Научная статья на тему 'Цифровое управление положением тележки и перевернутым маятником'

Цифровое управление положением тележки и перевернутым маятником Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
315
42
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МАЯТНИК / ТЕЛЕЖКА / НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ / ОПТИМИЗИРОВАННЫЕ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА / ГАРАНТИРОВАННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА / ОПТИМИЗАЦИЯ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ И ТОЧНОСТИ / ТРЕНИЕ / ЗАДАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ / THE PENDULUM / THE CART / THE NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE MOVEMENT / OPTIMISED DELTA-TRANSFORMATION OF THE SECOND ORDER / QUALITY GUARANTEED PERFORMANCES / OPTIMISATION ON SPEED AND ACCURACY / FRICTION / SETTING INFLUENCES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кравченко Павел Павлович

Решение данной задачи базируется на наиболее полной из соответствующих известных нелинейных систем дифференциальных уравнений движения и использовании методологии оптимизированных дельта-преобразований второго порядка. Освещены принципы синтеза единого алгоритма управления маятником и тележкой, показана возможность обеспечения гарантированныпоказателей качества по точности и быстродействию, демонстрируется движение при постоянных и изменяющихся задающих воздействиях, при различных видах трения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кравченко Павел Павлович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

DIGITAL CONTROL OF THE CART AND INVERTED PENDULUM POSITION

The decision of the given problem is based on one of the fullest corresponding known nonlinear systems of the differential equations of movement and using methodology of optimised deltatransformations of the second order. Principles of synthesis of uniform algorithm of management by the pendulum and the cart are dealt with, the possibility of maintenance of quality guaranteed performances on accuracy and speed is shown, movement at changing setting influences and various kinds of friction is demonstrated.

Текст научной работы на тему «Цифровое управление положением тележки и перевернутым маятником»

.

,

движения относительно среднего вектора группы.

Результаты тестирования программы показали, что вероятность правильного обнаружения транспортных средств на одной паре кадров равна 0,85, а на 3-х видеокадрах - 0,98.

.

ситуации, основанный на частных алгоритмах оценки положения РТС относитель-

,

и анализа принимаемой на РТС видеоинформации. Тестирование алгоритмов подтвердило их работоспособность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Форсайт ДА., Понс Ж. Компьютерное зрение. Современный подход.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. - 928 с.

2. Веремеенко К.К., Желтое СМ., Ким НМ. и др. Современные информационные технологии в задачах навигации и наведения беспилотных маневренных летательных аппаратов / Под ред. Красилыцикова М.Н., Себрякова ГГ. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 556 с.

3. Визильтер ЮМ., Желтое СМ., Князь В.А. и др. Обработка и анализ цифровых изображений с примерами на LabView и IMAQ Vision. - М.: ДМК Пресс, 2007. - 464 с.

Ким Николай Владимирович

Московский авиационный институт.

Адрес: 125993, г. Москва, Волоколамское ш. 4.

E-mail: nkim2003@list.ru.

Тел.:8 4991584549.

Кузнецов Андрей Григорьевич E-mail: kag2006@Mail.ru.

Коеоруков Святослав Юльевич E-mail: cube@rambler.ru.

Kim Nykolay Vladimirovich

Moscow aviation institute.

4, Volokolamskoe street, Moscow, 125993, Russia.

E-mail: nkim2003@list.ru.

Phone: 84991584549.

Kuznetsov Andrew Grigorevich

E-mail: kag2006@Mail.ru.

Kosorukov Svyatoslav Yulevich

E-mail: cube@rambler.ru.

УДК 531.36;62-50

ПЛ. Кравченко

ЦИФРОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЕМ ТЕЛЕЖКИ И ПЕРЕВЕРНУТЫМ МАЯТНИКОМ

Решение данной задачи базируется на наиболее полной из соответствующих известных нелинейных систем дифференциальных уравнений движения и использовании методологии оптимизированных дельта-преобразований второго порядка. Освещены принципы синтеза единого алгоритма управления маятником и тележкой, показана возможность обеспечения гарантированныпоказателей качества по точности и быстродействию, де-

монстрируется движение при постоянных и изменяющихся задающих воздействиях, при различных видах трения.

Маятник; тележка; нелинейные дифференциальные уравнения движения; оптимизированные дельта-преобразования второго порядка; гарантированные показатели качества; оптимизация по быстродействию и точности; трение; задающие воздействия.

P.P. Kravchenko DIGITAL CONTROL OF THE CART AND INVERTED PENDULUM POSITION

The decision of the given problem is based on one of the fullest corresponding known nonlinear systems of the differential equations of movement and using methodology of optimised delta-transformations of the second order. Principles of synthesis of uniform algorithm of management by the pendulum and the cart are dealt with, the possibility of maintenance of quality guaranteed performances on accuracy and speed is shown, movement at changing setting influences and various kinds of friction is demonstrated.

The pendulum; the cart; the nonlinear differential equations of the movement; optimised delta-transformation of the second order; quality guaranteed performances; optimisation on speed and accuracy; friction; setting influences.

Рассматривается одна из классических задач механики и теории управления, которая на практике связана с работой разнообразных установок, манипуляцион-, , , буксиром барж - всех объектов, центр масс и точка приложения силы которых не совпадают [1, 2]. В то же время данная задача известна как одна из тестовых для оценки качества и эффективности методов синтеза алгоритмов управления и рассматривается в многочисленных источниках технической литературы, как правило, с введением различного рода упрощений и ограничений [4-9].

Решение данной задачи выполняется с учетом следующих важных с практической точки зрения положений: должны использоваться известные исходные нелинейные дифференциальные уравнения движения, которые в наибольшей мере соответствуют реальным процессам движения маятника на тележке; при имитации движения в модели не допускается упрощение или линеаризация исходных урав-; -пользования гарантированных теоретических оценок; при синтезе алгоритмов цифрового управления должны использоваться принципы оптимизации переходных процессов по быстродействию и установившихся по точности с учетом нелинейностей исходных дифференциальных уравнений движения; должны учитываться возможности действия сил трения в оси маятника и при движении тележки; должна реализовываться возможность одновременного решения задачи перевода маятника из заданного положения в вертикальное, перемещения тележки из заданной начальной в заданную конечную точку или движения тележки в соответствии с изменяющимся задающим воздействием;

Тележка может двигаться только прямолинейно в горизонтальном направлении и приводится в движение прикладываемой силой в виде управляющего воздействия ц(t) в момент времени t [3]. Горизонтальное перемещение тележки характеризуется функцией S(t), угловое отклонение маятника - ç(t). Используются обозначения: m - масса маятника, L - расстояние между осью и центром тяжести (2L - длина маятника), J — момент инерции отн осительно центра тяжести маятника, М — масса тележки, Tc (t ) — сила трения при движении тележки; f p . -

жена сила mg ^ - ускорение силы тяжести), а у оси - горизонтальная И(ґ) и вертикальная У(ґ) силы реакции.

Используемые исходные дифференциальные уравнения движения записываются в виде [3]:

Данная система дифференциальных уравнений используется в экспериментальной модели для имитации поведения маятника и тележки без упрощений. При моделировании сила трения Tc (t) вводится в виде постоянной величины или линейно изменяющегося значения в виде T (t) = /л* s (t)) , где fc1 = const, или

нелинейно изменяющаяся функция; сила трения вводится в виде постоянной

Одной из проблем в решении данной задачи является то, что управление двумя переменными (ф($)и £(V)) должно быть обеспечено с помощью одного управляющего воздействия ^ (V).

Сущность рассматриваемого решения задачи синтеза можно проиллюстрировать в виде совмещенных во времени процессов в действиях человека: выведение размещенной на пальце руки палки из заданного положения в вертикальное, движение в определенном направлении с удержанием палки в вертикальном положении и удержание палки в вертикальном положении в конечной точке (разгоны/торможения). Обеспечение направленности движения коррелирует с определенным наклоном палки. Решение задачи выполняется на основе методологии с использованием оптимизированных дельта-преобразований второго порядка, , , -ния и формирование кванта преобразования - основы для определения управляющего воздействия [10].

Введение связанных с данными особенностями решения допущений позволяет представить систему уравнений движения в более удобном для синтеза алгоритмов управления виде. Обозначаем Х1(/) = ), ) = ф(V), Х1(/) = ф(/) ,

Х2() = £(V), х2(1) = £(V), х2(1) = £(V), и(V) = ¡и(V), задающие воздействия У-шд 1 (V), Уюд 2 (V) и переходим в соответствии с освещенной в [10] методологией к записи уравнений с учетом ошибок:

mS (t) + mL<p(t) cos фф) - шЬф2 (t) sin фф) = H (t);

-шЬф(ї) sin фф) - mLф1 (t) cos фф) = V(t) - mg;

Jф(t) = LV (t)sinф(t) - LH (t )cosф(t) - /ф(0; - (1)

MS (t) = M(t) - H (t) - Tc (t);

ф0 = t0); фф = to);S (t = to);S (t = O.

в виде Tc (t) = / 2( S (t ))* sign(S (t)) , где /c2( S(t) ) - задаваемая графически

.

g - Lx\ (t) cos x1 (t) +

LMxl(t)cos x1(t) + M + m

(2)

I cosxi(t)T* /pxi(t) - y (t)

L'(t)(M + m) L '(t)mL ia

z2(t) « X1 (t)g - УтЛ).

(3)

J + L m

L'(t) =

sin 2 Xj (t) +

M

M + m

cos 2 x1 (t)

mL

= О; Х1Ф = О; х2(г = О; = О-

На основе (2), (3) вводим обозначения квантов преобразования ^ г+1 (V), Уц +1(^) и переходим к записи для (г'+1)-го шага (Ы - количество дискретных шагов Vt моделирования):

Y ( ) = cosxi,i+i(t)Um(t)

1,i+j() Li+j (t )(M + m)

sin XJ,i+j(t)

g - LXb+j(t )cos x+j(t)+:

LMxl+1(t )cos Xi+1(t)

L'i+j (t)

cos xi,i+j(tК /pх1,г+j(t).

M + m

(4)

Li+j(t )(M + m) Li+j(t )mL

Y2M(t) = xi,i+i(t) g;

(5)

I = а N; t е [^; tг+l].

Учитывая (4) и (5), уравнения (2), (3) представляем в виде '¿,-г+1^) = +1 - у ^);

Уи+1 = Yj>г+1 (t) = const на t е [; tl+1 ]; i = 0, ; j = 1,2 .

Предполагаем, что ординаты ошибок и их производные

f j (ti ) = j - Узад],i i = 0 ;j = 1,2

j = zj (ti) = x.,,i - Уі,,

/,зж),г ; ^у,1

, -

[10]:

z .. = x - y ■ Z ■■ = x - У

іі п S зао, ji ’ 1-і 1-і

зао, ji ’ 2

Fm = zji + 2znVt + (0,5(znVt) / c,- + 0,5cj)sign zi;

F2=zji+zjiv t+(0,5(zjiv t )2/ cj- 0,5cj )sign zji;

если F'i'F2 > ^ mo Aj,i+i = -signF]i;

иначе A j i+1 = 0;

Yj,i+i =Aj,i+i/(vt)2; t; ti+i]; cj = 075c*, c* > °; j=1,2.

Сущность методологии синтеза алгоритмов управления состоит в том, что формируется процесс управления, эквивалентный процессу оптимизированного Д-преобразования второго порядка. Особенностью применения Д-преобразований для управления является, в частности, то, что для различных объектов имеют место фактически шаблонные характеристики для областей управляемости, качественные оценки и рекомендации, которые могут быть априорно использованы при проектировании цифровой системы управления. В частности, при отсутствии (или )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

существенно не отличаются от соответствующих теоретических значений гарантированных показателей дельта-преобразований второго порядка [10]:

( ): Ь(t ^ <= °,5 с *;

(7)

♦ количество шагов и длительность переходного процесса (г у (^) = 0):

Я

] ,пер

Я- Vt

],пер ■

(8)

Для проведения экспериментов принято: М = 0,5 кг, т = 0,25 кг, Ь = 0,3 м,

2

3 = 0,03 кгм . Значения М и т выбраны соизмеримыми по величине, что обеспечивает активное использование компоненты И(() в уравнениях движения. Численные значения времени задаются в секундах, углов - в радианах, положение тележки - в метрах.

Цифровое управление положением х^) = Узж)1(0 маятника без учета

Г,

1,7+1

расположения тележки х2^) = £ (V). На основе (4), выбранного значения с учетом возможной необходимости реализации моделирования с дополнительным дроблением шага Vt на V'Г (Vt = Г -Ут, Т = Ут-О; ti+1 О = ti + Ут-О; О = 0,1,2,..., (г -1) ) получаем для управляющего воздействия

и+!,.=■

Ц+1,АМ + т) {};

СОБ X

7+1

і+1,а

1,7+1,а

у

Л+1,а

g - уК

,.+, а СОБ X ,.+, а + г+1,а 1,г+1,а

УМх2+, а СОБX .+, а

1,і + 1,0 1,7+ 1,0

М + т

СОБ Х1,і+1,стТ-,і+1,ст

Ц+іЛМ+т)

+■

Ц+і,*т1

і = 0, N; а = 0,(г -1).

Переменные Х1 і+1 ,

X

а = 0,(г -1):

£+10 = £ формируются и измеряются в процессе моделирования уравнений (1).

с

Эксперимент 1: х10 0 = 3.14 (ф(і0) ~ 180); 0 0 = 0; х200 = 0;

с* = 0,05; V? = 0,1; узж),м = 0; г = 4; /* = /р = 0; Тс(і) = 2,0х2(і);

ТСі+\а= 2,0х2і+1а.. Параметры Тс(і) и /р характеризуют используемые варианты учета трения при движении тележки и в оси маятника в алгоритмах управления. На рис. 1,а - переходный и установившийся процессы координаты

(Д « 18, Т ~ 1,8 с); на рис. 1,6 - поведение х1 і в увеличенном масштабе (|<« 0,025 м; і > 18; ); на рис. 1,в - последовательность дельта-признаков Д1.; на рис. 1,г - управляющее воздействие Ц/і+1 а.

в г

Рис. 1. Временные диаграммы по эксперименту 1

Одновременное цифровое управление положением (рф) маятника и

Б (V) тел ежки. Для одновременного управления перемещением тележки по Б (V) и переводимого в вертикальное положение маятника необходимо обеспечивать режимы разгона/торможения путем задания в определенные моменты времени таких значений у,,ж) 1 (V) с соответствующим знаком, при которых гарантированно

обеспечивается с учетом ошибки управления р(^)«Узж)1^) и

)) = 81^( узадлф)):

|у«ш| = 0,5¿c*, Ъ > 1; (Ъ « 2).

Управление режимами разгон/торможение, обеспечивающими перемещение тележки с отработкой задающего воздействия = у ,,ж) 2 г-, базируется на формировании дельта-признака А 2г- (/' = 2) с помощью алгоритма дельта-

преобразования (6) при данном узж)2г- и введении в этот алгоритм при ] = \ за-

II. *

дающих воздействий узж)1г- = Узж)1г- А2; .Значение с2 для алгоритма (6) при определении А 21 должно соответствовать

с* = 0,5Ъс*g(Vt)2, Ъ > 1.

Эксперимент 2: |^г+1 | < 15; х10 0 = 3,14; Х10 0 = 0 ; х2 0 0 = 0;

Х2,о,о = 0; с* = °.°5; Vt = °.°5'; |у.«),1^| = с*; У,.«,, = 58т(0д),

/* = / = 0,02; т = /с.,(|А(0|)*sign(х2()); Т* = 2; , = 8.

Функция Тс (V) = /с 2(Б (V)) представлена на рис. 2.

Рис. 2. Функция зависимости силы трения Тс = /с2(Б(V))

На рис. 3,а - поведение х1(; на рис. 3,6 - управляющее воздействие им а (N=50); на рис. 3,в - х1( в увеличенном масштабе; на рис. 3,г - переходный и установившийся процессы координаты х2 (; на рис. 3,д - управляющее воздействие им,а (N=3000).

д

Рис. 3. Временные диаграммы по эксперименту 2

Заключение. По результатам пр иведенных в данной, а также выходящих за рамки данной статьи экспериментов можно сделать следующие основные выводы: решение задачи рассматривалось с учетом наиболее полного из известных описаний маятника и тележки в виде нелинейных дифференциальных уравнений; при отсутствии и слабом влиянии возмущающих воздействий обеспечиваются в соответствии с теоретическими оценками гарантированные показатели по быстродействию и точности (7), (8) для переменной p(t) ; полученные значения ошибки для

S(t) при |.Узж)1г | = 0,05.« в режиме стабилизации |z2i | <» 0,2 рад; подтверждена возможность эффективного автономного управления маятником, а управления движением маятника и тележки на основе одного управляющего воздействия при различных задающих воздействиях для S (t ) (постоянных, гармонических);

способность алгоритмов управления к проявлению грубости позволяет обеспечивать функционирование при различных видах трения; процедура синтеза алгоритмов цифрового управления отличается существенной простотой.

При проведении экспериментов не ставилась задача получения наилучших отдельных или комплексных конечных качественных характеристик, представляющих интерес для сравнения с другими методологиями решения поставленной ,

единых условиях исходной постановки задачи синтеза.

Приведенное решение непростой известной задачи показывает, что использование оптимизированных дельта-преобразований второго порядка является перспективным для решения проблем управления сложными подвижными нелиней-.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алекс аков Г.Н., Гавршин В.В., Федоров В А. Структурные модел и динамических процессов. - М.: МИФИ, 1989. - 62 с.

2. Ропштейп AM. Интеллектуальные технологии идентификации. http://matlab.expone.ru/ fuzzylogic/book5/references.php

3. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. - М.: Изд-во ’Мир”, 1977. - 650 с.

4. Голубев Ю.Ф. Оптимальное по быстродействию у правление перемещением неустойчивого стержня // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008. -№ 5. - С. 42-50.

5. . ., . ., . ., . ., . .

, // . . -

темы управления. - 2002. - № 5. - С. 14-24.

6. Колесников АА., Медведев ММ. Современные методы синтеза систем управления: Учеб. пособие. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003. - 128 с.

7. . ., . . -

// . . . - 2006.

-№ 3. - С. 51-62.

8. Dotoli M., Maione B., Naso D., Turchiano B. Fuzzy Sliding Mode Control for Inverted Pendulum Swing-up with Restricted Travel. Proceeding of FUZZ-IEEE 2001 - the 10-th IEEE Conference on fuzzy systems, Australia (2001).

9. Tao C.W., Taur J.S., Wang C.M., Chen U.S. Fuzzy hierarchical swing-up and sliding position controller for the inverted pendulum - cart system, Internat. J. Fuzzy Sets and Systems 159 (2008) 2763 - 2784.

10. . . -

порядка. Цифровое управление, сжатие и параллельная обработка информации: Монография. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2008. - 192 с.

Кравченко Павел Павлович

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: kravch@tsure.ru.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634314945.

Kravchenko Pavel Pavlovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: kravch@tsure.ru.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 88634314945.

УДК 004.896:621.865: 623.43

A.B. Васильев МОБИЛЬНЫЕ МИНИ-РОБОТЫ РАЗВЕДКИ: ТЕКУЩЕЕ СОСТОЯНИЕ, ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ И ОБЩИЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ

Анализируются текущее состояние и общемировые тенденции в сфере создания малоразмерных робототехнических средств обеспечения разведывательных операций. Выделяются основные принципы и перспективы развития мобильных мини-роботов. Результаты работы могут быть полезны при формировании концептуального облика вновь создаваемой техники рассматриваемого класса.

Анализ; мини-робот; мобильный; носимый; легкий; компактный; гусеничный; колесный; шасси; модульность; универсальность; адаптация.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

A.V. Vasiliev

MOBILE SCOUT MINI-ROBOTS: CURRENT STATE, TYPICAL FEATURES AND GENERAL PROGRESS TRENDS

The current state and worldwide tendencies of small scout robotic tools development are analyzed. The general design principles and trends of small unmanned ground vehicles (SUGV) are extracted. The analysis results may be useful for new SUGV concept development.

Assessment; mini-robot; mobile; man-portable; lightweight; compact; tracked; wheeled; chassis; modularity; versatility; adaptation.

.

различных типов сверхлегких и малозаметных робототехнических средств разведки, в том числе мобильных мини-роботов наземного базирования (дштее ММР, в зарубежной литературе общепринята аббревиатура SUGV - Small Unmanned Ground Vehicles). Активизация работ в этой области связана с двумя объективными причинами. Во-первых, это доктрина ведения современных боевых действий, предусматривающая максимальную роботизацию вооруженных сил с целью минимизации потерь среди личного состава (а в перспективе - ведение боевых действий только лишь с помощью полу- или полностью автономных робототехниче-). -ружения армии США “Боевые системы будущего”. Во-вторых, это достигнутые успехи в области оптимизации и миниатюризации всех составных элементов роботов, как комплексных мехатронных систем: электромеханических приводов, ком-

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.