числом источников размножения и гибели частиц в случае, когда хвосты распределения скачка случайного блуждания легкие. Одним из методов исследования ВСБ с конечным числом катализаторов в статьях [6 8] является анализ системы интегральных уравнений типа уравнений восстановления, в которой число уравнений равнялось числу источников. Для ВСБ с периодическими катализаторами этот подход представляется бесперспективным, поскольку возникает сложная система бесконечного числа уравнений. Однако благодаря периодическому расположению источников ветвления в настоящей работе удалось рассмотреть ВСБ с периодическими катализаторами как в некотором смысле однородное ВСБ и применить к нему известные результаты, установленные для общего однородного ВСБ. Нами впервые доказаны результаты, описывающие пространственное распространение популяции частиц для ВСБ с бесконечным числом источников ветвления в случае, когда эти источники расположены периодически.

Прежде чем перейти к доказательству основного результата, введем ряд дополнительных обозначений и установим две леммы. Напомним, что в силу [3, гл. 8, разд. 2] случайное блуждание S с непрерывным временем, удовлетворяющее условию (1), представляет собой обобщенный пуассонов-ский процесс, т.е. имеет место формула

п (t)

S(t) = S(0) + £ Y(i), t ^ 0, (11)

i= 1

где {n(t),t ^ 0} — пуассоновский процесс интенсивности a и Y(1),Y(2),... — независимые одинаково распределенные случайные векторы, имеющие такое же распределение, как Y. Обозначим т(i) длину промежутка времени между (i — 1)-м и i-м скачками иуассоновского процесса П, где i € N. Известно, что т(1),т(2),... — независимые одинаково распределенные случайные величины и т(i) ~ Exp(a), i € N.

Введем массив событий

(m I }

J^Y(j) € (j) € Г,1 = 1,...,m — 1> , n,m € N, m ^ n, (12)

j=n j=n J

Г

Лемма 1. Существуют постоянные c > 0 и q € (0,1), при которых справедливо неравенство

P (B(1,k)) < cqk, k € N. (13)

Доказательство. Чтобы построить вспомогательную марковскую цепь, напомним ряд необходимых обозначений из статьи [9]. Определим на Zd следующее отношение эквивалентности: точки y, z € Zd называются эквивалентны ми, если y — z € Г. Соответствующее факторпространство обозначается Y := Zd/Г и называется фундаментальным множеством вершин. Это множество всегда может быть сопоставлено некоторому множеству {z(1) ,... ,z(p)} попарно неэквивалентных элементов из Zd. При фиксированном выборе Y = {z(1), ...,z(p)} любая точка y € Zd может быть однозначно представлена в виде

y = Uy + Yy, вде Uy € Y и Yy € Г. (14)

Число вершин p в фундаментал^^^м множестве вершин Y может найдено следующим образом. Рассмотрим множество C := |y € Rd : y = Yl'j=1 xj9j, 0 ^ Xj < 1, j = 1,...,^ . Тогда p — это

число точек в пересечении CnZd. В дальнейшем остановимся на выборе Y = CnZd = {z(1),...,z(p)}, где без потери общности положим z(1) = 0.

Теперь на основе случайного блуждания S = {S(t),t ^ 0} построим вспомогательную конечную марковскую цепь V = {V(t),t ^ 0} со значениями в Y, положив V(t) = u,g(t) для каждого t ^ 0 (величины uy в (14) для y € Zd). ^о Маркове кой цепи V время первого

достижения множества Г случайным блужданием S равняется времени первого достижения состояния z(1) = 0 марковской цепью V. Поэтому согласно теореме 13.4.2 из [10, гл. 13], примененной к

вспомогательной марковской цепи, существуют постоянные с > 0 и д € (0,1), такие, что имеет место искомое соотношение (13). Заметим, что здесь существенную роль играет периодичность множества Г позволившая редуцировать изучение марковской цепи 5 со счетным пространством состояний к рассмотрению конечной марковской цепи V. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если выполнены, соотношения (1), (5) и (6). то для, каждого единичного вектора, и € т.е. \\и|| = 1, функция ш(ви, ф) принимает конечные значения при всех в из некоторой окрестности точки 0 € М и всех достаточно больших ф.

Доказательство. В силу неравенства Коши Буняковского Шварца и соотношения (13), установленного в лемме 1, при ф > —а имеем

Ее-'М^)>-фт(1) =£ (Ее-Фт(1))* Еехр|—в (и, £ У^11(В(1,к)) <

< уГс£ V (в »'•>•)* 7* = ^УЗ^щгу < „ (15)

+ V ) ф + а- ау/дЕе-мРГ)

при условии

а П^Ших) < L Последнее неравенство верно при выборе ф достаточно большим, а в близким к нулю, поскольку тогда выражение Ee-2^U'Y^ конечно в силу (6). Более того, из соотношения (15) следует, что такой выбор в и, возможно, еще большее увеличение ф ведут к

справедливости неравенства (ф + a)Ee KU'S(rr )) фтг < ф + а + b. Аналогично выводу соотношения /1К\ С -tf/u^r^-S(0)\-фтГ0)

(15) устанавливается конечность и среднего значения Ee \ v 1 / / 1 для тех же значении

в и ф Последнее влечет конечность функции т(ви,ф) при всех в из некоторой окрестности 0 € Ми

ф

Таким образом, согласно (11) если в нашем ВСБ частица попала в источник ветвления, то до возможного выхода из него она ожидает время tw ~ Ехр(а). Аналогично в силу (4) (см., например, [11, гл. 1, §1]) время ожидания до возможного ветвления есть тъг ~ Exp(b). Если tw < тьг, что происходит с вероятностью а/(а+b), то частица уйдет из источника ветвления, не оставив потомков. Если же tw > Tbr (с вероятностью b/(a + b)), то в этом источнике ветвления частица произведет случайное число потомков и сразу погибнет.

Напомним, что т^0) — время первого достижения множества Г, а т^1) — время первого возвращения в Г частицы, совершающей случайное блуждание S. Считаем, что если случайное блуждание S стартует в точке из множества Г, то т(0) = 0 и т(1) ^ т(1). Если же оно стартует в точке, не входящей в множество Г, то т(0) ^ т(1) и отсчет т(1) начинается в момент т(0). Обозначая промежутки времени

между последующими возвращениями в Г через т(2) ,т(3),..., получаем, что случайное блуждание S

^ (0) (0) . (1) ^ (1) (2)

попадает в 1 в моменты времени Tp , Tp +Tp , .... В отличие от нумерации т(1) ,т(2),... времен ожи-

S

Г

блуждание S, и обозначим их tW1 , tW2) ,.... В нашем ВСБ этим случайным величинам соответствует не зависящая от них последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин тЬ^Т2, ... Очевидно, что траектории случайного блуждания S и траектории ВСБ, если они стартовали в одной и той же точке, совпадают, пока tW^ < т^ при всех k = 1 ,2 ,... , v — 1. Как

только для некоторого v будем иметь tWv) > т^), поведение ВСБ будет отличаться от поведения случайного блуждания. В ВСБ родительская частица погибает, оставляя после себя случайное число потомков, а в случайном блуждании частица продолжает перемещение по решетке Zd. Положим L равным продолжительности жизни родительской частицы в ВСБ. Тогда ясно, что

L = Е т(к) + т£), (16)

к=0

(k) (k) •,

где v := min{k € N : tw > т¿r }. Легко видеть, что v < то с вероятностью 1. Действительно,

вероятность противоположного события, т.е. когда rff ^ т^ для всех k € N, равна нулю, поскольку

tW? и т^ независимы при любых k € N и имеют экспоненциальное распределение соответственно с параметрами a и Ь.

Доказательство теоремы. Доказательство основывается на применении теоремы А и ее следствия из статьи [12], а также их обобщений в [5, разд. 4.2]. Эти утверждения формулируются для так называемого общего ВСБ по Rd, описание которого мы напомним.

Общее ВСБ задается тройкой (Z, M, %), в которой для каждой частицы процесс Z отвечает за размножение, процесс M — за перемещение в пространстве, а процесс х ^ за ее значимость в зависимости от возраста этой частицы при подсчете численности популяции или субпопуляции. У точечного процесса Z на Rd х R+ каждая точка соответствует потомку. Первые d координат точки это отклонение потомка в момент рождения от начального положения родительской частицы, а последняя координата это возраст родительской частицы в момент появления данного потомка. Движение родительской частицы в пространстве описывается случайным процессом M. Частица, появившаяся на свет в точке z, через время t будет в точке z + M(t). Случайная характеристика х есть неотрицательный случайный процесс, присваивающий значимость частице в популяции в зависимости от возраста. Другими словами, x(t) — это "вес" частицы, имеющей возраст t. Например,

t

зовать стандартную случайную характеристику x(t) = I(0 ^ t < £), где £ — продолжительность жизни частицы, и затем по всем частицам v просуммировать случайные характеристики в точках t — av, где av — момент рождения частицы v. Тем самым мы получим число частиц, существующих t

Покажем, что наше ВСБ с периодически расположенными источниками ветвления может быть рассмотрено в рамках описанного общего ВСБ. Например, положим M = S, т.е. перемещение частицы происходит согласно случайному блужданию с инфинитезимальной матрицей A Зададим точечный процесс Z. Каждая его точка имеет координаты (S(L) — S(0),L), где продолжительность L жизни родительской частицы в нашем ВСБ удовлетворяет равенству (16). Число £ таких точек случайно и имеет вероятностную производящую функцию bo(s) := E.s4 = fc^i 1Tsfc> s ^ [ОД]-

х

образом как x(t) = I(0 ^ t < L), t ^ 0.

К так заданному общему ВСБ применим рассуждения из [5, разд. 4.2], которые являются обобщениями теоремы А и ее следствия из статьи [12]. Если мы убедимся в том, что верно равенство

т(М) = Е/ (&,«) (17)

для всех в € Rd и ф € R, при которых обе части равенства определены, то указанные рассуждения влекут вывод: асимптотическая форма так заданного нами общего ВСБ определяется формулой

z € Rd : inf {ln т(в, —<z, в))} ^ 0 в

Однако нетрудно видеть, что последнее множество и есть введенное ранее в (9) множество P. Таким образом, мы получим результат (10) нашей теоремы, если проверим равенство (17). Заметим, что в силу леммы 2 для каждого единичного вектора U существуют некоторые в > 0 и ф € R, такие, что т(ви, ф) < то. Оставшаяся часть доказательства теоремы будет посвящена установлению формулы (17).

Как было показано выше, изучаемое ВСБ с периодическими источниками ветвления может

( Z, M, х)

Z

Е У e-<e'z> e~^tZ (dz, dt) = E£Ee-<e'S(L)-S(0)> в~фЬ, (18)

где E£ = 1 + в/Ь Согласно определению времени L имеем

S(L) = S т?) + т£°] = S тР) . \k=0 ) \k=0 )

Для сокращения записи будем считать, что стартовая точка ВСБ х принадлежит множеству Г. Иначе в приводимых ниже формулах возникает дополнительный индикатор

(ко 1о \

х + ^ У(^ € Г,х + ^ У(^ € Г,1о = 1,...,к - 1] .

С ним вычисления проводятся так же, как с индикатором I (В(1,к)), где множество В(1,к) введено в (12). Кроме того, без ограничения общности полагаем х = 0 (напомним, что 0 € Г). Рассматривая индексы к1,...,кп € М, для и = 1,...,п положим К (и) := к1 + ... + ки.

Следовательно, в силу (11)

имеем

Ее-{е,3Щ-3т-Фь = £ Е ех( /£ т(кЛ \ - ф[£ т(к) + ^Л 1 д (^ = п + 1) =

п=0 { \ \к=0 / / \к=0 ) )

тете ( п / К (и) \ / п К(и)

= Е Е Е ехр< — («. Е УИ) - ф ( ЕЕ т (') + т<п+1)

п=0 к!,...,к„ = 1 I и=1 \ j=K(и-1)+1 / \и=1 j=K(и-1)+1

пп

(и-

х П I (В (К(и — 1) + 1,К(и))) П I (т(К(и-1)+1) < т(и)) I (т(К(п)+1) > ть(гп+1)) =

и=1 и=1

тете п ( / К (и)

£ £ (Ее-ФГК(п)-п Ее-ФгГ!)^т(К(п)+1) > т6(гп+1)) х [] Еехр| — (0, £ У^)) \ х

п=0 кь...,кп = 1 и=1 [ \ j=К(и-1) + 1

п

XI (В (К(и — 1) + 1,К(и)))П Ее-Фт(К(и-!)+!)I (т(К(и-1)+1) < ть(ги)) =

и=1

, те / I . \ п п /те , I / ки

Ь / Ф +а * "1_г ' х- -¿-(оч ки

£ ^ П £ (Ее—) вехр -

Ф + а + Ь п=0^Ф + а + ^ и=1 Уки = 1 ^ \ ¿=1

\ Л, А- п А- Ь } \

ф + а + Ь ^ \ф + а + Ь

п=0

= Ь^ф + а + Ь — (ф + а) Ее-(, (19)

где события В(п,т), п, т € М, п ^ т, введены в (12) и ф > —а. Здесь мы существенно опирались

Г

тельно, из этих свойств Г следует, что У) € Г и = 1,...,п, тогда и только тогда, когда

ЕК=(К( -1)+1 У(j)

€ Г и = 1,...,п. Более того, при установлении формулы (19) мы учитывали, что

скачки У^\ ] € М, независимы, значит, независимы и непересекающиеся наборы таких случайных скачков (см., например, лемму о группировке в [13, гл. 3, следствие 3.7]). Наконец, использовалась независимость случайных векторов У; € М, и времен ожидания т(4), г € N. Последнее равенство

в (19) верно при условии ф^^Ее )) ^ ^ Однако это неравенство уже было установ-

лено в лемме 2. Теперь справедливость соотношения (17) вытекает из формул (18) и (19). Теорема полностью доказана.

Пример 1. Пусть ^ = 1, д1 = 2, т.е. Г = {2к : к € Предполагаем, что А представляет собой дискретный оператор Лапласа, т.е. а(х,у)/а = 1/2, если |х — у| = 1, и а(х,у) = 0 во всех остальных случаях. Пусть, например, стартовая точка х есть начало координат 0. Тогда т^1) = т(1) + т(2), а

значение S может равняться —2, 0 или 2 соответственно с вероятностями 1/4, 1/2 или 1/4.

Поэтому

т\в,ф) =-——ту—,

v J ф + а + b — (ф + а)-1а2 ch2 в

©2(х) = {в € R : а2 ch2 в < (а — хв)2 + b (а — хв), а — хв > о} , ch

©1(х) := {в € R : а2 ch2 в ^ (а — хв)2 — в(а — хв)} .

Легко видеть, что точка х € R содержится в множестве V, представляющем собой асимптотическую форму ВСБ в силу установленной теоремы, тогда и только тогда, когда справедливо включение ©1(х) D ©2 (х). Заметим, что 0 € V, поскольку ©1(0) = R. Пусть, напри мер, а = b = в = 1. Существует несколько способов, чтобы с помощью системы Wolfram Mathematiea найти левый и правый концы отрезка V. Один из способов — рассмотрение дискретных значений х с шагом, например, 0.001 и для каждого из них проверка включения ©1(х) D ©2(х). Тогда мы найдем левую и правую V 0.001

кости множества {(х, в) : х € М,в € ©1(х)}, {(х, в) : х € М,в € ©2(х)} и выяснение, как соотносятся их сечения при различных фиксированных х. В итоге получаем V ~ [—1.122,1.122]. В терминах следствия доказанной нами теоремы имеем r ~ 1.122 (с точностью до 0.001).

Пример 2. Рассмотрим аналог примера 1 в двумерном пространстве (d = 2). Пусть д\ = (2, 0) и g2 = (0, 2), т.е. Г = {(2k, 2m) : k,m € Z}. Считаем, что координаты вектора скачка Y = (Y\,Y2) независимы и P(Y = 1) = P(Y = —1) = 1/2 i = 1, 2 Стартовая точка ВСБ находится в начале

координат. Тогда опять т(1) = т(1) + т(2). Случайная вели чина S принимает знач ения (2, 2),

(—2, 2), (2, —2), (—2, — 2) с вероятностью 1/16, значения (0, 2), (2, 0), (—2, 0), (0, —2) с вероятностью 1/8 и значение (0, 0) с вероятностью 1/4. Поэтому

Q2 ch2 0\ ch2 0'2

(ф + а)2

©2(х) = {в = (в1, в2) € R2 : а2 ch2 в1 ch2 в2 < (а — (х, в})2 + b (а — (х, в}), а — (х, в) > 0} . {}

©1(х) := {в = (в1,в2) € R2 : а2 ch2 в1 ch2 в2 ^ (а — (х,в))2 — в (а — (х,в))} .

V

точку х = (х1,х2) € R2 тогда и только тогда, когда для нее имеет место включение ©1(х) D ©2(х). Ясно, что 0 €V, так как ©1(0) = R2. Положим а = b = в = 1- Далее с помощью системы Wolfram

х1 х2 0.1

значений х^ и х2 проверять включение ©1(х) D ©2(х). Если оно справедливо, то помещаем точку х V х1

х2 V

рис. 1).

як

ство, т.е. Г = Zd, d € N Тогда т(1) = т(1) и S = Y(1). Поэтому справедливо представление

® = ь-Н(-е)' ГДС := ^ е<в'У>а(°>У) = а (Ее<в,у<1)) - 1) , в € Rd.

ф + ( ) yezd

Заметим, что с помощью равенства (11) нетрудно проверить, что Ее^'5^ = еш(в\ в € Rd, Ь ^ 0. По этой причине функцию Н называют логарифмической производящей функцией моментов для случайной величины Б(1). Функция Л(х) := ({х, в) — Н(в)), х € Rd, всегда неотрицательна и

называется функцией уклонений случайной величины Б(1) (см. [10, гл. 9, разд. 1.2]). Таким образом,

из нашей теоремы вытекает, что в рамках рассматриваемого примера асимптотическая форма популяции имеет вид V = {х € М^ : Л(х) ^ в}- Рассмотрим частный случай, когда й = 3, а координаты вектора У = (У\,У2,У3) независимы и имеют следующие распределения:

рп-1е-р1

Р<Г,-»)-Р(У,—п)-!^,

Р 0-2 = п) = Р (1-2 = -п) = , «

Р (Уз = 1) = Р (Уз = -1) = 1/2.

Тохда верна формула

Е(рг,в1) я(р2е)

H (9) = a где R(p, s

2

2

ch 93 — a,

.= ep(es-1)+s + ep(e-s-l)-s

9 r3

, Рис. 1. Предельная форма фронта дP

в примере 2

-ч | о + ер(с ^ p > q и s g R. Согласно [10, гл. 9, разд. 1.2] верхняя грань в определении функции Л достигается в точке 9* € Rd (т.е. справедливо соотношение Л(х) = {z,9*) — H (9*)) тогда и только тогда, когда z = VH(9*) Положим a = в = 1, pi = Q.7 и p2 = Q.8. График множества Р С К3 построен нами (см. рис. 2) на основе системы Wolfram Mathematiea и с помощью описания множества P параметрами 9* = (9*,9*,9**) € R3.

Таким образом, в настоящей работе удалось впервые исследовать распространение популяции частиц в надкритическом ВСБ с периодическими источниками ветвления в случае, когда хвосты скачка блуждания удовлетворяют условию Крамера. Благодаря введению вспомогательного процесса стало возможным рассмотрение указанного ВСБ как в некотором смысле однород- Рис. 2. Множество р С R в примере 3

ного в пространстве процесса. Это позволило свести поставленную задачу к уже решенной для общего ВСБ. В результате доказана теорема, утверждающая асимптотически линейное (во времени) распространение популяции частиц в пространстве, и найден предельный вид облака частиц с линейно нормированными координатами. Это предельное множество P называется асимптотической формой ВСБ и выражается, в частности, через совместное преобразование Лапласа времени и места первого возвращения частицы в периодическое множество Г. В примерах 1-3 продемонстрировано, как практически можно найти P для d = 1, d = 2 и d = 3. Соответствующие результаты представлены на рис. 1 и 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Платонова М.В., РяОовкип К. С. Асимптотическое поведение среднего числа частиц ветвящегося случайного блуждания на решетке Zd с периодическими источниками ветвления // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2017. 466. 234 256.

2. Платонова М.В., РяОовкип К. С. О среднем числе частиц ветвящегося случайного блуждания на решетке Zd с периодическими источниками ветвления // Докл. РАН. 2018. 479, № 3. 250-253.

3. Bremaud P. Markov Chains: Gibbs Fields. Monte-Carlo Simulation, and Queues. Second ed. Cham: Springer. 2020.

4. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. M.: Наука. 1971.

5. Biggins J.D. How fast does a general branching random walk spread? // Classical and Modern Branching Processes/ Ed. by K.B. Athreya. P. Jagers. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications. Vol. 84. N.Y.: Springer. 1997. 19 39.

6. Молчанов С.А., Яровая Е.Б. Ветвящиеся процессы с решетчатой пространственной динамикой и конечным числом центров генерации частиц // Докл. РАН. 2012. 446. № 3. 259 262.

7. ВиИпякауа Е. VI. Spread of a catalytic brandling random walk on a multidimensional lattice // Stoch. Process, and Appl. 2018. 128, N 7. 2325 2340.

8. Carmona Ph., Ни Y. The spread of a catalytic branching random walk // Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat. 2014. 50. N 2. 327 351.

9. Платонова M.B., Рядовкин К. С. Ветвящиеся случайные блуждания на Zd с периодически расположенными источниками ветвления // Теор. вероятн. и ее примен. 2019. 64. № 2. 283 307.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: URSS. 2021.

11. Феллер В. Введение в теорию вероятностей. Т. 2. М.: Мир. 1984.

12. Biggins J.D. The asymptotic shape of the branching random walk // Adv. Appl. Probab. 1978. 10. N 1. 62 84.

13. Kallenberg O. Foundations of Modern Probability. N.Y.: Springer. 2001.

Поступила в редакцию 02Ж2023

УДК 517.977.56, 517.977.57, 517.956.4

О ЗАДАЧАХ ЭКСТРЕМУМА И ОЦЕНКАХ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

И. В. Асташова1, Д. А. Лашин2, А. В. Филиновский3

Рассматривается экстремальная задача, связанная с математической моделью управления температурой, основанная на одномерном несамосопряженном параболическом уравнении общего вида. Определяя оптимальное управление как минимизирующую функцию весового квадратичного функционала, мы доказываем существование решения задачи о повторном минимуме по управляющим и весовым функциям. Получены также оценки сверху нормы управляющей функции через значение функционала качества, используемые для доказательства существования минимизирующей функции на неограниченных множествах управлений.

Ключевые слова: параболическое уравнение, экстремальная задача, весовой квадратичный функционал, минимизирующая функция, повторный минимум, оценки сверху, неограниченное множество управлений.

We consider an extremnm problem associated with a mathematical model of the temperature control. It is based on a one-dimensional non-self-adjoint parabolic equation of general form. Determining the optimal control as a function minimizing the weighted quadratic functional, we prove the existence of a solution to the problem of the double minimum by control and weight functions. We also obtained upper estimates for the norm of the control function in terms of the value of the functional. These estimates are used to prove the existence of the minimizing function for unbounded sets of control functions.

1 Асташова Ирина Викторовна доктор физ.-мат. паук. проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ: проф. каф. высшей математики Рос. эконом, ун-та им. Г.В. Плеханова, e-mail: ast.diffiet.yOgmail.com.

Astashova Irina Victuruvna Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Equations: Professor, Pleklianov Russian Economical University, Chair of Higher Mathematics.

2 Лалиин Дмитрий Александрович канд. физ.-мат. паук, вед. пауч. сотр. НПФ "ФИТО", e-mail: dalashinOgmail.com.

Lashin Dmitriy Alexantlrovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Lead Research Scientist., Scientific and Production Company "FITO".

4 Филиновский Алексей Владиславович доктор физ.-мат. паук, проф. каф. высшей математики Моск. гос. техп. уп-та им. Н.Э. Баумана: проф. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ttnvOyandex.ru.

Filinovskiy Alexey Vladislavovich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Bauman Moscow State Technical University, Chair of Higher Mathematics: Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Equations.

© Асташова И. В., Лапши Д. Л., Филишшский Л. В., '2024 © Astashova 1. V'., Lashin D.A., Filinovskiy Л. V'., 2024

С-)]