CC BY
50
В.Ф. МАКАРОВ,
профессор кафедры информационных технологий, доктор технических наук, профессор (Академия управления МВД России)
V.F. MAKAROV, Professor at the Department of Information Technologies, Doctor of Technology, Professor (Management Academy of the Ministry of the Interior of Russia)
10
УДК 621.391
цифровые преобразования модифицированного множества ортогональных сигналов
Digital Transformations of a Modified set of orthogonal signals
В статье рассматриваются вопросы применения различных систем ортогональных функций и полиномов в качестве математических моделей множества ортогональных сигналов и построения на их основе ортогональных кодов. Отличительной особенностью теоретических положений ортогонального кодирования является устойчивость ортогонального множества к разрушающему воздействию различного рода помех с одновременной устойчивостью к несанкционированному восприятию и распознаванию.
Кусочно-постоянные ортогональные функции, ортогональные ряды и полиномы, знаковые устройства умножения, функция корреляции, устойчивость к несанкционированному распознаванию, методы распознавания ортогональных кодов.
The article is about using various systems of orthogonal functions and polynomials as mathematical models of sets of orthogonal signals and as instruments to build orthogonal codes out of such models. According to the mathematical theory of orthogonal coding, orthogonal sets are resistant to destructive pressure from outside interference of all kinds and also to hostile attempts at recognition and code-breaking.
Orthogonal step functions, orthogonal series and polynomials, sign multiplication devices, correlation function, resistance to hostile recognition and cracking attempts, methods to recognize and crack orthogonal codes.
Организация системы теледоступа к вычислительным ресурсам с уплотнением и разделением канальных сигналов по форме, математическими моделями которых является множество кусочно-постоянных ортогональных функций Уолша, до недавнего времени, как это отмечалось в работах ведущих отечественных и зарубежных ученых в области теории кодирования, была направлена на моделирование классических ортогональных множеств [1].
В научно-исследовательских разработках профессора В.Ф. Макарова отмечалось, что для построения множества ортогональных сигналов, математическими моделями которых являются множества кусочно-постоянных ортогональных функций Уолша, необходимо ис-
пользовать знаковые устройства умножения. Так было доказано, что формирование полного множества кусочно-постоянных ортогональных функций Уолша основывается на подмножестве кусочно-постоянных ортогональных функций Радемахера. В этом случае базисными ортогональными функциями являются кусочно-постоянные ортогональные функции Радемахе-ра, которые определяются как ортогональные функции полного множества Уолша с номерами i=2n и пределами изменений — 1 или + 1. Для примера 32-канальной системы теледоступа базисными ортогональными функциями Радемахера для построения полного множества ортогональных функций Уолша будут являться Y1, Y2, Y4, Y8, Y16, Yз2. Остальные ортогональные функции
Уолша образуются в результате перемножения базисных функций Радемахера [3, 4].
Таким образом, производится преобразование параллельного кода вычислительного комплекса в ортогональное множество и на его основе — формирование формы составного сигнала, отображающее множество передаваемых символов естественного алфавита в одном временном интервале. В последующем для передачи такого сигнала получателю производится его преобразование с помощью аналого-цифрового преобразователя в двоичный код. Число уровней сложного составного суммарного сигнала, состоящего из множества кусочно-постоянных ортогональных сигналов, математическими моделями которых является кусочно-постоянное ортогональное множество Уолша, определяется удвоением числа ортогональных сигналов в системе теледоступа с уплотнением и разделением сигналов по форме N=2Yn. Для случая 31 ортогонального сигнала число уровней будет составлять 64, и значения этих уровней будут лежать в пределах от —31 до +31. Следовательно, для отображения каждого уровня в виде двоичной кодовой комбинации потребуется 6 бит, что связано с введением определенной кодовой избыточности. Для уменьшения кодовой избыточности предлагается осуществлять следующие преобразования:
— модифицировать ортогональное кусочно-постоянное множество Уолша за счет изменения пределов изменения ортогональных функций А = —1 V +1 в пределы А = 0 V +1 без нарушения условия ортогональности;
— осуществлять генерацию ортогонального множества с одной фазы, в обязательном порядке начальная фаза определяется нулевым значением уровня каждой кусочно-постоянной ортогональной функцией;
— заменить операцию знакового перемножения функций Радемахера для получения пол-
ного множества на операцию суммирования по модулю два (mod 2).
С учетом указанных функциональных преобразований автору удалось получить модифицированное множество кусочно-постоянных ортогональных функций, подобных ортогональным функциям Уолша, для использования их в качестве математических моделей канальных информационных сигналов многоканальной системы теледоступа к вычислительным ресурсам.
Такое множество ортогональных сигналов имеет следующее отображение:
Y = 00000000000000001111111111111111 Y2 = 00000000111111110000000011111111 Y3= 00000000111111111111111100000000 Y4 = 00001111000011110000111100001111
Y31= 01101001100101101001011001101001. Для модифицированного множества кусочно-постоянных ортогональных функций Уолша, состоящего из 41 ортогональной функции, сложный составной суммарный сигнал, построенный на их основе, определяется как:
IY = 0 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16.
Для классического множества кусочно-постоянных ортогональных функций Уолша, также состоящего из 41 ортогональной функции Уолша, сложный составной суммарный сигнал, построенный на их основе, определится как:
IY = —1—5—1—1—1+4—1—1—1+4—1—1—1—5— 1-1-1+4-1-1-1-5-1-1-1-5-1-1-1+4-1+41.
Анализ структуры сложного составного суммарного сигнала для классического множества ортогональных функций Уолша показывает, что в этом случае число уровней составляет 64 и для их отображения необходимо составить множество кодовых комбинаций, содержащих шесть двоичных элементов. В случае же модифицированного множества Уолша для отображения сложного составного сигнала необходима кодовая комбинация, состоящая из четырех двоичных элементов,
Рис. 1. Гистограмма формы сложного составного многоуровневого суммарного сигнала, отображающего слово «КОД», на основе модифицированного множества Уолша.
12
т. к. отображаемое число уровней сложного составного суммарного сигнала составляет 16, т. е. значительно устраняется кодовая избыточность при сохранении информационной способности.
Для модифицированного множества Уолша семантическое слово «КОД» будет иметь отображение в виде сложного составного суммарного многоуровневого сигнала, представленного на рис.1.
ZYj - 0 4 6 8 6 8 8 8 8 8 8 6 6 8 6 6 5 5 7 5 5 7 7 7 3 7 7 9 7 9 7 7.
Для преобразования формы сложного составного суммарного сигнала модифицированного ортогонального кусочно-постоянного множества Уолша в двоичные кодовые комбинации необходимо составить таблицу преобразования «уровень-двоичный код» (аналогично преобразованию «аналог-цифра»).
Для примера примем последовательное закрепление двоичных кодовых комбинаций за уровнями сложного составного суммарного сигнала:
0-0000; 1-0001; 2-0010; 3-0011; 4-0100; 5-0101; 6-0110; 7-0111;
8-1000; 9-1001; 10-1010; 1Ы011; 12-1100; 13-1101; 14-1110;
15-1111.
В этом случае семантическое слово «КОД» после преобразования в ортогональное множество, а затем в двоичный код будет иметь следующее отображение:
«КОД»-0000 0100 0110 1000 0110 1000 1000 1000 1000 1000 1000 0110 0110 1000 0110 0110 0101 0101 0111 0101 0101 0111 0111 0111 0011 0111 0111 1001 0111 1001 0111 0111.
Полученная кодовая комбинация имеет определенную кодовую избыточность по отношению к Windows-кодировке, однако обладает высокой степенью устойчивости к разрушающему воздействию помех и высокой степенью к несанкционированному восприятию и распознаванию, т. к. в этом случае каждый бит кодовой комбинации не принадлежит строго отдельному семантическому символу, а принадлежит одновременно всем передаваемым символам одного цикла.
Высокая степень помехоустойчивости определяется не только спектральными свойствами ортогональных сигналов, но и оптимальной обработкой, по В.А. Котельникову, таких сигналов приемными корреляционными устройствами.
В отличие от классической схемы корреляционной обработки сложного составного суммарного многоуровневого сигнала, состоящего из множества ортогональных сигналов, отображающих одновременно разрешенное количество символов естественного алфавита, автором предложена замена обработки модифицированного ортогонального множества операции интегрирования на операцию алге-
браического суммирования. Операция умножения суммарного сигнала на канальные опорные сигналы, вырабатываемые генератором ортогональных опорных сигналов, выполняется со следующими ограничениями и допущениями:
0 х 0 = 0; ах 0 = - а; а х 1 = а; 1 х 1 = 1;
0 х 1 = 0; 1 х 0 = -1.
На первом шаге преобразований приемник системы теледоступа производит преобразования двоичного кода в числовые значения суммарного многоуровневого сигнала в соответствии с заданной таблицей преобразования. Например, для принятого слова «КОД»- 2^ - 0
4 6 8 6 8 8 8 8 8 8 6 6 8 6 6 5 5 7 5 5 7 7 7 3 7 7 9 7 9 7 7.
Затем числовые значения суммарного и опорных сигналов поэлементно перемножаются в соответствии с введенными ограничениями и допущениями. Например, при выделении восьмого разряда первого семантического символа «К» необходимо умножить суммарный сигнал на значения Y8, а затем полученные значения просуммировать.
2У4 - 0 4 6 8 6 8 8 8 8 8 8 6 6 8 6 6 5 5 7 5 5 7 7 7 3 7 7 9 7 9 7 7;
Y8 - 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 10 0 1 1;
2(2^ х Y8) - 0-4 6 8-6-8 8 8-8-8 8 6-6-8 6 6-5-57 5-5-77 7-3-3 7 9-7--97 7=16.
Соответственно, если в суммарном сигнале присутствует сигнал, соответствующий значащему разряду «1» распознаваемого символа, то на выходе канального корреляционного устройства формируется сигнал, равный значению 16. В случае если значение разряда распознаваемого символа будет равно «0», то на выходе канального корреляционного устройства сформируется «0».
Например, в символе «К» пятый разряд равен нулю, следовательно:
2У4 - 0 4 6 8 6 8 8 8 8 8 8 6 6 8 6 6 5 5 7 5 5 7 7 7 3 7 7 9 7 9 7 7;
Y5 - 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0;
2(2^ х Y5) - 0-4-6-86 8 8 8-8-8-8-66 8 6 6
5 5 7 5-5-7-7-73 7 7 9-7-9-7-7=0.
Таким образом, производится распознавание элементов кодовых комбинаций семантических символов, отображенных в ортогональном базисе модифицированного ортогонального множества Уолша, что в свою очередь приводит к сокращению кодовой избыточности ортогонального кодирования в системах теледоступа к вычислительным ресурсам с уплотнением и разделением канальных сигналов по форме.
Важной функционально-технологической структурной составляющей системы теледоступа к вычислительным ресурсам с уплотнением и разделением канальных сигналов по форме, математическими моделями которых являются кусочно-постоянные ортогональные функции
Уолша, является генератор ортогональных сигналов (далее - ГОК). Как было отмечено выше, использование классической системы ортогональных функций Уолша в качестве математических моделей элементов отдельных разрядов кодовых комбинаций связано с определенными сложностями, обусловленными применением аналоговых устройств перемножения базисных сигналов, соответствующих функциям Радемахера, при формировании полного разрешенного множества ортогональных сигналов Уолша - ХУ = ХР' х Xpj.
Переход к предложенной автором системе ортогональных сигналов, математическими моделями которых является разработанное модифицированное множество ортогональных функций Уолша, исключает функцию аналогового перемножения базисных функций Радемахера для формирования полного разрешенного сложных составных кусочно-постоянных функций Уолша. Используя модифицированное множество ортогональных сигналов Радемахера, операция аналогового умножения заменяется на простую операцию суммирования по модулю два (mod 2) при формировании полного разрешенного модифицированного множества ортогональных сигналов Уолша - ХУ = ХР' © Xpj .
Рассматривая метод отображения любого десятичного числа как сумму цифр по основанию два в степени «п» (N = Z2n), можно сформировать любой сигнал полного модифицированного множества Уолша как сумму базисных функций Радемахера. Например, базисными функциями Радемахера являются функции ХР' (Х1, Х2, ... Х2п), для формирования ортогонального сигнала Уолша Х14 используются функции Х1, Х4, Х8, т. к. 1Э=20 + 22 +24 - { Х1 х Х4 х Х8}. В соответствии с полученным модифицированным множеством кусочно-постоянных функций Радемахе-ра операция аналогового умножения заменяется на операцию простого суммирования по модулю два Х14 - { Х1 © Х4 © Х8}. (mod 2)X14 -
Для примера: на множестве 42-разрядных ортогональных сигналов формирование ортогонального сигнала Х14 определится как:
Х1 = 0000000000(4000001111111111111111 © Х1 = 00001111000011110000111100001111 Х„_= 00001111000011110000111100001111 Х14 = 00000000000000001111000011111111.
Для определения количества базисных функций Радемахера при построении полного ортогонального множества Уолша необходимо исходить из условия задания числа элементов разрешенного множества кусочно-постоянных ортогональных функций Уолша, что, в свою очередь, зависит от задаваемого числа семантических элементов естественного алфавита в едином временном интервале, т. к. для отображения одного семантического символа естественного
алфавита требуется восемь ортогональных сигналов Уолша. В этом случае число базисных ортогональных функций Радемахера определится как NP > 2п, т. е. для получения множества ортогональных сигналов Уолша, состоящего из Э1 функции NP = Э1, число ортогональных функций Радемахера определится как 2п < Э1, следовательно, п = 4. Соответственно, максимальный номер ортогонального сигнала Уолша в полном ортогональном множестве определится как сумма базисных ортогональных функций Радемахера NP - Э1 - 20 + 21 + 22 + 24 + 24, т. е. Х14 - { Х1 © Х2 ©
X4©Xi© Х16 }.
В этом случае форма сложного составного суммарного сигнала будет способна в едином временном интервале отобразить три семантических символа естественного алфавита.
Для отображения сложным составным суммарным сигналом модифицированного ортогонального множества Уолша 15 семантических символов естественного алфавита в едином временном интервале требуется 120 ортогональных сигналов Уолша, следовательно, максимальный номер базисного ортогонального сигнала Раде-махера будет равен 64.
NP - 120 20 + 21 + 22 + 24 + 24 + 25 + 26 , т. е. Np - { Х1; Х,; Х4; Xi; Х№ Х42; Х64}.
Остальные ортогональные сигналы Уол-ша определятся в результате последовательного суммирования по модулю два (mod 2) базисных ортогональных сигналов Радемахера. Так, ортогональный сигнал Х91 определится на основе суммирования по модулю два (mod 2), базисных функций Радемахера Х2; Х42; Х64 (Х91 = Х2 © Х42 © Х64).
В заключение необходимо отметить, что число одновременно параллельно кодируемых элементов естественного исходного текста теоретически не ограничено и будет определяться лишь мощностью множества выбранных ортогональных кусочно-постоянных функций Уолша, которое сверху также не ограничено [2].
Это дает возможность выбирать разрешенное множество, изменяя модуль первичного преобразования. В случае если условная группа семантических символов параллельного ортогонального кода представлена семью элементами, то модуль ортогонального преобразования будет равен 56. При увеличении числа кодируемых элементов исходного алфавита этот модуль может достигать значения 256, что позволяет параллельно во времени формировать сложный составной сигнал, состоящий из 2041 кусочно-постоянных ортогональных функций Уолша.
Такой подход к кодированию данных в автоматизированных комплексах органов внутренних дел позволяет существенно увеличить устойчивость кодообразований к несанкционированному восприятию и распознаванию дан-
13
ных по сравнению с существующими в настоящее время средствами и методами кодирования, а также обеспечить высокую устойчивость пере-
даваемых сигналов к искажениям за счет различного рода помех, естественных или специально формируемых в каналах связи.
ы <
м о а С
ы S ЬЙ
и ы
ST S 1—
о <
о ^
о н
ы
о X
Список литературы:
1. Макаров В.Ф. Передача информации в ком- 3. Пат. 2131646 РФ. 10.06.1999. Устройство
2.
пьютерных технологиях на основе ортогональных сигналов // Информационные системы и технологии. 2014. № 2. Макаров В.Ф., Куприянов А.И. Защита информации в телекоммуникационных системах. М., 2017.
для передачи телевизионных сигналов / В.Ф. Макаров и др.
Пат. 2144741 РФ. 20.01.2000. Устройство для приема телевизионных сигналов / В.Ф. Макаров и др.
E-mail: ovorta@mail.ru
< I
14
