Боковой коэффициент и давление в пристеночной насыпи сыпучего материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.215.9: 633.11

БОКОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ И ДАВЛЕНИЕ В ПРИСТЕНОЧНОЙ НАСЫПИ СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА

© 2010 г. В.Б. Федосеев, А.Б. Гордеева

Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, reception@dstu.edu.ru

Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, reception@dstu. edu.ru

Сыпучие материалы представляют собой сложный объект, который обладает свойствами как жидкости, так и твердого тела. Для определения связи между компонентами давления в реальном сыпучем материале выведена формула расчета бокового коэффициента, которая позволяет определить связь между эффективным трением, углом откоса и свойствами подстилающего основания. Теоретические расчеты дают хорошее согласие с экспериментом. В предельном случае при переходе к идеальной жидкости боковой коэффициент стремится к единице, в соответствии с законом Паскаля.

Ключевые слова: сыпучий материал, угол естественного откоса, элементарный слой, компонент давления, эффективное трение.

Loose material is a complicated object possessing both property of liquid and property of a solid body. For determination of the connection between components of pressure in real loose material the formula of lateral factor calculation was introduced which allows to determine the connection between effective friction, angle of natural slope and properties of under laying base. Theoretical calculations give good agreement with experiment. Lateral factor is trying to attain.

Keywords: loose material, angle of natural slope, elementary layer, component ofpressure, effective friction.

Сыпучие материалы обладают свойствами как жидкости (способность занимать весь предоставленный объем), так и твердого тела (по разным направлениям передается разное давление). Поэтому для теоретического анализа они представляют собой сложный объект. В настоящей работе предпринята попытка определить компоненты давления в пристеночной насыпи сыпучего материала, а также найти связь между ними.

Пусть у прямолинейной, бесконечно длинной (вдоль оси ОХ) стены имеется насыпь идеального сыпучего материала, как показано на рисунке. Сыпучий материал при этом образует откос с углом у основания х, называемом углом естественного откоса.

В этой насыпи найдем вертикальную и горизонтальную компоненты давления, а также связь между ними.

В стационарном случае сумма сил, действующих на элементарный объем, равна нулю. В проекции на ось OZ это условие будет иметь вид

dP7 dPy 0=у-g • dx • dy • dz - dx • dy---dz• dx • dz---dy. (1)

dz dy

Здесь первое слагаемое - сила тяжести элементарного объема, второе - сила сопротивления движению за счет градиента вертикального давления, третье -сила внутреннего, сухого трения; у - плотность сыпучего материала; ^ - коэффициент внутреннего, сухого трения; Pz - вертикальная, параллельная силе тяжести компонента давления в сыпучем материале; Py - горизонтальная, перпендикулярная силе тяжести компонента давления в сыпучем материале. Поскольку рассматривается идеальный сыпучий материал, то силы сцепления не учитываются.

В проекции на горизонтальное направление это условие будет иметь вид

Расположение осей декартовой системы координат в длинной пристеночной насыпи сыпучего материала

Здесь первое слагаемое - сила сопротивления горизонтальному движению элементарного объема, обусловленная градиентом горизонтального давления, второе - сила трения на горизонтальных поверхностях элементарного объема.

Решая уравнения (1) и (2) совместно, получим дифференциальное уравнение для определения вертикальной компоненты давления:

0 = у • g • с(х • йу • Тг - с(х • (Ту • Тг • (1 + ¡Л ) . (3)

дz

На практике для нахождения горизонтальной компоненты давления в сыпучем материале обычно полагают Ру = к • Рг , где к - боковой коэффициент (в

СНиП 2.02.02-85 рекомендуют использовать именно такую зависимость для соответствующих расчетов).

Вначале найдем вертикальную компоненту давления. Проинтегрируем уравнение (3) по координате у

от 0 до Rz (см. рисунок), считая, что

dPz dz

f (y):

dPy dP7

0 = dx • dz---dy - jut • dx • dy---dz . (2)

dy dz

у g •(( -у))-(1+лЛИ( -у)-)Р • Тг+С = 0. (4)

При интегрировании элементарный объем перейдет в элементарный слой. В этом уравнении первое

слагаемое представляет собой силу тяжести, действующую на единицу длины (вдоль оси ОХ) элементарного слоя толщиной второе слагаемое - результирующую силу сопротивления (за счет градиента давления и силы внутреннего трения), действующую на этот элементарный слой. Если в этом уравнении у = Я., то С будет представлять собой силу, действующую на элементарный слой со стороны воздуха, т.е. нуль. Если в этом уравнении, наоборот, у = 0 (рисунок), то С будет представлять собой силу трения, действующую на элементарный слой со стороны стены:

C = -Me ■ dz ■ Pv = -Me ■ dz ■ к ■ Pz.

(5)

Знак «-» определяет направление вверх силы трения, против силы тяжести. Здесь использована связь между компонентами через боковой коэффициент; fie - коэффициент внешнего трения, т.е. трения сыпучего материала о вертикальную стену. Интеграл (4) с учетом (5) имеет вид

Me k-tgx

P. (z ) =

Y ■ g

1 +Mi + Me 'k^gX

■■Z + C1 ■ z

1+Mt.

(6)

где использовано соотношение г = Я. - tgx .

Необходимо отметить, что уравнение (6) справедливо в плоскости у = 0. При г = 0 вертикальная компонента давления должна равняться нулю. Отсюда следует, что С1 = 0. Для удовлетворения граничному условию в плоскости у = Я., вертикальную компоненту давления представим в виде ( \

Y ■ g

■«■(z - y^gz), (7)

Р(2)= 12 , t

+ Мг + Ме'к^ёХ, где а - некоторый коэффициент.

Перейдем теперь к горизонтальной компоненте давления. Уравнение (2) для этого случая будет иметь

вид

dPy,

dy

■ = - Mi

Y ■ g

1 + Mi + Me ■ k ■ tgX

■ а.

Так как давление уменьшается с ростом у, то в уравнении взят знак «-». Проинтегрируем это выражение по у:

(

Py =- Mi ■

Y ■ g ■ У

Л

1 + Mi + Me ■ k ■ tgx

■ а + C .

(8)

Здесь С - константа интегрирования, по физическому смыслу равная Ру(0,.): С = Ру(0,х). Используя связь между компонентами давления, можно записать ( \ С = к - Р. (0, г) = к - -- -а'2 .

11 + Мг +Ме - к - ^Х) Подставив это значение константы интегрирования в (8), получим

Г-ё-((-Мг - У)

Py =

■ а .

(9)

1 + Мг +Ме - к - ^Х Из условия, что в плоскости у = Я. = г / tёX горизонтальная компонента давления также должна равняться нулю, вытекает

Мг = Ш-

к = ■

tgx tgV где у - угол внутреннего трения.

(10)

Для нахождения константы а потребуем, чтобы вертикальная компонента давления удовлетворяла исходному дифференциальному уравнению (6). Подставив в (6) выражение (9), с учетом (10) и того, что (6) выполняется в плоскости у = 0, получим а = 1.

С учетом полученного, компоненты давления перепишем в виде

Р.^^+МЬ^М ; (11)

1 +Мг +Мг ' Ме

р (у,.)= Г-ё'(*-ММ-М . (1)

1 +ММ +Мг - Ме ^Х

Полученные выражения для компонент давления удовлетворяют граничному условию в плоскости у = =Я2 = г / tёx. Выражение для вертикальной компоненты давления удовлетворяет дифференциальному уравнению (6), которое фактически является уравнением (3), записанным для конкретных граничных условий.

Таким образом, для откоса мы нашли вертикальную компоненту давления (11), горизонтальную компоненту давления (12), а также значение коэффициента к (10). Тем самым мы нашли связь между компонентами давления в сыпучем материале. Причем коэффициент к зависит только от свойств самого сыпучего материала: его коэффициента внутреннего трения (угла внутреннего трения у) и от угла естественного откоса х.

Очевидно, что при ^ 0 (сыпучее тело переходит в идеальную жидкость) и угол естественного откоса стремится к нулю. В этом случае коэффициент к ^ 1 и в итоге получается закон Паскаля.

Для практических расчетов (СНиП 2.02.02-85) для вычисления этого коэффициента рекомендуют

использовать следующую формулу: к =

1 -V

где V -

коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона. Однако его измерение вызывает большие трудности. К тому же по этой зависимости трудно установить предел, к которому стремится боковой коэффициент при переходе от сыпучего материала к идеальной жидкости. Для песчаных грунтов (которые по своим свойствам приближаются к идеальным сыпучим материалам) его значение принимается равным V =0,30-0,35 (по рекомендации тех же правил). Таким образом, боковой коэффициент для песчаных, а следовательно, с большой точностью и для идеальных сыпучих материалов будет равен к = 0,43 - 0,54.

При использовании экспериментальных данных для зерновых культур [1] (у = 160, х = 30°) значение бокового коэффициента, рассчитанного по формуле (10), получается равным к = 0,49, что попадает в вилку, определяемую правилами. В [2] приводятся данные по коэффициенту бокового давления. В частности, для пшеницы к = 0,3 - 0,6, что также соответствует приведенным выше цифрам.

На практике для расчета элеваторов (см., например, СНиП 2.10.05-85) используют следующую формулу для бокового коэффициента: к = tg2 ^450 ^. Это

более реальное выражение для бокового коэффициента. Из него, в частности, следует, что при переходе к иде-

V

альной жидкости у ^ 0 боковой коэффициент стремится к единице, в соответствие с законом Паскаля. Для зерна эти правила рекомендуют принимать коэффициент равным к = 0,44, что соответствует вышеприведенным цифрам. Однако отсюда получается, что угол внутреннего трения должен быть равным у= 230, что расходится с экспериментальными данными.

В [1] приводится следующее выражение для боко-

вого коэффициента: к = -

tg 2ß

, где в - угол

2 + tgф- ёв

укладки частиц сыпучего материала. Для пирамидальной укладки зерновок пшеницы он равен в = 430. Угол Ф - угол внешнего трения. Таким образом, в выражение для бокового коэффициента не входят ни угол внутреннего трения, ни угол естественного откоса, которые характеризуют сыпучий материал. Свойства самого сыпучего материала здесь представлены только углом в, который экспериментально не измеряется. Поэтому трудно определить предельное значение бокового коэффициента при переходе идеального сыпучего тела в идеальную жидкость. При ф = 200 к = 0,37, что несколько меньше используемого на практике значения.

Некоторые исследователи [3] считают, что для идеального сыпучего материала угол внутреннего трения равен углу естественного откоса. Но тогда, согласно (10), боковой коэффициент должен равняться единице, т.е. для идеального сыпучего тела должен быть справедлив закон Паскаля. Однако сомнительно, чтобы для какой-нибудь реальной среды, кроме идеальной жидкости, давление во все стороны передавалось бы одинаково. В этом смысле даже пески пустынь не являются идеальным сыпучим материалом.

В связи с этим необходимо отметить, что все выкладки по определению компонент давления и бокового коэффициента можно провести и для реального сыпучего материала, т.е. материала, в котором суще-

ствуют силы сцепления. При этом в исходные дифференциальные уравнения (1) и (2) войдут еще силы сцепления, которые формально увеличат силы трения. В итоге в формулах (10) - (12) под внутренним трением необходимо будет понимать некоторое эффективное трение, учитывающее и собственно внутреннее трение, и сцепление частиц сыпучего тела. Очевидно, что при существующей стандартной методике определения коэффициентов трения определяется именно эффективный коэффициент трения. Соответственно, при таком подходе формула (10) остается справедливой.

В этом смысле определенный интерес приобретает работа [4], в которой делается попытка увязать угол естественного откоса с углом внешнего трения сыпучего материала о подстилающую поверхность, на которой он находится. Однако при этом придется признать, что угол естественного откоса не является характеристикой только самого сыпучего материала, а зависит еще и от свойств подстилающего основания.

Таким образом, можно считать, что расчеты бокового коэффициента по формуле (10) дают хорошее согласие с данными других авторов и с экспериментом. Но, кроме того, формула (10) отражает еще и физический смысл этого коэффициента, и предельный переход к единице при рассмотрении идеальной жидкости.

Литература

1. Гячев Л.В. Основы теории бункеров. Новосибирск, 1992. 312 с.

2. Хранение зерна : пер. с англ. / под ред. Н.П. Козми-ной. М., 1975. 254 с.

3. Платонов П.М. Элеваторы и силосы. М., 1987. 312 с.

4. Федосеев В.Б. Определение коэффициентов внешнего и внутреннего трения по углу естественного откоса // Научная мысль Кавказа. 2005. Приложение. № 12. С. 105 - 109.

Поступила в редакцию

13 июля 2009 г.