Угол естественного откоса идеального сыпучего материала

Федосеев В.Б.; Кунаков В.С.

УДК 539.215.9:633.11

УГОЛ ЕСТЕСТВЕННОГО ОТКОСА ИДЕАЛЬНОГО СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА

In operation the condition of balance of a dam of a loose material is analyzed. On the basis of the analysis of this condition is shown, that forming a lateral surface of a dam is not a direct line. The standard angle of repose corresponds(meets) to an average part of a lateral surface. The expression for factor of internal friction is received on the basis of the analysis of the form of a lateral surface.

В настоящее время принято считать, что угол естественного откоса х (угол между образующей боковой поверхности насыпи и горизонтальной плоскостью) является одним из параметров, характеризующих свойства самого сыпучего материала. Однако свойства поверхности, на которой находится насыпь сыпучего материала, должны влиять на величину угла естественного откоса. Так, на рис. 1 приведена фотография конической насыпи сыпучего сельскохозяйственного материала (очищенный рис), из которой видно, что образующая его боковой поверхности не является прямой линией.

В данной работе предпринята попытка оценить влияние свойств основания, на котором находится сыпучий материал, на величину угла естественного откоса.

Рис. 1. Форма боковой поверхности насыпи сыпучего материала

В первом приближении рассмотрим прямолинейный откос насыпи высотой Н (рис. 2).

I

Рис. 2. Расположение осей декартовой системы координат в длинном откосе насыпи сыпучего материала

Всю насыпь разобьем на две области I и II, как показано на рисунке. Согласно [1], вертикальное и гори-

зонтальное давления в соответствующих областях определяются выражениями:

r-g-z .

P

1+А2

J

y 1 . ..2

l + JLli

для области/ и

Г'g

Mi

tgx

(1)

1 + Ml

r-g

1+Ml

4-y-tgz

— ■4-ytgx] tgx

(2)

для области II. Здесь у - насыпная плотность сыпучего материала; ^ - коэффициент внутреннего трения.

Исследуем условие равновесия откоса по горизонтали. Для рассмотрения выделим часть откоса высотой г (рис. 2). Так как этот участок откоса неподвижен, то сила бокового давления на него со стороны области I Рс(г) должна уравновешиваться силой трения откоса о свое основание FTp(z).

Сила давления на откос со стороны насыпи будет определяться выражением

о

Подставляя значение горизонтального давления согласно (1), получим

2

FD4j=jr-g-:

м,

D ^ > j / Ö 7

о 1+ MF

■ dz = tgX 1

Y-g-z

Цг

.2

2 -tgx

(3)

Сила трения, действующая на основание этого участка откоса, будет равна

F

Rb

r pii.

! г

0

7pO J Mi -pz il^^dv.

Подставляя в это выражение значение вертикальной компоненты давления из (2), получим

ftp О 5 Мг ■■

7-g 1+Mi

A-y-tgx^dy =

= Ml ■-

g

i+m;

2

RI

z-Rb—2--tgZ

Так как z / Rb = tgx. то последнее выражение запишем в виде

о

Z

FTP = //,.

r-g

1 + jUj 2-tgz

(4)

Сравнивая (3) и (4), видим, что для такого участка откоса всегда выполняется условие равновесия. Однако, если рассматривать весь откос целиком, то сила давления со стороны насыпи будет равна

r-g-n1

Mi

(5)

1 + А2

В то же время сила трения об основание откоса

будет определяться выражением

- г'8 "2

•

TP '

>= Me

H2

\ + ц}

где це - коэффициент трения сыпучего материала о подстилающее основание.

Сравнивая (5) и (6), мы видим, что равновесие всего откоса возможно только в случае //е — //,. что выполняется не всегда.

Для объяснения этого факта необходимо иметь в виду, что поверхность откоса формируется в соответствии с условием равновесия в горизонтальном направлении. При этом сила бокового давления на элементарный слой со стороны насыпи уравновешивается силой трения на плоских, горизонтальных поверхностях элементарного слоя. Пока слой находится внутри откоса, сверху и снизу располагаются аналогичные слои из того же сыпучего материала с одним и тем же коэффициентом трения. Поэтому форма откоса получается в виде плоскости, с постоянным углом наклона к основанию, равным углу естественного откоса. Если же рассматривать самый нижний элементарный слой, то сверху он контактирует с сыпучим материалом, а снизу - с твердой поверхностью, и коэффициент трения сыпучего материала об эту поверхность уже другой. Это уже коэффициент внешнего трения - ¡1е. Следовательно, условия равновесия уже другие, значит и угол наклона будет другой: х ^ А

Для нахождения угла в также воспользуемся условием равновесия откоса. Как и раньше, сила трения ¥ТР (на единицу длины вдоль оси ОХ) откоса об основание определяется следующим выражением

(6)

Ут

■ Р? .

FTP<ij= J Me

О

Подставим в это выражение значение вертикального давления в плоскости z = H, учитывая, что угол откоса другой

Pi H

r-g

Согласно рис. 2

■Ü-ytgßl.

(7)

Ут =

н

tgX

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

следовательно, выра-

жение для силы трения примет вид

Ут r-g

Ртр^У 1 Mi о

r-g

= Me

1 + /Л

2

H

tgx

1+м?

2 f

1-

■ H-y-tgßj,dy =

tg

(8)

2-tgX

tgß =

■tgx-

(9)

Силу давления ¥в (на единицу длины вдоль оси ОХ) со стороны насыпи определим согласно выражению (6).

Приравнивая силы трения (8) и давления (6), получим выражение для расчета угла при основании:

2 -Ме-Мг

Ме \ Ме

Из (9) видно, что если це —> н,. то /; —> /. Кроме того, из (9) также следует, что если //е > . то /3 > %, и наоборот, что соответствует физическому смыслу задачи.

Таким образом, учет переходного слоя приводит к тому, что угол у основания откоса уже не равен углу естественного откоса. Угол естественного откоса будет представлять собой угол наклона к основанию в средней части плоскости откоса.

Формула (9) позволяет решить и обратную задачу. Стандартный метод измерения коэффициента внутреннего трения вызывает многие сомнения. Однако, если удастся измерить угол при основании откоса, то тогда коэффициент внутреннего трения, исходя из (9), можно рассчитать по формуле

Mi = 2 • Me Л 1"

tgß

(10)

2-^Х,

Таким образом, учет переходного слоя приводит к тому, что во всей толще откоса насыпи вертикальное давление необходимо по-прежнему рассчитывать по формулам (2), непосредственно у основания по формуле (7) с учетом (9)

PzH, 0=

r-g

H-y

2 Me~ Mi

■tgx

(11)

1 + м2 V Vе

При этом сила трения откоса об основание насыпи будет равна

Rb

Ftp Я J^ J Me о

r-g

1+Mt

Me

= Ml

r-g

H2

1 + f.if 2 -tgx

что совпадает с (6).

Посмотрим теперь, чему равна разность Л между силой тяжести Mg сыпучего материала в откосе и суммой силы давления на дно откоса ¥вв и силы трения ¥ТН откоса о насыпь.

Сила тяжести сыпучего материала в откосе (на единицу длины вдоль оси ОХ) будет равна

2

н

Mg 2 г g Н Ут 2 7 g Н tgx 2 tgx

Сила давления на дно будет равна

DD

Ут

= I -

о 1

r-g

H-y-tgß~^dy =

yg H

2

l + juf fSX V 2 -tgx. Или, подставляя значение tgfi, получим Г-g Н2 цх

tgx 2 • /ле '

1-

tgß

FDD -

1 + Mi

2

z

2

Сила трения о насыпь будет равна

Frn =Та A =

О 0 l + Mi

= /л r-g Н2 fij

1 l + м? 2 tgx

Найдем теперь разность

A =M-g-FDD-FTH =

= rjL.?L. > О.

2 tgX

Как и следовало ожидать, сила тяжести больше суммы силы давления и силы трения.

Следовательно, свойства основания, на котором находится насыпь сыпучего материала, существенно влияют на величину угла естественного откоса. Для его определения необходимо использовать среднюю часть боковой поверхности насыпи. В то же время угол наклона боковой поверхности к горизонтали непосредственно у основания насыпи можно использовать для определения коэффициента внутреннего трения при известном коэффициенте внешнего трения.

Литература

1. Федосеев В.Б. // Исследовано в России. 2007. № 058, С. 622- 626. // http://zhumal.ape.relarn.ru/articles/2007/058.pdf

Донской государственный технический университет_25 июня 2007 г.

Угол естественного откоса идеального сыпучего материала Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Аннотация научной статьи по механике и машиностроению, автор научной работы — Федосеев В. Б., Кунаков В. С.

Похожие темы научных работ по механике и машиностроению , автор научной работы — Федосеев В. Б., Кунаков В. С.

Текст научной работы на тему «Угол естественного откоса идеального сыпучего материала»