CC BY
0UCH NOMA'LUMLI IKKITA TENGLAMADAN TUZILGAN
CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI ARIFMETIK PROGRESSIYADAN OLINGAN TUB SONLARDA YECHISH
1Allakov I, 2Abdullayeva G
1Termiz davlat universiteti, 2Toshkent iqtisodiyot va pedagogika instituti https://doi.org/10.5281/zenodo.11214502
Annotatsiya. Maqolada uch noma'lumli ikkita chiziqli tenglamadan tuzilgan sistemaning arifmetik progressiyadan olingan tub sonlarda yechimga ega bo 'lish masalasi o'rganilgan. Ma'lumki, bu masala maxsus ko'rinishdagi trigonometrik yig'indilardan katta yoylar va kichik yoylar bo'yicha olingan integrallarni baholashga olib kelinadi. Ushbu ishda kichik yoylar bo'yicha olingan integral yuqoridan baholangan.
Kalit so'zlar: butun sonlar, haqiqiy sonlar, taqqoslama, effektiv doimiy, Dirixle funksiyasi, Dirixle xarakteri, maxsus nol, maxsus xarakter, kichik yoylar, katta yoylar.
Faraz etaylik a(i = 1,2; j = 1,2,3), bx, b2- butun sonlar, X yetarlicha katta haqiqiy son p lar p = /(modD) arifmetik progressiyadan olingan tub sonlar bo'lsin. Bunda (/,.,£>) = 1, £>□ In X, A>0 -ixtiyoriy fiksirlangan son, □ - Vinogradov simvoli. Ushbu
b = aapi + a 2P2 + aгзPз, i =1,2 (1)
sistemaning tub sonlar p,p2.p3 da yechimga ega bo'lish masalasini qaraymiz, bunda P = / (mod D), p = /2 (mod D), p = /3 (mod D).
Ma'lumki, (1) sistemaning yechimga ega bo'lishligi uchun quyidagi kongrurentlik va musbat yechimga ega bo'lishlik shartlari bajarilishi kerak:
a) ixtiyoriy p- tub soni uchun ai1 f + ai2 f2 + ai3 f3 = bi (mod P), i = 1,2 taqqoslamani qanoatlantiruvchi 1 < f, f2, f < p — 1 butun sonlar mavjud;
b) b = aay1 + af2y2 + ai3y3 = (mod p), i = 1,2 tenglikni qanoatlantiruvchi y, y2, y3 musbat haqiqiy sonlari mavjud.
Biz bundan keyin a) va b) shartlar bajariladigan (b1,b2),1 <b1,b2 <X juftliklarni qaraymiz. Qulaylik uchun ularning to'plamini W ( X ) bilan belgilaymiz, ya'ni
W (X) = j(b, b2 )| 1 < b,b < X, a) va b) shartlar bajarilsin), shuningdek
B = maxi=1,2;j =1,2,3 {3
sonlari uchun
3
S j > 0, i = 1,2
j=1
aij
bo'lsin. M.C.Liu, K.M. Tsang [1] da, agar y, y2, y3 - haqiqiy
tengsizlik bajarilsa, u holda cardW ( X )□ X2/ ( B2lnln B ) bahoning o'rinli ekanligini
isbotladilar. Bu yerdan W ( X ) to'plamga yetarlicha ko'p ( bp b2 ) juftliklar tegishli bo'larkan degan xulosaga kelamiz.
Keyinchalik I.Allakov [2] bu bahoda ishtirok etuvchi <<-simvoldagi o'zgarmasning son qiymatini aniqlashtirdi. Shuningdek [1,2] larda olingan baholardan foydalanib Goldbaxning binary
masalasi uchun tegishli baho olish mumkin ekanligi ham ko'rsatilgan. Bundan keyin c\, c2, c3... lar bilan qiymatini hisoblash mumkin bo'lgan (effektiv) o'zgarmas sonlarni 5, 0<5<1- yetarlicha
kichik, effektiv o'zgarmas sonni belgilaymiz. x va n larni X > Bexp va N = 18B X munosabatlar yordamida aniqlaymiz. Qulaylik uchun yana quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
Q = Ns, L = NQ"1/9°, T = Q14s.
(2)
Bundan B < Q ning bajarilishi kelib chiqadi. a va q lar (a,q) = 1 shartni qanoatlantiruvchi musbat butun sonlar, at (0<^<1) ixtiuoriy haqiqiy
son
e(a) = e2zia, a = ad = (q,D), g ni N = gqd-1 (modq) taqq°slamadan
V / q \ )
aniqlaymiz. Shuningdek S( y ) ni quyidagi tenglik bilan aniqlaymiz [3]:
S ( y )= Z A( n )e( ny )
L<n< N, n=l (modD) ,
bu yerda A( n ) - Mangold funksiyasi bo'lib,
ln p, agar n=pa bo'lsa;
A( n ) =
0, agar n^p bo'lsa.
tenglik bilan aniqlanadi. 1
T = N ~1T/ 4 deb olib
, +T kvadratni quyidagicha ikkitaga ajratamiz:
1 < h , h < q < Q va ,h2,q) = 1 shartlarni qanoatlantiruvchi h, h , q lar uchun m(h,h,q), M va M' larni quyidagicha aniqlaymiz [3]:
m(h,h,q) = |(^,2 x^-hq 1 <~, ^=1,2
M= U =
h[, h2, q
(3)
(4)
bu yerda m(h,h,q) lar o'zaro kesishmaydi va ularning barchasi t,1+TJ da yotadi
Endi faraz qilaylik b = (bj£W(X)bo'lsin. xi,X2ixtiyoriy haqiqiy sonlari uchun
x„ = bx + bx, x •=a x + ax«, 1 < j < 3 deb olamiz.
b 11 2 27 1 г 1 Г 1 2 Г 27
I(b,N,D)=ЕЛ(Щ )Л(n2 )л(щ ) bo'lsin. Bu yerda yig'indi Z < щ , щ, щ < N, n = l (mod D ) v
Z a^7n7- = b^ ^ = 1,2
j=1
shartlarni qanoatlantiruvchi barcha ft j ( j = 1,2,3) lar bo'yicha olinadi. (3) asosan I ( b, N, D ) ni quyidagicha yozishimiz mumkin:
1+t1+T , ^ 3
I(b,n,e)= + J e(—xb )n S(xjr )dx1dx,
T T j=1
buni esa (4) ga asosan
I(b,N,D)=I (b,N,D)+12 (b,N,D)
(5)
ikkita integralning yig'indisi ko'rinishida ifodalay olamiz. Bunda
3
I ( b N, D )= J e(-xb)n S ( xjjdxldx2
^ ^ m j=1
__3
I2 ( b,N,D )= J e( — xb )П S( — xj .
M ' j=1
(5) dan
I ( b, N, D ) >I ( b, N, D )—12 (b, N ,D )
(6)
kelib chiqadi. Agar biz (6)ning o'ng tomonidagi ayirmaning musbat ekanligini ko'rsata olsak I ( b, N, D )> 0, ya'ni (1) sistemaning arifmetik progressiyadan olingan tub sonlarga yechimga
ega ekanligini ko'rsatgan bo'lamiz.
Shu maqsadda
( b, N, D )
ni yuqoridan baholaymiz. I^ ( b,N, D ) ni
qaraymiz.
Parsival ayniyatiga asosan ([4] ning 180 betiga qarang)
œ œ
Z Z
b =—œ ^2 =—œ
L
(b,N,D) = jjn |S(x )| dxxdx2 <
m j=i
< max|| S ( x )| 2,\S ( x2 )|2 |j J( S ( x )|2+|S ( x2 )|2 )x| S ( x3 )|2 dxxdx2.
Bu tengsizlikning o'ng tomonida [2] dagi S( Jj ) □ NDQ~12 (ln N)'
^3
y 112
bahodan va
5( x, )2 =
Z л(п j )e(hjxj )
L< nj > n nj =Z ■ mod d
< z л2(«;)□
L< nj > N nj =Z • mod D
□ ^(lnTV) Z a(/I7.)d ^ln TV
D
lardan foydalansak
L< nj > N n . =/ . mod D
D
hosil bo'ladi. Bu yerdan (Ь1, b2) y'uftliklar soni
2
œ œ I — I -1/ 11/
Z Z К (b, N, D) □ ( NDBQ12 In1
I. ——rr\ n. ——rri '
iV
2 V N4B2In13N
-In N kD
□
Q
J2(b,N,D ^Q 4
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
' N
vHD ),
dan ko'p emasligi kelib chiqadi. Demak, qolgan (blb2) g W(X) juftliklar uchun
/- \ N
12( b,N,D b^D)Q
-4
tengsizlik bajariladi.
Xulosa qilib aytish mumkinki, (b1,b2 ) g W (X) juftliklarning
' N ^
D Ъ
kichik yoylar bo'yicha olingan integralining moduli
N л-4
Q dan katta emas.
v(D )
2
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ROYXATI
1. Liu M.C., Tsang K.M. On pairs of linear equations in three prime variables and application to Goldbach' s problem // J. reine angew. Math. - 1989. - № 399. - P. 109- 136.
2. Аллаков И. Оценка тригонометрических сумм и их приложения к
3. решению некоторых аддитивных задач теории чисел. (Изд.Сурхан,Термиз), 2021. 180c
4. Аллаков И., Сафаров А.Ш. Об одновременном представлении чисел
5. суммой простых чисел // Чебышевский сборник, 2012. Т.42. № 2. -С.12-17.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа - М.: Наука. 1989.-624с.
