CC BY
25
экономичности агрегатов и систем тепловозов. Труды МИИТ. - 1980. - Вып. 663. - С. 139-146.
2. Башков, В. М. Комплексная оценка степени совершенства систем охлаждения электрических машин тепловозов [Текст] / В. М. Башков, Г. М. Басов, В. И. Могила - Локомотив - информ, 2011. - С. 14-16.
3. Декларацшний патент Украши на винамд "Cистема охолодження тягових електричних машин тепловозш" 67220 вщ 15.06.2004 р. [Текст] / Башков В. М. та ш. - Бюл. № 6.
4. Кузьмич, В. Д. Вентиляционные системы тягових электрических машин тепловозов [Текст] / В. Д. Кузьмич // Научные труды Московского института инженеров железнодорожного транспорта. Воздухоочистители и системы воздушного охлаждения тяговых электрических машин тепловоз. - 1970. - Вып. 335. - С. 15-22.
5. Епифанов, В. П. Компановка охлаждающих устройств тепловозов. [Текст] / В. П. Епифанов, Ю. А. Куликов, В. И. Рягузов, В. С. Таля. - М. НИИИНФОРМТЯЖМАШ, 1968. - 54 с.
6. Большаков, Н. В. Условия эксплуатации системы вентиляции электрических машин тепловозов ТЭП60(2ТЭП60) [Текст] / Н. В. Большаков // Научные труды Московского института инженеров железнодорож-ного транспорта. Вспомогательное оборудование тепловозов. -1971. - Вып. 394. - С. 59-63.
7. Миончинский, В. А. Система охлаждения электрических машин на тепловозе ТЭП70 [Текст] / В. А. Ми-ончинский. - Электрическая и тепловозная тяга. - 1976. -№ 8. - С. 23-24.
References
1. Bashkov, V. M., Epifanov, V. P., Kuzmich, V. D. (1980). Estimation of aerodynamic indexes of the systems of cooling of hauling electric machines and vehicles of diesel engines. In book: Increase of reliability and economy of aggregates and systems of diesel engines. Labours MIIT., 663, 139-146.
2. Bashkov, V. M., Basov, G. M., Mogula, V. I. (2011). Comprehensive assessment of the degree of perfection of cooling systems of electric machines locomotives. Locomotive - Inform, 14-16.
3. Bashkov, V. N. Patent for the invention of Ukraine "Cooling system of locomotive traction electric cars" 67220 of 15.06.2004. Bull. Number 6.
4. Kuzmich, V. D. (1970). Ventilation systems of traction electric machines locomotives. Proceedings of the Moscow Institute of Railway Engineers - Air and air cooling systems locomotive traction electric machines, 335, 15 -22.
5. Epifanov, V. P., Kulikov, Y. A., Ryaguzov, V. I., Tala, V. S. (1968). The line of cooling devices locomotives. Moscow: NIIINFORMTYAZHMASH, 54.
6. Bolshakov, N. V. (1971). Operating conditions of the ventilation system of electrical machines locomotives TEP60 (2TEP60). Proceedings of the Moscow Institute of Railway Engineers. Accessories locomotives, 394, 59-63.
7. Mionchinsky, V. A. (1976). The cooling system of electric cars on the locomotive TEP70. Electric and diesel traction, 8, 23-24.
Рекомендовано до публгкацИ д-р техн. наук, професор Ткаченко В. П.
Дата надходження рукопису 15.02.2015
Башков Вадим Михайлович, кандидат технических наук, доцент, кафедра теоретической механики, Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт", пр. Победы, 37, г. Киев, Украина, 03056 E-mail: vadim.qwert@ukr.net
Бабаев Александр Арташесович, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической механики, Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт", пр. Победы, 37, м. Киев, Украина, 03056 E-mail: babaevaa@ukr.net
Штефан Наталья Ильинична, кандидат технических наук, доцент, кафедра теоретической механики, Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт", пр. Победы, 37, м. Киев, Украина, 03056 E-mail: nishtefan@gmail.com
Гнатейко Нонна Валентиновна, кандидат технических наук, доцент, кафедра теоретической механики, Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт", пр. Победы, 37, г. Киев, Украина, 03056 E-mail: nonna.gnatejko@gmail
УДК 537.32
DOI: 10.15587/2313-8416.2015.38847
УЧЕТ РАССЕЯНИЯ В ТРАНСПОРТНОЙ МОДЕЛИ ЛАНДАУЭРА-ДАТТЫ-ЛУНДСТРОМА
© Ю. А. Кругляк
Качественно рассматривается рассеяние носителей тока и тепла в транспортной модели ЛДЛ по ходу изменения времен рассеяния в процессе столкновений. На примере 1D проводника выводится базовое соотношение между коэффициентом прохождения Т и средней длиной свободного пробега X . В качестве примера анализируются экспериментальные данные для Si MOSFET с привлечением моделей различной достоверности
Ключевые слова: нанофизика, наноэлектроника, рассеяние электронов, рассеяние фононов, коэффициент прохождения, длина свободного пробега, коэффициент диффузии, подвижность, Si MOSFET
Scattering of carriers in the LDL transport model during the changes of the scattering times in the collision processes is considered qualitatively. The basic relationship between the transmission coefficient T and the average mean free path X is derived for 1D conductor. As an example, the experimental data for Si MOSFET are analyzed with the use of various models of reliability
Keywords: nanophysics, nanoelectronics, electron scattering, phonon scattering, transmission coefficient, mean free path, diffusion coefficient, mobility, Si MOSFET
1. Введение
При описании транспорта электронов в диффузионном режиме модели ЛДЛ [1-4] важную роль играет средняя длина свободного обратного рассеяния (mean-free-pass for backscattering) X, которая определяет коэффициент прохождения
T (E) =
Л( E) Л( E) + L
(1)
где Ь - длина проводника. Откуда берется это выражение?
Обычно под X подразумевается среднее расстояние между двумя актами рассеяния. В подходе Ландауэра [5, 6] величина X имеет специальное значение: это длина, на которой коэффициент прохождения (1) уменьшается вдвое. Мы позже увидим, что средняя длина свободного рассеяния назад пропорциональна средней длине свободного пробега, Л,
Л(Е) xA(E) = v(E) t(E) ,
(2)
где средняя скорость определяется зонной структурой резистора, а среднее время рассеяния определяется также и физикой процессов рассеяния. Хотелось бы глубже понять как эти скорость и время определяют величину X . Обсудим также каким образом среднюю длину свободного пробега определить из измерений проводимости или мобильности. Начнем с того как контролируется время рассеяния т(Е).
2. Обзор физики рассеяния электронов (качественные аспекты)
Пусть ансамбль электронов с энергией Е впрыскивается в проводник в момент времени t=0 (рис. 1). Первоначальные импульсы одинаковы и од-нонаправлены.
Через время t и т(Е) электроны испытают в среднем одно столкновение. В зависимости от физики процессов рассеяния импульсы электронов (направления стрелок на рис. 1) могут измениться, а их энергия увеличится или уменьшится (длины стрелок на рис. 1). Если рассеяние анизотропно и стремится отклонить электроны на небольшой угол, то одного акта рассеяния недостаточно для зануления суммарного импульса ансамбля электронов. По истечении еще некоторого времени t и тт (Е) > т(Е) импульсы электронов рандомизируются. Если, однако, доминирующий механизм рассеяния упругий, то первоначальная энергия ансамбля электронов не примет еще своего равновесного значения. По происшествии еще некоторого времени I ~ т,: (Е)» тт (£■). г(/•.') первоначальный избыток энергии занулится и энергия примет свое равновесное значение.
Рис. 1. Качественная визуализация различных времен рассеяния. В момент времени t = 0 электроны с одинаковыми импульсами впрыскиваются в проводник в одном направлении. Электроны испытывают в среднем одно столкновение через время t и t(E) . Суммарный импульс первоначального ансамбля электронов зануляется через время t итт (E) > t(E) , а энергия принимает свое равновесное значение через время t итЕ (E) >тт (E) >t(E) [2, 7]
Рис. 1 наглядно иллюстрирует три характер-ристических времени рассеяния:
1) среднее время между двумя последовательными актами рассеяния t(E) ;
2) время релаксации импульса тт (E);
3) время релаксации энергии тЕ (E).
В общем случае тт (Е) > т(Е) и тЕ{Е)»тт{Е),т{Е).
Поскольку мы рассматриваем транспорт зарядов и тепла, то наибольший интерес для нас представляет время импульсной релаксации, а также то каким образом это время зависит от физики рассеяния.
Фундаментальным понятием в теории рассеяния является матрица рассеяния S(p —> /У ), переводящая систему частиц из первоначального состояния р в некое конечное состояние р'.
Скорость рассеяния, иначе вероятность рассеяния за единицу времени, есть просто единица, де-
ленная на среднее время между соседними столкновениями, и получается путем суммирования по всем возможным конечным состояниям, а именно:
1
тСр)
(3)
В предположении, что электроны впрыскиваются в проводник с начальным импульсом, направленным вдоль оси г, для скорости импульсной релаксации, по аналогии с (3), имеем [7]:
tJp) ?• р-.
(4)
Анизотропное рассеяние стремится отклонить электроны на небольшие углы, в результате чего время импульсной релаксации растет, а соответствующая скорость падает. Аналогичным образом записывается скорость релаксации энергии через время соответствующей релаксации.
Время импульсной релаксации можно рассчитать из скорости перехода. Техника вычислений скорости перехода подробно изложена в [7]. Здесь мы обрисуем лишь ее основные моменты. Рассмотрим акт рассеяния подробнее (рис. 2).
Рис. 2. Переход электрона из начального состояния в конечное в результате акта рассеяния на потенциале
Us{rj)
Пусть электрон с импульсом р = Тгк и описываемый волновой функцией i// (г) оказался в области действия потенциала рассеяния Us (г, /), который может быть как статическим (рассеяние на заряженных примесях), так и динамическим (рассеяние на фононах). В результате акта рассеяния первоначальный импульс электрона становится иным р', изменяется и его волновая функция на y/f{г). Нужно рассчитать вероятность (за единицу времени) S(p —> ¡У) перехода электрона из первоначального состояния р в конечное р' .
В первом порядке теории возмущений
Ö(E'-Е-АЕ),
(5)
где матричныи элемент перехода
Выражение (5) известно в квантовой теории как золотое правило Ферми-Дирака [8, 9]. Фигурирующая в (5) ¿-функция ответственна за сохранение энергии. В случае статического потенциала рассеяния (например, на заряженных примесях) энергия не релаксирует (АЕ = 0). Для периодического потенциала с характерной частотой со (колебания решетки) АЕ = ±Иа>, что соответствует излучению или поглощению фонона.
В любом случае сначала нужно задаться потенциалом рассеяния, затем воспользоваться (5) и далее вычислить характерное время (3) или (4). Позже будет показано как из времени импульсной релаксации вычислить среднюю длину свободного рассеяния назад.
Некоторые простые потенциалы рассеяния, например, короткодействующие ¿-потенциалы, а также потенциалы рассеяния на акустических и оптических фононах в неполярных материалах просто равновероятно отклоняют носители тока с сохранением энергии. В таких случаях можно ожидать, что скорость рассеяния будет пропорциональна плотности конечных состояний. При упругом рассеянии 1/ т(Е) ос 1X1'.), при рассеянии с поглощением фонона 1/ т{Е) ос £>(£■ + Тая), а с эмиссией фонона 1/ т(Е) ос ЩЕ- Ьа>). Поскольку обычно плотность состояний растет с энергией (п-проводники), можно ожидать уменьшения времени рассеяния с ростом энергии носителей тока или тепла.
Ситуация с рассеянием на заряженных примесях или на фононах в полярных средах иная. Случайно расположенные заряды создают флуктуации у дна зоны проводимости Ес (г), что ведет к рассеянию электронов и фононов (рис. 3). Высокоэнергетические электроны менее чувстви-тельны к флуктуирующему потенциалу рассеяния по сравнению с низкоэнергетическими электронами, так что в случае рассеяния на заряженных примесях (и полярных фононах) с ростом энергии носителей время рассеяния т(Е) будет расти, а скорость рассеяния 1/г(Е) будет падать.
\И.
= J y/f (/•)Us(r)y/t{r)dr .
Рис. 3. Флуктуирующий потенциал, создаваемый случайно расположенными зарядами
2
Для некоторых механизмов рассеяния время рассеяния можно записать в виде степенного закона
т( E) = т0
E - E kT
(6)
в котором показатель степени разный для различных механизмов рассеяния. Так, для рассеяния на акустических фононах в 3D проводниках с параболической дисперсией 5 = -1/2, а для рассеяния на ионизированных примесях 5 = +3 / 2 [7].
Наша задача в этом обзоре лучше понять каким образом рассеяние влияет на среднюю длину свободного пробега и на коэффициент прохождения. Мы ожидаем, что длина свободного пробега будет пропорциональна произведению скорости носителя и времени рассеяния. Мы стали лучше понимать какие факторы влияют на время рассеяния. Прежде чем увязать между собой длину свободного пробега и время рассеяния, сначала рассмотрим как связаны друг с другом длина свободного пробега и коэффициент прохождения.
3. Коэффициент прохождения и средняя длина свободного пробега
Связь этих двух важнейших характеристик диффузионного транспорта проще всего проиллюстрировать на примере электронного транспорта по Ш проводнику в диффузионном режиме (рис. 4).
Рис. 4. К выводу связи между коэффициентом прохождения и средней длиной свободного пробега на примере однородного 1D проводника
Рассмотрим однородный 1D проводник в диффузионном режиме. Левый контакт впрыскивает электроны с током I+ (x = 0). Доля электронов Т войдет в правый контакт с током I+ (x = L) = TI + (x = 0). Оставшаяся доля вернется в левый контакт (рассеяние назад) с током I~ (x = 0) = RI+ (x = 0). В отсутствии процессов рекомбинации T + R = 1. Предполагается также, что правый контакт идеальный, поглощает все входящие в него электроны. Результирующий ток, очевидно, будет I = (1 - R)I+ (0) = TI+ (0). Так или иначе, в проводнике имеют место как прямые, так и обратные потоки электронов, и нам необходимо описать их пространственное распределение.
Определим обратное значение средней длины свободного пробега 1/X как вероятность (на единицу длины) обращения положительного потока элект-ронов в отрицательный и наоборот. Именно исходя из этого определения, величину X и называют средней длиной свободного обратного рассеяния (mean-free-pass for backscattering) или проще средней длиной свободного
пробега. В диффузионном проводнике некоторая доля положительного потока в результате рассеяния назад обращается в отрицательный. В проводнике формируется отрицательный поток и его некоторая доля в результате рассеяния назад обращается, усиливая положительный поток. В результате градиент положитель-ного тока складывается из двух величин:
dl+ (x)
dx
"(x). +1'
( x)
2
2
(7)
Пренебрегая процессами рекомбинации, результирующий ток
I = I+ (x) -1 - (x)
(8)
является постоянной величиной, так что градиент тока Я + ( X) I
dx
2
(9)
является константой. Другими словами, ток спадает линейно вдоль проводника:
I+ (x) = I+ (0)--x .
2
(10)
Воспользуемся полученным уравнением для вычисления тока, входящего в правый контакт:
I+ (L) = I+ (0) - LL =
2
= I+ (0) - [ I+ (L) -1 - (L)] L = I+ (0) -1+ (L)L
(11)
А А
где мы воспользовались уравнением баланса (8) и тем, что правый контакт идеальный (I- (Е) = 0). Из последнего равенства находим
2
I+ (L) =-—I+ (0) = TI+ (0), 2 + L
(12)
Если провести аналогичные рассуждения для впрыскивания электронов правым контактом, то получим аналогичное уравнение для электронов, входящих в левый контакт, а именно: I ~ (0) = Т' I ~ (Е). Для однородного проводника Т' = Т. Проводник под напряжением не является однородным, но нас интересует режим линейного отклика, так что вполне приемлемо положить Т'« Т. Окончательно, в предположении независимости друг от друга мод проводимости получаем искомое уравнение (1), связывающее коэффициент прохождения со средней длиной свободного пробега:
T (E) =
2( E) 2(E) + L
Вывод этого уравнения сделан в рамках простой модели, что никак не мешает успешному и широкому использованию его на практике. Важным моментом в проведенных рассуждениях является интерпретация 1/А как вероятности (на единицу длины) обращения потока частиц в обратном направлении в результате рассеяния. Именно поэтому саму
s
длину X, как уже упоминалось, часто называют средней длиной свободного рассеяния назад.
4. Средняя длина свободного пробега и время рассеяния
Установим связь между X и временем рассеяния пт. Пусть электрон совершает акт рассеяния в изотропном Ш проводнике. У него есть две возможности: рассеяться вперед и рассеяться назад. Только рассеяние назад существенно для определения средней длины свободного пробега. Отсюда следует, что средняя длина рассеяния назад равна удвоенному значению средней длины рассеяния:
(Е) = 2Л(Е) = 2у(Е)тт(Е) .
Для проводника произвольной размерности средняя длина рассеяния назад дается выражением [10]
1(E) = 2
{М
<М
где усреднение для 2D и 3D проводников ведется по углам. Для изотропных проводников
Х2„(Е) =-у(Е)тт(Е) , (13)
4
X (Е) = 4 v(Е)тт (Е) .
Аналогичный (6) степенной закон часто используется для средней длины рассеяния:
1( E) = 1
E - Ec kT
(14)
Для параболической зонной структуры у(Е) ж Е12, так что г = s +1/2, где 5 - показатель степени в степенном законе (6) для времени рассеяния. Для акустических фононов г = 0 , а для рассеяния на ионизированных примесях г = 2 .
5. Оценка усредненного значения средней длины свободного пробега из экспериментальных измерений
Для 2D проводника в диффузионном режиме [11]
f^diff _ G2D
_L W
Ad l
W
■ = a„
где поверхностная проводимость
f J M2D (E)1E) i-f
или иначе
где
2q2
~(m2d)(I) ,
(15)
(16)
(17)
M2D ) Md (kT)3-172 (ъ) (18)
выражается через интеграл Ферми-Дирака с г]р = (Ер - Ес)/ кТ, а усредненное значение длины свободного пробега [11]
«1» =
J1(E)M2D (E) (--f ] dE MH
jm2d (E) (-1|] dE "M
(19)
Измерив экспериментально поверхностную проводимость (17), мы хотим вычислить ^ из (17), а именно:
rn=-,
1
(20)
(2q2/h) М2В)'
Для вычисления (М2С) согласно (18) нужно знать Г1Е или иначе положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости. Измерения одной проводимости недостаточно, нужно еще измерить поверхностную плотность электронов [11]
т * кТ,
ns = gv
лГ
-30(riP) = N2DZ0(riP),
(21)
откуда вычислить , далее (М2С) по (18) и, наконец^ (X)) по (20).
Для невырожденных проводников ситуация упрощается, поскольку в этом случае интегралы Ферми-Дирака сводятся к экспонентам и усредненное значение длины свободного пробега можно сразу записать в явном виде через измеряемые поверхностные проводимость и плотность
«1» =
2 ( kT /q)
( ~ Л
qvT
где ут есть однонаправленная термическая скорость электронов [11]
= 4 2 kT /
mm
(22)
Часто, однако, измеряются коэффициент диффузии и подвижность, так что нам нужно увязать ^ (X)) с этими измеряемыми величинами.
6. Оценка длины свободного пробега из коэффициента диффузии
Вернемся к Ш проводнику на рис. 4. Предположим, что речь идет о транспорте электронов в диффузионном режиме и вычислим ток. На левом конце (х = 0) число электронов, движущихся в
направлении +х, есть п+ (0) = I+ (0) / ^у^ , где (у^
есть средняя скорость в направлении +х. В режиме
квазиравновесного транспорта (у-^ « ^у^ , так что
гГ (0) = I ~ (0) / ^ у^ . Суммарная плотность электронов
n(0) =
(1 + R ) I+ (0) _ ( 2 - T) I+ (0)
""М""
(23)
r
v
T
На
правом
конце
проводника
п+ (Е) = I+ (Е)/!^у^, а п (Е) = 0, поскольку электроны не впрыскиваются с правого контакта. Суммарная плотность электронов на правом контакте
I+ (Е) Т1+ (0)
n( L) =■
(О
и она меньше, чем на левом контакте:
n(0) - n(L) = 2 (1 - T)
I+ (0)
(v+*)
(24)
(25)
Воспользуемся выражением для суммарного тока I = ТI+ (0) и найдем его, опираясь на ур-е (25). В результате получим
I =
iX. х
2 1 - T
n(0) - n(L)
dn( x)
dx
. (26)
Поскольку коэффициент диффузии в нашем случае [11]
D =■
2
(27)
то в итоге мы получаем хорошо известный закон диффузии Фика
- dn
I = -D х —. dx
(28)
Этот результат может показаться удивительным, поскольку принято считать, что диффузионный закон Фика выполняется на расстояниях, намного превышающих среднюю длину свободного пробега. Однако, подобного допущения не делалось при выводе ур-я (28). В этой связи еще Шокли [12] заметил, что закон Фика не ограничен большими расстояниями, он применим и для описания баллистического и квазибаллистического транспорта, нужно лишь аккуратно учитывать граничные условия.
Поскольку при выводе использовался Ш проводник, то ток в (28) соответствует одной моде с энергией Е. При наличии многих каналов проводимости полный ток получается интегрированием по всем модам, так что полученный таким образом коэффициент диффузии будет соответствовать усредненной по энергии длине свободного пробега.
Простая ситуация имеет место в невырожденных проводниках со средней длиной свободного пробега Я0, не зависящей от энергии. В этом случае коэффициент диффузии зависит от термической скорости (22)
Б = уТЯИ, (29)
2
что открывает простую возможность оценить длину свободного пробега из коэффициента диффузии.
7. Связь длины свободного пробега с подвижностью
И поныне часто измеряют подвижность, зная которую можно оценить среднюю длину свободного
пробега. Удельная поверхностная проводимость (16) может быть записана [11] как
= цпБ л, (30)
уравнивая которую с (16), для подвижности получаем:
у = -
2q
Т
J М 2D (E))(E) ^-Ц j dE
(31)
и возьмем эту формулу, известную также как формула Кубо- Гринвуда, за определение подвижности.
Уравнение (31), используя (20) и (30), можно переписать в виде
У =
1_2q_
ns h
ШМ2d) .
(32)
Отсюда можно вычислить ^^Я)), задавшись
измеренными значениями подвижности и поверхностной плотности электронов, как и прежде для вычисления г]¥ и далее (М2С) по (18), а именно:
о»=
2kTу )
qvT ^-in(nF)
(33)
Для невырожденных проводников последняя дробь равна единице, так что ^ (Я)} легко вычисляется:
о»=
2kT у
qvT
(34)
откуда для подвижности в невырожденных проводниках
У =
Vt{ )))„ 1
kT / q
(35)
где первый сомножитель можно определить как коэффициент диффузии
D = М) 2
(36)
откуда получается известное выражение Эйнштейна для невырожденных проводников
D-T
у q
(37)
8. Усредненная длина свободного пробега для степенного закона рассеяния
Из определения ((Я)^ по (19) с использованием степенного закона рассеяния (14) имеем:
О = )о
E - E,
kT j M2D(E) l -IE jdE
JM2D(E)i-Ц | dE
(38)
что сводится к интегралам Ферми-Дирака, а именно:
n
S
r
Г(г + 3/2) „ 3r_m(nP) Г (3/2) 3,/2(^p )
(39)
Для невырожденных проводников последний множитель равен единице.
9. Подвижность при постоянном значении времени рассеяния
Воспользуемся предыдущим результатом и найдем мобильность для невырожденного проводника, характеризуемого постоянным значением времени рассеяния т0. Из (35) с подстановкой (39) имеем:
¡ =
ут Л 1 Г(г + 3/2) 2 кТ / ^ Г(3 / 2)
Для 2D проводника из (13)
Ä(E) =- v(E)z0 =
л (2kT } ( E - E Y'
2 у ~m* fo I ~kr~)
(40)
(41)
откуда следует, что показатель степени в законе рассеяния г = 1/2 и
„ (л (2кт) I 2 4 m I
(42)
а после подстановки в (40) получаем ожидаемый результат:
¡ = Щ-
m
(43)
10. Анализ экспериментальных данных для Si MOSFET
В качестве примера проведем анализ экспериментальных данных для полевого транзистора Si MOSFET в разных приближениях в рамках транспортной модели ЛДЛ [2]. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) Si MOSFET с длиной канала проводимости 60 нм приведена на рис. 5.
Рис. 5. Вольт-амперная характеристика Si MOSFET при = 1.2 В [13]
R « 215 Ом • ¡лм; Л « 260 см2 / В -с.
(44)
Зададим себе два вопроса:
1) Сколько мод проводимости обеспечивают ток?
2) Насколько измеренное сопротивление близко к баллистическому пределу?
Сначала вспомним, что у кристаллического Si долинное вырождение минимумов эллипсоидальной формы равно шести [14]. В нашем образце квантовые ограничения снимают вырождение до ^ = 2 с т* = т = 0.19т0 [15, 16]. Ответить на интересующие нас вопросы можно с разной степенью достоверности. Для упрощения вычислений можно воспользоваться простой моделью при Т = 0 К [11], что, конечно, может быть недостаточно удовлетворительным, особенно для комнатной температуры. Далее, можно предположить максвелл-больцмано-вскую статистику для носителей тока (невырожденные проводники), выкладки в этом случае также не вызовут затруднений, однако, выше порогового напряжения допущение невырожденности также неудолетворительно. Наконец, отказаться от каких-либо допущений и добросовестно просчитать интегралы Ферми-Дирака.
Пойдем самым простым путем, что, по крайней мере, даст нам возможность почувствовать числа. В модели Т = 0 К плотность числа мод М2В (Ер) «150^ м-1. Для наименьшего по размерам из изученных транзисторов [13] V / Ь = 2, а с учетом Ь = 60 нм для числа мод, обеспечивающих ток, получаем Мгв (Ер)«18 . Это весьма небольшое число мод.
Баллистический предел находим из выражения (8) в [11]: Я^а' ~ 90 Ом ■ /лм, что примерно в два раза меньше измеренного сопротивления (44). Теперь можем получить оценку длины свободного пробега из формулы (35) в [11]: Х(Е¥) « 40 нм. Более тщательный анализ предполагает использование максвелл-больцмановской модели, а еще точнее - вычисление интегралов Ферми-Дирака с учетом заселенности подзон. Однако, так или иначе уже ясно, что современные Si MOSFET работают в квазибаллистическом режиме, а не в баллистическом или чисто диффузионном режиме.
Далее обратимся к оценке баллистической подвижности нашего образца Si MOSFET. Измерен-ная подвижность (44) относится к достаточно протяженному проводнику и традиционно является диффузионной. Чтобы оценить баллистическую подвижность опять обратимся к простейшей модели Т = 0'К, в рамках которой уравнение (52) работы [11] можно переписать следующим образом
Для интересующего нас линейного участка ВАХ измеренные значения при комнатной тем -пературе
ns « 6.7 х 10 см
¡¡D = ^Ljlgj;
(45)
Подставляя все известные величины, находим 1200 см2/ В -с, что в несколько раз превышает
диффузионную подвижность. Кажущаяся подвижность, согласно уравнению (47) из [11], будет несколько меньше подвижности нашего образца за счет баллистической подвижности. К приведенным оценкам нельзя относиться слишком строго из-за явной недостаточности модели Т = 0 К.
Подвижность (44) была измерена при комнатной температуре. Уточним модель Т = 0 К, перейдя к максвелл-больцмановской для невырожденных проводников. Из соотношения Эйнштейна (37) найдем коэффициент диффузии
т-ч kT „ 2 / D =—л = 6.7 см I с .
q
(46)
Теперь можно вычислить усредненную длину свободного пробега(А) по (36). Для этого нужно оценить термическую скорость ут (22), что в свою очередь требует знания эффективной массы. Для электронов в инверсионном слое (100) Si, когда заселена только лишь одна подзона зоны проводимости, т* = т = 0.19 т [16], откуда ут = 1.2 х 107 см / с и далее
«2»А
> 11 нм.
(47)
Еще более точный результат можно получить перейдя к статистике Ферми-Дирака. Из (33) следует
((24(2,
%0(Ъ )
(48)
3-1/2 )
Значение находим через известную измеренную поверхностную плотность
т * кТs
ns = N2D 30(" ) =
7ГЙ
ЗД,). (49)
Для электронов в первой подзоне инверсионного слоя (100) Si ^ = 2, так что
= 4.1 х 1011 см-. Интеграл Ферми-Дирака вычисляется аналитически
) = ln(1 + e"F ),
так что
" = ln (e"S IN2D -1) = 1.42. Окончательно
2 = 11X-M.42L NX "FD 2(1.42)
15 нм,
(50)
(51)
(52)
что и является наилучшей из возможных оценок для рассматриваемого транзистора длиной 60 нм. Длина этого транзистора не может считаться слишком большой по сравнению с длиной свободного пробега, так что физически корректно считать, что этот транзистор работает в квазибаллистическом режиме.
Подведем итоги. Основное внимание в этом обзоре уделено понятию длины свободного пробега
2 как длины рассеяния назад и ее связи с коэффициентом прохождения. Установлена связь между 2 и временем импульсной релаксации для проводников разной размерности. Показано как вы-числить усредненное значение 2 из эксперименталь-ных измерений: через коэффициент диффузии или через подвижность. В качестве примера анализи-руются экспериментальные данные для Si MOSFET с привлечением моделей различной достоверности.
В основу настоящего обзора положены лекции Марка Лундстрома «Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications» [1] и Суприе Датты «Fundamentals of Nanoelectronics, Part I: Basic Concepts» [2], прочитанных в 2011-2012 годах в рамках инициативы Purdue University / nanoHUB-U [www.nanohub.org/u], а также наши статьи [17, 18].
10. Благодарности
Благодарю Н. Е. Кругляк за помощь в работе при подготовке рукописи к печати.
Литература
1. Datta Supriyo. Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport [Electronic resource] / Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2012. - 473 p. - Available at: www.nanohub.org/courses/FoN1
2. Lundstrom, M. Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications [Electronic resource] / M. Lun-dstrom, J. Changwook. - Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2013. - 227 p. - Available at: www.nanohub.org/resources/11763
3. Kruglyak, Yu. A. Обобщенная модель электронного транспорта Ландауэра-Датты-Лундстрома [Текст] / Yu. A. Kruglyak // Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnolo-gies. - 2013. - Vol. 11, Issue 3. - P. 519-549. Erratum: ibid, 2014. - Vol. 12, Issue 2. - P. 415.
4. Кругляк, Ю. А. Перенос тепла фононами в транспортной модели Ландауэра-Датты-Лундстрома [Текст] / Ю. А. Кругляк // ScienceRise. - 2015. - Т. 2, № 2 (7). -С. 81-93. doi: 10.15587/2313-8416.2015.36332
5. Landauer, R. Spatial variation of currents and fields due to localized scatterers in metallic conduction [Text] / R. Landauer // IBM Journal of Research and Development. - 1957. -Vol. 1, Issue 3. - P. 223-231. doi: 10.1147/rd. 13.0223
6. Landauer, R. Electrical resistance of disordered onedimensional lattices [Text] / R. Landauer // Philosophical Magazine. - 1970. - Vol. 21, Issue 172. - P. 863-867.
doi: 10.1080/14786437008238472
7. Lundstrom, M. Fundamentals of Carrier Transport, 2nd Ed. [Text] / M. Lundstrom. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000. - 418 p. doi: 10.1017/cbo9780511618611
8. Dirac, P. A. M. The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation [Text] / P. A. M. Dirac // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1927. - Vol. 114, Issue 767. -P. 243-265. doi: 10.1098/rspa.1927.0039
9. Fermi, E. Nuclear Physics [Text] / E. Fermi. - University of Chicago Press, 1950
10. Jeong, C. On Landauer versus Boltzmann and full band versus effective mass evaluation of thermoelectric transport coefficients [Text] / C. Jeong, R. Kim, M. Luisier, S. Datta, M. Lundstrom // Journal of Applied Physics. - 2010. -Vol. 107, Issue 2. - P. 023707. doi: 10.1063/1.3291120
11. Кругляк, Ю. А. От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра-Датты-Лундстрома [Текст] / Ю. А. Кругляк //Nanosystems,
Nanomaterials, Nanotechnologies. - 2013. - T. 11, № 4. -C. 655-677.
12. Shockley, W. Diffusion and Drift of Minority Carriers in Semiconductors for Comparable Capture and Scattering Mean Free Paths [Text] / W. Shockley // Physical Review. -1962. - Vol. 125, Issue 5. - P. 1570-1576.
doi: 10.1103/physrev.125.1570
13. Jeong, C. On backscattering and mobility in nano-scale silicon MOSFETs [Text] / C. Jeong, D. A. Antoniadis, M. S. Lundstrom // IEEE Trans. Electron Dev. - 2009. - Vol. 56, Issue 11. - P. 2762-2769. doi: 10.1109/ted.2009.2030844
14. Pierret, R. F. Semiconductor Device Fundamentals [Text] / R. F. Pierret. - Reading, MA: Addison-Wesley, 1996.
15. Lundstrom, M. ECE 612: Nanoscale Transistors. Lecture 4 [Electronic resource] / M. Lundstrom. - Polysilicon Gates/QM Effects, 2008. - Available at: www.nanohub. org/resourses/5364
16. Taur, Y. Fundamentals of Modern VLSI Devices, 2nd Ed. [Text] / Y. Taur, T. Ning. - Cambridge univ. Press, Cambridge, UK, 2009.
17. Kruglyak, Yu. Landauer-Datta-Lundstrom Generalized Transport Model for Nanoelectronics [Text] / Yu. Kruglyak // Journal of Nanoscience. - 2014. - Vol. 2014. -P. 1-15. doi: 10.1155/2014/725420
18. Kruglyak, Yu. A. A Generalized Landauer-Datta-Lundstrom Electron Transport Model [Text] / Yu. A. Krug-lyak // Russian Journal of Physical Chemistry. - 2014. - Vol. 88, Issue 11. - P. 1826-1836. doi: 10.1134/s0036024414110119
References
1. Datta Supriyo. Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport (2012). Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company, 473. Available at: www.nanohub.org/courses/FoN1
2. Lundstrom, M., Jeong, C. (2013). Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications. Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company, 227. Available at: www.nanohub.org/resources/11763
3. Kruglyak, Yu. A. (2013). The Generalized Landauer - Datta - Lunstrom Electron Transport Model. Nanosys-tems, Nanomaterials, Nanotechnologies, 11 (3), 519-549. Erratum: ibid, (2014). 12 (2), 415.
4. Kruglyak, Yu. A. Heat transfer by phonons in Lan-dauer-Datta-Lunstrom transport model, ScienceRise. - 2015. -T. 2, № 2 (7). - C. 81-93. doi: 10.15587/2313-8416. 2015.36332
5. Landauer, R. (1957). Spatial Variation of Currents and Fields Due to Localized Scatterers in Metallic Conduction. IBM Journal of Research and Development, 1 (3), 223-231. doi: 10.1147/rd.13.0223
6. Landauer, R. (1970). Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices. Philosophical Magazine, 21 (172), 863-867. doi: 10.1080/14786437008238472
7. Lundstrom, M. (2000). Fundamentals of Carrier Transport, 2nd Ed. Cambridge: Cambridge Univ. Press.
8. Dirac, P. A. M. (1927). The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 114 (767), 243-265. doi: 10.1098/rspa.1927.0039
9. Fermi, E. (1950). Nuclear Physics. University of Chicago Press.
10. Jeong, C., Kim, R., Luisier, M., Datta, S., Lundstrom, M. (2010). On Landauer versus Boltzmann and full band versus effective mass evaluation of thermoelectric transport coefficients. Journal of Applied Physics, 107 (2), 023707. doi: 10.1063/1.3291120
11. Kruglyak, Yu. A. (2013). From Ballistic Conductivity to Diffusional in the Landauer-Datta-Lunstrom Transport Model, Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies, 11 (4), 655-677.
12. Shockley, W. (1962). Diffusion and Drift of Minority Carriers in Semiconductors for Comparable Capture and Scattering Mean Free Paths. Physical Review, 125 (5), 15701576. doi: 10.1103/physrev.125.1570
13. Jeong, C., Antoniadis, D. A., Lundstrom, M. S. (2009). On Backscattering and Mobility in Nanoscale Silicon MOSFETs. IEEE Transactions on Electron Devices, 56 (11), 2762-2769. doi: 10.1109/ted.2009.2030844
14. Pierret, R. F. (1996). Semiconductor Device Fundamentals. Reading, MA: Addison-Wesley.
15. Lundstrom, M. (2008). ECE 612: Nanoscale Transistors. Lecture 4. Polysilicon Gates. QM Effects. Available at: www. nanohub. org/resourses/5364
16. Taur, Y., Ning, T. (2009). Fundamentals of Modern VLSI Devices, 2nd Ed., Cambridge univ. Press, Cambridge, UK.
17. Kruglyak, Yu. Landauer-Datta-Lundstrom (2014). Generalized Transport Model for Nanoelectronics, Journal of Nanoscience, 725420, 15. doi: 10.1155/2014/725420
18. Kruglyak, Yu. A. (2014). A Generalized Landauer-Datta-Lundstrom Electron Transport Model, Russian Journal of Physical Chemistry, 88 (11), 1826-1836.
Рекомендовано до публгкацИ д-р ф1з.-мат. наук Глушков О.В.
Дата надходження рукопису 21.02.2015
Кругляк Юрий Алексеевич, доктор химических наук, профессор, кафедра информационных технологий, Одесский государственный экологический университет, ул. Львовская, 15, г. Одесса, Украина, 65016 E-mail: quantumnet@yandex.ua
