Модель проводимости Ландауэра-Датты-Лундстрома в микрои наноэлектронике и транспортное уравнение Больцмана Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.935

DOI: 10.15587/2313-8416.2015.38848

МОДЕЛЬ ПРОВОДИМОСТИ ЛАНДАУЭРА-ДАТТЫ-ЛУНДСТРОМА В МИКРО- И НАНОЭЛЕКТРОНИКЕ И ТРАНСПОРТНОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

© Ю. А. Кругляк

Рассматривается роль транспортного уравнения Больцмана (ТУБ) в модели Ландауэра-Датты-Лундстрома (ЛДЛ) переноса электронов и тепла. В качестве приложения ТУБ обсуждается решение ТУБ в приближении времени релаксации, выводится привычное для модели ЛДЛ выражение для поверхностной проводимости и рассматривается поведение тока во внешнем магнитном поле Ключевые слова: нанофизика, наноэлектроника, уравнение Больцмана, время релаксации, поверхностная проводимость, эффект Холла, холловская подвижность, холловский фактор

The role of the Boltzmann transport equation (BTE) in the Landauer-Datta - Lundstrom (LDL) electron and heat transport model is discussed. As the applications of the BTE there are discussed the BTE in the relaxation time approximation and the behavior of electric current in an external magnetic field as well as expression for the surface conductivity well known in the LDL model is deduced

Keywords: nanophysics, nanoelectronics, Boltzmann equation, relaxation time, surface conductivity, Hall effect, Hall mobility, Hall factor

1. Введение

Транспортное уравнение Больцмана (ТУБ) в наноэлектронике [1] решает те же самые задачи, что и транспортная модель Ландауэра-Датты-Лундстрома (ЛДЛ) [2]. Для одних задач лучше пользоваться ТУБ, а для других - моделью ЛДЛ. При правильной постановке вычислений оба подхода приводят, естественно, к одним и тем же результатам. Настоящий обзор посвящен в первую очередь ТУБ и его роли в концепции ЛДЛ. В качестве приложения ТУБ рассмотрим поведение тока во внешнем магнитном поле.

Основной задачей теории транспортных яв-ле-ний Больцмана [3] является вычисление функ-fCr.k.t)

ции распределения J v ' ' ' как вероятности того, что состояние в точке ^ с волновым вектором

, р = hk ч

(или импульсом г ) занято в момент времени t. В состоянии равновесия ответ известен: это -

функция Ферми fo (E). Нас же в этом обзоре будут интересовать следующие вопросы: как составить

fCr.k.t)

уравнение для J v ' за пределами равновесия, как решить это уравнение в режиме линейного отклика, другими словами, вблизи равновесия, как увязать полученные таким образом результаты с теми, которые получаются в модели ЛДЛ в диффузионном режиме транспорта, как учесть внешнее магнитное поле и его влияние на электронный транспорт. Более подробное рассмотрение этих вопросов можно найти в [4-8].

2. Обзор транспортного уравнения Больцмана

Электроны в кристалле с медленно меняю -щимся потенциалом могут рассматриваются как ква-зи-частицы. Ньютоновское уравнение движения

dp = d(hk) = dt dt

где сила, действующая на электрон,

Fe=-VEc-qvxB = -qE-qvxB. (2)

Для нахождения k(t) нужно вычислить

t

hk(t) = hk(0) + jFe (f(t'),t')dt'. (3)

о

Зная k(t), по зонной структуре определяем скорость электронов

vg(t)=^7kE(k(t)) (4)

и далее их траекторию

t

r(t) = r (0) +1 (t')dt'. (5)

0

Уравнения (3) и (5) есть полуклассические уравнения движения электронов в кристаллическом твердом теле. В полуклассическом подходе предполагается, что потенциал Ес (г) меняется медленно, так что отсутствуют квантовая интерференция и тун-нелирование и электроны можно рассматривать как частицы. Положение электронаи его импульс одновременно определены, так что квантовомеханическая неопределенность АгАр > h / 2 мала.

Уравнения движения описывают положение электрона в фазовом пространстве. На рис. 1 показана произвольная траектория T[x(t), px (t)] движения электрона в 2d-фазовом пространстве (x, px).

Рис. 1. Траектория движения электрона Т(Г) = \х(Г), рх (/)] в фазовом пространстве (х, рх). Определить нужно вероятность /(х, рх, Г) того, что состояние, обозначенное черным кружком, занято в момент времени /. Эта вероятность должна совпадать с вероятностью того, что предыдущее состояние, обозначенное светлым кружком, также занято в момент времени Г - Л

Черным кружком на траектории показано состояние, для которого мы хотим определить вероятность /(х,рх,Г) того, что оно занято. Из непрерывности движения электрона вдоль траектории следует, что эта вероятность должна совпадать с такой же вероятностью для предшествующего состояния, показанного светлым кружком, а именно:

/ (х, рх, о = / (х - уха, рх - Еел, г - л), (6)

ему противополо-жным актом в соответствии с принципом детального равновесия.

Поясним последнее утверждение. Процессы рассеяния увеличивают или умень-ниют плотность электронов, приходящуюся на ин-

финитезимальный объем с/к . Вводят величины

Гд/(г,к,Г)л dt

такие, что выражения

Гд/(г,к,г)л

dt

' out

fdf{?X-J dt

dk

■dt и

fdf{rX-J)^ dt

dk

■dt

дают прирост (in) или отток (out) числа электронов на единицу объема в элементе объема dk , охватывающего значение к в инфинитезимальный временной интервал dt. В состоянии динамического равновесия прирост и отток уравниваются. При полуклассическом подходе к транспорту электронов предполагается, что рассеяние происходит под действием короткодействующих сил настолько быстро, что положение электрона не изменяется в процессе столкновения, изменяется лишь импульс электрона.

При учете рассеяния ТУБ принимает вид

|*- + v.Vrf + Ft-Vpf = Sf, dt

(12)

другими словами, полная производная вдоль траектории равна нулю

f = 0 .

dt

(7)

Взяв производную от функции нескольких переменных (цепное правило), получаем

df df df dx df dpx

dt dt dx dt dp dt

= 0,

или иначе

df df df — +—vx + Fex = 0 .

dt dx dp '

(8)

(9)

В 3d-фазовом пространстве, очевидно, имеем

f

dt

+ v-yj + Fe-VJ = 0.

(10)

Где

^ , df я df я df A Vrf =— x + —y + —Z' dx dy dz

df df df ^pf = Px +Py +Pz

dPx dPy dPz

(11)

Уравнение (10) иногда называют бесстол-кновительным ТУБ. Это уравнение описывает баллистический транспорт или же состояние равновесия, в котором каждый акт столкновения компенсируется

в котором выбор оператора рассеяния £ определяется постановкой задачи и может быть весьма сложным. При полуклассическом рассмотрении транспорта электронов обычно используется приближение времени релаксации (ВР) [6]

S f = -

f(p)-fo(pA_ sf(p)

(13)

где 8/ есть отклонение функции распределения от ее равновесного значения, а т есть характеристическое время релаксации импульса [4].

Почувствовать приближение ВР можно на таком простом примере. Пусть мы рассматриваем пространственно однородный материал в отсутствии электрических или магнитных полей. Тогда второе и третье слагаемые в ТУБ (12) зануляются и остается уравнение

f = _SJ_

dt т ' решением которого является

Sf (t) = Sf (0) e-

(14)

(15)

согласно которому нарушения в системе, вызванные отклонением от равновесного состояния, распадаются экспоненциально с характеристическим временем т . Рассеяние восстанавливает равновесие.

Приближение ВР вполне приемлемо для описания квазиравновесного транспорта в режиме линейного отклика, однако, подобное приближение для

t !т

интеграла столкновений может быть обосновано лишь вблизи равновесия и только для упругих и/или изотропных процессов рассеяния [4]. Этим приближением широко пользуются для получения результатов в аналитическом виде. Будем далее пользоваться им и мы. Нужно, однако, помнить, что есть немало ситуаций, когда приближение ВР не работает (например, [9]).

3. Решение ТУБ в режиме динамического равновесия

В качестве примера решения ТУБ рассмотрим случай динамического равновесия. Внешнее магнитное поле пока не будем учитывать. В приближении ВР для системы в состоянии динамического равновесия (д//д = 0) имеем:

v.VJ-qE.Vf = -

Sf

(16)

Решение сводится к равновесному значению f0(r,p,t) с учетом малой поправки Sf(r,p,t). Естественно предположить, что

vrf «v,f0,

Vpf *vpfü..

(17)

Тогда для поправки S f из уравнения (16) имеем:

Sf = -r(v-yrf0-qÉ-Vpf0).

(18)

Преобразуем правую часть решения (18) следующим образом. Равновесную функцию Ферми запишем в виде

е +1

© =

E(r ,p) — Ef (Г) Ec(F) + E(P)-Ef(F)

(19)

кТ

kT

где Ер (г) - электрохимический потенциал. Для градиентов равновесной функции Ферми имеем:

Vf = ! Vr©, r 0 5© r

'pJ0 5©

V pfo =^0 V p ©,

5f±=kT5foL

5© 5E

(20)

(21)

Подставляя (20) и (21) в (18), получаем:

Sf = TkT^-^(v.Vr®-qÉ.Vp@). (22) С учетом

Vr® = ^r{Ec(r)-EF{f)),

-VrEc(f) = -qE(F), V© =

квазиравновесное решение ТУБ (22) окончательно можно записать следующим образом:

^f "I"!

(v.F,).

(23)

Р, = -V (г) + Т [£, (г) + ЕСр) - Ег (г)] V, I - \

Силу Ё называют обобщенной силой; именно она выводит систему из состояния равновесия. Обобщенная сила содержит две компоненты: градиент электрохимического потенциала и градиент (обратной) температуры. Именно эти две причины в транспортной модели ЛДЛ выводят систему (проводник) из состояния равновесия и обеспечивают возникновение электрического тока [2, 10]. В модели ЛДЛ это очевидный физический результат, подтвержденный теперь математическим решением ТУБ в квазиравновесном режиме в приближении ВР.

Перейдем к вычислению транспортних коэффициентов.

4. Транспортные коэффициенты

Располагая решением (23) ТУБ в квазиравновесном режиме, можно рассчитать различные свойства проводника. К примеру, для 2D проводника поверхностная плотность электронов

п* Ю = 7 X [/о (Г, к) + б Г (г, к)] = 1X /о {г, к), (24)

где окончательный результат есть следствие того, что функция дfir,к) является нечетной по импульсу и при интегрировании в ^-пространстве зануляется. Суммирование в ^-пространстве рассматривается во второй лекции курса М. Лундстрома «Электронный транспорт в полупроводниках» [11].

В случае плотности тока в 2D проводнике нужно вычислить только

А к

(25)

поскольку существенна только поправка 5/, а произведение у/0 нечетное в ^-пространстве и при интегрировании зануляется, произведение же уЗ/ в (25) четное и дает вклад в плотность тока.

Плотность энергии электрического тока дается выражением

(Г) =7ЕВД <*/(*) ' (26)

А к

а термоток

kT

Je(j)=\X{E-EF)v{k)8f{k), (27)

А г

где суммарная энергия электрона Е = Ес (г) + Е(к). Разность Е - Ер есть энергия, которую должен поглотить электрон, находящийся в контакте при энер-

гии Ер < Е, чтобы войти в моду проводника при энергии Е [12].

Если вычислять зарядовый ток и термоток опираясь на решение ТУБ (23), для каждого из токов получим двухчленное выражение, поскольку обобщенная сила в (23) дает два вклада - за счет разности электрохимических потенциалов и за счет разности температур контактов. В итоге получаются четыре термоэлектрических коэффициента. Вычислим один из них - поверхностную проводимость св .

Итак, вычисляем зарядовый ток (25) с учетом (23):

A

(-q)

A

I>

к

-dA(vv).F дЕГ g

(28)

где произведение (уу) в общем случае есть тензор, так что ТУБ позволяет относительно просто рассматривать анизотропный транспорт, для описа-ния которого потребуются тензорные выражения для транспортных коэффициентов. Упрощая ситуацию, далее рассмотрим ток лишь в направлении х в предположении, что электрохимический потенциал изменяется только в этом направлении и температура вдоль проводника постоянна, а именно:

Jx(f) =

Wi-I

dE„

dx

что можно переписать в стандартной форме

ё (Ер /д)

J = CT

dx

где

= 1У q 2 vdJA 1.

x I qe\

(29)

(30)

(31)

Для вычисления удельной поверхностной проводимости нужно отсуммировать в ^-пространстве.

При конечных размерах проводника число электронных состояний в проводнике счетно. Если речь идет о нанопроводнике, число состояний невелико и суммирование в (31) можно выполнить непосредственно. В достаточно объемных проводниках состояния располагаются плотно и суммирование в (31) можно заменить интегрированием. Рецепт простой:

(32)

где N есть плотность состояний в ^-пространстве. Для проводников разной размерности окончательно имеем [4, 11]:

Ш: Nkdk ■■

2 х [—— \dk = —dk, I 2ж) ж

А Л А

2D : N,dk= 2х|—-\dkdk =—-dk dk ,

,4 ж1) у 2ж2 у Q ^ Q

3D : N,dk = 2 х —- \dk dk dk = —-dk dk dk ,

k \8ж ) y 4 ж x y z

(33)

где общая двойка учитывает вырождение по спину. Плотность состояний N не зависит от зонной структуры.

Вместо (31) с учетом долинного вырождения ^ имеем:

с=£{К ^)'1вЫк. (34)

После взятия интеграла по углу с vx = v cose

имеем:

CT

=2Жт J) i-§}kdk-

dE

(35)

Для параболической дисперсии

Ык = ™-с1Е ъу> = 2{Е-Ес\

Й2 « т

Пусть еще, упрощения ради, характеристическое время рассеяния постоянно: т(Е) = т0. Тогда вместо (35) имеем:

что после взятия интеграла дает

q2r0kT ^ = SV-T2-MVF):

7ГП

(37)

где интеграл Ферми-Дирака порядка ] определяется следующим образом

(т ) =77^ i

т

w+1 oexp (т-т)+1

d ],

с = (Ер -Ес)/кТ [13].

Если вспомнить (формула (97) в [13]), что поверхностная плотность электронов

да / Т

п„ = ¡О21>(Е)/0(Е)сШ = 10—З^т,,) = ^30(17,), (38)

о ^

то удельная поверхностная проводимость (37) выразится привычным образом:

cts = nsq\ | =nsqM. m

(39)

Однако, как общеизвестный результат соотносится с моделью ЛДЛ? Для ответа на этот вопрос нужно вернуться к уравнению (35) и перейти в нем к интегрированию по энергии:

2ж

-J У2Т( E) (-

дЕ

V * ,

dE.

(40)

Поскольку плотность 2D-состояний

D1d (Е) =■

тгй2

то вместо (40) имеем:

o

o

^ = T i {VT)VD2D

dE

dE.

(41)

Введем множители ж/2 и к/4 и им обратные и перекомпонуем (41) следующим образом:

il 11 2 h-,

л

-VT

V \-D2D (E)

дЕ

dE. (42)

В подынтегральном выражении первый сомножитель в круглых скобках, согласно (13) из [14], есть средняя длина свободного обратного рассеяния Л(Е), сомножитель 2у/л , согласно (30) из [13], есть

средняя скорость (у+ (Е)^ при энергии Е в направлении +х, а все выражение в квадратних скобках, согласно (33) из [13], есть ни что иное как число мод проводимости Мгв (Е). Таким образом, полученное вы-ра-жение (42) есть хорошо известное в модели ЛДЛ (формула (141) в [13]) выражение для поверхностной проводимости

2q2

]X(E)M2D (E) [-^Ц] dE .

dE

(43)

Итак, результатом решения ТУБ в квазирав -новесном режиме в приближении ВР, или иначе в диффузионном приближении, для поверхностной проводимости получается привычное для модели ЛДЛ выражение. Показано также [15], что ТУБ в приближении ВР дает точно такие же выражения для коэффициента Зеебека и для электронной теплопроводности, что и транспортная модель ЛДЛ. Преимущество модели ЛДЛ в ее физической прозрачности, а также в том, что она позволяет рассматривать квазибаллистический и баллистический режимы транспорта так же просто, как и диффузионный режим. С другой стороны, без ТУБ не обойтись при изучении анизотропного транспорта. Кроме того, легко учесть магнитное поле в ТУБ, как это будет показано ниже. Не говоря уже о том, что ТУБ позволяет рассматривать транспорт вдали от равновесия [4].

Прежде чем перейти к учету магнитного поля в ТУБ, получим выражение для усредненного времени рассеяния ((^.

Если при переходе от (35) к (36) сохранить зависимость времени рассеяния от энергии, то

Г Jr(E){E-Ec)\-^\dE.

лй

dE

(44)

а самый простой путь учесть зависимость времени рассеяния от энергии это выбрать для этой зависимости степенной закон

t(E) = t

E - Ec kT

(45)

Поверхностная проводимость пропорциональна поверхностной плотности электронов

ns = J D2D СE)f0 (E)dE = J ( gv ^ ] f0 (E)dE .

Умножая и деля а8 по (44) на щ, получаем

/о

= q

2УлП /0

}гтЕ-Е,Щ

dE

fl лП1 |У0

(46)

f0{E)dE

что позволяет записать поверхностную проводимость в виде

as = nsq

q( T»

m

(47)

где должным образом усредненное время рассеяния

да /

|г( Е)( Е - Ес) 1--

f \ dE dE,

J fo( E)dE

(48)

В предположении степенного закона рассеяния (45)

т=т

E - Ec kT

(E - Ec) [ -f | dE

J fo( E)dE

. (49)

Интегрирование знаменателя дает кТ30 ), а числителя - кТГ(5 + 2)3^ (цр), так что окончательно

«T» = T

Y(s + 2)3, Qjf )

%o(vF)

(50)

Точно так же выражения для ((^ можно

получить для Ш и 3D проводников. Для невырожденных полупроводников интегралы Ферми-Дирака обращаются в экспоненты, так что для таких проводников

m = ToY(s + 2).

(51)

При рассеянии на акустических фононах в 2D проводнике 5 = 0, а на заряженных примесях 5 и 1. Таким образом, для 2D проводников с такими режимами рассеяния ((^ превышает т0 в 1-2 раза.

5. Учет магнитного поля в ТУБ

Под влиянием магнитного поля транспортные коэффициенты изменяются. Измерение эффекта Холла позволяет полнее охарактеризовать свойства материала проводника [16]. Решение ТУБ с учетом магнитного поля в общем случае вполне достижимо, хотя и подчас требует значительных вычислительных ресурсов. Мы же рассмотрим частный случай измерения проводимости в 2D проводнике, ориентированном в плоскости ху с магнит-

о

m

о

о

да

0

0

s

ным полем В, направленным перпендикулярно вдоль оси г.

Начнем с приближения ВР для системы в состоянии динамического равновесия (д/181 = 0) и, простоты ради, предположим пространственную однородность проводника (V,. / = 0). Тогда ТУБ (16) с учетом магнитного поля будет:

-дЁ-Ур/-д[ухВ}Ур/ = -^. (52)

Сразу хочется допустить, что V f -V f ,

(53)

как это предполагалось ранее в (17), но теперь это невозможно. Приближение (53) вполне пригодно, как мы видели выше, для первого слагаемого с электрическим полем в левой части (52), но не приемлемо для второго слагаемого с магнитным полем. Причина кроется в том, что

7 fJAV е=А

pJo ЗЕ р ЗЕ

(54)

и будучи подставленным во второе слагаемое с магнитным полем, получаем / • V = 0. Чтобы получить решение ТУБ с учетом магнитного поля, уравнение (52) нужно переписати в виде

-qE-Vpf0-q\vxB}Vp(Sf) = -^-, (55)

т

решить которое, правда, труднее, поскольку 8/ входит в обе части уравнения. Решить его можно параметрически. Пусть решение имеет вид (23), но обощенную силу Ё в нем заменим на неизвестный

вектор О, а именно:

Sf = т\-

3E

И),

(56)

причем искомый вектор О не зависит от импульса р . После подстановки этого пробного решения в (55) нужно вычислять V (8/) ■ Учитывая (54) и рассматривая параболическую зонную структуру (V V = 1 !т ), находим, что

р 1 3E I ш'

(57)

Остается подставить (54), (56) и (57) в (55) и получим:

че-у—щухВ-6) + у-6 = 0. (58) т* v !

Пользуясь свойством тройного векторного

произведения (ухВ-Щ = (у -ВхЩ , переписываем

(58) в виде

у-^-дЕ + -Цг[Вх(Г\-6^ = 0. (59)

Поскольку (59) должно удовлетворяться для любого V , то выражение в круглых скобках должно быть равно нулю, а именно:

0 = ^Ё + ЩвхО~\.

ш*L J

(60)

Из справочника находим, что для векторного уравнения с =а + Ъ хс решением является

а + [Ь ха] + (а-Ь)Ь

с =-ъ-•

1+ Ь2

Тогда решением уравнения (60) будет

(61)

_ -аЁ-(q2T/m*)\ВхЁ~\-а(ат/т*)2 (Ё-Ё)в

G =-±-=!—;-i-'—, (62)

1 + (фст)2

где циклотронная частота

qB

ш

(63)

а плоскость круговой орбиты электрона перпендикулярна вектору магнитного поля.

Первое слагаемое в числителе дает вклад в проводимость, второе слагаемое ответственно за эффект Холла, третье слагаемое как и знаменатель пропорциональны В2 и определяют магнитосо-противление.

Рассмотрим стандартную ситуацию при измерении эффекта Холла, когда В 1Ё. В этой конфигурации полей третье слагаемое зануляется. Будем предполагать также, что магнитное поле слабое, чему соответствует

сот <sc 1.

(64)

В слабых магнитных полях электрон испытывает много столкновений прежде чем замкнет свою круговую орбиту. Для слабых магнитных полей имеем

0 = ^Ё-^2т/т')\_ВхЁ~]. (65)

Вектор С/' В. Ё. лежит в плоскости ху с проекциями на оси

G, —qE,B,E,.

ш

(66)

Итак, решение ТУБ при наличии магнитного поля в приближении ВР получено. Решением является уравнение (56) с вектором О по (62) или же уравнение (65) при (7 _1_ В, Ё. В отсутствии магнитного поля решение дается уравнением (23). Предполагалось, что градиенты плотности электронов и температуры отсутствуют. Если нужно учесть изменение

концентрации электронов по длине проводника или перепад температуры, следует -дЕ заменить обобщенной силой Ё (23).

Теперь рассмотрим как будут меняться транспортные коэффициенты в присутствии магнит-ного поля. Для этого полученные решения нужно подставить в (25) и (27) и посмотреть как изменится зарядовый ток и термоток. Проще всего рассмотреть эту ситуацию на примере проводимости.

Заменим обобщенную силу в уравнении (28)

на вектор О:

с одновременным умножением их на щ, так что в конечном итоге базовые токовые уравнения таковы:

Jx =aSEx f*HEyBz ,

Jy = °SEy + °sHhBzEx ,

или в матричной форме

(Л \

V Jyj

~°shHBZ

(E

(67)

и в векторном обозначении

J = <7SÉ - <ysjuH \JÍ x .

V Eyj

(73)

(74)

(75)

Проекции вектора плотности тока получаются следующими:

Позже нам понадобится запись уравнений (73) в индексных обозначениях:

J -%Ч(Вг) Ej

(76)

J. - ¥ 2 f j V, СД + Vy0y ),

(68)

где индексы г и j пробегают все координатные оси х, у, г или 1, 2, 3. Тензор проводимости ст. представим матрицей 2 х 2 (74). Запись (76) часто пишут без значка суммирования

Слагаемые vxvy = v2 cosdsind после интегрирования от 0 до 2л дадут ноль, так что вместо (68) запишем

j = (=9) YTf-f )vG ,

x A ? { dE) x x,

J (Bz)Ej.,

(77)

j - (-9)y/ífvg .

y A 2 V dE 1 y y

(69)

имея в виду, что суммирование ведется по повторяющемуся индексу.

Уравнение (75) записано в векторной форме. В индексных же обозначениях

Ji -°sEí -°sMhejkBEj

(78)

где есть символ Леви-Чивита, иначе перестановочный единичный тензор

В состоянии равновесия + V2 = V2, а после усреднения по углам = V2 = V2/2 .

Для параболической дисперсии I" 1' если г, j,к все различны и переставляются в циклическом порядке х,у,г,

ш"у2/2 = Е — Е так что V2 и V2 в = > если i, j,к все различны и переставляются в ациклическом порядке х, г,у,

(69) можно заменить на (E - Ec) Im*:

0

J -

(-q)^(E - Ec )t(E) ( dfo \G

A

-r-

dE

j _(-q)^(E-Ec)t(E) (_f \G

y A í m* I dE

(70)

в противном случае. В уравнениях (73)

М-

q( /»

Используя выражения для проекций вектора G (66), имеем:

m

J„

'-(E - E "(E| ( - (q/ Im" )EB ],

Jy- A 2

dE

^(E - Ec )T(E) ( df0 \ [qE + (q/ Im* )BE ].

(71)

2 (E - Ec ME) (-f

(79)

(80)

(81)

dE

Окончательные выражения для компонент плотности тока получаем делением правых частей (71) на

что то же самое, что и уравнение (48).

Холловская подвижность в (73) определяется

в виде

Мн - Мгн

(82)

- т 2 fo(E)

(72)

через холловский фактор, играющий важную роль в холловских измерениях,

и

с

к

n

S

к

№2

(83)

X (E - Ec )№ (E) I-

(84)

Уравнения (73) и есть искомые уравнения для тока в плоском образце в присутствии слабого магнитного поля, направленного перпендикулярно к поверхности образца. Из этих уравнений следует, что в отсутствии магнитного поля электрическое поле в направлении х порождает ток в этом же направлении, а в присутствии магнитного поля, перпендикулярного поверхности образца, ток порождается также и в направлении у. В присутствии магнитного поля электрическое же поле в направлении у порождает ток и в направлении х и в направлении у, проводимость приобретает тензорный характер.

Аналогичным образом можно получить выражения для коэффициента Зеебека и для электронной теплопроводности, и эти оба терми-ческие коэффициенты оказывается также имеют тензорную природу [17].

Сделаем одно замечание относительно холлов-ского фактора применительно к 2D проводникам со степенным законом рассеяния.

Для холловского фактора можно получить простое выражение, если рассеяние описывается степенным законом (45). Нам нужно вычислить (84). Поскольку

№ (E) =№

E - Ec kT

(85)

то при вычислении (84) результат окажется таким же, как и (51) только лишь с заменой показателя степени 5 на 2s, а именно:

№) = №Y(2s + 2) .

(86)

предполагая, что речь идет о невырожденных полупроводниках.

Теперь холловский фактор (83)

(№1_

№2 ^ + 2)]2

r(2s + 2)

(87)

Поскольку при рассеянии в 2D проводнике на акустических фононах и на заряженных примесях показатель степени 5 в законе рассеяния (45) изменяется в пределах от 0 до 1, то холловский фактор изменяется от 1 до 1.5. При выполнении холловских измерений механизм рассеяния в образце как правило не известен и холловский фактор обычно полагают гя = 1. Нужно, однако, помнить, что такой подход вносит неопределенность в результаты измерений.

В заключение еще раз отметим, что в отсутствие магнитного поля ТУБ и транспортная модель

ЛДЛ приводят к одинаковым результатам для проводников, работающих в квазиравновесном диффузионном режиме. Модель ЛДЛ привлекательна тем, что она физически прозрачна, а также тем, что транспорт в баллистическом и квазибаллистическом режимах описывается так же просто как и транспорт в диффузионном режиме. Кроме того, транспортная модель ЛДЛ не предполагает наличия периодической кристаллической структуры материала проводника, и она успешно применяется к аморфным, поликри-сталлическим и нанокомпо-зитным материалам. Преимуществом ТУБ является возможность описа-ния анизотропного транспорта и транспорта в маг-нитном поле. Кроме того ТУБ позволяет описывать транспорт вдали от квазиравновесных условий.

В основу настоящего обзора положены лекции Марка Лундстрома «Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications» [5] и Суприе Датты «Fundamentals of Nanoelectronics, Part I: Basic Concepts» [18], прочитанных в 2011-2012 годах в рамках инициативы Purdue University / nanoHUB-U [www.nanohub.org/u], а также наша статья [1].

6. Благодарности

Благодарю Н. Е.Кругляк за помощь в работе по изготовлению рисунков.

Литература

1. Кругляк, Ю. О. Уроки наноелектрошки: Роль електростатики й контачив у концепцп "знизу - вгору" [Текст] / Ю. О. Кругляк, М. В. Стр1ха // Sensor Electronics Microsys. Tech. - 2014. - № 11. - С. 4-5.

2. Kruglyak, Yu. Landauer-Datta-Lundstrom Generalized Transport Model for Nanoelectronics [Text] / Yu. Kruglyak // Journal of Nanoscience. - 2015. - Vol. 2014. - P. 1-15. doi: 10.1155/2014/725420

3. Больцман, Л. Избранные труды [Текст] / Л. Боль-цман. - М: Мир, 1984. - 590 с.

4. Lundstrom, M. Fundamentals of Carrier Transport [Text] / M. Lundstrom. - Cambridge UK: Cambridge University Press, 2000. - 415 p.

doi: 10.1017/cbo9780511618611

5. Lundstrom, M., Jeong C. Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications [Text] / M. Lundstrom, C. Jeong. - Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2013. - 227 p. - Available at: www.nanohub.org/resources/11763

6. Sears, F. W. Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics [Text] / F. W. Sears, G. L. Salinger. - Boston: Addison-Wesley, 1975.

7. Займан, Дж. Принципы теории твердого тела [Текст] / Дж. Займан. - М: Высшая школа, 1974.- 468 c.

8. Ашкрофт, Н. Физика твердого тела [Текст] / Н. Ашкрофт, Н. Мермин. - М: Мир, 1979. - 458 c.

9. Pikulin, D. I. Nernst effect beyong the relaxationtime approximation [Text] / D. I. Pikulin, C.-Y. Hou, C. W. J. Be-enakker // Physical Review B. - 2011. - Vol. 84, Issue 3. doi: 10.1103/physrevb.84.035133

10. Кругляк, Ю. О. Уроки наноелектрошки: Термо-електричш явища в концепцп "знизу - вгору" [Текст] / Ю. О. Кругляк, Н. Ю. Кругляк, М. В. Стрiха // Sensor Electronics Microsys. Tech. - 2013. - № 10. - С. 1-6.

11. Lundstrom, M. Electronic Transport in Semiconductors [Electronic resource] / M. Lundstrom. - 2011. - Available at: www.nanohub.org/resources/11872

2

№

rH =

с

k

rH =

12. Кругляк, Ю. A. Термоэлектрические явления и устройства в концепции Ландауэра-Датты-Лундстрома [Текст] / Ю. A. Кругляк // ScienceRise. - 2015. - Т. 1, № 2 (6). - C. 69-77. doi: 10.15587/2313-8416.2015.35891

13. Кругляк, Ю. О. Обобщенная модель электронного транспорта Ландауэра-Датты-Лундстрома [Текст] / Ю. О. Кругляк, М. В. Стргха // Sensor Electronics Microsys. Tech. - 2015. - № 12. - С. 2-5.

14. Кругляк, Ю. A. Учет рассеяния в транспортной модели Ландауэра-Датты-Лундстрома [Текст] / Ю. A. Кругляк // ScienceRise. - 2015. - Т. 3, № 2 (8). - С. 99-107. doi: 10.15587/2313-8416.2015.38847

15. Jeong, C. On Landauer versus Boltzman and full band versus effective mass evaluation of thermoelectric transport coefficients [Text] / C. Jeong, R. Kim, M. Luisier, S. Datta, M. Lundstrom // Journal of Applied Physics. - 2010. -Vol. 107, Isseu 2. - P. 023707. doi: 10.1063/1.3291120

16. Кругляк, Ю. О. Уроки наноелектрошки: Ефект Холла i вим1рювання електрох1м1чних потенщалгв у кон-цепци "знизу - вгору" [Текст] / Ю. О. Кругляк, М. В. Стрь ха // Sensor Electronics Microsys. Tech. - 2014. - Т. 11, № 1. - С. 5-27.

17. Wolfe, C. M. Physical Properties of Semiconductors [Text] / C. M. Wolfe, N. Holonyak, G. E. Stillman. -Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. Jersey, 1989.

18. Datta Supriyo. Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport [Electronic resource] / Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2012. - 473 p. - Available at: www.nanohub.org/courses/FoN1

References

1. Kruglyak, Yu. A., Strikha, M. V. (2014).Lessons of nanoelectronics: The role of electrostatics and contacts in "bottom - up" approach, Sensor Electronics Microsys. Tech., 11, 4-5.

2. Kruglyak, Y. (2014). Landauer-Datta-Lundstrom Generalized Transport Model for Nanoelectronics. Journal of Nanoscience, 2014, 1-15. doi: 10.1155/2014/725420

3. Bol'cman, L. (1984). Izbrannye trudy. Moscow: Mir, 590.

4. Lundstrom, M. (2000). Fundamentals of Carrier Transport. Cambridge UK: Cambridge University Press, 415. doi: 10.1017/cbo9780511618611

5. Lundstrom, M., Jeong, C. (2013). Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications. Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company, 227. Available at: www.nanohub.org/resources/11763

6. Sears, F. W., Salinger, G. L. (1975). Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics. Boston: Addison-Wesley.

7. Ziman, J. M. (1964). Principles of the theory of solids, Cambridge University Press, Cambridge, 468.

8. Ashcroft, N. W., Mermin, N. D. (1979). Solid State Physics. Philadelphia: Suanders College, 458.

9. Pikulin, D. I., Hou, C.-Y., Beenakker, C. W. J. (2011). Nernst effect beyond the relaxation-time approximation. Physical Review B, 84 (3). doi: 10.1103/physrevb. 84.035133

10. Kruglyak, Yu. A., Kruglyak, N. E., Strikha, M. V. (2013). Lessons of nanoelectronics: Thermoelectric phenomena in "bottom - up" approach, Sensor Electronics Microsys. Tech., 10, 1-6.

11. Lundstrom, M. (2011). Electronic Transport in Semiconductors. Available at: www.nanohub.org/resources/11872

12. Kruglyak, Yu. A. (2015). Thermoelectric phenomena and devices in Landauer-Datta-Lundstrom Conception. ScienceRise, 1/2 (6), 69-77. doi: 10.15587/23138416.2015.35891

13. Kruglyak, Yu. A., Strikha, M. V. (2015). Lan-dauer-Datta-Lundstrom generalized electron transport model for micro- and nanoelectronics. Sensor Electronics Mi-crosys. Tech., 12, 2-5.

14. Kruglyak, Yu. A. (2015). Accounting for scattering in Landauer - Datta - Lundstrom transport model, Sci-enceRise, 3/2(8), 99-107. doi: 10.15587/23138416.2015.38847

15. Jeong, C., Kim, R., Luisier, M., Datta, S., Lun-dstrom, M. (2010). On Landauer versus Boltzmann and full band versus effective mass evaluation of thermoelectric transport coefficients. Journal of Applied Physics, 107 (2), 023707. doi: 10.1063/1.3291120

16. Kruglyak, Yu. A., Strikha, M. V. (2014). Lessons of nanoelectronics: Hall effect and measurement of electrochemical potentials in "bottom - up" approach. Sensor Electronics Microsys. Tech., 11 (1), 5-27.

17. Wolfe, C. M., Holonyak, N., Stillman, G. E. (1989). Physical Properties of Semiconductors. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. Jersey.

18. Datta Supriyo (2012). Lessons from Nanoelec-tronics: A New Perspective on Transport. Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company, 473. Available at: www.nanohub.org/courses/FoN1

Рекомендовано до публгкацИ д-р ф1з.-мат. наук Глушков О. В.

Дата надходження рукопису 18.02.2015

Кругляк Юрий Алексеевич, доктор химических наук, профессор, кафедра информационных технологий, Одесский государственный экологический университет, ул. Львовская, 15, г. Одесса, Украина, 65016 E-mail: [email protected]