Учет скин-эффекта в задачах о потоках самоиндукции и взаимоиндукции, наводимых током, протекающим в проводнике с прямоугольным поперечным сечением Текст научной статьи по специальности «Физика»

Олег БУЛГАКОВ

ombfrier@yandex.ru Семен ПЕТРОВ petrovsemen1@mail.ru Владислав ЛУПАНДИН

Учет скин-эффекта в задачах о потоках самоиндукции и взаимоиндукции,

наводимых током, протекающим в проводнике с прямоугольным поперечным сечением

В статье представлены новые аналитические выражения для расчета магнитных потоков самоиндукции и взаимоиндукции в плоских прямоугольных контурах, которые обусловлены протеканием токов в проводниках прямоугольного сечения. Рассмотрен обобщенный случай расположения проводника и контура в параллельных плоскостях при высокочастотном приближении.

Планарные (полосковые) системы соединений обеспечивают воспроизводимость электрофизических параметров твердотельных ВЧ и СВЧ усилителей мощности и максимально пригодны для автоматизации процессов сборки. Однако формулы, применяемые для расчетов индуктивностей полосковых и балочных соединений в конструкциях СВЧ-транзисторов [1-3], не отличаются высокой точностью, так как получены с учетом упрощений для некоторых предельных случаев и не учитывают конечные размеры контуров, в которых наводятся потоки самоиндукции и взаимоиндукции. В то же время, на частоте свыше 300 МГц индуктивные составляющие импедансов ВЧи СВЧ-транзисторов оказывают определяющее влияние на их усилительные и частот-

Рис. 1. Расчет потока взаимоиндукции от тока, протекающего по тонкой металлизированной полоске

ные свойства. Поэтому повышение точности расчетов малосигнальных параметров транзисторов, связанных с явлениями самоиндукции и взаимоиндукции в системах соединений, обеспечивает в конечном итоге повышение достоверности прогнозирования коэффициентов усиления по мощности и оптимальное проектирование согласующих цепей усилительных каскадов.

Рассмотрим проводник в виде тонкой металлической полоски длиной I и шириной щ, по которой протекает ток с комплексной амплитудой I, наводящий поток взаимоиндукции в плоском прямоугольном контуре площадью к! (рис. 1), параллельном плоскости полоски. В общем случае плоскости проводника и контура расположены на расстоянии к2 одна от другой; ко — расстояние между проекцией проводника на плоскость контура и смежным краем контура.

Полоска может быть представлена рядом N параллельных проводников квадратного сечения, а величина магнитного потока в контуре вычисляется как сумма потоков, наводимых каждым проводником:

N

<=1 “

(1)

где г0 = сИ2 — радиус проводника круглого сечения, «вписанного» в проводник квадратного сечения; к0 — расстояние между смежными краями проводника и контура; ^ = 4пх10-7 Гн/м — магнитная постоянная в СИ;

кц = ^(к2+Го)2+((2г-^Го+к^-Го;

к = V (к2+г0)2+((2г-1) г0+ ка+к)2-

^(к2+Го)2+((2г -1)го+к-1)2 +Го.

Произведение третьего и четвертого сомножителей в левой части (2) представляет собой геометрический индуктивный фактор (ГИФ) прямолинейного проводника круглого сечения по отношению к прямоугольному контуру, расположенному по отношению к проводнику в соответствии с рис. 1. ГИФ проводника рп по отношению к участку площади контура Бк определяется отношением [4]:

Р(Бк; Рп) = Ф^(Бк; Рп)/1^,

(3)

при условии равномерного распределения плотности тока по сечению проводника [4] (2),

где Ф^к; рп) — величина магнитного потока, наведенного в участке площади Бк некоторого замкнутого контура током 1^, протекающим по отрезку рп того же или другого замкнутого контура.

Как следует из определения ГИФ, он не зависит от величины тока 1^. И при равенстве

• ■ (I Iх0х/

Ф. =/х—х——X уу 2 п

(/г.+^.+Гр)2 I | (ки+г0)21 ^(1+ф2Н>ги+г0)2)х(/г,. +/г,. +г0) ^ ^ (/+-^/2+(/г,+А1,+г0)2)х(/г1.+г0) ^

(2)

Рис. 2. ГИФ проводников прямоугольного сечения: 1) = 0,5 мм, Ь|0 = 0 мм;

2) Ь^ = 1 мм, Ь|0 = 0 мм; 3) Ь^ = 1 мм, Ь|0 = 0,5 мм; 4) Ь^= 1,5 мм, Ь|0 = 0,5 мм

Рис. 3. ГИФ проводников прямоугольного сечения: 1) Ь|0 = 0 мм; 2) Ь|0 = 2 мм; 3) Ь|0 = 5 мм; 4) Ь|0= 10 мм

_ пр _ Црх/

2пхм>

1+

{'¡к22+{у+к()Щ2+га)7

_ Н ! ^Цу+к о)2 |

+ 1п

/2 г I2

(1+ф2+к1+(у+Ь0)2)х(у1и%+(у+}10+к)2+г0)

+Л>

1+^12+(ф^Ь^Щ2+г0)2 х(А22+(у+ А0)2)

. У

^¡+(у+Ь0+Н)2-л!к2+(у+Н0)2+г0

I У'

^ {рфг+Ь.1+рг-^111+рг)-1'1\п{р+^11+]11+р'1)+

(4)

р+^12+к1+р

-\Л Г 2

+/

р]п

у/ \ (

ф^р2

р+щ+р2

-2&тсХ%

Бк всей площади рассматриваемого контура, а рп — всей совокупности проводников контура, ГИФ имеет физический смысл индуктивности контура I (если Ф Б; рп)) — поток самоиндукции) или коэффициента взаимоиндукции Мпк двух контуров. При этом Ф (Бк; рп) — поток взаимоиндукции. Таким образом, ГИФ объединяет в себе понятия индуктивности и коэффициента взаимоиндукции, являясь по отношению к ним обобщающим понятием.

Вначале рассмотрим случай, когда высота сечения проводника й не превышает удвоенной толщины скин-слоя а. Таким образом, в первом приближении можно считать, что высокочастотный ток, протекающий по проводнику прямоугольного сечения шириной щ, сосредоточен в пределах тонкой полоски с высотой сечения й =2а ^ щ. Устремим высоту сечения полоски к нулю: й^0. Тогда дискретная координата г-го проводника становится непрерывной: (2г-1)хг0^/, к2+г0^к2, а суммирование в (1) заменяется интегриро-

1+ф2+й^+р р+1+^12+р2+к

( г \

+/г2 / агс^ ч Р_

(5)

РСр)= ^ р(Ф2+р2-р)

к

-12Ы(р+^12+р2)+1

/ г ЛЛ

Р

р\п

//

(7)

ванием по переменной у. В результате аналитическое выражение для геометрического индуктивного фактора тонкой металлической прямоугольной полоски длиной I и шириной щ будет выглядеть следующим образом (4).

Для компактной записи результата интегрирования введем алгебраический оператор (5).

Тогда выражение (4) можно записать в компактном виде:

Впр = (ц0/2лхщ)хЩк+к0+щ)--^(к+^)-^(к0+щ) +Цк0)]. (6)

На рис. 2 приведены рассчитанные по формуле (6) значения зависимости ГИФ полоски металлизации длиной I = 5 мм, шириной щ = 0,4 мм, от ширины контура при условии

й ^ щ.

Частным случаем взаиморасположения проводника и контура является их нахождение в одной плоскости, при этом к2 = 0. Тогда выражение (5) упростится:

1+ф2+р

а выражение (4) можно записать в таком виде:

Рпр = (Ц0/2лхщ)х[р(к+к0+щ)--Р(к+к0)-Р(к0+щ) + Р(к0)]. (8)

На рис. 3 приведена зависимость ГИФ полосок металлизации, рассчитанных по формуле (8).

В случае примыкания магнитного контура к проводнику (к0 = 0), Р(0) = 0, тогда выражение (8) упростится:

Рпр =(И0/2пхщ)х[р(к+щ)-Р(к0)-Р(щ)]. (8а)

Рассмотрим случай, когда плоскость прямоугольного контура, расположенного в створе тонкого проводника, перпендикулярна плоскости проводника и делит сечение проводника на две одинаковые половины высотой й/2 (рис. 4).

Величина ГИФ при представлении проводника набором N проводников круглого сечения диаметром й = 2г0 = щ с учетом симметрии относительно плоскости ХОУ:

Р„р = 2^,

1=1

где определяется выражением (2);

(9)

*1(=,Ь,+ т

А,=

V

М2УУ

+—(2г-1)2-;

4 2

Рис. 4. Схема, иллюстрирующая получение формулы для расчета ГИФ прямоугольной полоски фольги по отношению к прямоугольному контуру, расположенному в перпендикулярной плоскости

Рис. 6. Расчет ГИФ проводника с прямоугольным поперечным сечением с учетом скин-эффекта

ф2+Х2+((і/2)2-^Х2Нсі/2)2

(с1/2+ф2+Х2+у/2)2)хХ 1+ф2+Х2+т)2

+ЛГ х1п— -------------. -1.ХЄІХ 1п—\ 4 ^- +

,2 , ¿/2+#+^+^/2р -/ ХІП--- , ---

ф2+(й/2)2 1+ф2+х2+(сі/2)2

^12+Х2х (<і/2+^/ Х2+(еі/1)2 )

4х2+{(И2)2

+2 ІхХх

агс^

Ч2ХУ

-2Х

агс^

аі2+1+ф2+Х2+(сІ/2)2

Р, нГн

/ / / 1 — .——

/ / \/ у

2

10

20 30 40 И, мм

Рис. 5. ГИФ прямоугольной полоски фольги по отношению к прямоугольному контуру, расположенному в перпендикулярной плоскости: 1) ^ = 3 мм; 2) ^ = 10 мм; 3) ^ = 0 мм

X

-агс^

1+\[Ї2+Х2

\\

//

(11)

Устремив толщину фольги м к нулю, перейдем в выражении (9) от суммирования к интегрированию по переменной г. В результате получим:

РП = (ц0/лхА)х Х[Щ А, К+К^-Щ А, Кх)], (10)

где (11).

Частным случаем взаиморасположения проводника и контура является к1 = 0. Тогда выражение (10) можно записать в виде:

РП = (ц0/лхА)х[Щ А, К)]. (12)

На рис. 5 приведены значения зависимости от ширины контура ГИФ полосок металлизации, рассчитанных по формулам (10-12), I = 5,0 мм, А = 0,2 мм. В отличие от графиков, представленных на рис. 2-3, ГИФ проводника, плоскость которого перпендикулярна плоскости контура, характеризуется большей ве-

личиной и большей зависимостью от ширины контура при к ^ й.

Для учета скин-эффекта в проводнике конечной толщины будем считать, что весь протекающий по проводнику ток с комплексной амплитудой I сосредоточен, в приближении постоянной плотности, в приповерхностной области, толщина которой равна удвоенной толщине скин-слоя г0 (рис. 6).

Комплексная амплитуда 1-й гармоники потока взаимоиндукции Ф, в плоском контуре шириной к, отстоящего от проводника на расстоянии к1, может быть найдена как сумма комплексных амплитуд магнитных потоков, наводимых токами, протекающими по приповерхностным областям граней проводника:

Ф; = Ф|+Ф[+2ХФ||,

(13)

Ф ; = 2Х(Ф1В+Ф" В+Ф||),

(14)

, (15)

;=1 2 г

где Ф, вычисляется по формулам (2), (4-6).

Аналогичным образом определим магнитные потоки для участков сечения проводника, перпендикулярных плоскости контура, с учетом выражения (11):

ф =-----X

2 %х(с1+м>) х^/^Л^-ад^й+А!)], (16)

Ф

» _ Ич)-^

здесь Ф|| — магнитные потоки от параллельных плоскости контура участков слоя толщиной 2г0; Ф}, Ф} — соответственно магнитные потоки от ближнего и дальнего перпендикулярных плоскости контура участков токового слоя.

С учетом симметрии сечения проводника относительно оси ОУ выражение (13) можно записать в виде:

2%х(с1+м>) х[^(/;й?;и'+й1)-0(/;й?;й+н'+й1)]. (17)

Искомое выражение для геометрического индуктивного фактора проводника с прямоугольным сечением по отношению к отстоящему на расстоянии к1 прямоугольному контуру с учетом скин-эффекта получается делением на I правой части формулы (13).

На рис. 7 приведены значения зависимости ГИФ проводников с прямоугольным поперечным сечением от ширины контура, рассчитанных по формуле (12) при значениях I = 5,0 мм, й = 0,5 мм, ш = 0,2 мм.

Сравнение рис. 3, 5, 7 показывает, что основной вклад в величину ГИФ проводника, ориентированного по отношению к прямоугольному контуру, как это показано на рис. 6, вносит приповерхностный токовый слой, рас-

где Ф1в, Ф1 в — магнитные потоки от «верхних» (расположенных над осью ОУ) частей участков токового слоя, перпендикулярных плоскости контура.

Представим каждый участок, поток от которого фигурирует в выражении (14), набором проводников круглого сечения диаметром 2г0. Тогда для участков, параллельных плоскости контура:

Р, нГн

1 "

/ / '

'•/ у у/ V 3

10

20

30

40 И, мм

Рис. 7. ГИФ проводника с прямоугольным поперечным сечением сучетом скин-эффекта: 1) ^ = 1 мм; 2) ^ = 3 мм; 3) ^ = 5 мм

положенный перпендикулярно плоскости контура и наводящий магнитный поток величиной 2Ф15.

Результаты вычислений по полученным выражениям в предельных случаях (Ь^а>) совпадают с расчетами индуктивностей проводников с прямоугольным поперечным сечением по известным формулам [1,3]. Формулы (11), (12) согласуются с выражениями для индуктивностей двухпроводных и микрополосковых линий [1-3]. Вто же время полученные выражения позволяют осуществлять трехмерное моделирование индукционных взаимодействий в системах соединений ВЧ- и СВЧ-транзисторов и твердотельных ВЧ (СВЧ) усилителей мощности в гибридном исполнении, учитывать конечную ширину контуров, в которых наводятся потоки самоиндукции и взаимоиндукции. В условиях сильно выраженного скин-эффекта (а ^ й) отличие новых формул особенно проявляется при вычислении магнитных потоков в контурах, ширина которых сопоставима с шириной или высотой сечения проводника, что характерно как для ленточных проводников (фольга на полиимидной основе), так и балочных и планарных внутрикорпусных полосковых соединений ВЧ (СВЧ) транзисторов и усилительных ГИС. ■

Литература

1. Данилин В. Н. Аналоговые полупроводниковые интегральные схемы СВЧ. М.: Радио и связь, 1985.

2. Антенны и устройства СВЧ / Под ред. Д. И. Воскресенского. М.: Радио и связь, 1981.

3. Калантаров П. Л. Расчет индуктивностей / Справочник. Л.: Энергоато-миздат, 1986.

4. Булгаков О. М. Композиционные модели индукционных взаимодействий в мощных ВЧ- и СВЧ-транзисторах. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005.