Учет степени защемления башмаков при расчете жестких рам по методу фокусных расстояний Текст научной статьи по специальности «Физика»

о

Инж. К. И. КНРТЯШОВ.

УЧЕТ СТЕПЕНИ ЗЯЩЕМЛЕНИЯ БЯШМПКОВ ПРИ РАСЧЕТЕ >кЕСТКИ}( РЯМ ПО МЕТОДУ ФОКУСНЫЕ ОТНОШЕНИЙ и ЧЕТЫРЕ* МОМЕНТОВ

Томск 1928

Инж! К. Н; Карт а шов.

Учет степени защемления башмаков при расчете жестких рам по методу фокусных отношений и четырех моментов.

Общие положения и расчет по методу фокусных отношений.

Как известно, до сего времени, при расчете жестких рам, главным образом железобетонных, в рассмотрение вводились лишь упругие свойства материала, выбранного для выполнения сооружения, и размеры проектируемой конструкции определенные предварительным приближенным подсчетом, и совершенно не учитывались свойства основания, воспринимающего на себя вертикальные и горизонтальные реакции и опорные защемляющие моменты.

Беря, как один из наиболее гибких способов расчета, расчет по методу фокусных отношений*), мы видим, что здесь степень защемления опорных сечений каждого стержня, в зависимости от размеров всего сооружения, вполне характеризуется величиной „фокусного отношения" для фокуса ближайшего к рассматриваемой опоре. В наиболее распространенном случае прямолинейного стержня с постоянны сечением по всей длине, полному защемлению соответствует фокусное отношение К ==0,5 и шарнирной опоре К = 0. Промежуточные значения К дают различные степени упругой заделки опорнаго сечения.

Вычисление левого и правого отношений для произвольного стержня АВ (рис. 1) производится по формулам:

= . кь

+ а > | Ъ

г т + е

в которых величины углов а и ¡3 зависят только от размеров поперечного сечения и длины рассматриваемого стержня, а величины еа и еь представляют из себя угол поворота опоры под влиянием момента равного единице. Все входящие в эти формулы углы: а> 7> £а и £Ь определяются по известным из теории формулам, а по ним уже без труда находятся и фокусныя отношения.

При оаределении нижних фокусных отношений для стоек рам, опирающихся через посредство башмаков на грунт, вызывает затруднение нахождение величины угла поворота опорного сечения е. Поэтому, в целях учета упругой заделки низа стоек, проектировщик на основании своего опыта для разрешения получающейся „статической неясности" в зависимости от соотношения размеров колонн и башмаков, задается искомым фокусным отношением, принимая его для наиболее распространенных случаев равным от 0,2 до 0,4. Иногда же, чтобы избежать неопределенности решения задачи, внизу стоек конструируются шарниры или стремятся к созданию возможно наиболее близкого к полному защемления, проектируя массивные фунтаменты, идущие непрерывно под рядом колонн и пр.

*) Е. Suter. „Die Methode der Festpunkte". A. Strassner „Neuere Methode".

Проф. Г. В. Ульянинский .Расчет рамных конструкций".

Инж. К. Н. Карташов „Расчет рамных конструкций по способу фокусных отношений

2

41

На основании расчета конструкций опирающихся на упругое основание, мы можем воспользоваться известной формулой, дающей зависимость между напряжением грунта о и его деформацией у:

а=СУ, Л

где коэффициент С носит название „коэффициента постели".

Для рассмотрения природы этого коэффициента, мы обратимся к диаграмме изображающей деформацию грунта под влиянием возрастающей нагрузки (рис. 2). На этой диаграмме по оси абсцисс в некотором масштабе откладываются напряжения, а вниз по оси ординат соответствующие деформации грунта. Из представленных кривых (на чертеже кривая П показывает погружение круглой в плане грузовой площадки в уплотненный песок, а кривая Р в рыхлый песок) мы видим, что как для всякого материала, так и для грунта можно более менее точно установить предел пропорциональности и временное сопротивление. При сравнительно низких нагрузках мы имеем приблизительную пропорциональность между напряжением и деформацией. В этих пределах.криволинейная часть диаграммы может быть заменена прямой, проходящей через начало координат, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс и есть искомый коэффициент постели С для данного грунта, принимаемый при допустимых напряжениях величиной постоянной и представляющий из себя ничто иное, как напряже- * ние грунта» необходимое для того, чтобы вызвать его деформацию на 1 см.

Величина С меняется в широких пределах от 0 для жидкости и до сю для абсолютно твердого тела. Для установления действительных значений этого коэффициента для различных видов грунта, рядом г, экспериментаторов были произведены опыты, результаты которых помещены в нижеприводимой таблице ].

К сожалению эти исследования недостаточно многочисленны, а грунты, встречающиеся в практике, обладают большим разнообразием, благодаря чему приводимые данные могут служить лишь как первое приближение. Кроме того, опыты показали, что даже для одного и того же грунта, этот коэффициент не является постоянным, а меняется в зависимости от глубины заложения фунтамеита и размера и формы грузовой площадки, но, все же, со сравнительно небольшой погрешностью, при напряжениях, не превосходящих, конечно, предела пропорциональности, можно принять С = const.

Определивши тем или иным путем величины С и задавшись, на основание предварительных подсчетов сечениями элементов рамы и размерами башмаков, мы берем один из них и отрезав его от выше лежащей конструкции, прикладываем к нему осевую силу Р, поперечную силу Q и изгибающий (опрокидывающий) момент М, действовавшие в нижнем сечении стойки. *

Если при определении внутренних усилий, действующих в раме, и опорных реакций, длина стоек бралась от низа башмаков, то все эти три внешних усилия (Р, Q и М) будут приложены в точке d (рис. 3), если же длина стоек отсчитывалась от верха башмака, то, при перенесении этих усилий из точки b в точку d, мы получим новый опрокидывающий момент:

M' = M + Qh.

Вообще, в целях упрощения выкладок, выгоднее принять первый способ определения длины стойки, принявши момент инерции ее поперечного сечения на протяжении высоты башмака h равным беско-

Таблица I.

% % Экспериментатор. ( Состав грунта. 3 К 3 £ § 3% и Напряжение. КГ см3' » к § ж 1 о а я •Э-ч II

1 Золакиан. Просянный речной песок. Размер зерна 0,36-0,50 мм. Пористость в среднем 0,613. Испытание производилось над сухим утрясенным песком . . . 12 1,2 7,30

2 Лзцарис Вите. Естественный грунт с содержанием 88°/о песка и 12у/о глины......... 3820 3820 2,0 10,0 3,33 2,17

Плотный острогранный песок слоем до 4,5 мт. . 3820 3820 2,0 10,0 10,0 12,5

3 Гольдман. Острогранный чистый песок трамбованный слоями от 10 см. 1000 1000 6250 6250 2,22 2,45 0,51 0,623 6,65 3,68 1,53 1,42

Старая песчаная насыпь. 1000 1000 1000 1,74 2,55 2,90 1,31 0.96 0,72

Чистый песок в естественном состоянии. 1000 1000 1,74 2,45 3.95 1.96

4 Конрад Наносный, недостаточно слежавшийся песск слоем в 4 мт., далее прорезанный прослойками ила. Уровень грунтовых вод на 1,5 мт. ниже поверхности. 6000 1 2,00

5 Питсбург, арсенал. Естественный грунт из суглинка с 16°/о . влаги. — 0,56 1,46 2,85 7,32 10.13 12,10

6 Хенцшель. Щебень на шлаковом основании. 7500 6000 — 5,00 6,00

Гравий. 7500 6000 — 3,00 4,00

нечности. При втором способе, мы вводим в расчет величину (¡) являющуюся функцией не только нижнего, но и верхнего защемляющих моментов стойки, а также и внешней нагрузки на ее протяжении.

В обычных случаях сила <3 полностью воспринимается силами трения, развивающимися в плоскости подошвы башмака под влиянием сжимающей силы Р, нормальные же напряжения, действующие по этой же поверхности, могут быть разбиты на две части: напряжение

«

а0 равномерно распределенное по всей площади башмака и вызванное-центральной силой Р и напряжение ои вызванное опрокидывающим: моментом. Первые из этих напряжений хотя и имеют зачастую доминирующее значение, а следовательно дают и большие деформации грунта, нами в рассмотрение вводиться не будут на том основании, что-эти напряжения более или менее равномерны у всех башмаков сооружения и лишь при частичном загружении его временной нагрузкой приходится ожидать некоторой неравномерности осадки отдельных опор, при чем пришлось бы вводить в расчет не абсолютную величину получающихся перемещений, а лишь их разность, в то время как деформации, вызванные изгибающим моментом и выражающиеся в повороте башмака, должны вводиться в полном своем размере.

Ввиду того, что высота изгибаемого сечения железобетонного башмака берется обычно не из условий допускаемых напряжений изгиба, а на основании расчета скалывающих и косых растягивающих напряжений, что влечет за собой большое увеличение его высоты, то-мы не сделаем большой погрешности, предположивши, что его деформации прогиба столь малы по сравнению с деформациями грунта, чта ими можно пренебречь. В таком случае напряжения основания, вызванные опрокидывающим моментом, могут быть определены по« формуле:

М

чему соответствует деформация грунта

у= -С

и наибольшая деформация, имеющая место у края башмака

V - 1 _ 1 М_

V шах — ^ ' шах — С " Л ^

Под влиянием этих деформаций башмак повернется на некоторый угол,, тангенс которого напишется следующим образом:

, Угпах 1 М

но ввиду того, что угол а очень мал, можно считать, что тангенс угла равен самому углу или

+ М

Приравнивая момент, опрокидывающий башмак, единице, мы получим искомый угол поворота нижней опоры стойки е, входящей в формулу для определения нижняго фокусного отношения:

__ 1 Л.С '

В случае передачи давления сооружения грунту через посредство* свайного основания, что имеет место при слабом грунте, определение величины угла поворота башмака в и нижнего фокусного отношения стойки в принципе остается тем же самым, лишь при вычислении момента инерции башмака надо принять во внимание не полную его*

площадь, а только площадь поперечного сечения свай и взамен коэффициента постели С вводится коэффициент осадки сваи С1.

Если коэффициент постели во многих случаях является величиной еще не установившейся, то в отношении коэффициента Сь опытов имеется еще меньшее количество.

Ниже в качестве ориентировочных данных в таблице II приводятся некоторые значения величины Сь в зависимости от качества грунта и длины сваи

Таблица II *)

% s СВОЙСТВА ГРУНТА • Площадь поперечн. сечения сваи см Глубина забивки сваи мт. Коэффициен осадки сваи С! кг см.3

1 Старая насыпь из суглинка и шлака . . . 710 2,84 62

2 Старая насыпь из суглинка и шлака, трамбованная слоями но 25 см. ........ 827 3,60 62

3 Наносный недостаточно слежавшийся песок слоем в 4 мт, далее прорез, прослойками ила . 794 3 40 166

4 Мягкая глина, имеющая до глубины 6 мт. прослойки торфа............ 617 8,00 25

5 Тоже, что в случае 4, но на глубине 8 мт. начинается суглинок ........... 617 11.20 50

6 То же, что в случае 4, но на глубине 8 мт. начинается песок ............. 565 . 12,50 83

В заключении надо заметить, что с увеличением длины забиваемой сваи коэффициент ее осадки быстро возрастает.

Для пояснения всего сказанного ниже приводим пример расчета рамы, опирающейся на грунт.

Пример. Пусть нам дана двухпролетная симметричная рама с размерами, указанными на рисунке 4, опирающаяся на грунт, обладающий коэффициентом постели С = 9 кг. см-3, и нагруженная на левом ригеле равномерно распределенной нагрузкой р = 3 тонны на погонный метр проекции. Предположим, что на основании предварительных подсчетов были подобраны сечения стоек 0,4Х0>6 мт. и ри-р гелей 0,35 Х0>9 мт. что дает моменты инерции:

Л1= Л4 = Л5~0,4 =0,0072 мт.4 12

Л2 = Л3= 0,35. =0,0212 мт.4 12

и башмаки площадью 1,5 XI »5 мт, откуда момент инерции их опорной поверхности: Л0 = Л1У = Лу = 1,54:12 = 0,422 мт.4 = 4,22. 107 см.4

*) Таблица I и II заимствованы из книги Tarzaghi „Erdbaumechanik auf bodenphy-sikalisher Grundlage".

<

Отсюда угол поворота башмака под действием опрокидывающего момента М=1 тн. мт=105 кг. см. равен

М 105

е0=г1у=зу = е= — = ------=2,625.10-".

1У У С Л 9.4,22.10'

Переходя к определению фокусных отношений, вводим при вычислении всех углов постоянный множитель

ЕЛ2 = 2,1 .10°. 0,0212 = 4,46.101 тн. мт^

В таком случае:

ЕЛ, в = 4,46. 104.2,625 .10~4 =11,71;

ЕЛ, а, = ЕЛ, а4 = А . А. = А . <Ш1 = 3 Лх 3 0,0072

ЕЛ,?, = 0,5 ЕЛ, = 0,5. 4,92 = 2,46;

/, 0,0212

ЕЛ,о!-=— ■ -= 6,9

3 0,0072

ЕЛ, р, = 0,5 ЕЛ2 а5 = 0,5. 6,9 = 3,45;

ЕЛ, а2 = = = 3,4; ЕЛ2 р2 = 0,5 ЕЛ2 а2 = 1,7. 3 3

Вычисляет величину фокусных отношений: Для крайних стоек

К° К1Х' = =----- 2,46------= 0,1475.

1 " «,+6 4,92 + 11,71

Для средней стойки

- 3'45--= 0,1852.

а5+е 6,90+11,71

Отсюда мы видим, что при одном и том же размере башмака, для стоек большой длины, т. е. обладающих меньшей жесткостью, защемление оказалось больше, что и следовало ожидать*

Отыскивая для ригелей крайние фокусные отношения, имеем:

ЕЛ2 г' = ЕХ> -' = «,— К^ р! = 4,92 — 0,1475 .2,46 == 4,657,

откуда

К'^К111 = -1-2-— =--—- = 0,211

2 3

х>

. _

3,4 + 4,657

и для средних отношений (около конька):

ЕЛ2 -" = ЕЛ2 -'' = «, — К^ = 3,4 — 0,211.1,7 = 3,14,

ЕЛ2 т" = а, —Ку ?3 = 6,9 — 3,45.0,1852 = 6,26,

ii _н

3 . 3,13 .6,261

ит „и ___4_--. --- - О ПО

-»_: Г" - 3,14 + 6,261

откуда

о

i"2

1,7

к" = к11 =

2 * ~ я2+е" 3,4 + 2,09

= 0,31.

Для нахождения|верхнего фокусного отношения средней стойкиимеем: т т 3 142

II ' 3 2 °>

откуда.

EJ2 €

К"

т,1 + т" 2.3,14

3,45

= 1,57,

0,407

6,9+1,57

5

и для верхних отношений крайних стоек

EJ2 s1 =EJ2x1= а2 — К" р2 = 3,4 —0,31.1,7 = 2,874,

12 2

откуда,

2'46 =0,315.

к1 = к1"

1 4

4,92 + 2,874

После того как все фокусные отношения определены, дальнейшая работа по определению переходных коэффициентов и изгибающих моментов, при неподвижных и смещающихся узлах, не имеет ничего особенного, а поэтому, опуская ее, мы сразу в таблице III приводим вычисленные опорные изгибающие моменты.

Таблица III.

Изгибающие опоры моменты в тоннометрах при различной степени заделки низа стоек.

Название момента. при J0 — 0,422 мт.4 Jq = сс Jo = 0

м° + 0,238 + 4,430 0

м; — 8,880 - 11,210 — 7,240

м; — 8,880 — 11,210 — 7,240

к — 20,823 — 23,205 — 22,960

* ,11 М3 — 11,907 — 9,195 — 10,340

м" + 8,912 + 14,010 + 12,620

мГ — 2,292 — 8,273 0

мя — 0,055 + 0,990 — 1,240

* «iii М4 + 0,055 — 0,990 4- 1,240

М, — 1,081 - 0,690 0

В этой же таблице для сравнения приведены моменты, получающиеся при абсолютном защемлении низа колонн (J0 = oo) и при устройстве внизу шарниров (J0 = O). Мы видим, что разница в некоторых моментах получается настолько существенной, что в обоих последних случаях расчета мы получили бы результаты, далекие от действительности. ß зависимости от защемления стоек меняется не только распределение моментов, но и размер и характер деформации. Так принятым трем случаям расчета соответствуют смещения верхних узлов стоек вправо на величины: 2 мм , 0,682 мм. и 2,83 мм. На рис. 5 в преувеличенном масштабе показан схематически общий вид деформации соружения под влиянием внешней нагрузки.

Пример II. Пусть у той же рамы имеются башмаки площадью 2,0 X 2,0 мт. В таком случае

J„=JIV = JV = 4*. —= 1,333 мт.4= 1,333.10* см>4 12

■откуда

EJ2 з = 4,46.10'.-—105 = 3,71, 9.1,333.108

что дает нижние фокусные отношения для стоек:

К°= 2'46 = 0,285, 1 4,92 + 3,71

^-о ю = 0 32б

6,9 + 3,71

Пример III. Предположим, что предидущая рама опирается на свайное основание, при чем под каждой стойкой имеется куст из девяти свай диаметром 20 см. (рис. 6) и коэффициент осадки сваи Q = 62 кг. см-3.

Отсюда площадь каждой сваи

4

и момент инерции относительно диаметра

j1 _— 7854 см4., о 64

откуда момент инерции сечения куста свай

J0 = 9 . J1 + 6 . f. 602 = 9 . 7854 + 6.314 . 602 = 6850000 см4

о

EJ,e = 4,46 . 10*.-—-= 10,5,

6,85 .10(;. 62

чему соответствует:

K° = 0,16l ; Kv = 0,1985.

Расчет по методу четырех моментов.

В случае расчета рамной конструкции по способу „ четырех моментов" имеется возможность точно так же учесть степень заделки нижних сечений стоек. Для упрощения понимания вывода мы воспользуемся той же рамой, которая была приведена в предыдущем примере и решим ее в общем виде, т. е. не подетанавливая численных значе-

*) 1. F. Bleich „Die Berechnung statisch un:estimmter Tragwerke nach der Methode •des Ulermomentensatzes".

2. Проф. Г, В. Ульянинский „Расчет рамных конструкций".

ннй отдельных величин. Как известно из теории1) уравнение четырех моментов имеет следующий вид:

м'/; + 2М; / ^ + 2 М 2 / а —|- 2 М " /; = 6ЕЛ0(»1-»а) + С1-2

Прежде всего установим связь между углами поворота отдельных стержней 0 (рис. 7). Под влиянием внешней нагрузки верхние узлы рамы могут получить некоторые боковые перемещения на величину р, которые, при незначительной величине углов можно считать перпендикулярными к первоначальному положению осей стержней. Благодаря тому, что обычно есть возможность пренебречь удлинениями стержней, при наличии только параллельных между собою стоек, (что имеет место в нашем частном случае), перемещения всех верхних концов колонн будут равны между собой и оба ригеля переместятся параллельно самим себе. Таким образом мы можем написать:

»1 = &4 = -р-; &6=-?- = — . -4- = », А. &3 —о.

11 ¿5 Л 4 ¿5

Для того чтобы учесть угол поворота башмаков под влиянием защемляющих моментов, предположим, что ниже опорных узлов имеются еще стержни произвольной длины I с безконечно большим моментом инерции Л=оо, что дает их длину, приведенную к какому либо конечному моменту инерции Л2 общую для всей рамы:

Л оо

В то же время под влиянием моментов, передающихся на эти мнимые стержни от рамы в точках О, IV и V и равных опорным защемляющим моментам стоек—М? М1^ и М ^ ) произойдет поворот этих стержней на некоторые углы 00, V и Йу. Учитывая обычно принимаемое в этом способе расчета правило знаков, при котором момент, изгибающий элемент выпуклостью вправо, считая по ходу нумерации узлов, (на чертеже 8 показано стрелками), принимается положительным, мы имеем:

'01=_м?е; 8 1У = М14У 3 ; 0А = М* г ,

где величина з имеет то же самое значение, что и в расчете по способу фокусных отношений. Принятые при определении величины углов поворота знаки об'ясняются следующим: для стойки, у которой ход нумерации имеет направление от башмака вверх, в случае наличия внизу положительного защемляющего момента, момент передающийся на мнимый элемент (рис. 8) имеет вращение против часовой стрелки, а следовательно в этом направлении будут откладываться и угол поворота й, при условии же знаков, принятом при выводе основных формул, это направление принимается отрицательным. Для стержней, у которых нумерация узлов идет сверху вниз, при наличии положительного опорного момента в стойке, момент вращающий мнимый стержень будет действовать по часовой стрелке, т. е. мы получим уголь & положительным.

Переходя к нахождению изгибающих моментов под действием односторонней распределенной по левому ригелю нагрузки р, принимаем два типа загрузки (ри£. 9): первый тип состоящей из симмет-

Р

ричнои распространенной по обоим пролетам нагрузки — и второй

тип из зеркально симметричной нагрузки такого же размера.

Суммируя изгибающие моменты от принятых двух случаев за-гружения, мы получим искомые величины.

В первой части расчета, в виду, того, что под влиянием симметричной нагрузки сечение ригеля над колонной не повернется, мы можем рассматривать систему) состоящую лишь из двух стержней 0—I—И с абсолютным защемлением в точке II, благодаря чему средняя стойка совсем не будет подвергаться изгибу. По числу неизвестных опорных моментов составим три уравнения четырех моментов:

2 Ма° 1\ 1\ = 6 ЕЛ2 »о = —6 Е32 Ма° £ ;

М°а /;+ 2 Ма' + +

Ма 11 + 2 М а /; = + С.

В этих уравнениях длины всех стержней приведены к длине стержня такой же жесткости, но с моментом инерции, равным моменту инерции ригеля 12 т. е.

/1 /1 / . Г1 1 1 — /

/1==/4 = /1 ; = 2

Переходя ко второй части расчета, а именно к определению влияния зеркально симметричной нагрузки, мы можем рассматривать не всю раму, а только ее половину до оси симметрии, принявши момент инерции стойки пятой и ее башмаком уменьшенным вдвое (рис. 10)..

В таком случае приведенная длина средней стойки будет:

/'-/

1 5 - П Т

^ 5

и мы получим систему уравнений:

2МЬ° /; + Мьг /; = 6Е/2(^МЬ е —0а) ;

Мь 1\+2 Мь1 (/; + /;)+мь 11=6 »1+с1-2; Мь 1\ + 2 + + /; = -б ел2 ^ +

М^ /: + 2 м£ /! = 6ЕЛ2

Так как здесь у нас входит в уравнения четыре неизвестных момента и еще угол поворота первой стойки , то нам необходимо еще одно уравнение, для составления которого приравниваем нулю проекцию всех сил на горизонтальную ось, что нам дает:

2 Х = Н1 — Н5 = 0

или

Л /в

Решая составленные две системы уравнений и затем суммируя их. результаты, мы получим все искомые изгибающие моменты:

М° = М°+М£; Мп' = М° — м£ ;

М 1 = = ; Мш=Ма-Мь;

м^м'ЧмС; м" = м ^ м ь ;

*

М" = 2 М5 ; МУ = 2 Мь ;

Решая задачу в численных значениях, мы, конечно, придем к тем же результатам, которые были получены по способу фокусных отношений.

Томск. Февраль 1928 г.

áfzmamee инжЖЖЖаРгпашева

Рис 2

\ Рис.6.

.10 00 -

Л0 20 ©

©

G

lf/f/7777?77T/

11

©

¿ JU

Puc.4.

iL @

и

JÇ с I rt a rri в e K. ~HÍK а рта ¿¿/ева