Ударные волны в кусочно-линейных и нелинейных изотропных упругих средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

волна Е0, распространяясь в среде недеформированного полупространства, падает под углом а на плоскую жесткую преграду Ь (см. рисунок).

В результате такого взаимодействия от границы Ь будут отражаться квазипродольная ударная волна 2)2 и квазипоперечная И2 .

Считаем материал среды нелинейно упругим. Нелинейная зависимость между динамическими и кинематическими параметрами моделируется посредством введения упругого потенциала изо-

х 2 3

тропного тела \¥ = — ^ + |Д2 + 1М2 + т11 +п1з- Здесь ^ =ец,12 = епец5 =епе1'кеИ - ин-

варианты тензора деформаций Альманси.

Система уравнений теории упругости позволяет ввести автомодельную переменную

(8 - скорость распространения возмущений на границе Ь) [1]. Положение плоскости

разрывов Х)0 отвечает значению £, = £,0 = Ctg а — СОШ1 автомодельной переменной. Такой метод

позволяет при описании процесса деформирования перейти от системы дифференциальных уравнений с частными производными к системе нелинейных алгебраических уравнений.

Для определения параметров напряженно-деформированного состояния потребуем выполнения на ударных волнах условий непрерывности компонент вектора перемещений и динамических условий совместности разрывов.

Такой подход позволяет рассчитать все параметры движения упругой среды по известной интенсивности т и углу а падения ударной волны Е0

ЛИТЕРАТУРА

1. Буренин А.А., Лапыгин В.В. Об отражении плоской продольной ударной волны постоянной интенсивности от плоской жесткой границы нелинейной упругой среды. // Прикл. механика и техн. физика.

- 1985. №5.-с. 125-129.

Севостьянова Г. Л.

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗОТРОПНЫХ

УПРУГИХ СРЕДАХ

Закономерности распространения граничных ударных возмущений по упругим средам изучаются более века. Но существенно нелинейный характер этого явления до настоящего времени не позволил получить здесь всеобъемлющих результатов. По линейной теории упругости процессы рас-

Н'РЧЯВИСИМЫ. Это приводит к

пространения объемных деформалдай и деформаций изменений. ^ беЗВИХрбНШЙ., ТйЙЗ

ТОМУ, что вызываемые граничным воздействием вошн в теж отаэывШТСЯ пиои и г эквиволюминальными, распространяющимися с постоянными скоростями. ^

В нелинейной теории упругости скорости распространения ударных граничных возмущении существенно зависят от интенсивности удара, а процессы распространения объемных деформации и деформаций изменения формы являются связанными.

В настоящее время достаточно полно изучены плоские ударные волны в нелинейных упругих средах с гладкими упругими потенциалами при одномерных и однородных их деформированных состояниях. Следует подчеркнуть важность сведений об условиях существования и закономерностях распространения поверхностей разрывов деформаций ударных волн, так как сведения о возможных ударных волнах являются необходимыми при постановке краевых задач теории. Именно на таких движущихся поверхностях ставится часть граничных условий краевых задач.

Настоящая работа посвящена изучению возможности возникновения и закономерностей распространения ударных волн в средах, описанных кусочно-линейным и нелинейным упругими потенциалами.

Предполагается, что для сплошной среды выполняются законы сохранения массы и импульса.

Напряжения а^ в среде связаны с тензором деформаций формулой Мурнагана:

о ЗУ/

ад=-^ —(6ц-2<1и), (1)

где - упругий потенциал, используемый для внесения в математическую модель свойств реального

материала, р, р0 - плотности в текущем и свободном состояниях, (1^ - компоненты тензора деформаций Альманси. Принимается адиабатическое приближение для упругой среды. Среда предполагается изотропной. В этом случае упругий потенциал является функцией только компонент тензора деформаций. Обычно упругий потенциал однозначно определяется через инварианты тензора деформаций и в различных моделях имеет разный вид.

Согласно гипотезе СПЛОШНОСТИ среды перемещения должны быть непрерывными функциями пространственных координат и времени во всем объеме, занимаемом сплошной средой. Однако на поверхностях сильного разрыва (ударных волнах) первые производные этих функций могут иметь разрыв первого рода, т.е. менять свои значения скачкообразно. Ударные волны оказываются передними фронтами деформаций, распространяющихся по среде граничного воздействия на дефор-

^ • мируемые тела. На ударных волнах для первых производных и — , и; выполняются геометрические и кинематические условия совместности:

К_Л=(Т^+У^)\;|,

= -0(ТУ; +7^). , (2)

Г

Из закона сохранения импульса получаются динамические условия:

КЬ=р(у]^--°)Ь1 (з)

где в - скорость поверхности разрывов, \ | - компоненты вектора нормали к поверхности разрывов, Ш _ компоненты касательного вектора к поверхности, X, у - нормальная и касательная компоненты волнового вектора разрывов, V; - компоненты вектора скорости.

Функция упругого потенциала задается в виде:

^/ = аЕ^+|ЗЕ2, Е! ^еу,, Е2 =тах

1

е<-е]

(4)

где Е{, Е2 - инварианты тензора малых деформаций, е; - главные значения тензора малых деформаций, а, Р - константы.

При решении задачи одномерного деформирования для среды с кусочно-линейным потенциалом (4) оказывается, что возможны три случая возникновения ударных волн. Это связано с неодно-

йе2

значностью определения производной ------. В первом случае возможны две волны - продольная и

де{

\ |2/9а + 2р

поперечная, распространяющиеся со скоростями (л = ---------------, <л = — соответственно.

V Р V Р

Скорости этих волн являются известными в теории упругости скоростями продольной и поперечной 1к + 2ц

волн Lr = -------, Lr = — . В двух других случаях оказывается возможным возникновение

V Р V Р

только продольной волны.

Функция упругого потенциала задается в виде:

w=yE12+|E22+4,E1E2, E,=idtt> Е2 = jpd, -d)2 + (d2 -d)2 +(d3 -d)2), (5)

где d = Idtt, E„ E2 - инварианты тензора деформаций Альманси, d, - главнь,е значения тензора

деформаций Альманси, а , (3, \|У - константы.

Из решения задачи одномерного деформирования для среды с нелинейным упругим потенциалом (5) следует возможность существования трех типов плоских одномерных волн. Во-первых, это квазипродольные ударные волны, для которых поперечная к волне составляющая волнового вектора у имеет второй порядок малости по сравнению с продольной т. Такие волны существуют, если

P-3U2 1 — i^2u3 1 = 0 • Во-вторых, это квазипоперечные ударные волны, для которых продольная составляющая имеет второй порядок малости по сравнению с пореречной. Условие существования квазипоперечной ударной волны совпадает с условием существования квазипродольной ударной волны. Плоскость поляризации квазипродольной и квазипоперечной ударных волн полностью определяется предварительными деформациями среды. Такие волны не изменяют направление предварительного сдвига, а могут изменить только его интенсивность.

Если ударное воздействие на среду приводит к изменению направления предварительного сдвига, то передним фронтом такого возмущения является ударная волна, для которой т = 0,

[г] = 0, где Г = U-2 1 + U3 j. Т.е. такая ударная волна является поперечной и на ней не происходит

изменения предварительного сдвига по интенсивности, а меняется только его направление. Такую волну называют нейтральной. Она возникает только при наличии предварительных сдвиговых деформаций , т.е. для ее существования необходимо требование г Ф 0 .

Особый характер рассматриваемой ударной волны проявляется еще и в том , что скорость ее распространения не зависит от интенсивности волны, а определяется только предварительными деформациями. Положение плоскости поляризации такой ударной волны определяется только характером производимого ударного воздействия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. - М.: Мир, 1972. - 183 с.

2. Буренин А.А. Динамика упругих сред при ударных воздействиях: диссертация на соискание доктора физ.-мат. Наук / Институт автом. и проц. управл. ДВО АН СССР. - Владивосток, 1990.-236 с.

3. Буренин А.А., Дудко О.В. О распространении ударных возмущений в предварительно деформированной разномодульной упругой среде // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела: Сборник научных трудов. - Владивосток: ИмиМ ДВО РАН . - 1997. - С. 20-35.

4. Буренин А.А., Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве // ПММ.

- 1978.-Т. 42, вып. 4,- С. 711-717.

5. Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев. Теория пластичности. — Владивосток : Дальнаука, 1998. — 528 с.

6. Коренев Г.В. Тензорное исчисление: Учеб. Пособие: Для вузов. - М.: Изд-во МФТИ, 2000. -240 с.

7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - Т. 1, 2. - Изд. 2-е исправ. и доп. - М.: Наука. - 1973. - Т. 1 - 536 с., Т. 2 - 584 с.

Устинова А.С.

О ВЛИЯНИИИ УПРУГИХ СВОЙСТВ СРЕДЫ НА ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКОЕ ЕЕ ТЕЧЕНИЕ

МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ

Вискозиметрические опыты являются основными при определении постоянных вязкой и вязкопластической сред. Однако, в этих экспериментах необходимо иметь точные решения соответствующей краевой задачи. В теории вязких и неньютоновских жидкостей такие решения давно получены и являются уже классическими [1-3]. Но существуют гидродинамические процессы, а также процессы интенсивного формоизменения твердых деформируемых тел на стадии пластического течения материалов, когда изучаемые эффекты диктуются упругими свойствами среды. К таким эффектам относятся заметные геометрические изменения в форме и объеме интенсивно продеформированных тел в процессах разгрузки после снятия нагружающих усилий и формирование остаточных напряжений в этих процессах. При изучении таких эффектов необходимо пользоваться математической моделью больших упругопластических деформаций [2]. Неньютоновский характер вискозиметрического течения вместе с усложнениями, которые вносит учет упругих свойств, приводит к существенно нелинейной краевой задачи математической физики с неизвестными движущимися границами (границы упруговязкопластических областей).

В сообщении излагаются результаты по получению решений теории больших упруговязкопластических деформаций о вязкопластическом течении несжимаемого материла, находящегося между жесткими цилиндрическими поверхностями. Движение осуществляется за счет поворота внутренней или внешней поверхности, а на неподвижной поверхности выполнено условие прилипания материала й = 0. Решение задачи получено в рамках модели больших упругопластических деформаций, построенной в [4] и дополненной пластическим потенциалом в форме

тах

Ъ-СТ]

где к - предел текучести, Г) - коэффициент вязкости, а;, &1 - главные значения тензоров напряже-

= 2к + 2г|тах

.р 'к

£к

ний и скоростей пластических деформаций.

Показано, что вязкопластическое течение в обоих рассматриваемых случаях начинается на внутренней поверхности радиуса Гц и при дальнейшем увеличении утла поворота развивающаяся

область вязкопластического течения занимает положение между поверхностями г0 < г < Г] (1), где (1) - движущаяся граница пластической области. Причем, если при повороте внутренней поверхности функция Г| (Ч) асимптотически стремится к некоторому значению Г = Ь < К0, зависящему от свойств материала, то при повороте внешней поверхности ( Я0 - ее радиус) пластическая область развивается до данной поверхности.

Получено решение задач о возникновении и развитии области вязкопластического течения при повороте одного из цилиндров в обратную сторону. Рассчитаны напряжения и деформации в новой развивающейся области вязкопластического течения Г0 < Г < Г2 (1) ( Г2 (1) - ее граница), в области с не изменяющимися накопленными необратимыми деформациями Г2 (Ч) < Г < ^ ив области обратимого деформирования Г[ < Г < К0 . Закон движения границы Г2 (1) следует из решения обыкновенного дифференциального уравнения, которое, так же как для границы Г] (1) вытекает из условий совпадения перемещений, напряжений и деформаций на упругопластических границах Г = Г2 (1) и 1' - 1'; (1)