CC BY
63
УДК 51:372.851
УЧЕБНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КАК КОМПОНЕНТ ТЕХНОЛОГИИ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ
В.А. Далингер
Some theoretical aspects of the question of organization and realization of the students educational research in the process of mathematics training are examined in the article: the essence of the conception of the educational research is specified, its didactic functions are revealed and different aspects of research are marked out. The article gives sufficient number of examples of various educational researches showing those spheres of mathematics where they can be possibly and expediently carried out.
Исследования психологов убедительно свидетельствуют о том, что все познавательные процессы эффективно развиваются при такой организации обучения, когда школьники включаются в активную поисковую деятельность. По их мнению, поиск нового составляет основу для развития воли, внимания, памяти, воображения и мышления. В обучении математике особое значение в этой связи приобретает исследовательская детальность учащихся, непосредственно связанная с усвоением математических знаний.
В процессе систематической целенаправленной работы по выявлению взаимосвязей математических объектов, их характеристических свойств, исследованию структуры и сферы применимости знаний развиваются все интеллектуальные качества учеников, их стремление к творческой деятельности.
Такая работа помогает учителю научить детей самостоятельно выделять главное в изучаемом материале, анализировать отобранную информацию, обобщать и систематизировать ее, открывать, а затем использовать алгоритмы решения математических задач, овладевать определенной системой эвристик, раскрывать прикладные аспекты отдельных ветвей математики, находить наиболее рациональные приемы решения теоретических и практических задач, критически осмысливать полученные результаты и применять их в дальнейшем. Эти задачи в полной мере можно решить при такой организации учебного процесса, которая предполагает систематическое вовлечение учащихся в исследовательскую деятельность по ходу усвоения знаний.
Как правило, такая работа занимает много учебного времени и напрямую не связана с усвоением изучаемого материала, а поэтому в практике обучения ма© 2001 В.А. Далингер
E-mail: dalinger@omgpu.omsk.edu
Омский государственный педагогический университет
тематике она проводится эпизодически, беееиетемно, и, следовательно, польза от нее невелика.
Более целесообразным было бы достижение тех же целей не посредством специально организованных мероприятий, а в процессе выполнения учащимися учебно-познавательной деятельности, напрямую связанной с усвоением программных знаний. Но для этого необходимо рассмотрение учебного исследования как многоаспектного дидактического явления. Такая постановка вопроса требует раскрытия всего потенциала учебных исследований, для чего требуется прежде всего дать теоретическое описание этого феномена,
В своем исследовании Е,В,Баранова [1] уточняет сущность понятия учебного исследования, раскрывает его дидактические функции, структуру и выделяет различные виды исследований.
Для раскрытия сущности понятия учебного исследования она выделила его характеристические признаки:
1) учебное исследование - это процесс поисковой познавательной деятельности (изучение, выявление, выяснение, установление чего-либо и т.д.);
2) учебное исследование всегда направлено на получение новых знаний, то есть исследование всегда начинается с потребности узнать что-либо новое;
3) учебное исследование предполагает самостоятельность учащихся при выполнении задания;
4) учебное исследование должно быть направлено на реализацию дидактических целей обучения.
Следуя точке зрения Е,В,Барановой, будем рассматривать учебное исследование как вид познавательной деятельности, который основан на выполнении учебных заданий, предполагающих самостоятельное выявление учащимися новых для них знаний, способов деятельности и направленных на достижение целей обучения.
Большинство авторов (Г.В.Токмазов, Е.В.Ларькина, М.Б.Раджабов, Л,Э,Орлова и т.д.) единодушны в том, что главной функцией учебных исследований является развивающая, а потому они предлагают вовлекать учащихся в исследовательскую деятельность с целью развития их интеллектуальных умений и творческих способностей. Но задачу учить мыслить, самостоятельно приобретать знания можно и нужно рассматривать в органическом единстве с задачей овладения основами наук. Важно диалектически учитывать единство образовательной и развивающей функций обучения математике. Поэтому, организуя учебные исследования учащихся, учитель должен иметь в виду не только их развивающее назначение, но и дидактическое,
К основным дидактическим функциям учебных исследований по геометрии можно отнести следующие:
1) функцию открытия новых (неизвестных ученику) знаний (т.е. установление существенных свойств понятий; выявление математических закономерностей; отыскание доказательства математического утверждения и т.п.);
2) функцию углубления изучаемых знаний (т.е, получение определений, эквивалентных исходному; обобщение изученных теорем; нахождение раз-
личных доказательств изученных теорем и т.п.);
3) функцию систематизации изученных знаний (т.е. установление отношений между понятиями; выявление взаимосвязей между теоремами; структурирование изучаемого материала и т.п,);
4) функция развития учащегося, превращения его из объекта обучения в субъект управления, формирования у него самостоятельности и способности к самоуправлению (самообразованию, самовоспитанию, самореализации).
Анализ этапов различных исследований, выделяемых разными авторами, показал, что главными и обязательными из них являются три, которые и образуют основную структуру учебного исследования: постановка проблемы, выдвижение гипотез, доказательство (опровержение) гипотез.
При более детальном анализе структуры учебного исследования можно выделить и такие его этапы, как:
- мотивация учебной деятельности;
- постановка проблемы исследования;
- анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу;
- экспериментирование (проведение измерений, испытаний, проб и т.д.) с целью получения фактического материала;
- систематизация и анализ полученного фактического материала;
- выдвижение гипотез;
- подтверждение или опровержение полученных гипотез;
- доказательство гипотез.
Очевидно, что различные виды исследований имеют свои особенности, поэтому для каждого из них характерно свое сочетание названных этапов.
Основная эвристическая деятельность учащихся в учебном исследовании связана с выдвижением гипотезы, ибо проблема чаще всего формулируется самим учителем, а доказательство или опровержение гипотезы сводится к доказательству соответствующей теоремы.
Учитывая специфику геометрии, можно сделать вывод, что создание гипотезы в геометрических исследованиях основывается на интуиции обучаемых, выполнении ими опытов (экспериментов) и проведении рассуждений. Причем выдвижение гипотезы посредством построения суждений и умозаключений может происходить двумя путями: индуктивным и дедуктивным. Выдвижение гипотезы в ходе выполнения опыта чревато получением ложных предположений, так как результаты, основанные только на опыте, дают новые факты о данном объекте, а не о целом классе соответствующих фигур. Но опыт играет важную роль при выдвижении гипотезы на основе интуитивных предположений или посредством индукции.
Преобладание того или иного вида умственной деятельности при выдвижении гипотезы определяет специфику самого учебного исследования. Так, исследования, основанные на дедукции - это исследования, в которых новые знания выводятся чисто логически из некоторых предложений, справедливость которых была установлена ранее, В основе индуктивных исследований лежат рас-
суждения от частного к общему. Причем эти рассуждения могут основываться либо только на анализе заданной ситуации, либо на проведении каких-либо испытаний. Если же учащийся, не зная строгих определений каких-то геометрических фактов, но имея интуитивное представления о них, может с помощью опыта выявить те или иные взаимосвязи, то познавательную деятельность такого рода будем относить к интуитивно-опытным учебным исследованиям,
В зависимости от способа выдвижения гипотезы Е,В,Баранова выделяет следующие виды учебных исследований:
а) интуитивно-опытные;
б) опытно-индуктивные;
в) индуктивные;
г) дедуктивные.
Выделенные виды учебных исследований позволяют реализовать все указанные основные дидактические функции.
Каждый вид учебного исследования связан с раскрытием новых математических фактов. Причем открытию нового материала могут способствовать каждый из данных видов, а для углубления знаний учащихся, то есть получения дополнительных математических сведений, более целесообразно использовать индуктивные и дедуктивные учебные исследования, В процессе выполнения дедуктивных учебных исследований осуществляется также и систематизация изученных школьниками знаний,
В начале изучения геометрии, когда у учащихся еще недостаточен запас пространственных представлений, важно не обучение их технике учебного исследования и даже не овладение детьми исследовательскими умениями, а формирование специфического подхода к рассмотрению геометрических ситуаций, к анализу соотношений, заданных ими. Специфику этого подхода составляют два важных интеллектуальных качества:
1) умение изменять заданную геометрическую ситуацию с целью получения таких соотношений, которые позволили бы решить поставленную задача;
2) умение замечать (видеть, предвидеть) геометрическую сущность результата изменений в заданной ситуации.
Опытная (экспериментальная) деятельность школьников с объектами, задающими геометрическую ситуацию, как нельзя лучше позволяет формировать оба из названных выше качества. Целенаправленно развивать умения наблюдать и умения изменять заданную геометрическую ситуацию, возможно на основе специальных математических упражнений.
Для развития наблюдательности необходимо прежде всего упражняться в умении обнаруживать скрытые предметы и явления, распознавать их, подмечать те или иные особенности в объектах наблюдения, выявлять взаимосвязи, свойственные тем или иным предметам, фигурам или понятиям, устанавливать закономерности, выполнять сравнение по форме и размерам, делать прикидку «на глазок», подсчет возможных вариантов или разновидностей, осуществлять выбор путей движения, определять соотношение частей или части и целого И т,п.
Указанное выше умение изменять заданную геометрическую ситуацию мож-
но развивать различными способами. Первостепенное значение при этом играет деятельность, связанная с разбиением фигур на части, составлением частей в единое целое, соединением каких-либо предметов в единую конфигурацию, достраиванием заданной фигуры до некоторой другой фигуры, обладающей искомыми свойствами, перекраиванием одной фигуры в другую, перемещением частей или всей фигуры в новое положение,
В обучении геометрии целесообразны специальные учебные исследования, в которых учащиеся, еще не зная строгих определений и свойств фигур, но имея интуитивные представления о них, способны выявлять некоторые простейшие свойства рассматриваемых фигур, выполняя различные действия опытного характера.
Привлечение школьников к учебным исследованиям должно идти в двух направлениях - содержательном и организационном. Содержательная самостоятельность проявляется в том, чтобы ученик мог без помощи со стороны поставить перед собой учебную задачу и представить ход ее решения. Организационная самостоятельность выражается в умении ученика организовать свою работу по решению поставленной задачи.
Таким образом, перед учителем встает проблема поиска эффективных форм и способов учебной деятельности учащихся, которые не просто вовлекали бы их в исследовательскую работу, но и способствовали обучению самой этой деятельности, В конечном счете необходимо так организовать познавательную деятельность школьников, чтобы процедура учебного исследования усваивалась ими вместе с тем содержанием, на котором оно осуществляется.
Анализ процесса усвоения геометрических знаний показывает, что учебные исследования целесообразно организовывать при:
а) выявлении существенных свойств понятий или отношений между ними;
б) установлении связей данного понятия с другими;
в) ознакомлении с фактом, отраженном в формулировке теоремы, в доказательстве теоремы;
г) обобщении теоремы;
д) составлении обратной теоремы и проверке ее истинности;
е) установлении связей данной теоремы с другими;
ж) выделении частных случаев некоторого факта в математике;
з) обобщении различных вопросов;
и) классификации математических объектов, отношений между ними, основных фактов данного раздела математики;
к) решении задач различными способами;
л) составлении новых задач, вытекающих из решения данных;
м) построении контрпримеров и т.д.
Сейчас, когда предметно-ориентированная парадигма образования сменяется на личностно-ориентированную, следует понять роль учащегося, его главную задачу в получении не только знаний о существующих зависимостях в окружающем мире и описываемых математическими моделями, но и в овладении методологией творческого поиска.
Заметим, что традиционное обучение приепоеоблено для обучения фактам, а не для процесса получения фактов.
Приведем примеры заданий, которые позволяют организовать учебные исследования,
1) Исследуйте вопрос: «Можно ли правильный тетраэдр разрезать на такие части, из которых в ином расположении получится равновеликий ему прямоугольный параллелепипед? »
Заметим, что ответ на поставленный вопрос отрицательный и найти его читатель сможет в книге В,Ф,Кагана [7].
2) Когда равновеликие трехгранные пирамиды могут быть преобразованы одна в другую методом разложения? (Ответ см, в книге [7]),
3) Покажите на примере, что два равновеликих многогранника могут быть разбиты на одинаковое число тетраэдров таким образом, чтобы каждому тетраэдру в разложении одного многогранника соответствовал равновеликий ему тетраэдр в разложении другого многогранника.
Некоторые рекомендации по решению этой задачи читатель найдет в книгах |5,7|.
4) В тетраэдре SABC ребро SB - его высота и АВ = ВС.
а) Заполните таблицу (таб, 1),
Таблица 1,
N SB АВ SA АС ZABC ZASC
1 1 1 О О 0"Ь
2 1 1 1
3 1 1 120°
4 1 2 2
5 1 2 О О 0"Ь
6 1 2 о О 0"Ь
б) Выберите сами три из указанных величин, дайте им численное значение и вычислите остальные,
в) Установите связь между SA, АВ, / ЛВС ' и ZASC.
г) Установите связь между АС, SB, /ЛВС ' и ZASC.
5) Организовать учебное исследование целесообразно и для того, чтобы учащиеся могли бы самостоятельно прийти к соотношению между числом вершин, граней и ребер для любого выпуклого многогранника, которое выражается известной теоремой Эйлера: «Для любого выпуклого многогранника сумма числа его вершин В и числа его граней Г без числа ребер Р равна двум, то есть В + Г - Р = 2».
Для такой работы учащимся предлагаются модели различных выпуклых многогранников, исследуя которые, они затем заполняют таблицу 2,
Таблица 2,
N Вид многогранника В Г р Примечание
1. Тетраэдр
2. Октаэдр
3. Икосаэдр
4. Додекаэдр
5. Ромбоэдр
6. Двенадцатиугольная пирамида
7. Усеченная пятиугольная пирамида
8. Восьмиугольная призма
9. Прямоугольная
бипирамида
Не следует предлагать учащимся вычислять значения готового выражения В + Г - Р, Больше пользы будет в том случае, если они сами, выполняя действия над числовыми характеристиками, получат требуемое равенство. Лишь в случае значительных затруднений можно оказать им некоторую помощь,
6) Для того, чтобы учащиеся сами установили из какого треугольника можно свернуть треугольную пирамиду, а из какого - нет, им предлагаются различные модели треугольников (остроугольные, тупоугольные и прямоугольные). Из предложенных моделей они пытаются опытным путем сконструировать треугольную пирамиду и, тем самым, убеждаются, что это возможно сделать, лишь в случае остроугольного треугольника. Затем это гипотетическое предположение доказывается,
7) Известен факт, что любая пирамида имеет четное число ребер, К этому выводу можно подвести учащихся, организовав такое учебное исследование.
Учащимся класса раздаются такие наборы спиц, что среди них есть четное и нечетное число. Путем эксперимента, который заключается в том, что учащиеся пытаются смоделировать из этого набора пирамиду, они приходят к соответствующей гипотезе, которую они затем доказывают,
8) Учебное исследование целесообразно организовывать так, чтобы решение нескольких задач было бы затем основой решения более общей задачи. Проиллюстрируем сказанное на примерах,
а) Перед тем, как решать задачу: «В пространстве задано и шаров, каждые четыре из которых пересекаются. Доказать, что все эти шары пересекаются, то есть существует точка, принадлежащая всем шарам», учащимся следует предложить для решения две такие задачи: «На прямой задано и отрезков, каждые два из которых пересекаются. Доказать что все отрезки пересекаются, то есть, что существует точка, принадлежащая всем отрезкам» и «На плоскости задано и кругов, каждые три из которых пересекаются. Доказать, что существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем этим кругам».
Все эти три задачи решаются методом индукции. Решение первой мы приведем здесь,
1°, Для п = 4 утверждение очевидно.
2°, Предположим, что наше утверждение уже доказано для любых п шаров, и пусть дано (п + 1) шаров <3>i, Ф2,..., Ф„, Фп+1- Обозначим через Ф пересечение п шаров Ф1, Ф2, ■ ■ ■, Фп (существующие в силу индуктивного предположения). Тогда можно показать, что если шар Ф„+1 не пересекаются е Ф, то существует разделяющая их плоскость 7г. Фигуры, по которым каждый из шаров Ф1; Ф2,..., Ф„ пересекает плоскость 7Г, являются кругами, любые три из которых пересекаются; следовательно, на плоскости л существует точка, принадлежащая всем этим кругам, и, значит, принадлежащая Ф, что противоречит определению плоскости
7Г.
б) Ученикам для учебного исследования можно предложить решить последовательно такие три задачи.
Задача 1, Вся прямая покрыта каким-то конечным числом лучей. Доказать, что из них можно выбрать два луча, уже покрывающих всю прямую.
Задача 2, Вся плоскость покрыта каким-то конечным числом и полуплоскостей, Доказать, что из них можно выбрать две или три полуплоскости, уже покрывающие всю плоскость.
Задача 3, Пусть задано какое-то конечное число полупространств (это есть часть пространства, лежащая по одну сторону от некоторой плоскости), заполняющих все пространство. Доказать, что из них можно выбрать четыре (или меньше) полупространства, уже заполняющих все пространство.
Большое число подобных заданий читатель найдет в книге Л,И, Головиной, И.М, Яглома [2].
Учебное исследование может быть посвящено и поиску ошибки, специально включенной в доказательство или в решение задачи. Такое учебное исследование можно назвать «учебным расследованием». Приведем примеры такой работы,
9) Подобное учебное «расследование» по обнаружению умышленно допущенной ошибки, можно провести и по случаю «неаккуратного» обращения с единицами измерений. Рассмотрим три примера:
а)
-pv6 = 25коп;
I
\j^ руб = \/2Бкоп:
-руб = 5 коп; БОкоп = 5коп.
б)
в)
2500коп = 25руб; БОкоп • БОкоп = 25руб: ДбОкоп • 50коп = Д25руб; БОкоп = 5руб.
125000000см3 = 125м3;
500см3 • 500см3 • 500см3 = 125м3;
500 ,
----м3
1000
500 ,
----м3
1000
500
1000
м3 = 125м3;
111
—м3-м3-м3 = 125м3;
20 20 20 ’
111 sort—м3 • —м3 • —м3 4 20 20 20
1
А о о
—м = 5м , 20
\^125м3;
Вывод во всех трех случаях один и тот же: над именованными числами нельзя выполнять те же операции, которые мы выполняем над обычными числами.
В связи с приведенным примером, как и для ряда других, уместно привести слова Д.Пойа: «Обучение - ремесло, использующее бесчисленное количество маленьких трюков».
10) Вычислим интеграл j хДх + 2dx двумя способами:
1 способ
хДх + 2dx = (х + 2 — 2)Дх + 2dx = (х + 2)Дх + 2dx — 21 Дх + 2dx
(т 2) 2 clx — 2 / (х + 2) 2 dx = - (х + 2) г — - (х + 2) г + С.
5 3
2 способ
Используем формулу интегрирования по частям:
J udv
UV
vdu.
и = х, du = dx, dv = у/х + 2 dx, v = f \/x~+2dx = |(a; + 2) 2, тогда
____ 2 з 2 f з2 з4 5
т-s/a: + 2dx = -a: (a: + 2)2 — - (x + 2 )*dx = -a: (a: + 2)2 — —{x + 2)2 + C.
о o J о Ю
Легко проверить, что производные от полученных в каждом случае функций дадут подынтегральную функцию, а значит мы можем записать
2, .5 4, ,з 2, ,з 4, .5
-(а:+ 2)2 - -(а:+ 2)2 = -x(x + 2)i - — (а:+ 2)2.
Описанным выше способом можно получить целую серию тригонометрических тождеств, для чего следует вычислить двумя указанными способами такой интеграл
J= (о sin х + с) у/(о sin х + Ъ)п cos xdx.
1 способ
J
U = о
sin х + с, du = a cos xdx; dv = yj(o sin a; + b)n cos xdx,
1
v = j yf (a sin x + 6)" cos xdx = - j (a sin x + b)'^d(a sin x + b)
m
a(n + m)
(a sin a; + 6)"
rn
a(n + rn rn
(a sin x + c) (a sin x + b)"
m
n + m
a(n + rn) m
ain + rn
a sin x + c) (o sin x + b) (osina:+c)(osina:+b)"
rn
a(n + m)
m
a(n + m)(n + 2m)
[a sin x + b) ™ cos xdx
a sin x + b) ™ d(osina: + b)
f . ,чn+2m ,
(asmx+6) ™ +C. (1)
2 способ
'a sin x + с) у/(a sin x + b)n cos xdx
= У ((osina: + b) + (c — 6)) '\/(osina: + b)ncosxdx =
[a sin x + b) (a sin x + b) ™ cos a:da: + (c — 6) (a sin a; + 6) ™ cos xdx
- f(asinx + b) ™ d(osina: + b) + -—- I (a sin x + b) ™ d(a sin x + b)
a
a
гп
asinx + b) ™ i—7--------(a sin х д о) ™ +С.
a(n + гп)
a{n + 2m)
Приравняв два полученных выражения (1) и (2) будем иметь
—-------г (о sm я: + с)(о sma: + 6) ™
a(n + m)v v
—--------—--------- (о sin x + b) ™
a(n + rn)(n + 2m)
--------r i a sni i т oi to i--------- i a sm x -+- и \ ™-
ayn + 2m) a(n + m)
Если мы сейчас в последнее равенство подставим произвольные о, Ъ, с, m, п (о ф 0. и ф —m,n Ф ^2m,,m, е Л', ш ф 2. и У Z), то получим целую серию тождеств, которые можно доказывать либо элементарными способами, либо с помощью производной,
В заключение статьи заметим, что от учителя для организации со школьниками эвристического поиска решения учебной проблемы или математической задачи требуются такие профессиональные качества:
1, Умение дать мотивировку необходимости изучения данной темы, решения предложенной задачи,
2, Умение своевременно актуализировать знания учащихся,
3, Использование приемов проблемного обучения,
4, Формирование у школьников умения выдвинуть гипотезу,
5, Формирование у школьников умения доказывать или опровергать выдвинутую гипотезу,
6, Организация изучения школьниками возможностей расширения условий и обобщения решений задач и исходных проблем,
7, Формирование у школьников умения подводить итоги проделанной работы и выявлять главное.
Если в этот перечень включить аспекты общей методической подготовки, то он еще пополнится следующими пунктами:
8, Соблюдение основных дидактических принципов при обучении математике,
9, Умение произвести отбор содержания учебного материала, удовлетворяющего целям и задачам исследования,
10, Умение составить систему заданий или упражнений обучающего характера,
11, Умение стимулировать активность познавательной деятельности учащихся,
12, Осуществление непрерывного контроля за степенью усвоения учащимися нового материала и решением ими задач,
13, Разнообразие использования средств обучения математике.
Литература
1. Баранова Е.В. Методические основы использования учебных исследований при обучении геометрии в основной школе: Автореф. дисс. канд. пед. наук. Саранск: Изд-во Мордовского госпединститута, 1999. 17 с.
2. Головина Л.И., Яглом II.M. Индукция в геометрии. М.: Изд-во физматгиз, 1961. 99 с.
3. Далингер В.А. Метод аналогии как средство обучения учащихся стереометрии: Учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1998. 67 с.
4. Далингер В.А. Методика работы над формулировкой, доказательством, и за,креплением, теоремы. Омск: Изд-во ОмИПКРО, 1995. 198 с.
5. Далингер В.А. Равновеликие и равносоставленные плоские и, пространственные фигуры: Учебное пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1994. 123 с.
6. Далингер В.А. Самостоятельная деятельность учащихся, и ее активизация при обучении м,am,ем,am,икс: Учебное пособие. Омск: Изд-во ОмИПКРО, 1993. 155 с.
7. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М.: Изд-во МГУ, 1963. 570 с.
