Учёт рёбер, не совпадающих с линиями главных кривизн, в вариационно-разностном методе расчёта оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

Численные методы расчета конструкций

УЧЁТ РЁБЕР, НЕ СОВПАДАЮЩИХ С ЛИНИЯМИ ГЛАВНЫХ КРИВИЗН, В ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОМ МЕТОДЕ РАСЧЁТА

ОБОЛОЧЕК

ИВ. КУШНАРЕНКО, аспирант

Российский университет дружбы народов,

117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; ¡уап. V. kush@yandex. ги

В статье описывается введение подкреплений, не совпадающих с линиями главных кривиз, в вариационно-разностном методе (ВРМ) расчёта оболочек сложной формы, заданных в линиях главных кривизн. Рёбра описываются теорией криволинейных стержней Кирхгофа-Клебша: учитывается растяжение, изгиб и кручение рёбер; оболочка описывается теорией упругих тонкостенных оболочек Кирхгофа-Лява.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: подкрепления, ребристые оболочки, рёбра не в линиях кривизн, формообразование, численные методы, вариационно-разностный метод, сеточный метод, полная энергия деформации.

Пространственные оболочечные конструкции являются одними из самых красивых и эффективных архитектурных конструкций. Правда, в настоящее время они потеряли былую популярность [1,2]. Также необходимо отметить, что уже возведённые оболочечные конструкции имеют довольно простую геометрию. Это объясняется сложностью расчётов оболочек сложной неканонической формы [3,4] и трудностями при их возведении. Поэтому являются актуальными задачи развития методов расчёта тонкостенных оболочечных конструкций и технологии их возведения.

С помощью существующих аналитических и конечно-разностных методов описана реализация подкреплений только в оболочках вращения и пологих оболочках [5-8]. Ребристые оболочки произвольной формы можно рассчитать только с помощью метода конечных элементов (МКЭ) [9-14]. Однако при использовании универсальных МКЭ существуют проблемы, которые исследователи-разработчики конечных элементов пытаются преодолеть [15,16]:

- представление смещений элемента как твердого целого;

- конформность поля прогибов;

- представление состояния "чистого изгиба";

- параметризация срединной поверхности.

Получается, для каждого типа аналитически заданной поверхности нужны свои отдельные КЭ. В разработанной вариационно-разностной схеме [4] отсутствуют вышеназванные проблемы. В предыдущих работах автора [171,18] рассматривалось введение подкреплений вдоль линий главных кривизн. Данная работа является их развитием: представлены выражения для подкреплений, не совпадающих с линиями главных кривизн.

1 Основные гипотезы и формулы

В основе вариационно-разностной схемы деформирования тонкостенных конструкций лежит принцип минимума функционала полной энергии.

1 В [17] присутствуют опечатки:

в матрице механических характеристик рёбер [Ж^] (формула 5) напечатано:

(1 + kqЦcgRq ), а д°лжН° бЫТЪ: ^ /(1 + kqncgRq )2; В ВеКГ°ре деф°рмаций

ребра 8Rq (формула 4) напечатано: [К]3, а должно быть: [К]3 / 2.

Напряжённо-деформированное состояние рёбер описывается теорией криволинейных стержней Кирхгофа-Клебша: учитывается растяжение, изгиб и кручение рёбер. Напряжённо-деформированное состояние оболочки описывается теорией упругих тонкостенных оболочек Кирхгофа-Лява. Поверхностная система координат в линиях главных кривизн.

После нанесения сетки в функционале энергии производные первого порядка и смешанные производные аппроксимируются односторонними разностными производными, производные второго порядка аппроксимируются центральными разностными производными. Во время вычисления деформаций и внутренних усилий после решения системы уравнений все типы производных аппроксимируются центральными разностными производными.

Функционал полной энергии деформаций становится функцией узловых перемещений:

N

N2 Г

пКА

nRC

\

(1)

П = Х I Щ + ив + I ^ + X и1с - А*

1=1 1 =1 ^ КА=1 RC =1

где 1 , 1 - номера сетки вдоль координатных осей а и в срединной поверхности тонкостенной конструкции; N1, N - число шагов (разбиений) сетки вдоль

координатных осей а и в; и11 - потенциальная энергия деформации: и'КС ребра, совпадающего с линией главной кривизны; и1 - ребра, не совпадающего с линией главной кривизны; иТ, и'Ц - тангенциальных и изгибных деформаций тонкостенной оболочки; пЯА - общее количество ребер, не совпадающих с линиями главных кривизн, пЯС - совпадающих с линиями главных кривизн.

Для минимизации полной энергии деформаций приравниваются к нулю

1

частные производные по всем неизвестным узловым перемещениям ик не связанным граничными условиями:

дП

и

диТ див +

пКА диА пКС ди

и

+I

-+1

КС

дА

= 0,

(2)

КА=1 диЦ кс=1 диЦ где к = 1, 2, 3 - номер компоненты вектора перемещений; 1 = -1, 0, 1, 2...^, N1+1; 1 = -1, 0, 1, 2...Ы2, N^1; 1 = -1, N1+1; 1 = -1, Ы2+1 - законтурные точки. Обозначим * - знак транспонирования вектора (матрицы). При этом выражения производных составляющих потенциальной энергии деформации имеют следующий вид:

ди „

I+1 J+1

дик

ди

дик

ди

=б I I

1=1 -1 1-1

I+1 J+1

= СI I

I=1

— 1 * дик

К ]у- 8,

— 1 * дёк

1=1 -11-1

1=1 дик

\ГТ ]у- 81,

дик

= Е

I+1 J+1

КА I I

1=1 -1 1-1

— 1 * 3 я X к

(3)

дик

ди

КС

дик

= Е

КС

I +1 J +1

I I

-1 1-1 I=1

I

I=1

3

I

дё

-\гКА ] 8 l 1'ы 1«иа-

— 1 *

"< 1Г? ]

дик

181,

где С, Б - тангенциальная и изгибная жёсткости тонкостенной конструкции; ЕКС, ЕКА - модуль упругости материала ребра q; 81 - вектор узловых перемеще-

ний в направлении I в окрестности узла т/; [гк1 - подматрицы жёсткости в ок-

[ги ]у ,[ги ]/ - танген-

кИц

рестности узла у относительно перемещений и'к циальная и изгибная жёсткости оболочки; [г^с ]/ , [г^ ]/ - рёбер, совпадающих

и не совпадающих с линиями главных кривизн. Матрицы [г^ ]/ формируются на

основе геометрических характеристик поверхности (коэффициентов квадратичных форм, кривизн и их разностных производных) и параметров сетки в узле у (коэффициенты площадей, полурасстояния между узлами, наличие отверстий).

2 Преобразование компонентов деформаций

Пусть параметрами ортогональной системы координат будут (а, в), а

параметрами косоугольной системы (ф, у). На рис. 1 представлены касательные вектора по соответствующим координатным линиям. В соответствии с [19, с. 61] формулы преобразования компонент деформаций при переходе от произвольной косоугольной системы координат к ортогональной криволинейной системе координат имеют следующий вид:

г,

ф у

' а

Рис. 1. Системы координат

sin в cos X sin в sin X

-£Ф +--

cos в sin X

+-£„

а sin(X + в) Ф sin(X + в) ФУ sin(X + в) у _ cos(X-в) sin(X-в) cos(X-в) "аР = - "¡т(1+в)£ф - ¡т(1+в)9 + "¡т(1+в)^ _ cos в sin X cos в cos X sin в cos X

£р = Е(р - ^(1+0)"£(РЦУ + ^

(4)

Ха Хар =

Хр

sin2 в

cos(X - в) sin(X + в) Хф + sin(X + в) Х sin в cos в sin(X - в)

ФУ

-х,

sin(X + в) 41 sin(X + в)

X,

ФУ

в

cos(X - в)

Хфу

sin2 X sin(X + в) Ху' + sin X cos X sin(X + в) '

cos2 X

У '

(5)

~ХУ,

sin(X + в) т sin(X + в) ^ sin(X + в)'

где £а, £ав, £р - тангенциальные деформации в ортогональной системе координат; еу - тангенциальные деформации в косоугольной системе координат;

Ха, ХФ Хв - изгибные деформации в ортогональной системе; хФ, ХФУ, ХУ - изгибные деформации в косоугольной системе координат.

Из соотношений (4),(5) можно выразить еф, ефу, еу и хф, ХФУ, ХУ, например, с помощью метода Крамера:

еф = X • еа - cos Xsin X • еар + sin2 X • ер,

еФУ '

sin(X + в)[cos(X - в) • еа - sin(X - в) • еар + cos(X - в) • ер ] ,

(6)

22 еу = cos в • еа + COS в sinв • еар + Sin в •ер,

Х ф

1

ШЗ^- в) + 2 (X - в)

X • Ха + ^^ - в) • Хар + + 8т Xcosв • Хр

+

+

X cpiy

i

cos(A- в) + sin2(A- в) cos Ac0sesm(l + в) • Xa + sin(A- e)sin(l + в) • Xap -- sin A sin в sin( A + в) • Xp

(7)

i

cos(A - в) + sin2 (A - в)

sin A cos в • Xa + c0s( A - в) • Xap + + sin в cos A- Xp

3 Потенциальная энергия деформации ребра

Векторы обобщённых внутренних усилий и деформаций ребра имеют по три компоненты, связанных с растяжением, изгибом и кручением ребра:

(N > iy R (s ^ ь R

Qr — Mr , sr = X R , (7)

1 TR J Sr j

где Мл, Тя - растягивающая сила, изгибающий и крутящий моменты; ея, хя, тя - деформации растяжения, изгиба и кручения ребра.

Вектор обобщённых внутренних усилий связан с вектором относительных деформаций законом Гука:

= Ек [Кк ] ёк, (8)

где [ Nr ] =

Fr 0 0

0 Ir 0

0 0 Jr 2(1 + Vr )

- матрица механических характеристик ребра;

VR - коэффициент Пуассона материала ребра; Гц - площадь поперечного сечения ребра; Ь - момент инерции ребра; JR - постоянная кручения ребра; ER - модуль упругости ребра.

Потенциальная энергия деформации ребра может быть записана в виде интеграла вдоль кривой ребра от скалярных произведений вектора внутренних усилий QR на вектор деформаций ё ребра:

UR = ^f Q

1 J QR Sr dS — E J{Nr ] Sr }sr dS — E J -

S S S

J SR [NR ] SR dS.

(9)

Теперь найдем выражения деформаций для ребра, не совпадающего с линиями кривизн. Приравнивая в соотношениях (6,7) угол 9 нулю, компоненты вектора деформаций ребра, центр масс которого расположен на расстоянии п от срединной поверхности, могут быть выражены следующими формулами:

sra — cos2 A^ гца - cos A sin A^ гцар + sin2 A^ Sp,

XRA =

T D d — "

1

cos A + sin A 1

[sin A Xaf> + cos A Xap ] [cos Asin A Xa +sin2 A Xa].

(10)

cos A + sin2 A

Выражения деформаций на расстоянии r¡ от срединной поверхности определяются по формулам [21]:

х

1

е =

ер =

1 + каЛ 1

1 + крЛ

е =

ар ~

(еа + ЛХа X

(ер + ЛХр X 1

(1 + Фа )(1 + Лкр )

(1 -Л2 ка к р )еар + + Л[ка + к р ^ЛХар

Х а Ха ,

ХЛ = Хр , ХЛр = Хар .

Подставляя (12) в (11), получаем:

cos X

1 + каЛ 1 + крЛ

sin2 ^ (1 - Л2 как р ^т Xcos X

(1 + каЛ)(1 + к рЛ)

ер -

еар +

cos2 X sin2 X + Л —-Ха + Л—,-Хр -2Л

1 + каЛ'

1 + крЛ

ХЕА =

cos X

sin X cos X cosX + sin2 xХр cosX + sin2 X

1 + Л[ка + к р ^ sin Xcos X

(1 + каЛ)(1 + крЛ)

Х ар ,

' Хар

sin X cos X

Х а

sin2 X

cos X + sin2 X а cos X + sin2 X

Х ар .

Подставляя выражения (13) в (8), получаем:

еЯА = [Тг] -^Н,

где

(

[Тг ] =

cos X

sin

X (1 -Л2какр^т Xcos X

1 + каЛ 1 + крЛ 0 0

0

0

(1 + каЛ)(1 + крЛ) 0

0

(11)

(12)

(13)

Л

cos2 X

1 + каЛ . 0

sin X cos X cosX + sin2 X

Л

sin2 X

1 + крЛ sin X cos X

cos X + sin2 X 0

2 + Л[ка + кр\^ sin Xcos X

(1 + каЛ)(1 + крЛ) cos X

cosX + sin2 X sin2 X

cosX + sin2 X

7 V V V

-ар А а' Лр Л ар

} - вектор деформаций оболочки.

(14)

В соответствии с [4] вектор относительных деформаций оболочки может быть разбит на 3 слагаемых, соответствующим направлениям перемещений:

£НА ~

ТЕА =

(

£SH =

t Ok Vu=t

k=1

k=1

[ Hk ] [ Kk ][1]

[ Kk ][2]

[ Kk ][3]/2

du,,

(15)

f

где

a * =

1 A A

da' dp'

a2

a2

a2

Л

aa2 aaae ap2

- вектор-оператор производных; индекс k - указывает направление вдоль координатных осей и нормали; [Н 1с] и [К 1с] - матрицы коэффициентов [4, с. 419] (геометрических характе-ристик срединной поверхности оболочки) при производных функций пере-мещений щ в выражениях относительных тангенциальных и изгибных деформаций; [К 1с] Щ - ьая строка матрицы [К k].

Подставляя формулы (15) и (16) в (10), получаем формулу потенциальной энергии деформаций ребра, не совпадающего с линиями главных кривиз:

^ = f

tt\icoef][°k ] auk )* [Nra ] ([coef][Ol ] aut) dS.

(16)

k=1 l=1 S

4 Выражение угла наклона кривой ребра

Выражение косинуса угла между двумя кривыми на поверхности в произвольной косоугольной системе координат имеет вид [20, с. 222] (Рис. 2): EdаSp + F (йадр + dаSp) + GdpSp

cos Л =

J Eda 2 + IFdadp + Gdp 2

^lEsa^^lFSaS/f+GSp^

(17)

Рис. 2. Угол наклона между двумя кривыми на поверхности

в

Отложим поверхностные координатные линии (а, в) и кривую ф на двумерной плоскости (Рис. 4). Пусть Z - угол наклона дифференциала dф произвольной кривой к дифференциалу da координаты а на этой плоскости.

Тогда принимая в (14) dp = 0, угол на поверхности между произвольной кривой и координатой а поверхностной системы координат (Рис. 3) (F = 0) может быть выражен следующей формулой:

а 1

cos Л =

Л/a2 + B 2tgC

где A и B - коэффициенты 1-ой квадратичной формы.

Рис. 4. Дифференциалы координат u и v.

Рис. 3. Угол наклона между произвольной кривой и координатой а поверхностной системы координат

5 Коэффициент квадратичной формы ребра

Для определения дуги интегрирования, необходимо выразить коэффициент 1-ой квадратичной формы вдоль линии ребра через коэффициенты 1-ой квадратичной формы оболочки.

Производные координат а, в по координате ребра ф (Рис. 4):

да „ дВ

-= cosС; — = sin £.

дф дф

(19)

Дифференциал радиус-вектора вдоль произвольной кривой, отвечающий смещению из точки М в точку М:

dr = г^а + rрdр. (20)

Коэффициент, определяющий в бесконечно малом длину дуги, соединяющей эти 2 точки:

ЕЕА = ГфГф =

да дф

др дф

= г

дф

да дБ 2 + 2га гр--+ гр

а р дф дф р

'др2

дФ,

= А2

2

дф

+2^ ^др+в2 дф дф

'д^2

(21)

дф

В случае ортогональной поверхностной системы координат ^ = 0) с учётом соотношений (16), получается:

ERA=ARA=A2cos2 С + В^п2 (22)

6 Подматрица жесткости ребра

Разностный шаблон с ребром, не совпадающим с линиями главных кривизн, представлен на рис. 5.

I Кл г 2

'Ь

VI

7+1 2

г+1

=

2

'М

г . ¡2

7+1

„ л/а2+Л2 .. А;, + ¡1

„'V.: - • х "--

2 г 2 Рис. 5. Разностный шаблон

Заменяя в соответствии с [4] вектор производных перемещений в окрестности узла т/, разностными отношениями, подматрица жесткости [г^]/ ребра (см. (4)), не совпадающего с линиями кривизн, имеет структуру: 56

2

р

[rRq]j = t \kTr][0k]q • [df]f'[NRq] i[Tr][0l]q • [df]) ds, (23)

teQRA dsj

где Qra - подобласти в окрестности узла j, в которых проходит ребро, Qra = 1..4; [df ] - матрицы коэффициентов разностных производных при узловых перемещениях для всех типов производных вектора a для каждого из квадрантов t. Матрицы [df ] имеют такую же структуру, как и в книге [4].

Л и т е р а ту р а

1. Bradshaw R., Campbell D., GargariM., Mirmiran A., Tripeny P. Special Structures: Past, Present, and Future // Journal of Structural Engineering. - 2006. - No. 6(128). -Pp. 691-709.

2. Кривошапко С.Н. О возможностях оболочечных сооружений в современной архитектуре и строительстве // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. -2013. - № 1. - С. 51-56.

3. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. -Москва: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. - 560 с.

4. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н. Аналитические методы расчёта оболочек неканонической формы. - Москва: РУДН, 2010. - 542с.

5. Zarutskii V. A. The theory and methods of the stress - strain analysis of ribbed shells // International Applied Mechanics. - 2001. - Vol. 36. - No. 10. - Pp. 1259-1283.

6. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения. Ч.1 Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 288 с.

7. Численные методы в теории упругости и теории оболочек оболочек: Учеб. пособие / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Деруга, В. И. Савченков. - Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1986. - 154с.

8. Bushnell D. Computerized Analysis of Shells-Governing Equations // Computers & Structures. - 1984. - Vol. 18. - Pp. 471-536.

9. Дьяков И.Ф., Чернов С.А. К расчёту оболочки, укреплённой тонкостенными стержнями // Автоматизация и современные технологии. - 2008. - № 1. - С. 16-20.

10. Sinha G., Sheikh A. H., Mukhopadhyay M. A new finite element model for the analysis of arbitrary stiffened shells // Finite Elements in Analysis and Design. - 1992. - Vol. 12. -No. 3-4. - Pp. 241-271.

11. Patel S.N., Datta P.K., Sheikh A. H. Dynamic Stability Analysis of Stiffened Shell Panels With Cutouts // J. Appl. Mech. - 2009. - Vol. 76. - No. 4. - Рp. 041004-1- 041004-13.

12. Savula Y. H., Jarmai K., Mukha I. S. Analysis of shells reinforced by massive stiffening ribs // International Applied Mechanics. - 2008. - Vol. 44. - No. 11. - Pp. 1309-1318.

13. Bouberguig A., Jirousek J. A family of special-purpose elements for analysis of ribbed and reinforced shells // Computers & Structures. - 1980. - Vol. 12 (2). - Рp. 253-264.

14. Abdyushev A. A. The principle of constructing a computation model of equilibrium ribbed stiffened shells in linear displacement-based FEM analysis // Russian Aeronautics (Iz VUZ). - 2013. - Vol. 56. - No. 2. - Рp. 117-125.

15. Yang Henry T.Y., Saigal S., Masud A., Kapania R. K. A survey of recent shell finite elements // Int. J. for Numerical Methods in Eng. - 2000. - Vol. 47. - No. 1-3. - Рp. 101-127.

16. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинова А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392с.

17. Иванов В.Н., Кушнаренко И.В. Подкрепления в вариационно-разностном методе расчета оболочек сложной формы // Вестник МГСУ. - 2014. - № 5. - С. 25-34.

18. Иванов В.Н., Кушнаренко И.В. Расчёт подкреплённых пластинок с помощью ва-риционно-разностного метода (ВРМ), предназначенного для расчёта тонкостенных конструкций // Строительная механика и расчёт сооружений. - 2014. - № 3. - С. 43-49.

19. ГольденвейзерА.Л. Теория упругих тонких оболочек. - Москва: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. - 544с.

20. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М: URSS, 2008. - 428с.

21. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. - Л.: Политехника, 1991. - 656с.

References

1. Bradshaw R, Campbell D, Gargari M, Mirmiran A, Tripeny P (2006). Special Structures: Past, Present, and Future. Journal of Structural Engineering. No. 6(128), pp. 691-709.

2. Krivoshapko SN (2013). On opportunity of shell structures in modern architecture and building. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. No. 1, pp. 51-56.

3. Ivanov VN, Krivoshapko SN (2010). Encyclopedia of Analytical Surfaces. M.: URSS, 560 p.

4. Ivanov VN, Krivoshapko SN (2010). Analytical Methods for Calculation of Shells of Non-canonical Forms: Monograph. Moscow: RUDN, 542 p.

5. Zarutskii VA (2001). The theory and methods of the stress-strain analysis of ribbed shells. International Applied Mechanics. Vol. 36, No. 10, pp. 1259-1283.

6. Karpov VV (2010). Strength and stability of stiffened shells of revolution, in 2 parts, part 1: Research models and algorithms of strength and stability of stiffened shells of revolution. Moscow: FIZMATLIT, 288 p.

7. Abovskij NP, Andreev NP, Deruga AP, Savchenkov VI (1986). Numerical methods in the theory of elasticity and theory of shells. Krasnojarsk: Izd-vo Krasnojar. un-ta, 154 p.

8. Bushnell D (1984). Computerized analysis of shells-governing equations. Computers & Structures. Vol. 18, pp. 471-536.

9. D'jakov IF, Chernov SA (2008). Counting of the envelope strength en with thin-walled rods. Avtomatizacija i Sovremennye Tehnologii. No. 1, pp. 16-20.

10. Sinha G, Sheikh AH, Mukhopadhyay M (1992). A new finite element model for the analysis of arbitrary stiffened shells. Finite Elements in Analysis and Design. Vol, 12. No. 3-4, pp. 241-271.

11. Patel SN, Datta PK, Sheikh AH (2009). Dynamic stability analysis of stiffened shell panels with cutouts. J. Appl. Mech. Vol. 76, No. 4, pp. 041004-1- 041004-13.

12. Savula YaH, Jarmai K, Mukha IS (2008). Analysis of shells reinforced by massive stiffening ribs. International Applied Mechanics. Vol. 44, No. 11, pp. 1309-1318.

13. Bouberguig A, Jirousek J (1980). A family of special-purpose elements for analysis of ribbed and reinforced shells. Computers & Structures. Vol. 12, No. 2, pp. 253-264.

14. Abdyushev AA (2013). The principle of constructing a computation model of equilibrium ribbed stiffened shells in linear displacement-based FEM analysis. Russian Aeronautics (Iz VUZ). Vol. 56. No. 2. pp. 117-125.

15. Yang Henry TY, Saigal S, Masud A, Kapania RK (2000). A survey of recent shell finite elements. Int. J. for Numerical Methods in Eng. Vol. 47, No. 1-3, pp. 101-127.

16. Golovanov AI, Tuleneva ON, Shigabutdinov AF (2006). Finite Elements Method in the Static and Dynamic of The Thin-Shell Constructions. Moscow: FIZMATLIT, 392 p.

17. Ivanov VN, Kushnarenko IV (2014). Stiffeners in variational-difference method for calculating shells with complex geometry. VestnikMGSU. No. 5. pp. 25-34.

18. Ivanov VN, Kushnarenko IV (2014). Calculation of reinforced plates by variational-difference method (VDM), designed for calculation of thin structures. Structural mechanics and analysis of constructions. No. 3, pp. 43-49.

19. Gol'denvejzer AL (1953). Theory of thin elastic shells. M.: GITTL, 544 p.

20. Rashevskij PK (2008). Course of the Differential Geometry. Moscow: URSS, 428 p.

21. Novozhilov VV, Chernyh KF, Mihajlovskij EI (1991). Linear Theory of Thin Elastic Shells. L.: Politehnika, 656 p.

AN ACCOUNT OF RIBS, THAT DON'T COINCIDE WITH LINES OF PRINCIPAL CURVATURES, IN A SHELL ANALYSIS BY VARIATIONAL-DIFFERENCE METHOD

I.V Kushnarenko,

Peoples' Friendship University of Russia, Moscow

It is considered stiffeners, that don't coincide with lines of principal curvatures, in the variational-difference method (BPM) analysis of shells of complex shape defined in the lines of the principal curvatures. Ribs are described by the Kirchhoff-Clebsch theory of curved bars: a tension, a bending and a torsion of a rib are taken into account; shells are described by the Kirchhoff-Love theory of thin elastic shells.

KEY WORDS: reinforcements, ribs, ribbed shells, ribs not in lines of curvature, form-finding, numerical methods, variational-difference method, total potential energy.